Когда и как начинать подготовку к ЕГЭ по математике? Пахомова В.Н., учитель математики МАОУ «СОШ №1 им. И.А. Куратова с углублённым изучением отдельных предметов», г. Сыктывкар Как известно, единый государственный экзамен (далее - ЕГЭ) по математике является обязательным для всех учащихся, планирующих получить аттестат о среднем общем образовании. На уровне среднего общего образования учащиеся окончательно определяются с выбором будущей профессии, которая может быть связана также с математикой. Однако в силу своих индивидуальных способностей и мотивации школьники имеют разный уровень подготовки по предмету. Тем не менее учитель математики обязан подготовить всех учащихся к сдаче ЕГЭ, в том числе с учетом запросов школьников по балловому уровню результатов. Итак, каково назначение ЕГЭ по математике в системе современного образования? ЕГЭ фиксирует наличие и уровень сформированности системы математических знаний учащихся. Именно системность знаний, понимание учащимися места каждой изучаемой темы в математике способствуют осознанию школьниками степени приобретенных ими знаний и умений, необходимых для выполнения заданий ЕГЭ. Следовательно, чтобы обеспечить системность знаний по предмету, надо с первых уроков в 5 классе начинать подготовку детей к выпускному экзамену. Цель данной статьи - помочь учителю организовать работу с учащимися со слабой мотивацией к изучению математики или имеющими трудности в изучении математики по причине некоторых природных и других особенностей. В эти группы входят дети, которые к пятому классу уже имеют пробелы в математических знаниях (например, не знают таблицу умножения или компоненты уравнения); дети, оказавшиеся по воле судьбы в сложной жизненной ситуации, воспитывающиеся в семье, где родители совершенно не занимаются воспитанием детей; гуманитарии, у которых больше развито правое полушарие, вследствие чего им трудно выстраивать длинные логические цепочки; учащиеся, у которых в силу некоторых причин не сформирована внутренняя мотивация к обучению. Может быть, мой опыт работы с такими детьми покажется коллегам интересным, советы полезными. Итак, при организации учебной деятельности по предмету важно опереться на некоторые положения, без которых трудно добиться результата в формировании прочных качественных знаний, умений и навыков учащихся по математике. Во-первых, первое знание самое прочное. Часто ученики легко усваивают теоретический материал, однако при решении задач теряются в сложном алгоритме и последовательности действий, связанном с особенностями оформления ее решения в рабочей тетради (в восьмом классе записывали одним способом, в десятом – уже по-другому). Переучивать очень сложно. Следовательно, учителю необходимо обращать внимание на любые мелочи в самом начале пути математического образования учащихся – первое знание самое прочное. Во-вторых, чем меньше формул и правил, тем легче и крепче они запоминаются. Любая задача по математике имеет несколько решений. С учащимися, мотивированными к изучению учебного предмета мы рассматриваем все возможные способы, и они впоследствии применяют в решении задач более удобный путь. Остальным же способ решения должен подсказать учитель: предложить такой алгоритм решения, который содержит минимум новых приемов и формул, а еще лучше, если решение опирается только на приобретенные знания. В-третьих, корректировка знаний должна осуществляться своевременно. Учитель должен постоянно держать на контроле тех учащихся, которые в силу некоторых объективных причин пропустили изучение какой-либо темы или слабо ее усвоили. Например, в 6 классе ученик не понял тему «Координатная плоскость». Следовательно, он не сможет успешно изучить тему «График функции» в 7 классе. Особенно важно своевременно устранять пробелы в знаниях и добиваться прочного усвоения учебного материала на уровне основного общего образования, так как знания, умения и навыки, полученные в 5-9 классах, составляют базовую основу в изучении математики в старших классах. В-четвертых, желательно учителю вести данный предмет с 5 класса и до выпуска. Учитель должен хорошо знать образовательную программу, видеть этапы изучения этой программы, перспективы изучения каждой отдельной темы на определенном этапе, в каком объеме школьники получат знания по математике на выходе; прогнозировать и отслеживать результаты, постоянно их корректируя. В-пятых, сочетать доброжелательные отношения с требовательностью к качеству результатов. Не следует забывать, что работаем мы с разными детьми: у кого-то может быть слабо развито чувство ответственности; у другой группы детей невысок познавательный интерес; есть просто дети ленивые. К сожалению, в «группу риска» прежде всего попадают именно последние. В-шестых, с пятого класса обязательно начинать решать задания из основного государственного экзамена (далее – ОГЭ) и ЕГЭ, посильные учащимся. Содержание учебного материала по математике в школе изучается в полном объеме с учетом требований ФГОС. Однако глубина и насыщенность изучаемых материалов по разным темам требуют от учителя разных подходов: деление тем на более значимые и менее значимые. Как показывает опыт, недостаточное внимание на уроках к некоторым учебным темам создает проблемную ситуацию на ЕГЭ. В частности, ежегодно анализ результатов «пробных» ЕГЭ выявляет типичные проблемные «зоны» по предмету, среди которых: 1. Устный счет. 2. Числовые выражения, содержащие обыкновенные и десятичные дроби вместе. 3. Пропорции. 4. Решение уравнений вида х2 = а. 5. Рациональное решение полных квадратных уравнений. 6. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. 7. Определение синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника. 8. Решение прямоугольных треугольников, содержащих углы в 30, 45 и 60. 9. Таблица значений тригонометрических функций для углов 30, 45 и 60. 10. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Кроме того, очень важно при изучении любого нового материала необходимо выявить совместно с учащимися, где в дальнейшем может пригодиться новое знание, какие возможности открывает данная тема в освоении других научных областей. «Устный счет» В пятом и шестом классах устный счет можно проводить практически на каждом уроке. Учебно-методический комплекс Н.Я. Виленкина и др. «Математика- 5» и «Математика6» содержат замечательную систему упражнений для устного счета. Если использовать ее от начала до конца, то ученики будут наизусть (как таблицу умножения) знать следующие примеры: 163=48, 373=111, 243=72, 184=72, 363=108, 8125=1000 (а этот пример в шестом классе помогает переводить обыкновенную дробь в десятичную, так же, как 254=100 и 52=10) и другие. Кроме этого, следует регулярно тренировать детей устно умножать на 11; четные числа умножать на кратные пяти. На первых уроках в пятом классе устный счет может проводить учитель. Чтобы этап урока проходил динамично, учащиеся говорят только ответы. Через две-три недели (в зависимости от уровня класса) устный счет начинают проводить сами учащиеся, проверяя друг друга. Важно, чтобы в течение учебного года каждый ученик смог побывать в роли «ведущего». Для того чтобы учащиеся обращали внимание на числа в повседневной жизни (а это тоже тренировка), можно записывать дату в виде числового равенства, например, 6+9=15 означает шестое сентября 2015 года (06.09.15). Ребята охотно включаются в эту игру. При решении какого-нибудь номера в пятом классе мы выясняем, на какие числа он делится, а в шестом классе уже находим его делители. Очень важно добиться осмысленного выполнения учащимися требования: «Все вычисления на уроках математики и при выполнении домашнего задания по предмету - без калькулятора!» В 7-9 классах следует продолжать включать примеры для устного счета, уже связанные со степенями, с квадратными корнями, с числом π. «Числовые выражения, содержащие обыкновенные и десятичные дроби вместе» Решение таких примеров требует умения переводить дробь одного вида в другой, выделять среди обыкновенных дробей те, которые можно перевести в конечную десятичную, а какие – нет. Одновременно отрабатываются навыки работы с дробными выражениями (числовыми), что впоследствии облегчит учащимся изучение тем, связанных с алгебраическими дробями. «Пропорции» Одна из важнейших тем шестого класса! В ней закладываются навыки работы с процентами, с решением дробно-рациональных уравнений и задач по геометрии. К сожалению, учебники и дидактические материалы содержат недостаточное количество заданий для работы с пропорциями. Многие задания учителю приходится составлять самостоятельно. В таких случаях не нужно забывать включать геометрические задачи. Например, «Точка В лежит на отрезке АС, причем АВ : ВС = 3 : 5 и АС = 16 см. Найдите длину отрезков АВ и ВС.» «Решение уравнений вида х2 = а» Учащиеся регулярно делают одну и ту же ошибку при решении данных уравнений – они не находят отрицательный корень. Возможно, причина кроется в том, что знакомство с этими уравнениями, как и вообще с квадратными корнями у учащихся, происходит не на алгебре, а на геометрии при изучении темы «Теорема Пифагора». При нахождении третьей стороны прямоугольного треугольника им как раз и приходится решать уравнение такого типа. Неоспоримое правило: учить детей сразу находить два корня, а затем отрицательный корень отсеивать – первое знание самое прочное. «Рациональное решение полных квадратных уравнений» В программе по математике в 10-11 классах практически любая тема требует умения решать полные квадратные уравнения. Причем чаще всего при выполнении заданий учащиеся приходят к уравнениям, которые решаются с помощью теоремы, обратной теореме Виета или к уравнениям с достаточно большими коэффициентами. Применение данной теоремы и применение второй формулы дискриминанта (D1) могли бы облегчить учащимся решение таких уравнений, если бы они на должном уровне владели этими знаниями. Но в курсе алгебры 8-9 класса учителя по некоторым соображениям не уделяют должного внимания данным темам. Педагог в стремления лучше отработать стандартный способ решения в какой-то мере обедняет уроки математики, «тормозит» развитие школьников. Необходимо на уроке в устную работу включать уравнения на применение обратной теоремы Виета, при решении уравнения с четным средним коэффициентом вызывать к доске двух учащихся, которые будут выполнять задание разными способами. В этом случае у детей будет возможность оценить рациональность второго решения. «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» В первую очередь необходимо научить детей сокращать дроби вида а √а = √а∙√а . √а На самом деле это не требует больших усилий со стороны учителя. В данном случае требуется частое повторение, например, в виде устного счета. Особое внимание следует уделять умению вносить и выносить множитель из-под знака корня и сокращать дроби вида √𝑎+√𝑏 . √𝑐 В старших классах угла прямоугольного эти умения будут незаменимы при решении квадратных уравнений и геометрических задач на нахождение элементов многогранников. «Определение треугольника» синуса, косинуса, тангенса острого Кроме выше перечисленных функций уже в восьмом классе желательно включать в практику определение котангенса. Все равно в 10 классе они будут его изучать как самостоятельную функцию. Однако из-за того, что знакомство с ним происходит позже других функций, часто задания с котангенсом пугают учеников, вызывают чувство беспомощности. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника дети учат наизусть и устно сдают учителю или друг другу несколько раз на протяжении всего учебного года. С этими определениями связаны разделы не только в геометрии, но и в алгебре. 5 В курсе алгебры и начала анализа такие задания, как «Найти tgx, если cosx=7 и 3𝜋 2 <х< 2𝜋», можно решать не с помощью тригонометрических тождеств, а с помощью прямоугольного треугольника следующим образом: 1) определяем знак тангенса: так как х находится в четвертой четверти, то тангенс отрицательный, 2) чертим прямоугольный треугольник и 5 выделяем в нем острый угол х, 3) так как косинус равен 7, то прилежащий катет обозначаем равным 5, а гипотенузу – 7, 4) по теореме Пифагора находим второй катет √72 − 52 = √24 = 2√6, 5) по определению тангенса находим его абсолютное значение 2√6 5 , 6) ответ: − 2√6 5 . 7 х 5 Такое решение опирается на знания, полученные на уровне основного общего образования, поэтому требуется меньше времени на выполнение (тригонометрические тождества ученики слабо запоминают в полном объеме, часто допускают ошибки при работе с ними). Решение прямоугольных треугольников, содержащих углы в 30°, 45° и 60°. Решение указанных треугольников требуется в работе с правильными многоугольниками и многоганниками, и они часто встречаются в задачах на экзамене. При решении данных треугольников удобно применять следующие схемы: х√2 х 60 х 2х 45 х 30 х√3 Равнобедренный прямоугольный треугольник впечатляет человечество со времен пифагорейцев, которых он поверг в ужас. Ведь его гипотенуза несоизмерима с катетами! Говоря современным языком, уравнение х2 =2 не имеет рациональных корней. С этим историческим фактом ученики знакомятся на первом уроке при изучении теоремы Пифагора. После π число √2 - первое иррациональное число в их жизни. На самом деле это можно представить очень просто: чтобы найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, надо катет умножить на √2. И всё! Решение можно оформлять следующим образом: рассмотрим треугольник АВС, ےВ = 90, АВ = ВС = 5, следовательно, АС = 5√2 (по теореме Пифагора). При отработке решения второго треугольника целесообразно называть его стороны как малый катет, большой катет и гипотенуза. При вычислении сторон опираемся на малый катет. Чтобы найти большой катет, надо малый умножить на √3. Чтобы найти гипотенузу, надо малый катет умножить на 2 (этот факт ученики обычно хорошо помнят еще с седьмого класса). Рассмотрим задачу: «Найти сторону правильного треугольника АВС, если его медиана ВМ равна 5». Оформление решения может быть следующим: так как треугольник АВС правильный, то медиана ВМ является его высотой; рассмотрим треугольник АВМ, ےМ = 90 (ВМ - высота), ےА = 60 (АВС - правильный), значит, АМ = 5 √3 = 5√3 10√3 3 3 , следовательно, АВ = . «Таблица значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°» Задача педагога добиться знания этой таблицы каждым учащимся как таблицы умножения! «Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами» Частое включение этих треугольников в задачи по геометрии позволяют учащимся запомнить тройки чисел, для которых выполняется равенство а2+b2=c2. Знание этих троек помогает ученику при чтении условия задачи узнавать прямоугольные треугольники, находить значения тригонометрических функций и иррациональных выражений, дает возможность предвидеть ответ. Упражнения в учебниках позволяют запомнить только одну-две тройки: 3,4,5 и 5,12,13. Рекомендуется при составлении задач использовать еще и следующие: 20, 21, 29; а также те же тройки, но увеличенные в два-три раза, например, 6,8,10; 9,12,15; 10,24,26; 15,36,39; 40, 42,58 и т.д. И хотелось бы обратить внимание своих коллег еще на одно важное направление - это индивидуальная работа с учащимися. Разумеется, в условиях, в которых работает большинство учителей (большая учебная нагрузка и учителей, и учащихся), организовать результативную индивидуальную работу с учащимися очень сложно. Приходится находить такие формы работы, которые помогают справиться с постоянным лимитом времени. Что-то радикально новое в этом направлении предложить трудно. Мы в своей школе используем такие традиционные формы, как индивидуальное занятие, работу в группах, консультирование слабых учащихся более подготовленной частью классного коллектива. При организации индивидуальной работы с учащимися надо иметь в виду: занятия не должны носить стихийный характер! В частности, индивидуальные занятия необходимо правильно планировать, тщательно изучив пробелы в знаниях учащихся. В целях ликвидации пробелов в знаниях по математике разработать индивидуальный «маршрут» для каждого учащегося в отдельности. Очень часто темы, которые вызывают затруднение у школьников, являются типичными для группы детей. В таких случаях, можно их объединить в группы с учетом пробелов в знаниях. Такая форма работы позволяет включать учащихся в совместное обучение: ребята делятся друг с другом информацией, обсуждают вместе способы решения задач. Заключение Данная статья не является руководством к действию, скорее, она носит консультационный характер. Возможно, кому-то из молодых учителей советы покажутся интересными, предложения целесообразными – помогут решить проблемы, с которыми сталкивается любой учитель математики в практической работе.