Справочный материал. 1 1 2 4 Задание 1. = 0,5; 0,125; 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑑 𝑏𝑑 + = ; 𝑎 𝑏 (𝑎 + 𝑏): (𝑐 + 𝑑); 2 3 Задание 2. 4 1 = 075; 1 5 = 0,2; = 3 · = 3 · 0,125; 2,3 = 8 8 𝑐 𝑎𝑐 𝑑 2 𝑏𝑑 1 · = 1 3 8 = 8 · 8 = 64; 8 3 = 0,25; ; 23 8 = 10 𝑎 𝑐 𝑎 𝑑 (𝑎+𝑏) 𝑏 𝑑 3 𝑏 𝑐 (𝑐+𝑑) : = · 1 = 6) Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу √14. Какая это точка? = 2: = 2 ∙ = 6 3 −2 = 1 82 1 ; 2−3 5−2 = 52 23 ; 2 ( )−1 3 = 3 ( )1 2 1) Какое из данных чисел принадлежит промежутку [7; 8]? 1)√7 2) √8 3) √45 4)√60 Решение. Запишем промежуток [7; 8] в виде [√49 ; √64], и тогда станет ясно, что данному промежутку принадлежит число √60. На самом деле, √49 < √60 < √64 , т.е. 7< √60 < 8. Ответ: 4. 2) Между какими числами заключено число 3√5? 1) 9 и 11 2) 5 и 6 3) 44 и 46 4) 6 и 7 Решение. Внесём множитель 3 под знак корня. 3√5= √3 ∙ 5 = √32 ∙ 5 = √45 . Определим ближайшие к 45 числа, корнями из которых являются целые числа. Это 36 и 49. На самом деле, √36 < √45 < √49 , т.е. 6< √45 <7 или 6 < 3√5 <7 . Ответ: 4 5 3)Какому из данных промежутков принадлежит число ? 13 1)[0,2;0,3] 2) [0,3;0,4] 3)[0,4;0,5] 4)[0,5; 0,6] Решение. дробная черта означает знак деления. Разделим в столбик 5 на 13. Получим 5:13=0,38... нам достаточно двух цифр после запятой, чтобы понять, к какому промежутку относится частное 0,3< 0,38... < 0,4.Ответ:2. 17 4) Какое из следующих чисел заключено между числами 16 Решение. Очевидно, что нужная точка будет расположена на промежутке (2; 3). На этом промежутке отмечены две точки: С и D. Наше число 2,3 - две целые и три десятые. Мысленно делим единичный отрезок от двух до трёх на 10 равных частей и берём 3 такие части – попадаем в точку С. Ответ: С. 15 и ? 13 1) 1,2 2) 1,3 3) 1,4 4) 1,5 Решение .Обращаем данные обыкновенные дроби в десятичные. С этой целью делим в столбик до сотых 17 на 15 и 16 на 13. Получаем 17:15=1,13... и 16:13=1,23... . Смотрим на варианты ответов: подойдет 1) 1,2. На самом деле: 1,13 ...<1,2 <1,23... .Ответ:1. 5 ) Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, равна 2,3. Какая это точка? Решение. Определим, между какими целыми числами заключено наше число. Так как√9 < √14 < √16,то 3< √14 <4. А к числу 3 (точка А) или к числу 4 (точка В) будет ближе наша точка – определим так: число 14 ближе к числу 16, чем к числу 9, значит и √14будет ближе к числу 4, чем к числу 3. Следовательно, искомая - точка В. Ответ: В. 7) Одно из чисел √5; √8; √11; √14 отмечено на прямой точкой А. Какое это число? 1) √5 2) √8 3) √11 4) √14 Решение. Число соответствующее точке А, находится между числами 2 и 3, являющимися арифметическими квадратными корнями из чисел 4 и 9 соответственно. У нас два числа √5 и √8 подходят под это описание: √4 < √5 < √9 и √4 < √8 < √9, однако , точка А находится ближе к числу 2, а число 5 ближе к числу 4, чем к числу 9, поэтому точка А имеет координату √5 .Ответ: 1. 8) На координатной прямой точками отмечены числа: 6 3 ; ; 0,54; 0,55. 11 5 5 6 (3√7) 3. Найдите значение выражения: =1,5 1)0,5 11 ; 0,54; 0,55. 3 =6:11=0,5454....≈0,545. =3:5=0,6 11 5 Тогда числа в порядке возрастания, т.е. слева направо: 6 3 0,54; 0,545; 0,55; 0,6 или 0,54; ; 0,55; 11 5 Точке С (третьей слева) соответствует число 0,55. Ответ: 4. 2 42 = 32 ∙7 42 и , в порядке возрастания? Решение : = 9∙7 6∙7 = 3 2 4) 3,5 Ответ: 2 3)10,5 4. В каком случае числа расположены = √2 ∙ 2 ∙ 3 = =√3 ∙ 3 ∙ 2=√18; 4=√16. √12; 1) 3) 2) ; Ответ: 2. 4) 5. Найдите значение выражения = √3 ∙ 4+( (√3)2 -2∙ 1 ∙ √3+1)= 2√3+3-2√3+1 =4. Ответ :4 6. Найдите значение выражения: 3 ∙ √5 ∙ 7 ∙ 35 =6∙ √35 ∙ 35=6∙35 = 210. Ответ :210 7. Укажите наибольшее из чисел: 1) 1) , 2) , = √16 2) 3) , , . =√4 ∙ 9= √36 4) 4) . =√9 ∙ 7 =√63 3) Ответ :3 8. Найдите значение выражения =(√5) 2 -22 ) = 5-4 = 1 1) 2) 3) 4) =(√5) 2 -22 ) = 5-4 = 1 24 ∙27 211 9. Вычислите: = 9 = 9 = 211-9 =22 =4 2 2 Ответ : 4 10. Значение какого из выражений является числом рациональным? = (√6)2 -32 =6 - 9= -3 1) 2) 3) 4) Задание 3. 2)1,5 Решение Ответ :2 Какому числу соответствует точка С? 6 3 1) 2) 3) 0,54 4) 0,55 11 5 Решение. Запишем обыкновенные дроби в виде десятичных 6 дробей и расставим все 4 числа в порядке возрастания. ; 3 1. Укажите два соседних целых числа, между которыми заключено число 2√11= √2 ∙ 2 ∙ 11 =√44 62 =36; 72 =49 1) 2и 3 , 2)6 и 7 , 3) 11 и 12, 4) 45 и 46. Ответ :2. 2. Какое целое число расположено между числами √80 и √90? Ответ : 9 , так как 92 =81 Ответ: 1 = 5 √10 =√15 = 6-2∙ 3 ∙ √6 +9 = 6-6√6 +9=15-6√6 =2∙ Задание 6: Задание 4: 1)Если ах=b то Х= b : a 2) ax+с = d+bx аx – bx = d3) c(ax+b) = cax +cb где х – переменная, a,b,c– некоторые числа 4) (ax+c)(bx+d)=0 ax+c=0 или bx+d=0 x= - c/a x= - d/b 5) Квадратные уравнения . D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет) В общем случае корни уравнения равны: Задание 5: Задание 7: Формулы сокращённого умножения. 1. (a+b)2 = a2+2ab+b2 a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2 б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2 2. (a-b)2 = a2-2ab+b2 а) (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2 б) (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2 3. a2–b2 = (a–b)(a+b) a) 9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y) б) (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2 4. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 a) (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3 б) (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 5.(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 а) (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 б) (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3 6. a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2) a) 125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2) б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3 7. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4) б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3 Задание 9: S 3 3R 2 abc S 4 4R Равносторонний треугольник: В А С А В С 60 0 ; АВ ВС АС Задание 10. А В С 180 0 Задание 11 Произвольный треугольник: a, b, c- стороны произвольного треугольника α, β, γ - противоположные углы А В С 180 0 S Площадь : ah 2 Формула для нахождения длины через две стороны и угол (по теореме косинусов): a b c 2bc cos Теорема синусов, где R – это радиус описанной окружности: 2 Площадь треугольника: S a c sin 2 S p( p a)( p b)( p c) , где p abc 2 это полупериметр Нахождение площади треугольника через радиус вписанной окружности: abc это полупериметр 2 S 3 3r 2 Нахождение площади треугольника через радиус описанной окружности: S a2 3 4 Равнобедренный треугольник: А С ; АВ ВС a b c 2R sin sin sin 2 Площадь треугольника по формуле Герона S rp ; где p Площадь равностороннего треугольника Задание12: ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Задание 19. Задание 17: Задание 16.