1 Понятие о температурном поле Аналитическое исследование

1
ПОНЯТИЕ О ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
Аналитическое
исследование
пространственно-временного
теплопроводности
изменения
так
сводится
называемого
[1]
к
изучению
температурного
поля,
характерного для рассматриваемого процесса,
T  f x, y, z,  ,
(1.1)
где Т – температура; x, y, z – пространственные координаты в декартовой системе;  –
время; f – обозначение функции, определяющей зависимость температуры Т от координат
x, y, z и времени .
Различают стационарное и нестационарное температурное поле.
Выражение (1.1) представляет собой математическую запись нестационарного
температурного поля [1], зависящего не только от пространственных координат x, y, z, но
и от времени .
Стационарным температурным полем называется такое поле [1]
T  F x, y, z  ,
T
0,

(1.2)
значение которого в любой его точке не изменяется во времени, т.е. является функцией
только пространственных координат x, y, z.
Температурные поля (1.1) и (1.2) являются трехмерными, так как являются
функциями
трех
координат.
Если
температура
есть
функция
только
двух
пространственных координат x, y
T  f 2 x, y,  ;
(1.1а)
T  F2 x, y  ,
(1.2а)
то температурные поля (1.1а), (1.2а) называют двухмерными. Если же температуры
представляют собой функции одной пространственной координаты х
T  f1 x,  ;
(1.1b)
T  F1 x  ,
(1.2b)
2
то соответствующие температурные поля (1.1b), (1.2b) называются одномерными [1].
Примером одномерных температурных полей могут служить:
поле неограниченной пластины, ширина и длина которой очень велики по

сравнению с ее толщиной;
поле неограниченного цилиндра, длина которого очень велика по сравнению с его

диаметром (радиусом);
поле шара.

Принимая во внимание, что температура является скалярной величиной, можно
утверждать, что температурное поле является скалярным полем.
Если точки поля, имеющие одинаковые температуры, соединить, то получится
изотермическая поверхность (рис. 1.1). Пересечение изотермической поверхности
плоскостью дает на этой поверхности изотерму (линию, соответствующую одинаковой
температуре).
Вдоль изотермической поверхности температура не изменяется. Наибольшее
изменение температуры на единицу длины происходит в направлении нормали n к
изотермической
поверхности
и
характеризуется
градиентом
температуры,
представляющим собой вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности
в сторону возрастания температуры
 
 T
grad T  1n
n
,

где ( 1n ) – единичный вектор, направленный по нормали в сторону возрастания
температуры;
T
n
–
производная
температура
по
направлению
нормали
n
к
изотермической поверхности.
Градиент температуры grad T часто обозначают также символом Т. Составляющие
градиента температуры по осям декартовой системы координат равны соответствующим
частным производным
grad T  T  1x
T
T
T
 1y
 1z
,
x
y
z
(1.3)
3
где 1x, 1y, 1z – ортогональные между собой векторы единичной длины, направленные
вдоль осей x, y, z соответственно;
T T T
,
,
– частные производные температуры T (x, y,
x y z
z, ) по координатам x, y, z.
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ
Количество тепла Q, проходящее в единицу времени  через единицу площади S
изотермической
поверхности,
называется
плотностью
теплового
потока
и
q
определяется соотношением [1]
 
 dQ 1

q   1n
d S
,
(1.4)
где  1n  – единичный вектор, направленный по нормали к поверхности S в сторону

уменьшения температуры;
dQ
d

– количество тепла, проходящего в единицу времени; q –

вектор теплового потока. Следовательно, вектор q называется вектором теплового потока,
направление которого противоположно градиенту температуры grad T   T . Оба вектора

q и grad T направлены по нормали к изотермической поверхности, но в противоположные
стороны (см. рис. 1.1).

Линии, касательные к которым совпадают с направлениями векторов q , называются
линиями теплового тока. Линии теплового тока перпендикулярны к изотермическим
поверхностям в точках пересечения с ними. Касательная к линиям теплового тока, взятая
в обратном направлении, указывает направление градиента температуры [1].
Основной закон теплопроводности, часто называемый законом Фурье, может быть
записан в виде
 
 T

q   grad T  T    1n
n
где

–
коэффициент
теплопроводности.
пропорциональности,
,
называемый
(1.5)
коэффициентом
4
Таким образом, вектор плотности теплового потока прямо пропорционален градиенту
температуры, но направлен в противоположную сторону (от точек тела, имеющих более
высокую температуру, к точкам с меньшей температурой).
Вектор теплового потока, с учетом выражения (1.3), может быть представлен в виде


T
T
T 
q  1x qx  1y q y  1z qz    1x 
  1y
  1z   ,

x

y
z 

 
(1.6)
причем, его проекции на оси координат x, y, z соответственно равны
В
случае
q x  
T
x
q y  
T
;
y
q z  
T
z
стационарного
;
.
одномерного
температурного
поля


T T T
 при


 0  закон теплопроводности Фурье имеет наиболее простую запись
 y z


q  
dT
dx
.
(1.7)
Принимая во внимание, что
dT T T2  T1


;
dx x x2  x1
q
Q
,
S
закон Фурье (1.7) можно представить в виде
Q
T T
  2 1 ,
S
x2  x1
т.е. коэффициент теплопроводности  равен количеству тепла Q [Дж], протекающему в
единицу времени  [с] через изотермическую поверхность площадью S [м2] при перепаде
температуры (Т2 – Т1) = 1 К на одну единицу длины (х2 – х1) = 1 м нормали.
Основной закон теплопроводности (1.5) можно представить в несколько ином виде:
5


q   grad cT   a grad h ,
c
где
h  cT
[Дж/м3]
–
объемная
(1.8)
энтальпия
несжимаемого
 [кг/м3] – плотность; с [Дж/кг  К] – удельная теплоемкость; a 
вещества;

[м2/с] – коэффициент
c
температуропроводности.

Согласно выражению (1.8) плотность теплового потока q пропорциональна градиенту
объемной энтальпии h (объемной концентрации тепловой энергии, имеющей размерность
[Дж/м3]).
Коэффициент
пропорциональности
a

c
получил
в
русском
языке
наименование «коэффициент температуропроводности», а в английском языке называется
«thermal diffusivity», т.е. коэффициент диффузии тепла.
В
случае
одномерного
стационарного
переноса
тепла
основной
закон
теплопроводности приобретает вид
q  a
Учитывая, что
dh
.
dx
(1.9)
dh h2  h1
Q

, q  , выражение (1.9) можно представить
S
dx x2  x1
Q
h h
 a 2 1 ,
S
x2  x1

 Дж
т.е. коэффициент температуропроводности a  2
м с

Дж 
2
м3   а  м  равен количеству тепла Q
 
м 
 с 

[Дж], протекающему через изометрическую поверхность площадью S = 1 м2 в единицу
времени  = 1 c при перепаде объемной энтальпии h (объемной концентрации тепловой
энергии) в h2 – h1 =1 Дж/м3 на единицу длины (х2 – х1) = 1 м нормали.
СТАЦИОНАРНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Физический параметр, называемый теплопроводностью , характеризует способность
вещества проводить тепло. Теплопроводность вводится в теории теплофизических
исследований как коэффициент, входящий в рассмотренный выше закон Фурье
q  λ grad T
и приобретающий наиболее простой вид для одномерного теплопереноса:
q  λ
T
,
x
6
где q 
Q
S
- количество тепла Q [Дж], прошедшее через единицу площади S [м2]
изотермической поверхности в единицу времени  [с]; grad T  1x
T
T
T
 1y
 1z
x
y
z
градиент температуры в направлении нормали к изотермической поверхности.
Для случая переноса тепла только вдоль одной оси координат, например x, градиент
температуры определяется проще: grad T  1x
наиболее простой форме q  λ
T
, а закон Фурье представляется в
x
T
.
x
ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УСТРОЙСТВА ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА
Положим, имеем (см. рис. 4.1) однородную плоскую неограниченную пластину
(стенку) толщиной Н из материала, теплопроводность λ которого надо измерить.
Т
Т1
Т(х)
q
Т2
0
Н
x
Рис. 4.1 Схематическое представление физической модели измерительного
устройства
Если в эксперименте создать условия, когда через эту пластину будет проходить
неизменный во времени и равномерно распределенный тепловой поток q, условно
показанный стрелками на рис. 4.1, то после достижения стационарного режима в этой
пластине установится линейное распределение температуры, а на поверхностях пластины
можно измерить два значения температур Т1 и Т2.
Постараемся найти ответ на вопрос – каким образом по измеренным значениям
физических величин q, T1, T2, H можно определить искомое значение теплопроводности λ.
7
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕТОДА И УСТРОЙСТВА
Принимая во внимание, что на двух поверхностях пластины нам известны два
измеренных значения температур:
при х = 0
Т(0) = Т1,
при х = Н
Т(Н) = Т2,
а, кроме того, при х = 0 измерен тепловой поток q  
T (0)
x
, математическая модель
температурного поля образца для рассматриваемого метода и устройства может быть
записана в виде:
c
T ( x, )   T ( x, ) 


;

x 
x 
(4.1)
 > 0, 0 < x < H ;
(4.2)
T(x, 0) = Тн (х);
(4.3)
Т(0, ) = Т1 = const;
(4.4)
T(H, ) = T2 = const
(4.5)
T (0, )
 q  const .
x
(4.6)
с дополнительным условием

Задача (4.1) – (4.6) представляет собой пример нестационарной обратной (инверсной)
краевой
задачи
теплопроводности
относительно
неизвестного
коэффициента
теплопроводности λ. По истечении большого промежутка времени в исследуемой пластине
устанавливается стационарный режим переноса теплоты, когда распределение температуры
Т(х) в стационарном режиме может быть получено из решения краевой задачи
теплопроводности (4.1) – (4.5) при   . Причем при   
8
T ( x, )
 0,


lim
температура Т(х, ) = Т(х) перестает зависеть от времени, а начальное условие (4.3)
совершенно не сказывается на стационарном распределении температуры в используемой
пластине.
С учетом сказанного выше, краевая задача (4.1) – (4.5) для стационарного процесса
переноса тепла примет вид:
d  dT ( x) 

0;
dx 
dx 
0 < x < H;
(4.1а)
(4.2а)
T(0) = T1 = const;
(4.4а)
T(H) = T2 = const
(4.5а)
dT (0)
 q  const.
dx
(4.6а)
с дополнительным условием

Задача (4.1а), (4.2а), (4.4а) – (4.6а), представляет собой пример обратной (инверсной)
стационарной задачи теплопроводности относительно неизвестного пока параметра –
искомой теплопроводности λ.
Проинтегрируем уравнение (4.1а), взяв неопределенный интеграл от его левой и
правой частей
d  dT ( x) 
dx   0dx,
dx 
 dx 
или

Сравнивая (4.7) с (4.6а), получаем
dT ( x)
 C  const.
dx
(4.7)
9
С = –q.
Тогда уравнение (4.7) приобретает вид

dT ( x)
 q ,
dx
или
dT ( x)
q
 .
dx

Проинтегрируем
последние
выражения
в
пределах
от
х=0
до
х = Н. В результате получаем
H
H
dT ( x)
q
dx  
dx,
dx
0
0


q H
x ,
 0
q
T ( H )  T (0)   ( H  0),

H
T ( x) 0  
откуда следует основное расчетное соотношение рассматриваемого стационарного метода
плоского слоя

qH
,
T ( H )  T (0)
которое, с учетом приведенных на рис. 4.1 обозначений
Т(Н) = Т2,
Т(0) = Т1,
приобретает вид

qH
.
Т1  T2
(4.8)
10
ПОРЯДОК ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Из изложенного выше вытекает следующий примерный порядок осуществления
эксперимента при измерении теплопроводности λ стационарным методом.
1 Из исследуемого материала изготавливают образец (или несколько образцов) в
виде пластины необходимой формы, например, в виде диска или пластины квадратной
формы с размерами (см. рис. 4.2), позволяющими разместить их в измерительной ячейке
прибора.
Н
Н
l
l
d
Рис. 4.2 Примерные формы образцов из твердых материалов:
а – в виде диска; б – в виде пластины квадратной формы
2 С использованием микрометра (в крайнем случае, штангенциркулем) многократно
измеряют значение толщины Н пластины в нескольких местах поверхности и находят
среднее значение этой толщины:
Н
Н1  Н 2  ...  Н n
n
.
3 Образец (или несколько образцов) помещают в измерительную ячейку и начинают
подводить постоянный во времени тепловой поток q к этому образцу (образцам).
4 Через определенные промежутки времени контролируют значения температур Т1,
Т2 на внешних поверхностях (см. рис. 4.1) исследуемого образца.
5 После достижения стационарного распределения температуры в исследуемом
образце, когда
Т1 = const,
11
Т2 = const,
q = const,
измеряют значение теплового потока q и значение температур Т1, Т2.
6 Исследуемую теплопроводность λ рассчитывают по формуле (4.8) по измеренным
значениям Н, q, T1 и T2.
Результат измерения теплопроводности λ относят к средней температуре
Тср = (Т1 + Т2)/2.