Таблицы

Таблицы
Задача 1. Таблица состоит из 21 столбца, пронумерованного числами от 1
до 21, и 33 строчек, пронумерованных от 1 до 33. Стерли строчки, номера
которых не делятся на 3, и столбцы с четными номерами. Сколько клеток
осталось в таблице?
Решение. Стирая строчки с номерами, которые не делятся на 3, остаются
не стертыми 33:3=11 строчек, а стирая столбцы с четными номерами, остается
не стертыми 21 – (2:2)=11 столбцов.
Значит, число не стертых клеток равно 11·11=121.
Ответ: 121
Задача 2. Коля хочет вписать по одному числу в каждую клетку таблицы
3х3 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 2х2 равнялась 10. Пять чисел
уже вписаны в клетки таблицы. Найдите сумму остальных четырех чисел.
1
0
2
4
3
Решение. Обозначим пустые ячейки через a, b, c и d.
1
a
0
d
2
b
4
c
3
Тогда 1+a+2+d=10, a+0+b+2=10, d+2+c+4=10, 2+b+3+c=10.
Сложив эти уравнения и разделив на 2, получим: a+b+c+d=12.
Ответ: 12
Задача 3. Какое число должно стоять вместо знака *, если сумма чисел в
обеих строчках одинакова?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2010
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
*
Решение. Сумма чисел в первой строке равна 1+2+3+…+2010=2065.
Сумма чисел во второй строке равна 11+12+13+…20=155.
Следовательно, недостающее число 2065 – 155=1910.
Ответ: 1910
Задача 4. В клетки таблицы 2х2 вписали числа 3, 4 и еще два
неизвестных числа. Оказалось, что суммы чисел в строчках равны 5 и 10, а в
одном из столбцов сумма чисел равна 9. Найдите большее из неизвестных
чисел.
Решение. Вписанные в таблицу числа 3 и 4 не стоят в одной строке.
Пусть а – число, которое находится в одной строке с 3, а b – в одной строчке с
4.
Тогда 3+a=10 и 4+b=5, или 3+а=5 и 4+b=10.
Из первого а=7 и b=1, из второго а=2 и b=6. Первое невозможно,
поскольку никакие из чисел 3, 4, 7 и 1 в сумме не дают 9. Значит, вписанные
числа – 3, 4, 2 и 6. Наибольшее из них = 6.
Ответ: 6
Задача 5. Какое наименьшее количество клеток квадрата 5x5 нужно
закрасить, чтобы в любом квадрате 3x3, являющемся его частью, было ровно 4
закрашенных клетки?
Ответ: 7 клеток.
Задача 6. В каждую клетку квадратной таблицы 25x25 вписано
произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется
произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки
пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма
50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.
Решение: Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым
столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом
произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то
произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25
множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50
чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4,
…, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25
слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть
нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может
равняться нулю.
Задача 7. В таблицу 2929 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз.
Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы
чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку
таблицы.
Решение. Над (под) диагональю находится 2914=406 чисел. Но сумма
406 наибольших чисел таблицы (16, …, 29, взятые по 29 раз) равна
29(16+29)14/2=294514/2 ровно в три раза больше суммы 406 наименьших
чисел (1, 2, …, 14, взятые по 29 раз), которая равна 29(1+14)14/2=291514/2.
Поэтому все числа на диагонали равны 15.
Ответ. 15
Задача 8. В квадрате 33 расставлены числа (см. рис.).
Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в
каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
а) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
a b c
d e f
g h i
б) 2(a + c + g + i ) = b + d + f + h + 4e .
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Решение. а) Прибавим к обеим частям b + d + f + h получим очевидное
равенство (a + b + c) + (a + d + g) + (c + f + i) + (g + h + i) = 2(b + e + h) + 2(d + e
+ f).
б) 1) Пусть S – сумма чисел в каждой строке. Тогда a + i = c + g = b + h =
d + f = S – e. Подставив в равенство из п. а), получим 4(S – e) = 2(S – e) + 4e,
откуда 2S = 6e, то есть S = 3e.
2) Докажем сначала равенство 2(a2 + c2 + g2 + i2) = b2 + d2 + f 2 + h2 + 4e2.
Для этого запишем его в виде
(a + c)2 + (c + i)2 + (a + g)2 + (g + i)2 – 2(ac + ci + ag + gi) =
= (h + e)2 + (d + e)2 + (f + e)2 + (b + e)2 – 2e(b + d + f + h).
Суммы квадратов в левой и правой частях равны, поскольку a + c = S – b
= h + e, и т.д.
Кроме того, ac + ci + ag + gi = (a + i)(c + g) = (S – e)2 = 2e(S – e) = e(b + d +
f + h).
3) Заметим, что равенство п. б) остается верным при увеличении всех
чисел таблицы на одно и то же число. Действительно,
2((a + t)3 + (c + t)3 + (g + t)3 + (i + t)3) =
= 2(a3 + c3 + g3 + i3) + 6t(a2 + c2 + g2 + i2) + 6t2(a + c + g + i) + 8t3 =
= b3 + d3 + f 3 + h3 + 4e3 + 3t(b2 + d2 + f 2 + h2 + 4e2) + 3t2(b + d + f + h + 4e) + 8t3 =
= (b + t)2 + (d + t)2 +(f + t)2 + (h + t)2 + 4(e + t)2.
Поэтому достаточно доказать равенство для случая, когда e = 0. Но в
этом случае равенство очевидно, поскольку a+i=c+g=a+c=g+i=b+h=d+f=2e=0,
и обе части равенства равны нулю.