X(n)

1. Решить методом простых итераций уравнение вида x  f (x) . Очередное
приближение корня находится по формуле xn  f ( xn 1 ) ; начальное
приближение x 0 задается произвольно. Метод сходится, если f ' ( x)  1.
2. Найти решение уравнения xn  f ( xn 1 ) методом Эйткина-Стеффенсона, в
котором от заданного начального x 0 три очередных приближения
xn xn  2  xn21
находятся по формулам: xn 1  f ( xn ); xn  2  f ( xn 1 ); xn3 
.
xn  2 xn 1  xn  2
Процесс продолжается до достижения одного из условий : xn3  xn 2  
или xn  2 xn1  xn 2  0 .
3. Решить уравнение вида f ( x)  0 методом деления отрезка пополам
(метод дихотомии). На каждой итерации отрезок a, b делится пополам и
выбирается та из половин, на концах которой функция f (x) имеет
значения разных знаков.
4. Найти решение уравнения вида f ( x)  0 на заданном участке a  x  b
методом хорд, в котором очередное приближение находится по формуле:
xn  xn1
xn1  xn 
f ( xn ) .
f ( xn )  f ( xn1 )
b
5. Вычислить
определенный
I   f ( x)x
интеграл
методом
a
ba
( y0  y1  ...  y n1 ) , где nn
количество отрезков разбиения; y0  y1  ...  y n 1 - значения функции на
концах отрезков. Оценить погрешность вычисления с помощью двойного
прямоугольников
просчета R 
по
формуле:
I
| In - In/2 |
, где In , In/2 – соответственно значения интеграла при
3
числе разбиений n и n/2.
b
6. Вычислить определенный интеграл
I   f ( x)x методом трапеций по
a
ba
( y0  2 y1  ...  2 y n1  y n ) , где n- количество отрезков
2n
разбиения; y0  y1  ...  y n - значения функции на концах отрезков.
Оценить погрешность вычисления с помощью двойного просчета R 
формуле: I 
| In - In/2 |
, где In , In/2 – соответственно значения интеграла при числе
3
разбиений n и n/2.
b
7. Вычислить определенный интеграл I   f ( x)x по формуле Симпсона:
a
ba
( y0  4 y1  2 y 2  ...  4 y 2 n1  y 2 n ) , где 2n- количество отрезков
6n
разбиения; y0  y1  ...  y 2 n - значения функции на концах отрезков.
Оценить погрешность вычисления с помощью двойного просчета R 
| I 4n - I 2n |
, где I2n , I4n – соответственно значения интеграла при числе
3
I
разбиений 4n и 2n.
8. Найти приближенное решение обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка y ''  f ( x, y, y ' ) с заданными начальными
условиями y (a )  y 0 и y ' (0)  p0 методом Эйлера на отрезке a, b с
постоянным шагом h. Значения функции y (x) и ее производной p( x)  y '
в
узловых
точках
вычисляются
по
формулам:
yi 1  yi  hpi ; pi 1  pi  hf ( xi , yi , pi ); i  1,2,...
9. Функция y  f (x) задана таблично в массиве Y(n) при соответствующих
значениях аргумента, хранящихся в неупорядоченном массиве X(n), не
содержащем одинаковых значений. Используя формулу линейной
x  xi 1
интерполяции: y  yi 1 
( yi  yi 1 ), i  2,3,...,n , построить таблицу
xi  xi 1
значений функции на отрезке, содержащем все заданные значения
аргумента, с постоянным шагом h. Можно упорядочить пару массивов
<Y(n), X(n)> по возрастанию x.
10.Значения функции y  f (x) заданы таблично в массиве Y(n) при
соответствующих значениях аргумента, хранящихся в неупорядоченном
массиве X(n). Найти значение функции в произвольной точке x по
n
n
x  xi
формуле Лагранжа: y  Ln ( x)   yi 
(задача интерполяции).
i 1
j 1 xi  x j
j i