𝑥+𝑦+𝑧 =3 1) { 2𝑥𝑦 − 2𝑦 − 𝑧 2 = 4 𝑥 =3−𝑦−𝑧 { 2(3 − 𝑦 − 𝑧)𝑦 − 2𝑦 − 𝑧 2 = 4 6y-2𝑥 2 − 2𝑦𝑧 − 2𝑦 − 𝑧 2 = 4 4𝑦 − 2𝑦 2 − 2𝑦𝑧 − 𝑧 2 = 4 2𝑦 2 + 2𝑦𝑧 + 𝑧 2 + 4 − 4𝑦 = 0 𝑦 2 + 2𝑦𝑧 + 𝑧 2 + 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 0 (𝑦 + 𝑧)2 + (𝑦 − 𝑧)2 =0 (𝑦 + 𝑧)2 ≥ 0 и ли (𝑦 − 𝑧)2 ≥ 0 Их сумма равна нулю тогда и только, когда каждый из них равен нулю. y+z=0 и y-2=0 Z=-y y=2 Z=-2 Ответ: x=3; y=2; z=-2 2)Решить уравнение: 𝑥 2 + √3 = √4 + 2√3 𝑥 2 + √3 = 1 + √3 𝑥2 = 1 𝑥 = ±1 Ответ: х1 = 1; х2 = −1 3)-------- 4)Пусть биссектриса < А параллелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝑀, < 𝐵𝐴𝐷 = 𝛼, (< 𝛼 = 90°), 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑏 и 𝑏 > 𝑎, тогда < 𝐵𝑀𝐷 𝛼 =< 𝑀𝐴𝐷 =< 𝑀𝐴𝐵 = 2 Следовательно, ∆𝐴𝐵𝑀 − равнобедренный и 𝐵𝑀 = 𝐴𝐵 = 𝑎, поэтому 𝑀𝐶 = 𝑏 − 𝑎 Расстояния между проведенной биссектрисой и биссектрисой < 𝛼 𝛼 2 2 𝐵𝐶𝐷=MCsin = (𝑏 − 𝑎) sin . Аналогично найдем расстояние между биссектрисами угла B и D 𝛼 равные (b-a)cos . 2 Четырёхугольник ограниченный указанными биссектрисами – 𝛼 прямоугольник со сторонами, равными (𝑏 − 𝑎) sin . и 2 𝛼 𝛼 𝛼 (𝑎−𝑏)2 2 2 2 2 (b-a)cos . Отсюда следует S=(𝑏 − 𝑎) sin ∗ (𝑏 − 𝑎) cos = ∗ sin 𝛼. (𝑎−𝑏)2 Ответ : S= 2 sin 𝛼. ∗ 5) 𝑎2 𝑎 𝑎1 = 𝑛1 + 𝑐 𝑎 =𝑛2 + 𝑐 𝑎1 = 𝑎𝑛1 + 𝑐 𝑎2 = 𝑎𝑛2 + 𝑐 𝑎1 − 𝑎2 = 𝑎(𝑛1 − 𝑛2 ) 𝑎1 − 𝑎2 = 𝑛1 − 𝑛2 𝑎 Ответ: 𝑎1 − 𝑎2 делится на 𝑎. 6)(3𝑎 − 1)𝑥 2 + (3𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎2 = 0 3a-1≠ 0; a≠ 1 3 Разделим обе части уравнения на 3a-1. 𝑎2 2 𝑥 +𝑥+ =0 3𝑎 − 1 По теореме Виета сумма корней этого уравнения 𝑥1 + 𝑥2 − 1, а произведение корней 𝑥1 ∗ 𝑥2 = 𝑥13 + . 3𝑎−1 3 2 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2 )(𝑥1 − 𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 ) = = (−1)(𝑥12 + 2𝑥1 𝑥2 + 𝑥22 − 3𝑥1 𝑥2 ) = = (−1)((𝑥1 + 𝑥2 )2 − 3𝑥1 𝑥2 ) = (−1)(1 2 = (−1) (1 − 3 3𝑎2 𝑎2 − 3𝑥1 𝑥2 ) = 𝑎 ) = −1 3𝑎 − 1 =0. Значит , при a=0. a=0; 𝑥13 + 𝑥23 = −1. 3𝑎−1 7)Пусть число гирек массой 1г равен х, а число гирек в 10 г равно у, а число гирек в 50 г равен z. По условию задачи 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100 гирек { 𝑥 + 10𝑦 + 50𝑧 = 500 гирек 9y+49z=400г Z≤ 8 Пусть z=1. 9y+49*1=400 9y=400-49 9y=351 Y=39 X=100-1-39=60 Ответ: 60 гирек в 1 г,39 гирек в 10 г, 1 гиря в 50 г. 8)Такого выпуклого многоугольника не существует , у которой отношение суммы внутренних углов равный 15:4,существует лишь 16:4. Сумма внешних углов - величина постоянное и равен 360 градусов. Сумма внутренних углов 180°(𝑛 − 2). 180°(𝑛 − 2) 15 𝑛 − 2 15 = ; = ; 360° 4 2 4 4𝑛-8=30; 4n=38; 𝑛 = 9.5∄𝑁 𝜋 2𝜋 7 7 9)cos cos = 8𝜋 sin 7 𝜋 8 sin 7 = cos 4𝜋 𝜋 sin(𝜋+ 7 ) 𝜋 8 sin 7 7 = 𝜋 = 𝜋 2𝜋 4𝜋 8sin 7 cos 7 cos 7 cos 7 𝜋 8 sin 7 𝜋 − sin 7 𝜋 8 sin 7 1 =- = −0,125 8 10)(1 + 𝑥 2 − x 3 )9 (𝑥 2 )=𝑥 8 (−x 3 )2 *x 2 = x 8 x 8 + x 8 = 2x 8 Коэффициент при х8 равен 2. 𝜋 = 4𝜋 2 sin 7 cos 7 𝜋 8 sin 7 =