Основы техники вычислений

Л.Н. Годяцкая,
Преподаватель Лангепасского
профессионального колледжа
Тюменская область
Основы техники вычислений
Пособие
предназначено
для
по специальности 100701.01
учащихся
1-2
курсов,
обучающихся
«Продавец, контролер - кассир», 180114
«Экономика и бухгалтерский учет». Позволяет учащимся самостоятельно
организовать свою работу при изучении темы: «Торговые вычисления».
Виды и методы вычислений
Вычислением называется действие или ряд приемов, направленных на
получение какого-то нового числа путем выполнения одной или нескольких
операций над уже известными числами. Совокупность операций по
выполнению вычислений в конкретных организационных условиях с
применением определенных методов и средств образует вычислительный
процесс. Состав и характер таких операций могут быть различными. Однако
в общем случае вычислительный процесс состоит из арифметических
(сложение, вычитание, умножение, деление) и логических операций
(сравнение,
группировка,
накопление),выполняемых
в
строгой
последовательности согласно правилам вычислений и характеру решаемой
задачи.
Для
осуществления
вычислительного
процесса
могут
быть
применены различные методы и средства: сокращенные и приближенные
вычисления, метод средних величин, пропорциональное деление, а также
вычисления с использованием таблиц, номограмм, машин с ручной
установкой исходных данных и автоматическим вводом - выводом
информации. Используемая при этом совокупность методов и технических
средств для выполнения вычислительных операций называется техникой
вычислений в широком смысле. Целью любого вычислительного процесса
является получение нового числа - результата вычислений. Однако для
вычисления
нового
числа нужно
располагать
исходными
числами
(данными),
которые
подвергаются
преобразованиям
посредством
определенных действий и знаковых обозначений. Вычислительный процесс
может выполняться устно (устный счет) или с фиксацией чисел посредством
различных материалов и прежде всего на бумаге. Человеком
созданы
различные виды вычислительной техники. Одни из них облегчают труд
вычислений, но не исключают его умственных и физических усилий (счеты,
линейки, калькуляторы), другие же полностью заменяют человека при
вычислениях (счетные автоматические машины, современные ЭВМ).
По уровню выполнения вычислительных процедур и применяемой
техники вычислений различают:
1. Ручной счет, который может быть устным и сочетаться с
письменным, когда результаты счета записывают на бумаге. При этом
возможно использование счетных таблиц, номограмм, а также приемов
сокращенных, приближенных вычислений и алгоритмов ручного счета.
2. Инструментальный счет выполняется с использованием простейших
счетных
приборов-конторских
счетов,
логарифмических
линеек,
калькуляторов, а также средств механизации первичного учета (мерная тара,
весы и т.п.)
3.
Механизированный
счет
в
зависимости
от
применяемых
механизации может быть частично или полностью механизированным. При
полном механизированном счете применяются машины, которые производят
подсчеты и вычисления с одновременной записью как результатов
вычислений, так и исходных данных для вычислений.
4. Автоматизированный счет, или процесс вычислений, организуется
с использованием современных ЭВМ, эксплуатационные возможности
которых позволяют соединить в единый комплекс арифметические и
логические операции по обработке различных видов информации.
Подводя итог понятиям процесса вычислений, отметим, что он содержит
следующие основные элементы: исходные числа (данные), которые
подвергаются преобразованиям и вычислениям;
1) одну или множество арифметических и логических операций над
исходными данными, в результате которых появляется новое значение числа;
2) методы выполнения этих операций и технические средства, применяемые
при этом в определенных организационных условиях;
3) результаты
вычисления
в
виде
упорядоченной
цифровой
информации и методы их контроля форм.
Содержание вычислений и процесс преобразования информации
Основные правила вычислений
Для наиболее легкого и быстрого получения искомого результата
нужно прежде всего выбрать рациональную последовательность вычислений
на основе формулы, алгоритма или простой логической схемы.
Вычисления следует проводить вдумчиво, не спеша, располагая
отдельные
этапы
обеспечивающей
вычислений
правильность
в
строгой
счета,
последовательности,
наиболее
простой
ход
вычислительного процесса.
Перед
началом
вычислительных
работ
необходимо
установить
требуемую точность искомого результата и в соответствии с этим выбрать
способы и технику вычислений, стараясь широко использовать приемы
приближенных вычислений, которые, как, правило, сокращают объем
работы.
Важно приобрести навыки логического контроля за ходом вычислений
и
критической
оценки
получаемых
результатов.
Рекомендуется
по
возможности развивать способность выполнения вычислений в уме. Следует
соблюдать следующий порядок записей при вычислениях:
а) четкое изображение цифр, знаков действий и текста - залог качества и
скорости счета. Небрежное и неясное их написание зачастую ведет к
ошибкам;
б) исправление, корректировка чисел производится путем перечеркивания
горизонтальной тонкой чертой ошибочного числа (с тем, чтобы его при
необходимости можно было прочесть) и написанием сверху правильного
числа;
в) для облеченного чтения многозначных чисел целую их часть следует
разбивать на классы справа налево по три цифры, оставляя между классами
небольшие интервалы, например 12 675 876,78.
Основы рациональной организации вычислений
Правильность,
точность
и
быстрота
получения
результатов
при минимуме затрат труда и времени - основа вычислительного процесса. В
процессе
вычислений
необходимо
сочетать
различные
варианты
арифметических и логических операций, подбирая наиболее рациональные
пути расчетов посредством так называемых комплексных вычислений,
когда за один прием выполняется две и более вычислительные операции,
например, деление с одновременным умножением частного. В вычислениях
существует много сокращенных способов и приемов арифметических
действий.
Приемы устного сложения
При устном сложении двух чисел к большему по абсолютному
значению слагаемому прибавляют меньшее. Сложение при этом начинают с
высших разрядов, округляя слагаемые и корректируя итоговую сумму
на величину допущенных округлений.
Пример: Найти сумму двух слагаемых 567 и 335. В этом случае
сложение удобно производить поразрядно
567 + 335 = 567 + 300 + 30 + 5 = 902
Пример: Найти сумму двух слагаемых двух слагаемых 1636 и 68. В
этом случае целесообразно округлить второе слагаемое в большую сторону.
Сначала к числу 1636 прибавим 70 вместо 68, получим 1706, затем исправим
сумму на величину округления, т. е. 1706 - 2 = 1704.
При сложении нескольких чисел сначала группируют те, сумма которых дает
круглое число.
Пример: Найти сумму
126 + 52 + 74 + 41 + 38 + 59 = 200 + 90 + 100 =390.
Двухзначные числа удобно складывать устно, применяя следующий прием.
Пример: Найти сумму чисел: 32 + 29 + 53 + 16 + 25. К первому числу
32 прибавляют в уме сначала единицы (9), затем десятки (20) второго числа;
к полученному числу прибавляют единицы, а потом десятки следующего
числа, и так далее, считая в уме ответы: 41; 61; 64; 120; 130; 135; 155.
Иногда приходится складывать числа, группирующиеся вокруг одного
и того же "корневого числа". В качестве последнего обычно стараются
принять такое число, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.
Пример: Найти сумму чисел: 56 + 52 + 53 + 55 + 54 +50. Замечаем, что
все числа эти близки к 50. Всего необходимо сложить 6 чисел. Сумму
находим в следующей последовательности:
1) находим сумму корневых чисел: 50x6 = 300;
2) существенную роль играет рационально составленный формуляр - схема
вычислений.
Порядок
вычислений
чаще
всего
устанавливается
и
записывается в виде алгоритма. Алгоритм символическое или словесное
правило
численного
решения
задачи,
при
котором
обеспечивается
последовательное выполнение всех процедур по превращению исходных
данных в результатные.
Важным организационным фактором является правильный выбор
средств вычислений. В массовых подсчетах, при умножении, делении,
исчислении
средних
величин,
процентов,
коэффициентов,
при
пропорциональном делении очень эффективны микрокалькуляторы.
Методы контроля вычислений
В процессе вычислений возможны ошибки, как по вине вычислителя, так
и из-за технической неисправности вычислительных средств. Поэтому
вычисления должны сопровождаться контрольными операциями. Вычисления
нельзя считать законченными, пока они не проверены и не подтверждена
правильность их выполнения.
Существует много методов контроля вычислений. Различия между ними
обусловлены
неодинаковостью
применяемой
техники
вычислений
и
организацией вычислительного процесса. Однако в общем случае они сводятся
к трем группам:
а) логические методы, т. е. смысловая проверка;
б) счетные проверки путем повторного счета, балансирования,
сопоставления с
контрольными суммами и т. д.
в) проверка порядка (значимости) результатов.
Логический метод контроля - нетрудоемкий, но надежность его
невелика. Он годен в основном для предварительного контроля исходных
данных, а также для обнаружения явно несообразных (инородных) величин
или грубых ошибок.
Наиболее распространенными и надежными являются счетные
проверки, методом повторного выполнения арифметических операций с
перестановкой их последовательности или методом замены одной операции
другой.
Сокращенные и приближенные вычисления
Сокращенные приемы вычислений
Вычислительные работы-трудоемкий процесс.
Поэтому любое
упрощение вычислительных операций и сокращение времени на их
выполнение приводят к повышению производительности труда. Прием
используют при умножении на 15; 150; 1500 или на 0,15; 0,015 и т. п.
Сначала число умножают на 10; 100; 1000; 0,1; 0,01 и др., а затем к
произведению прибавляют его половину: 543 × 15 = 5430
28,4 × 150 = 2840 + 1420 + 4264
48,6 × 0,015 = 0,486 + 0,243 = 0,72
Умножение на числа, близкие к круглым. Округление множителя
целесообразно применять при умножении на числа, близкие к круглым, т. е.
10; 100; 1000, а из произведения либо вычитают, либо прибавляют множимое
столько раз, на сколько был округлен множитель, например:
78 × 9 = 78 × (10 − 1) = 780 − 78 = 702
278 × 1002 = 278 × (1000 + 2) = 278000 + 556 = 27855
Умножение двухзначных чисел на 101 не вызывает затруднений; надо
число записать два раза подряд, например: 83 × 101 = 8383
Умножение двухзначных чисел на 11. В этом случае для получения
произведения цифры множимого раздвигают и в середину ставят число,
равное сумме его цифр: 43 × 11 = 4(4 + 3) = 473
59 × 11 = 5(5 + 9) = 649
Умножение чисел на 5, 25, 50, 125. Поскольку 5 можно представить как 10:
2; 25 как 100 :4; 50 как 100 :2; 125 как 1000 :8,
то данное множимое умножают на 10, 100, 1000. затем полученные
произведения делят соответственно на 2, 4, 2 и 8.
Пример: 227 × 10: 2 = 135
723 × 25 = 723 × 100 = 72 300: 4 = 18075
При умножении на 3 и 6 сначала умножают сотни, десятки,
единицы, полученные результаты затем складывают:
86 × 3 = (80 × 3) + (6 × 3) = 240 + 24 = 264
316 × 6 = (300 × 6) + (10 × 6) + (6 × 6) = 1800 + 60 + 36 = 1896
Умножение на числа, близкие к круглым. Округление множителя
целесообразно применять при умножении на числа близкие к круглым
(10, 20, 30, 40 и т.д.) Множимое умножают. Находим сумму отклонений
каждого числа от корневого, отклонение берем со знаком плюс, если число
меньше корневого- со знаком минус.
Приемы устного вычитания.
Вычитание удобно производить поразрядно, начиная
с высших разрядов.
Пример: Найти разность чисел 528 и 334. Из уменьшаемого 528
вычитаем 300 (остается разность 228), далее от результата отнимаем 30, а
затем 4. Разность равна:
528 - 331 = 528 - 300 -30 - 4 = 194.
При вычитании чисел, близких к" круглым", целесообразно
округлять уменьшаемое или вычитаемое, или оба числа, корректируя разность.
Пример: Найти разность чисел 567 и 489. Вычитаемое округляем до
490,при вычитании 567 - 490 получаем разность 77 и прибавим 1, так как
вычли больше, т. е. 567 - 490 + 1 = 78.
Пример: Найти разность чисел 3889 и 296. Уменьшаемое округляем до
3900, а вычитаемое до 300, вычитаем одно круглое число из другого. Затем
вносим поправку на дополнения (-11и+4):
3889 - 296 = 3900 - 300 - 1 1 + 4 = 3593
При
устном и письменном умножении
сокращения,
как
рациональное
используют такие приемы
расположение
сомножителей,
замена
умножения сложением или делением, использование интересных свойств
чисел и т. д.
Умножение
на
разрядную
единицу
с
последующими
или
предыдущими нулями (на 10, 100, 1000 и т. д.; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д.). Нули
приписывают к множимому (справа, если числа целые, и слева, если
перемножаются дробные числа); в произведениях десятичных дробей знаки
отделяют по их сумме в обоих сомножителях:
54 × 1000 = 54 000; 54 × 0,01 = 0,54
При умножении чисел на 1,5 действие заменяют сложением, к
сомножителю прибавляют половину его значения:
124 × 1,5 = 124 + 62 = 186
351 × 1,5 = 317 + 158,5 = 475
на круглое число, а из произведения либо вычитают, либо прибавляют
множимое столько раз, на сколько был округлен множитель:
86× 8 = 86 × (10 − 2) = 860 − 172 = 688
73× 7 = 73 × (10 − 3) = 730 − 219 = 511
Округление множителей, значение которых близко к круглым
числам (100,300,1000 и т.п.). Прием заключается в положительном (или
отрицательном) дополнении множимого до круглого числа и соответственно
в дополнении множителя. Множитель уменьшают (или увеличивают) на
величину увеличения (уменьшения) первого множителя и перемножают
сначала полученные новые сомножители,
а
затем
дополняющие
их
числа. Сложив оба произведения, получают число.
Пример: Найти произведение чисел 98 и 94. Дополнением 98
до 100 будет число 2, а числа 94 - число 6. Увеличивая 98 до 100, уменьшаем на
эту величину второй сомножитель и получаем 92. Затем
92
и
получаем
9200.
умножаем
100
на
Перемножаем дополнительные числа: +2+6 = +
12, произведения складываем и получаем окончательный результат:
9200 + 12= 9212.
При делении получили распространение такие приемы, как замена на
частные слагаемые, каждое из которых делится на делитель.
Деление на 5; 25; 50; 125 заменяют умножением делимого соответственно
на 0,2; 0,4; 0,02; 0,08, Т.е. умножением на однозначные числа с последующем
отделением необходимого количества десятичных знаков:
448: 5 = 448 × 0,2 = 89,6
543: 125 = 543 × 0,008 = 4,344
Аналогичными являются приемы деления на 0,5; 0,05; 0,125 и т. п.:
243,1: 0,05 = 24310: 5 = 24310 × 0,2 = 4862,0
Процентные вычисления.
В практике вычисления относительных величин употребляют не только
дроби, но и проценты. Процентом называется сотая часть числа и
обозначается знаком %. При переходе чисел к процентам необходимо числа
умножить на 100: 2,5 соответствует 250%, 0,74 - 74 %, 0,08-8%. При
переходе от обыкновенной дроби к процентам необходимо прежде всего
преобразовать ее в десятичную
знаменатель,
100:
1
а
затем
деления
числителя
на
полученную десятичную дробь умножить на
= 0,5 соответствует 50%.
2
дробь путем
Для получения числа надо проценты разделить на 100: 12% соответствует
числу 0,12; 43,5% -0,435.
При решении основных задач на проценты необходимо знать
следующие три понятия:
1) начальное число Н - это число, которое принято за 100%;
2) процентная такса Т - количество процентов от начального числа;
3) процентная сумма П - число, которое содержит столько процентов,
сколько показывает процентная такса.
Исчисление процентов "со ста" - вычисления, в которых исходным
является начальное число.
1.Вычисление процента от числа (нахождение процентной суммы).
Чтобы вычислить процент от числа, начальное число Н делят на 100 и
полученное частное умножают на процентную таксу Т1
П=
Н×Т1
100
Пример: Определить площадь засеянную пшеницей, если от всей
засеянной площади 365 га, площадь засеянная пшеницей составляет 20 %
Н=365га, Т1 = 20%, П = ?
П=
Н×Т1 365×20
100
=
100
= 73га
2.Нахождение начального числа по его процентной части.
Чтобы найти величину начального числа по проценту от него, нужно
процентную сумму разделить на число процентов, которое оно составляет,
Т.е. определить 1% и частное умножить на 100:
Н=
П×100
Т1
Пример: На 25 мая гидрологическая партия пробурила
638 скважин, что
составляет 92,5 % месячного плана. Какова величина установленного плана
П = 638 скв., Т1 =92,5%, Н = ?
Н=
638×100
92,5
= 680 скв.
3.Выражение одного числа в процентах к другому числу (нахождение
процентной таксы).
Чтобы определить процентное отношение одного числа П к другому Н,
делят их и умножают на 100:
Т1 =
П×100
Н
Пример: План добычи каменного угля шахты в месяц 530 тыс.т
фактически добыто 545,6 тыс. т. Каков процент выполнения добычи угля
Н=530 тыс. т, Т1 =?
Т1 =
545,6×100
530
=103%
Средние обобщающие значения величин при вычислениях.
Сущность средних величин.
В практике вычислений часто необходимо из нескольких значений
одного и того же показателя найти промежуточную его величину, так
называемую среднюю, получаемую в общем случае как частное от деления
суммы данных величин на их число. Эта средняя величина будет единой
обобщающей количественной характеристикой данного ряда величин.
Средние величины дают обобщающую характеристику и вычисляются на
базе сгруппированных качественно однородных исходных величин.
Для выяснения сущности средней величины и ее разновидностей
рассмотрим особенности формирования тех данных, для которых исчисляют
среднюю величину. Каждая величина, входящая в совокупность, имеет свои
значения, которые изменяются от одной единицы к другой. Например, размер
среднего заработка у одного рабочего в месяц один, у второго другой и т. д.
Происходит это по многим причинам (неодинаковая квалификация, уровень
знаний, стаж работы, и т.п.) Однако при планировании и анализе уровня
заработной платы часто нужно исчислить величину заработка одного
рабочего
в
бригаде,
в
которой
бы
уравновесилось
влияние
всех
воздействующих причин на размер заработка. Для этого исчисляют среднюю
на основании следующего исходного соотношения:
Средняя месячная заработная плата одного рабочего =
общая сумма заработной платы всех рабочих бригады месяц
число рабочих в бригаде
Из этого примера следует, что средняя величина связана именно с
совокупностью величин, а не с отдельными величинами (берется общая
сумма заработной платы и вся численность рабочих бригад).
Чтобы вычислить среднюю величину, нужно правильно отобрать
исходные значения для их исчисления. Основой для получения правильных
средних является научная группировка сходных материалов и соблюдения
принципов научного применения метода средних величин. К последним
относятся:
1. Прежде
чем
проанализировать
исчислять
состав
среднюю,
совокупности
и
необходимо
обеспечить
тщательно
качественную
однородность ее единиц путем применения метода группировок.
2. Не следует исчислять средние только для совокупности в целом, а надо
широко использовать групповые средние для отдельных частей совокупности.
3. Необходимо правильно выбрать метод исчисления средних в зависимости
от свойств усредняемых величин и поставленной цели при вычислении
средней.
Наиболее распространенным является определение средней простой
арифметической величины. Она вычисляется в тех случаях когда каждое
отдельное значение признака встречается один раз. Средняя арифметическая это сумма значений варьирующего признака, разделенная на их число.
Типичным примером исчисления такой средней является расчет средне
месячной заработной платы работника при начислении ему отпускных. При
этом
суммируется
заработная плата,
начисленная
работнику за
12
предшествующих месяцев, и полученная сумма делится на 12. Формула
простой средней:
𝑋𝑎 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 ∑ 𝑥
=
𝑛
𝑛
Где 𝑋 - средняя арифметическая простая; 𝑥𝑛 значения усредняемых величин; число величин (частоты).
Оценка точности результатов при вычислениях.
Значащими цифрами данного числа называют все цифры
за исключением нулей слева до первой цифры, отличной от нуля, и нулей
справа, стоящих вместо неизвестных цифр. Например, 152,71 имеет 5
значащих цифр; 0,00701 - 3; 5,01035 - 6.
Верными цифрами приближенного значения числа называют цифры,
если средняя абсолютная погрешность его не превышает одной единицы
последнего разряда числа.
Пример: 𝑎1 = 1230;
∆𝑎1 = ±0,5 Число 𝑎, имеет четыре верные
цифры, так как абсолютная погрешность не превышает единицы последнего
разряда.
Сомнительными называют цифры тех разрядов числа, которые могут
иметь среднюю абсолютную погрешность более одной единицы, но менее 10
единиц последнего разряда. Следовательно, приближенное число может
иметь только одну сомнительную цифру.
Пример: а2 = 4240; ∆𝑎2 = ±6
В числе а2 имеется три верные цифры и одна сомнительная, так как
погрешность в последнем разряде числа больше единицы, но меньше десяти.
Неверными считают цифры тех разрядов числа, которые имеют
среднюю абсолютную погрешность более 10 единиц последнего разряда.
Пример: а3 = 238,2356; ∆𝑎3 = ±0,0013
Число 𝑎3 имеет пять верных, одну сомнительную и одну неверную цифры.
Поэтому последние две цифры следует отбросить, увеличив цифру 3
(согласно правилам округления) на единицу: а3 =238,24. Точность
приближенного числа зависит от верных значащих цифр.
Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа называется
разность между точным значением этой величины 𝑥 и ее приближенным
значением а Она может выражаться как положительным, так и отрицательным
числом: ±∆ = х-а.
Для характеристики точности приближенных чисел употребляют
относительную погрешность, которая представляет собой отношение
погрешности к значению самой величины.
Относительная погрешность определяется отношением двух величин в
одной и той же размерности, поэтому оно является отвлеченным числом. Чем
меньше относительная погрешность, тем с большей точностью известен
результат, поэтому в большинство случаев критерием точности служит
относительная погрешность. При помощи относительной погрешности
обычно оценивается точность измерений линий, площадей, объемов.