Статистические закономерности в природе Файл
advertisement
Статистические закономерности в природе Физические закономерности, которые возникают в больших коллективах однородных объектов, например, атомов или молекул, называются статистическими. О таких закономерностях и пойдёт речь в данной главе. Принципы статистической физики (механики) Статистическая механика опирается на представления об атомном или молекулярном строении вещества. Она отвечает на вопросы – какие физические законы объясняют поведение больших ансамблей частиц, например, газа. (Само слово «газ» означает «хаос»). Описание макроскопических тел как систем, состоящих из колоссального количества частиц, с помощью методов классической механики невозможно и требует вероятностного подхода. Например, в газах отдельные частицы испытывают со стороны окружающих частиц беспорядочные воздействия, и выделенная частица проходит через все свои возможные состояния. Единственное, что можно определить в этой ситуации для нее - это вероятности пребывания в каждом из возможных состояний. Рассмотрим некоторые принципы, положенные в основу статистической физики, ограничиваясь при этом простыми математическими моделями. Найдём, например, закон, по которому происходит изменение атмосферы Земли по мере подъёма вверх, но сделав при этом одно существенное упрощение, предполагая, что температура на всех высотах одинакова. Из статистической механики известно уравнение, описывающее поведение такой (идеализированной) атмосферы dn mq n , где n – число молекул в единичном объеме, dh KT h – высота, m и Т – масса и температура частиц, q – ускорение силы тяжести, К – постоянная Больцмана ( K 1.38 10 16 эрг - характеризует увеличение средней молек.град кинетической энергии частицы при повышении температуры на 1ºК). Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка говорит нам о том, как изменяется плотность атмосферы n с увеличением высоты h. Решение этого mqh дифференциального уравнение имеет следующий простой вид n no exp . KT Здесь no – это плотность атмосферы на высоте h = 0. (Другими словами, no – это постоянная интегрирования). Из приведенного решения видно, что с высотой плотность атмосферы убывает по экспоненте (экспоненциально). Заметим, что если имеется несколько сортов молекул с разными массами, то их поведение будет таким. Число более тяжелых молекул убывает с высотой быстрее, чем число легких частиц. Поэтому, можно ожидать, например, что, так как кислород тяжелее азота, то по мере подъема вверх содержание азота в атмосфере будет возрастать, а кислорода убывать. Отметим тот факт, что числитель показателя экспоненты в решении (mqh) – это потенциальная энергия молекул в однородном гравитационном поле, что справедливо лишь до высот ~ 100-200 км, поэтому, обозначая mqh = U, последнее соотношение можно U записать так n no exp . KT Эта формула называется распределением Больцмана и играет большую роль в статистической физике. Таким образом, мы познакомились с распределением частиц по высоте, ну, а как они могут быть распределены по скоростям? Этот вопрос мы и рассмотрим, так как интересно, а часто и полезно знать, какая часть частиц движется с той или иной скоростью. Для простоты, найдем, например, f (Vx), то есть распределение скоростей частиц вдоль оси координат х. Здесь нам понадобиться помощь теории вероятностей. Начнем с простого примера. Пусть из ста студентов некоторого гуманитарного факультета 10 имеют рост от 160 см. до 165 см., 25 – от 165 до 170, 35 – от 170 до 175, 15 – от 175 до 180, 10 – от 180 до 185 и остальные 5 – от 185 до 190. Это перечисление удобно изобразить в виде простого графика, рисуя вертикальные прямоугольники, высота которых пропорциональна числу людей данного роста, а по оси x откладывая соответствующий рост, начиная со 160 см., затем 165, затем 170 и включительно. Такой график, состоящий из совокупности так до 190 см., прямоугольников, примыкающих друг к другу, называется гистограммой. (Попробуйте построить его самостоятельно). С помощью этого графика можно, например, определить, какова вероятность того, что рост наудачу выбранного студента (студентки) будет заключен между 175 и 180 см.? Эта вероятность равна 15/100 = 0.15. (Вспомните формулу подсчета вероятностей, приведенную в разделе 7.2). Допуская, однако, что некоторая изучаемая величина может задаваться сколь угодно точно, для весьма большого коллектива законно перейти от гистограммы к плавной кривой распределения. Такая формула, описывающая распределение частиц газа по скоростям (распределение Максвелла) хорошо известна и мы приведем ее аналитическое выражение f (Vx ) m mVx2 exp( ), 2kT 2 KT где m, Vx и Т – масса, скорость и температура частицы, K – постоянная Больцмана. Эта формула справедлива тогда, когда, например, газ находится в неизменных внешних условиях. Приведенная формула и соответствует переходу от гистограммы к плавной кривой, которая имеет один и тот же вид, и при описании роста студентов, и при описании распределения частиц по скоростям. Распределение Максвелла находит широкое применение не только в теории, но и в прикладных задачах. Например, когда ракета или спутник движется в разреженном газе, сопротивление движению обязано ударам отдельных молекул о поверхность этих аппаратов. Для того, чтобы точно рассчитать противодействие среды движению тел в таких условиях необходимо использовать закон распределения Максвелла. Легко понять, как это существенно для расчета траекторий движения ракет и искусственных спутников. На этом наше краткое знакомство с физической статистикой мы заканчиваем, не касаясь более сложных ее проблем и вопросов. Законы термодинамики Создание термодинамики – одно из величайших достижений человечества в 19 веке, наряду с созданием учения об электричестве. Мы попытаемся очень кратко рассказать об этой науке в весьма доступной форме. Если какое-нибудь тело сжать, то оно нагреется. Если тело нагревать, оно начнет расширяться. Связь между этими явлениями можно понять, не изучая строения тела. Занимающаяся такими вопросами наука называется термодинамикой. В ее основе лежит статистическая физика. Термодинамика возникла как наука о превращениях теплоты и работы друг в друга, как наука о тепловых процессах. На возможность этих превращений существенным образом влияет температура. Термин «термодинамика» происходит от двух греческих слов: terme – теплота и dynamics – здесь, в смысле - работа. Совершить работу – это, значит преодолеть давление газа, жидкости, твердого тела, плазмы, то есть любая работа связана с преодолением сопротивления. Люди давно познакомились с огнем и научились сами получать тепло. Каждый грелся около батареи отопления или печки и мерз зимой в стужу. Казалось бы, что может быть привычнее и понятнее, чем знакомая всем теплота, но дать ее научное определение непросто. При нагревании системы ее температура повышается – значит, система что-то получает, а охлаждаясь – отдает. Это что-то и было названо теплотой. Начиная с английского философа Бэкона (1561-1626 г.г.), который обратил внимание на то, что под сильными ударами молота холодный кусок железа становится горячим, принято считать, что теплота – это внутреннее движение частиц тела. В свою очередь, температура определяется скоростью движения частиц в теле. (Напомним, что mV 2 KT ). 2 2 Все результаты термодинамики содержатся в нескольких простых утверждениях, называемых законами термодинамики. Сначала сформулируем первый закон, закон сохранения энергии: если нам дана система, и мы подводим к ней тепло и производим над ней какую-то работу, то приращение энергии системы равно подведенному теплу Q и затраченной работе А. Величины , Q и А связаны следующим соотношением = Q + А. Существуют и другие формулировки первого закона термодинамики, в частности, например, такая – энергия Вселенной всегда постоянна. Приведем одну из формулировок второго закона термодинамики – нельзя осуществить процесс, единственным результатом которого является совершение работы, эквивалентной количеству теплоты, полученному от нагревателя. Кроме этих двух законов есть еще один – третий, но о нем мы поговорим в разделе 8.3, посвященном особой физической величине, энтропии, которой принадлежит фундаментальная роль, пожалуй, не только в термодинамике, но и во всем естествознании. Энтропия В середине 19 века немецкий физик Клаузиус (1821г. – 1888г.), занимавшийся термодинамикой ввел термин энтропия для обозначения величины, характеризующей тепловое состояние тел. В переводе с греческого «энтропия» означает «круговорот», «взаимный переход». Обычно энтропию обозначают буквой S. Первоначально энтропия была введена как величина, удобная для расчетов паровых машин и определялась на основе следующей формулы S Q , T то есть приращение энтропии есть отношение количества тепла Q переданного системе при температуре Т. Изменение энтропии определяется теплом, полученным из внешнего мира. Энтропия – сложная характеристика. Ясную интерпретацию ей впервые дал Больцман на основе статистической механики, рассматривая газ, как ансамбль огромного числа беспорядочно движущихся молекул. Равновесное состояние ансамбля достигается в результате бесчисленных столкновений молекул газа. Если обозначить W – число состояний беспорядочного микроскопического движения молекул, то в рамках статистической физики энтропия определяется формулой S=K ln W, где K – постоянная Больцмана. То обстоятельство, что энтропия выражается через ln W, приводит к аддитивности этой величины. Число состояний в смеси двух газов определяется произведением W1·W2. После логарифмирования получится, что энтропия смеси есть S = S1 + S2. Так же, как и энергия, энтропия это понятие, без которого невозможно обойтись в современном естествознании, в технике, теории информации, синергетике и в других областях знаний. Особенность энергии состоит в том, что при физических изменениях она всегда сохраняется. Если кажется, что закон сохранения энергии нарушен, то это значит, что не учтен какой-либо фактор. Энтропия характеризует степень нарушения упорядоченности рассматриваемой системы. Чем более упорядочена физическая система, тем меньше её энтропия. Живые существа, взаимодействуя с окружающей средой, непрерывно понижают свою энтропию. Можно сказать, что это является условием жизни. Полная упорядоченность частиц в системе (например, в кристаллах) соответствует минимуму энтропии, а полный беспорядок – максимуму. Например, энтропия водяного пара больше, чем энтропия воды; в свою очередь энтропия воды больше, чем энтропия льда. Понятие энтропии используется при формулировке законов термодинамики, в частности, третьего закона, который формулируют иногда так: энтропия системы стремится к нулю при температуре Т стремящейся к нулю (то есть при Т0). Есть и другие формулировки этого закона, так же как и других законов термодинамики. В частности, второй закон термодинамики иногда формулируют так: Энтропия Вселенной всегда возрастает. Другими словами, Вселенная с течением времени переходит от «порядка» к «беспорядку», поэтому энтропия всегда растет и это задает направление времени. Система, которая обменивается с внешним миром энергией, а не веществом называется замкнутой в отличие от открытой, которая обменивается с внешним миром, как веществом, так и энергией. Во всех замкнутых системах энтропия никогда не убывает, она либо остаётся постоянной, либо возрастает, то есть dS 0 . Термодинамику в отличие от механики dt иногда называют физикой «возникающего». Энтропия задаёт «стрелу времени», так как устанавливает различие между прошлым и будущим. Более «старым» можно считать то из двух состояний физической системы, которому соответствует большее значение энтропии. Таким образом, из фундаментальной концепции термодинамики – закона возрастания энтропии вытекает существование «стрелы времени». В техногенной деятельности человека всегда таится некоторая опасность. Искусственно уменьшая энтропию в какой-либо области природных явлений, человек неизбежно способствует её возрастанию в другой области. А это может привести (да, собственно и приводит) к серьезным экологическим катастрофам. 2.7. Пространство и время Принцип относительности Впервые этот принцип был установлен Галилеем, а окончательную формулировку его дал Ньютон. Известно, что положение движущегося тела в каждый момент времени определяется по отношению к некоторому другому телу, которое называется системой отсчета. С этим телом связана соответствующая система координат. Среди большого числа систем отсчета особое место занимают инерциальные системы, то есть такие, которые находятся относительно друг друга либо в состоянии покоя, либо в состоянии равномерного прямолинейного движения. Особая роль инерциальных систем заключается в том, что для них выполняется принцип относительности. Принцип относительности утверждает, что все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах. В 1881 г. Майкельсон и Морли провели эксперимент, в котором измерялась скорость распространения света от земного источника в двух противоположных направлениях: в сторону движения Земли и в обратную сторону. В рамках классической механики ожидалось, что скорость света будет различной в этих двух направлениях. Однако, эксперимент показал, что скорость света не зависит от направления его распространения и равна 300 000 км/сек. Эти результаты послужили основой для создания специальной теории относительности. Специальная теория относительности Глубокий анализ экспериментального и теоретического материала, имевшегося к началу 20 века, привел А. Эйнштейна к пересмотру представлений о пространстве и времени и созданию им в 1905 г. специальной теории относительности. Эйнштейн один из первых обратил внимание на то, что представления классической механики возникли в результате изучения движений тел с малыми скоростями (по сравнению, например, со скоростью света), поэтому их экстраполяция в область больших скоростей незаконна. Исходные постулаты Эйнштейна, положенные в основу этой теории – это принцип относительности и независимость скорости света от скорости источника. Из постулатов Эйнштейна следует, что скорость света в пустоте является предельной; никакой сигнал, никакие воздействия одного тела на другое не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света (с = 300 000 км/сек.). Рассмотрим некоторые следствия из специальной теории относительности (СТО). 1. «Эйнштейновские близнецы». Один из братьев улетает с околосветовой скоростью в космическое путешествие. Пробыв в пути два года, он возвращается на Землю. Его встречает брат-двойняшка, постаревший на 20 лет. И оба брата не удивляются этому факту, так как ход времени на ракете замедлился в 10 раз из-за ее громадной скорости по отношению к Земле (являющейся, в данном случае, системой отсчета). Итак, замедление времени на ракете оставило столь глубокий след, что братья превратились в людей разного возраста. Причиной этого является глубокое различие между пространством и временем. В пространстве есть направление «туда – обратно», а во времени лишь одно направление «туда». Обратимость в пространстве возможна, в принципе всегда можно вернуться в исходную точку пространства. Обратимость во времени невозможна (нельзя, например, помолодеть). Возвращение одного из братьев состоялось только в пространстве, а во времени, это была уже другая Земля и на ней навсегда ушли 20 земных лет. 2. Что будет, если ракете сообщить скорость равную с (скорости света)? Специальная теория а) Длина ракеты l l0 относительности дает ответ на этот вопрос. l стала бы равной нулю, что видно из следующей формулы v2 1 2 , где l0 – длина ракеты на Земле. Действительно, при v c, l0. c б) Течение времени на ракете прекратилось бы. Действительно, собственное время, то есть время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с ракетой, согласно специальной теории относительности, есть t=t0 1 v2 . c2 В пределе, при v c, t 0 и время на ракете меняться не будет. m0 в) Масса ракеты стала бы бесконечной. m v2 1 2 c . Из этой формулы видно, что при v c, m ∞. 3. СТО установила новую связь между энергией тела и его массой m в виде знаменитого соотношения =mc2 Отсюда видно, что масса – это энергия тела, а энергия имеет массу. Заметим, что все формулы СТО подтверждены экспериментально. Например, электрон, разогнанный в синхротроне Калифорнийского Технологического института (США) имеет массу в 2000 раз больше его обычной массы, то есть фактически достигает массы протона, а его скорость при этом вплотную приближается к скорости света. В обычных условиях изменения в энергии приводят к очень малым изменениям в массе, но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20 000 тонн тринитротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, оказался на 1 г. легче первоначального количества расщепляющегося материала, что блестяще подтвердило вывод об эквивалентности массы и энергии ( = mc2) СТО была первой физической теорией, которая радикально изменила взгляды ученых (да, пожалуй, и всех людей) на пространство, время и движение. Если раньше, до СТО, пространство и время рассматривались обособленно от движения материальных тел, а само движение независимо от систем отсчета, то теперь это не так. Концепция относительности, лежащая в фундаменте СТО стала основной в современном естествознании, в философии и в целом ряде других наук. Все в этом мире относительно! Общая теория относительности Современная теория гравитации, которая иначе называется общей теорией относительности (ОТО), была создана А. Эйнштейном в 1915 г. В рамках данного курса мы попытаемся, в основном, показать лишь основные концепции, которые служат фундаментом ОТО и некоторые следствия, вытекающие из этой теории. Исходная идея Эйнштейна внешне была проста – построить физику, справедливую для любых систем отсчета и которая давала бы простую физическую картину окружающего нас мира. Механика Ньютона, как известно, формулируется в виде трех законов. В их число не входит закон о характере взаимодействия между телами. Закон тяготения Ньютона содержит произведение масс гравитирующих тел. Но, грубо говоря, масса в нем взята совсем «из другой оперы». Она определяется вторым законом Ньютона через ускорение тела, к которому приложена сила любой природы (упругая, электрическая и другие) и она, вовсе не обязана быть гравитационной. У Эйнштейна, в ОТО, нет отдельных законов движения и закона гравитационного взаимодействия; все объединено в одном уравнении. Исходя из второго закона Ньютона и уравнения движения тел, в однородном гравитационном поле можно записать mi a = mg g, где а – обычное ускорение; g – ускорение свободного падения; mi – инертная масса (сила F = mi a), mg – «тяжелая» масса (F = mg g). В однородном, гравитационном поле а = g, поэтому имеем mi = mg. Равенство инертной и тяжелой масс – это один из важных результатов ОТО. В основу ОТО положен принцип эквивалентности, то есть положение о том, что всякая неинерциальная система отсчета (например, вращающаяся), равноценна инерциальной системе (о ней смотри, раздел 10.1) при наличии в ней некоторого поля тяготения. Традиционно принцип эквивалентности объясняют на основе следующего примера, напоминающего современные триллеры. Если лифт начинает свободно падать (например, оборвался трос, на котором он висел), то люди, находящиеся в лифте оказываются в состоянии невесомости. Но, если кто-то будет наблюдать за происходящим вне лифта, находясь, например, на лестничной площадке, то он обнаружит, что там, по-прежнему действует сила тяжести так, как будто-бы лифт рядом и не падал. Следовательно, действие силы тяжести локально всегда можно полностью исключить, но, только в ограниченной, небольшой области пространства. Утверждение об этом и называют принципом эквивалентности. Эйнштейн использовал в ОТО уже не евклидову геометрию (как в СТО), а риманову. Риман рассматривал свойства пространств, искривленных подобно поверхности сферы. В евклидовой геометрии через точку вне прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. В римановой геометрии число таких прямых может быть любым. Из гравитационных уравнений Эйнштейна были сделаны выводы, не содержащиеся в законе тяготения Ньютона. В частности, из ОТО следует, что световой луч отклоняется от прямолинейного распространения в поле тяготения. Причем, чем сильнее гравитационное поле, тем сильнее будет отклоняться луч света, проходя вблизи тел, создающих это гравитационное поле. Искривление светового луча в поле тяготения говорит о том, что скорость света в таком поле не может быть постоянной, а немного, но меняется от одной точки к другой. Впервые экспериментальные измерения искривления световых лучей были сделаны во время полного солнечного затмения еще в 1919 г. и они подтвердили предсказания ОТО. Другое следствие ОТО – это смещение перигелия Меркурия (то есть точки орбиты планеты, ближайшей к Солнцу) под действием его поля тяготения. Третий эффект – это изменение частоты света при его распространении в гравитационных полях. При удалении от тел, создающих гравитационное поле частота будет уменьшаться, а при приближении к ним – увеличиваться. Вместе с ОТО родилось и представление о гравитационных волнах в вакууме, аналогичных электромагнитным. Гравитационные волны должны испускаться любыми массами, например, двойными звездами. Поиск этих волн идет и есть надежда на то, что эти волны со временем будут одним из каналов новой информации о космосе.
