(наименьшем) значении квадратичной функции и следствие из

Урок «Наибольшее и наименьшее
значение квадратичной функции»
Курс предпрофильной подготовки для обучающихся
девятых классов
«Квадратный трёхчлен. Квадратичная функция».
Автор:
учитель математики МОУ Ветлужская СОШ №2
Максимова Татьяна Анатольевна
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Цели урока.
Общеобразовательная:
углубление и расширение знаний обучающихся по теме «Квадратичная
функция» для применения в практической деятельности;
формирование навыков использования функционально – графического
представления для решения прикладных задач.
Развивающая:
развитие умения логически обосновывать рассуждения;
развитие умственных способностей, способностей к математическому
творчеству путём решения задач;
развитие коммуникативных навыков в ходе совместных действий
обучающихся.
Воспитательная:
обоснование значения математики как языка для построения математических
моделей процессов и явлений окружающего мира.
В результате ученик
знает теорему о наибольшем (наименьшем) значении квадратичной
функции и следствие из теоремы;
умеет иллюстрировать алгебраические условия с помощью графика,
определять наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции,
находить область значений квадратичной функции, применять теоретические
знания при решении прикладных задач;
осознаёт важную роль математики в развитии цивилизации и культуры.
Цели применения ИКТ:
- наглядное и динамическое представление учебной информации,
- повышение эффективности самостоятельной работы обучающихся,
- активизация творческого потенциала учащихся в образовательном
процессе,
Ход урока
I. Мотивационно- ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний, умений и навыков.
Среди данных функций выберите квадратичные функции:
1) у = x 2 - 3х +1; 2) у = - 6х + 23; 3) у = - 0,9 х + 6,5; 4) у = x 2; 5 )у = - 8;
6) у = - х2 + 4х -8.
Какая функция называется квадратичной?
При изучении темы «Квадратичная функция и её свойства» вы научились
находить наибольшее и наименьшее значение квадратичной функции.
№1. Определите, наибольшее или наименьшее значение принимает функция.
Найдите его. (Слайды 2,3)
- Что определяет, наибольшее или наименьшее значение принимает
квадратичная функция?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при х ∈ [−1; 2].
(Слайд 4)
№2. Не выполняя построения графика, определите наибольшее или наименьшее
значение принимает функция. Найдите его.
а) у = х2 + 4х +11; б) у = 3х - 1−4х2 . (Слайд 5)
- Как можно определить наибольшее и наименьшее значение квадратичной
функции?
Выделяют два способа нахождения наибольшего (наименьшего) значения
квадратичной функции
-по графику функции,
-по формуле вершины параболы.
2. Обобщение и систематизация знаний.
- Наибольшее или наименьшее значение принимает квадратичная функция при
a>0? при a< 0?
В какой точке функция достигает наибольшее значение? Наименьшее значение?
Сформулируйте теорему. (Слайд 6)
При а > 0 функция принимает наименьшее значение у0 = у(х0 )
D
при х = х0 = -b/2a. Наибольшего значения нет. Область значений :[− ; +∞[.
4а
)
При а < 0 функция принимает наибольшее значение у0 = у(х0
D
при х = х0 = -b/2a. Наименьшего значения нет. Область значений: ]−∞; − ].
4a
3.Мотивация.
Задачи, требующие определить условия, при которых некоторая величина
принимает наибольшее или наименьшее значение, часто встречается в технике,
естествознании, повседневной практической деятельности людей. Например,
каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его
объём быть наибольшим? В каком месте следует построить мост через реку,
чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была
кратчайшей? Такие задачи имеют большое практическое значение и решаются с
помощью математики.
- Определите и сформулируйте цели урока.
4. Постановка учебной задачи.
Я предлагаю вам решить задачу Дидоны.
Дидона – основательница города Карфагена и его первая царица.
(Слайд 7).
№3. Задача Дидоны.
Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, Дидона
вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела
приобрести у местных жителей место для своего нового поселения. Ей
согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья
шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и,
разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той,
которую можно было бы покрыть шкурой целиком.
(Слайд 8).
II. Операционно-познавательная часть.
1.Моделирование.
Ученики обсуждают план решения задачи в группах, выстраивают модель
решения задачи.
Если учесть, что Дидона выбрала участок, прилегающий к берегу моря, то на
языке математики задача (в частном случае) звучит так: предположим, что
береговая линия – прямая, ограниченный воловьими ремешками участок –
прямоугольник, тогда надо найти прямоугольник, имеющий наибольшую
площадь.
2. Решение учебно-познавательной задачи.
Пусть b - длина воловьих ремешков,
x – меньшая сторона,
b − 2x – большая сторона
S = x(b − x) = −2x 2 + bx
b
х0 =−
2a
b
b
b−2∙ =
4
2a
Наибольшую площадь будет иметь прямоугольник со сторонами b/4 и b/2.
(Слайд 9).
- Как должен располагаться этот прямоугольный участок по отношению к
берегу: примыкать к нему меньшей или большей стороной?
3. Осознание общего способа действий.
- Составьте алгоритм решения задачи.
Таким образом, чтобы решить задачу на нахождение наибольшего
(наименьшего) значения функции, нужно
1.Составить математическую модель задачи.
2. Задать квадратичную функцию.
3.Найти наибольшее (наименьшее) значение квадратичной функции.
4.Полученный ответ соотнести с вопросом задачи.
(Слайд 10).
4. Применение.
- Знаете, какая геометрическая задача на нахождение наибольшего
(наименьшего) значения квадратичной функции является самой древней?
№4. Какой из всех прямоугольников данного периметра имеет наибольшую
площадь?
Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции.
- Предлагаю решить эту задачу самостоятельно.
Учитель направляет деятельность учеников, даёт индивидуальные
консультации.
Решение.
Пусть х - сторона прямоугольника, р - периметр,
р
тогда ( − x) – вторая сторона.
р
2
S = x ( − x) = −x 2 +
p
2
px
2
х0= ;
p
4
p
2
4
- первая сторона прямоугольника ;
−
p
4
=
p
4
- вторая сторона.
p
Ответ: квадрат со стороной .
4
(Слайд 11).
- Кто успешно справился с задачей?
- У кого возникли трудности? Какие?
Обобщим полученный результат. Замените слова «стороны прямоугольника»
словами «два положительных числа», «периметр» - «сумма чисел»,
«площадь» - «произведение». Сформулируйте следствие из теоремы.
(Слайд12).
Применим полученные знания к решению физической задачи.
№5. Расстояние между пунктами А и В, расположенными на прямой
магистрали, 9км. Из А в В выходит автомашина со скоростью 40 км/ч,
одновременно из В в том же направлении выезжает мотоциклист с постоянным
ускорением 32 км/ч. Определите наибольшее расстояние, которое может быть
между автомашиной и мотоциклистом в течение первых двух часов движения.
(Слайд 13).
Учитель предлагает составить математическую модель задачи. Организует
индивидуальную работу учащихся, по необходимости - работу консультантов.
Решение.
Машина находится от пункта А на расстоянии 40t км,
мотоциклист на расстоянии (16t 2 +9)км.
at2
32t2
S=
=
=16t 2
2
2
Расстояние между ними у =/16t 2 +9 - 40t/
t 0 =5/4
у0 =16
Ответ: 16км.
(Слайд 14).
III.Рефлексивно – оценочная часть.
1.Подведение итогов.
- Что нового вы узнали на уроке? Чему научились?
- Какие цели были поставлены в начале урока? Удалось ли их достичь?
2.Самооценка усвоения материала.
Оцените по 5-бальной шкале свой вклад в решение общей учебной задачи.
3.Планирование дальнейшей деятельности в изучении темы.
На двух последующих уроках мы будем применять теорему о наибольшем
(наименьшем) значении функции при решении заданий с параметрами.
4.Задание на дом.
1. Докажите теорему и следствие из неё.
2. №6. Докажите, что из всех треугольников данного периметра наибольшую
площадь имеет равносторонний.
4. Творческое задание. Представьте решение задачи практического содержания
на нахождение наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции.
(Слайд 15).
Учитель выставляет оценки, благодарит обучающихся за работу.
5. Рефлексия.
В конце урока обучающимся предложено ответить на вопросы. (Слайд 16).
Список литературы.
1.Бурмистрова Т.А. Программы общеобразовательных учреждений.
Алгебра 7-9 классы. - М.: Просвещение,2012.
2.Макарычев Ю.Н. и др. Учебник Алгебра 9 класс. - М.: Просвещение,
2012.
3.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. – М.; Просвещение,
2009.
4. Кузнецова Л.В. и др. Алгебра. Сборник заданий для ГИА в 9классе. – М.:
Просвещение, 2010.
5. Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С. Сборник элективных курсов.
Математика 8-9 классы.- Волгоград: Учитель,2007.
6.Костерина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9
классов. – М.: Просвещение, 1991.
7.Иванова Т.А. Современный урок математики: теория, технология,
практика. – Н. Новгород: НГПУ, 2010.
8.Мичасова М.А., Малышев И.Г., Иванов Б.Н. подготовка к ЕГЭ по
математике. ЗаданияС1-С6. – Н.Новгород: НИРО, 2010
Ресурсы сети Интернет.
http://www.niro.ru
http://www.elbrusoid.org
http://pedsovet.su