ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет Автоматики и Вычислительной техники Кафедра Информатики и проектирования систем Отчет по лабораторным работам №3 «Оптимальность по Парето» По дисциплине «Теория принятии решений» Вариант 2 Выполнил: Студент группы 8В61 А. Г. Фадеев Проверил: преподаватель В. М. Горбунов Томск – 2010 Тема: Нахождение решений оптимальных по Парето. Лабораторная работа состоит из двух частей: Часть 1. Задания а, б и в. Найти множество всех эффективных точек (множество P) в следующих многокритериальных задачах: для этого нужно построить графики функций F1(x) и F2(x) и в D найти такую область (множество P) где критерии F1(x) и F2(x) противоречивы. а) D=[0,1.5];F1(x)=x, F2(x)=x3-3x2+2x. Множество P [ где ( 3 3 ,1.5] , 3 3 3 - точка экстремума функции F2(x)=x3 - 3x2 + 2x.). 3 б) D=[0,1]; F1(x)=ax+b(1-x), F2(x)=x(1-x), где a, b, , – положительные константы. Для случая a=b решить аналитически. При a = b значение критерия F1 изменяться не будет – следовательно задача сводится к однокритериальной. Множество Парето - 1 оптимальная точка, которая зависит от того нужно максимизировать или минимизировать критерий F2(x). Варианты заданий: a 1 2 2 1 b 2 1 1 2 1) a = 1; b = 2; = 1; = 1; D=[0,1]; F1(x)=x+2(1-x), F2(x)=x(1-x), 1 1 2 2 1 1 1 1 Множество P [0;0.5] , где ( 0.5 - точка экстремума функции F2(x)=x∙(1-x)). 2) a = 2; b = 1; = 1; = 1; D=[0,1]; F1(x)=2x+(1-x), F2(x)=x∙(1-x), Множество P [0.5, 1] , где ( 0.5 - точка экстремума функции F2(x)=x∙(1-x)). 3) a = 2; b = 1; = 2; = 1; D=[0,1]; F1(x)=2x+(1-x), F2(x)=x2(1-x), Множество P [0.67, 1] , где ( 0.67 - точка экстремума функции F2(x)=x2(1-x)). 4) a = 1; b = 2; = 2; = 1; D=[0,1]; F1(x)=x+2∙(1-x), F2(x)=x2(1-x). Множество P [0, 0.67] , где ( 0.67 - точка экстремума функции F2(x)=x2(1-x)). в) D=[0,2], F1(x)=x, 1 x; 0 x 1 , 1< x 2 0; F2(x)= где частные минимизируются. Множество P [0, 1] . критерии F1 и F2 Часть 2. В области D заданы два критерия, которые нужно минимизировать. Построить область Р D и компромиссную кривую (КК). а) аналитически F1 x12 ( x2 1) 2 0.5 x1 1 D 0.5 x2 1 F2 ( x1 0.5) 2 x2 2 . 1. Находим минимумы функций F1 и F2 . Абсолютные минимумы находятся в точках (0;0) и (-0.5;0) и принадлежат области D. 2. Находим частные производные 3. Решим систему уравнений: F1 F 2 ; x1 x1 x1 ( x1 0.5) x2 1 x2 F1 F 2 x2 x2 4. Получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве x1 0 .5 1 ; x2 1 1 5. Получим уравнение кривой в декартовых прямоугольных координатах. Для этого решим уравнения относительно параметра 0.5 x1 1 x2 ; x1 1 x2 Так как 0 0.5 x1 0 x 1 , 1 . 1 x2 0 x2 6. Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид 0.5 1 1 , F1()= 1 1 2 2 0.5 1 1 0.5 . 0.5 1 2 F2()= 2 7. Получим уравнение паретовской кривой в области D и пространстве критериев x1 (t ) t 1 ; x2 (t ) t 0.5 t 1 График паретовской кривой в области D x1( t) 0.5t t1 x2( t) 1 t 00.01 1000 t1 1 0.6 0.2 x2( t ) 1 0.6 0.2 0.2 0.2 0.6 1 0.6 1 x1( t ) График компромиссной кривой в пространстве критериев: б) численно: