Лаб. работа 3.3

Лабораторная работа 2.3
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
ЗАДАНИЯ
1. Проинтерполировать функцию Рунге
f ( x)  1 (1  25x 2 )
на отрезке  1, 1 многочленом степени n по n  1 равностоящим узлам
x i  1  ih ; i  0,1,  , n ; h  2 n .
Использовать многочлен Лагранжа. Вычислить среднюю квадратическую
погрешность по 1000 точек.
Провести расчеты для n  12,16, 20 .
УКАЗАНИЕ: средней квадратической погрешностью называется
корень квадратный из среднего квадрата отклонения приближенного
значения функции в узлах x j ( j  0 , k ) от точного



1 k
2
f ( x j )  u( x j ) .

k  1 j0
Средняя квадратическая погрешность характеризует степень
приближения функции f (x) интерполирующей функцией u ( x ) на всем
отрезке интерполирования.
2. Выполнить кусочную интерполяцию функции Рунге

f ( x)  1 1  25x 2
на отрезке  1,1 . Для этого:
-

вычислить значения функции в точках
x i  1  i  0.1, i  0,1,, 20 ;
-
для отрезков  1,  0.3,
 0.3, 0.3, 0.3,1 построить свои
интерполяционные полиномы.
Использовать подпрограмму вычисления значений многочлена
Лагранжа по узлам x  , x  1,, x r . Вычислить среднюю квадратическую
погрешность по 1000 точек.
Повторить расчеты для отрезков  1,  0.2,
 0.2, 0.2, 0.2,1 .
Сравнить с интерполяционным полиномом степени 20 по всем
узлам интерполяции.
3. Вычислить значения функции Рунге

f ( x)  1 1  25x 2
в точках x i  1  ih, i  0,1,, n,

h  2 n.
Используя схему "движущегося" (по узлам x  , x  1,, x   m )
полинома Лагранжа проинтерполировать функцию Рунге на отрезке
 1,1 полиномом степени
m.
Определить среднюю квадратическую
погрешность по 1000 точек.
Выполнить расчеты для m  2, 5 и n  20,10 .
4. Вычислить значения функции Рунге

f ( x)  1 1  25x 2
в точках x i  1  ih, i  0,1,, n,

h  2 n . Используя интерполяционные
формулы Ньютона проинтегрировать функцию f (x) на отрезке  1,1
многочленами 2-й и 3-й степени. Определить среднюю квадратическую
погрешность по 1000 точек.
Выполнить расчеты для n  20,10 .
5. Вычислить значения функции Рунге

f ( x)  1 1  25x 2
в точках x i  1  ih, i  0,1,, n,

h  2 n . Проинтерполировать функцию
f (x) на отрезке  1,1 кубическим сплайном. Вычислить среднюю
квадратическую погрешность по 1000 точек.
Выполнить расчеты для n  10,15, 20 .
2
6. Вычислить значения функции f ( x )  e  25 x в точках
x i  1  ih, i  0,1,, n, h  2 n . По полученным узлам интерполяции
проинтерполировать функцию f (x) на отрезке  1,1 кубическим
сплайном и "движущимся" полиномом Ньютона 3-ей степени. Определить
средние квадратические погрешности по 1000 точек.
2
Выполнить расчет для n  10, 20 .
7. Проинтерполировать функцию f ( x )  cos x на отрезке 0, 
кубическим сплайном по n  1 равностоящим узлам. Вычислить среднюю
квадратическую погрешность по 1000 точек. Обратить внимание на
значения сплайна вблизи концов отрезка.
"Естественные" условия (19) заменить на реальные (для функции
cos x ) условия и повторить расчет.
Выполнить расчеты для n  10, 20 .
8. В ходе химического эксперимента получены следующие семь пар
данных
t -1.000
-0.960
-0.860
-0.790
0.220
0.500
0.930
y -1.000
-0.151
0.894
0.986
0.895
0.500
-0.306
Предполагается, что y( t ) - очень гладкая кривая. Для оценки
значений y( t ) на отрезке  1,1 проинтерполировать функцию y( t ) по
заданным точкам полиномом Лагранжа в шестой степени и кубическим
сплайном.
9. По данным задачи 8 построить аппроксимирующие полиномы
степеней 2, 3, 4, построить кубический сплайн.
10. Моделируем получение экспериментальных данных:
- в точках x i  1  ih; i  0,, n; h  2 n вычисляем значения
функции
y  f ( x)  1  0.5x  0.25x 2 ;
- в полученные точные значения y i  f ( x i ) вносим "погрешность
измерения". Для этого с помощью датчика случайных чисел получаем
последовательность  0 , , n случайных чисел, равномерно
распределенных на отрезке  1,1 . Полагаем y i  y i  i , где  максимальная величина погрешности.
По полученным "экспериментальным данным" построить
интерполяцию многочленами 2-й и 3-й степени по формулам Ньютона.
Вычислить средние квадратические погрешности по 1000 точек.
Выполнить расчеты для n=10 и =0.1, 0.05, 0.01.
11. То же, что в задаче 10. Расчеты выполнить для   0.1 и
n  10, 20, 40 .
12. Смоделировать получение экспериментальных
данных (см.
3
задачу 10). По полученным данным построить кубический сплайн.
Определить средние квадратические погрешности по 1000 точек..
Выполнить расчеты для n  10 и   0.1, 0.05, 0.01.
13. То же, что в задаче 12. Расчеты выполнить для   0.1 и
n  10, 20, 40 .
14. В узлах xi = -10 + i, i = 0, 1,  , 20 заданы значения функции
 1, если x i  0;
yi  
0, если x i  0.
Проинтерполировать по заданным точкам функцию y( x ) кубическим
сплайном, многочленами Ньютона 2-й и 3-й степени, многочленом
Лагранжа степени 20. Проанализировать результаты.
15. В узлах xi = -10 + i, i = 0, 1,  , 20 заданы значения функции
 1, если x i  0;

y i  0, если x i  0;
 1, если x i  0.
Проинтерполировать по заданным точкам функцию y( x ) кубическим
сплайном, многочленами Ньютона 2-й и 3-й степени, многочленом
Лагранжа степени 20. Проанализировать результаты.
16. Вычислить по методу Симпсона с точностью до  интеграл
1
1
 1  25x 2 dx.
1
Сравнить с точным значением. Указать шаг и число точек, при
которых достигается заданная точность.
Выполнить расчеты для =10-2, 10-3, 10-4, 10-5.
4
17. В точках x i  1  ih, i  0,1,, n, h  2 n вычислить значения
функции y  1 (1  25x 2 ) . Вычислить (приближенно) по заданным точкам
1
1
 1  25x 2 dx,
1
построив кубический сплайн и взяв интеграл от сплайна. Вычислить
интеграл по формуле Симпсона. Указать погрешности вычислений.
Выполнить расчеты для n  6,10, 20, 30 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Крячков А.В., Сухинина И.В., Томшин В.К. Программирование на
С и С++, практикум. М.: Изд-во Радио и связь, 1997.
2. Касьянов В.Н., Сабельфельд В.К. Сборник заданий по практикуму
на ЭВМ. М.: Наука, 1986.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики,
гл 4. М.: ФМЛ, 1970.
4. Калиткин . Численные методы. М., 1978.
5. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений. М.: Мир, 1980.
5