Анализ типичных ошибок участников ЕГЭ по математике в 2015

Министерство образования и науки Камчатского края
Краевое государственное автономное образовательное учреждение
дополнительного образования взрослых
«КАМЧАТСКИЙ ИНСТИТУТ
ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ»
Методические рекомендации
Анализ типичных ошибок
участников ЕГЭ по математике в 2015 году
Кудашкина Н.В.,
методист центра повышения
квалификации КГАОУ ДОВ
«Камчатский институт ПКПК»
Петропавловск-Камчатский
2015
ЕГЭ по математике в 2015 году впервые проводился на двух уровнях.
Участник экзамена имел право самостоятельно выбрать любой из уровней,
либо два уровня в зависимости от своих образовательных запросов, а также
перспектив продолжения образования. Для поступления в высшие учебные
заведения на специальности, где математика является одним из
вступительных требований, абитуриент должен выполнить экзаменационные
требования на профильном уровне. Для поступления на специальности, не
связанные с математикой, а также для получения аттестата о среднем
(полном) образовании достаточно выполнения аттестационных требований
на базовом уровне.
В 2015 году были установлены минимальные пороги: по математике
профильного уровня – 27 тестовых баллов; по математике базового уровня –
7 первичных баллов, соответствующие 3 баллам по пятибалльной шкале.
Количество участников выбравших только ЕГЭ базового уровня
составило 445 человек, только ЕГЭ профильного уровня 407 человек, два
уровня 663 человека.
В КИМ ЕГЭ по математике профильного уровня в 2015 году соблюдена
преемственность с КИМ ЕГЭ по математике 2014 года. С целью оптимизации
структуры варианта в условиях перехода к двухуровневому экзамену в
первой части уменьшено число заданий – исключено одно задание практикоориентированного содержания. Во второй части добавлено задание с
экономическим содержанием повышенного уровня сложности. Изменена
форма задания 17 (С3 в 2014 году) и максимальное число баллов за это
задание уменьшено с 3 до 2. Все изменения соответствуют действующему
ФГОС по математике общего образования и отражены в спецификации и
демонстрационном варианте ЕГЭ 2015 года.
Работа в 2015 году состояла из двух частей и содержала 21 задание.
Часть 1 содержит 9 заданий (задания 1-9) с кратким числовым ответом,
проверяющих наличие практических математических знаний и умений
базового уровня.
Часть 2 содержит 12 заданий по материалу курса математики средней
школы, проверяющих уровень профильной математической подготовки. Из
них пять заданий (задания 10-14) с кратким ответом и семь заданий (задания
15-21) с развёрнутым ответом.
Задания делятся на три тематических модуля «Алгебра и начала
анализа», «Геометрия» и «Практико-ориентированные задания».
Задания 1-3, 5 первой части и задания 11 и 19 второй части
представляли практико-ориентированный модуль, включая задание на
элементы курса теории вероятностей.
Задания 4, 7, 9 первой части, задания 12, 16, 18 второй части –
геометрические.
Задания 6, 8 первой части, задания 10, 13, 14, 15, 17, 20 и 21 второй
части – это задания разного уровня сложности по алгебре, включая задания
на составление математических моделей в виде уравнений или неравенств, а
также задания по элементам математического анализа, призванные проверить
базовые понятия анализа и умение применять стандартные алгоритмы при
решении задач.
В целях эффективного отбора выпускников для продолжения
образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к
уровню математической подготовки выпускников задания части 2 работы
предназначены для проверки знаний на том уровне требований, которые
традиционно предъявляются вузами с профильным экзаменом по
математике. Последние три задания части 2 предназначены для конкурсного
отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке
абитуриентов. Задания этой части проверяют умения выполнять вычисления
и преобразования, решать уравнения и неравенства, выполнять действия с
функциями, выполнять действия с геометрическими фигурами, строить и
исследовать математические модели.
В Камчатском крае математику на профильном уровне сдавали 1070
человек, не преодолели минимальный порог 127 выпускников. Набрали от 81
до 100 тестовых балла 11 человек.
Средний балл 46,7.
Наибольшая доля участников (45,4%) получили результат в диапазоне
31-50 тестовых баллов. Как и предполагалось, самый высокий тестовый балл
зафиксирован у выпускников гимназии, лицеев и школ с углублённым
изучением отдельных предметов – 55,9. Средние общеобразовательные
школы различных типов населенных пунктов показали примерно одинаковые
результаты (городские – на 0,1 балла лучше, чем сельские), хуже всего сдали
экзамен обучающиеся вечерних (сменных) школ.
Решаемость заданий базового уровня 1 – 7 находится в пределах
статистической нормы от 73% до 97,2 %. Процент решения этих задач
улучшился по сравнению с прошлым годом. Этот результат стал следствием
совокупности факторов. Во-первых, возможность сдачи математики на
базовом уровне. Во-вторых, с каждым годом происходит все большее
«притирание» к уже имеющимся задачам из банка задач, так что задачи на
старые идеи, что логично, решаются выпускниками с каждым годом все
лучше и лучше. Наиболее слабые результаты показаны учащимися по
задачам базового уровня 8, проверяющее умение выполнять действия с
функциями и задание 9, направленное на умение решать простейшие
стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (44,6% и
57,5% соответственно). В целом при решении заданий базового уровня
выпускники показали хорошие умения;
использовать приобретённые знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни (средний процент решаемости 85,8%),
- решать уравнения и неравенства (средний процент решаемости 81,3%);
- строить и исследовать простейшие математические модели (средний
процент решаемости 78,6).
Сформированность умения решать уравнения и неравенства в части 1
оказалась самой низкой – 44,6%.
Решаемость заданий повышенного уровня с кратким ответом (задания
10 – 14) находятся в диапазоне от 18,9% до 56,6%, что не может являться
хорошим результатом. Очень низкий результат получен и при решении
геометрической задачи 12 повышенного уровня: с ней справилось всего
18,9% участников ЕГЭ по профильной математике.
Задание №15 (С1) занимает одну из важнейших позиций в структуре
КИМ. К его выполнению приступило до 52% участников ЕГЭ, а
положительные баллы получили 27% всех участников (на 2,9% больше, чем в
прошлом году). Успешность выполнения заданий этого типа является
характеристическим свойством, различающим базовый и профильный
уровни подготовки учащихся. Поэтому при подготовке выпускников к
экзамену решению заданий подобного уровня следует уделять много
внимания. Несмотря на то, что задание остается практически неизменным
уже несколько лет, выпускники делают все те же ошибки: неверное
применение формул приведения; незнание формул решения простейших
тригонометрических уравнений и способов их решения; неверное проведение
отбора корней тригонометрического уравнения на заданном отрезке.
Задание 16 являлось практически полным аналогом заданий С2 КИМ
предыдущих лет. Предлагается достаточно простая задача по стереометрии,
решить которую возможно с минимальным количеством геометрических
построений и технических вычислений. Процент школьников, получивших
положительные баллы, хоть и увеличился по сравнению с 2014 годом (с 2,9%
до 12,9%), но все же остается достаточно низким – полностью смогли
выполнить задание только 3,9% экзаменующихся. Тем более, что эта задача
позиционируется как задание для большинства успевающих учеников, а не
только для избранных.
В отличие от задания С3 предыдущих лет в задании №17 надо было
решать не систему из двух неравенств, а только одно неравенство. Несмотря
на упрощение аналогичного задания из прошлых лет, выпускники
справились с ним хуже, чем в 2014 году (11,1% против 12,5%). Основными
ошибками были:
- включение в ответ значение переменной, при котором одна из частей
неравенства не имеет смысла
- вычислительные ошибки.
В планиметрических заданиях №18 (С4) изменений нет. С заданием
справилось 3,2% участников, но только 0,4% смогли решить задачу на 3
балла.
Введение текстовых задач практико-экономического содержания в
ЕГЭ-2015 по математике есть, пожалуй, наиболее заметное изменение во
всем комплексе заданий КИМ с развёрнутым ответом.
В нем существенно усилена сюжетная, практико–ориентированная,
составляющая условия.
Смогли верно свести к решению математической задачи, задать
направление, «продолжаемое» до верного решения – 1,1% выпускников, еще
0,2% практически завершили решение, но не смогли избежать
вычислительных ошибок, полное решение задания привели 0,5%
обучающихся.
Задачу с параметром (задание № 20) выполнили только 0,9%
выпускников, это результат хуже, чем в прошлом году.
Содержательно задание № 21 (бывшее С6) проверяет в первую очередь
не уровень математической (школьной) образованности, а уровень
математической культуры. Вопрос формирования соответствующей
культуры – вещь деликатная и, в целом, формируемая на протяжении
нескольких лет. Это задание по своему тематическому содержанию стало
элементарнее, а для его решения, формально, достаточно простейших
сведений. По этой причине, 17,2% (против 9,4% в 2014 году) получили
положительные баллы, т.е. оно перестало отпугивать выпускников.
Модель ЕГЭ по математике базового уровня представлена впервые.
Содержание работы построено на традициях российского математического
образования, развивает подходы, заложенные в едином государственном
экзамене по математике 2010-2014 гг. При этом существенно расширено
количество заданий, проверяющих освоение умений применять
математические знания в практических ситуациях, увеличено количество
заданий базового уровня сложности, исключены задания повышенного и
высокого уровня сложности.
КИМ ЕГЭ базового уровня в 2015 году разрабатывался с учетом опыта
ЕГЭ по математике прошлых лет, особенностей целевой группы участников
базового экзамена в соответствии с требованиями Федерального компонента
государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего
образования по математике.
КИМ ЕГЭ базового уровня по математике содержит 20 заданий
базового уровня сложности с кратким ответом, проверяющих освоение
базовых умений и навыков применения математических знаний на практике.
Содержание и структура работы дают возможность полно проверить
комплекс умений и навыков по предмету: использование приобретённых
знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;
выполнение вычислений и преобразований; решение уравнений и
неравенств; выполнение действий с функциями; выполнение действий с
геометрическими фигурами; построение и исследование математической
модели.
В работу включены задания по всем основным разделам предметных
требований ФКГОС: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра,
начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. Часть
заданий имеют выраженную практическую направленность; часть заданий
предназначена для проверки логических выводов.
В Камчатском крае математику на базовом уровне сдавали 1108
человек, не преодолели минимальный порог 22 выпускника.
Средний балл 4,02.
Выпускники уверенно продемонстрировали умения;
- описывать с помощью функций различные реальные зависимости
между величинами и интерпретировать их графики; извлекать
информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках –
решаемость 93,9%;
анализировать
реальные
числовые
данные,
информацию
статистического характера; осуществлять практические расчеты по
формулам; использовать с оценкой и прикидкой при практических
расчетах – решаемость 89,7% - 90,5%;
- решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического
характера – решаемость 88,4%;
- моделировать реальные ситуации на языке алгебры – решаемость 87,6%.
Хуже всего экзаменуемые справились с заданиями, оценивающие
умения:
- решать простейшие стереометрические задачи на нахождение
геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов)- решаемость
34,4%;
решать
рациональные,
иррациональные,
показательные,
тригонометрические и логарифмические неравенства, их системы –
решаемость 39,8%;
Анализ работы показывает, что в целом с проверяемым комплексом
умений и навыков по предмету обучающиеся справились следующим
образом:
- умение использовать приобретённые знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни продемонстрировали в среднем
90,6%;
- умение выполнять действия с функциями – 85%;
- умение выполнять вычисления и преобразования – 75,2%;
- умение строить и исследовать математические модели – 62,3%;
- умение решать уравнения и неравенства – 59,2%;
- уметь выполнять действия с геометрическими фигурами – 47,9%.
Итоги ЕГЭ 2015 года выявляют ключевые проблемы,
определяющие недостаточное количество выпускников с уровнем
подготовки, достаточным для успешного продолжения образования в
профильных ВУЗах.
 Несформированность базовой логической культуры;
 Недостаточные геометрические знания, графическая культура;
 Неумение проводить анализ условия, искать пути решения,
применять известные алгоритмы в измененной ситуации;
 Неразвитость регулятивных умений: находить и исправлять
собственные ошибки.
Указанные проблемы вызваны, помимо недостатка внутренней
мотивации, системными недостатками в преподавании.
 Отсутствие системы выявления и ликвидации пробелов в
осваиваемых математических компетенциях, начиная с 6 класса;
 Отсутствие системной поддержки углублённого математического
образования в 8-11 классах;
 Отсутствие действительного разделения обучения математике на
базовое и профильное в 10-11 классах, что провоцирует низкую
эффективность уроков.
 Отсутствие системной работы по развитию математического
таланта учащихся;
 Недостаточная квалификация педагогов, в том числе предметная
(неумение решать задачи), неумение использовать дистанционные
формы работы.
В условиях двухуровневого экзамена для организации
учебного процесса образовательные организации должны
учитывать наличие двух групп учащихся, имеющих различные
перспективы профессиональной деятельности и формирующих
различные образовательные запросы. Рабочие программы по
математике образовательных организаций должны отражать
выявившуюся тенденцию. Образовательным учреждениям следует
изыскать возможности для разделения образовательных траекторий
различных целевых групп учащихся. В условиях двухуровневого
ЕГЭ по математике эта задача выходит на первый план. Решение
этой задачи позволит повысить эффективность использования
учебных часов.
Необходимо насытить рабочие программы практико–
ориентированными заданиями, выстроить систему изучения
практической, жизненно важной математики во все школьные годы.
Сюда входят элементы финансовой и статистической грамотности,
умение принимать решения на основе расчетов, навыки самоконтроля с
помощью оценки возможных значений физических величин на основе
жизненного опыта и изучения предметов курса естествознания.
Рабочие программы должны базироваться на примерных
образовательных программах в рамках ФГОС по математике,
которые учитывают переход к разным уровням школьного
математического образования.
Рекомендации по работе с учащимися, планирующими
выполнение экзаменационной работы на профильном уровне.
Для учащихся, которые могут успешно освоить курс
математики средней (полной) школы на базовом уровне,
образовательный акцент должен быть сделан на полное изучение
традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии на базовом
уровне. Помимо заданий базового уровня в образовательном процессе
должны использоваться задания повышенного уровня. Количество
часов математики должно быть не менее 5 часов в неделю.
Для учащихся, которые могут успешно освоить курс
математики средней (полной) школы на профильном (повышенном)
уровне, образовательный акцент должен быть сделан на полное
изучение традиционных курсов алгебры и начал анализа и геометрии
на профильном уровне. Количество часов математики должно быть не
менее 6-7 часов в неделю.
Для группы учащихся имеющих достаточный уровень
математической подготовки для продолжения обучения с самыми
высокими требованиями к уровню математической компетентности.
Это
контингент
абитуриентов
физико-математических
специальностей
ведущих
университетов,
фундаментальных
специальностей технических и экономических вузов. Количество
часов математики должно быть не менее 7-8 часов в неделю.
В первую очередь нужно выработать у обучающихся быстрое
и правильное выполнение заданий части 1, используя, в том числе и
банк заданий экзамена базового уровня. Умения, необходимые для
выполнения заданий базового уровня, должны быть под
постоянным контролем.
Задания с кратким ответом (повышенного уровня) части 2
должны находить отражение в содержании математического
образования, и аналогичные задания должны включаться в систему
текущего и рубежного контроля.
В записи решений к заданиям с развёрнутым ответом нужно
особое внимание обращать на построение чертежей и рисунков,
лаконичность пояснений, доказательность рассуждений.
Рекомендации по работе с учащимися, планирующими
выполнение экзаменационной работы на базовом уровне.
Для учащихся, слабо овладевших или фактически не
овладевших математическими компетенциями, требуемыми в
повседневной жизни, и допускающих значительное число ошибок в
вычислениях, при чтении условия задачи, образовательный акцент
должен быть сделан на формирование базовых математических
компетентностей. В этой группе учебный материал старшей школы
может изучаться обзорно. Дополнительно потребуется не менее 2-3
часов в неделю для ликвидации проблем в базовых предметных
компетенциях. Общее количество часов математики должно быть
не менее 5 часов.
Для подготовки к государственной итоговой аттестации
учащихся этой категории следует различными диагностическими
процедурами выявить 9-12 заданий экзамена базового уровня,
которые учащийся может выполнить, возможно, с ошибками, и в
процессе обучения добиться уверенного выполнения этих заданий.
Расширять круг этих заданий следует поэтапно.
Эта работа может быть организована для различных групп
учащихся одного класса на разных уровнях в урочной и внеурочной
работе.
В обучении учащихся, имеющих значительные пробелы в
знаниях и слабые вычислительные навыки, программа обучения
должна быть компенсирующей.
Для учащихся, которые имеют достаточно высокий уровень
подготовки, но не планируют сдачу экзамена профильного уровня,
при подготовке к экзамену базового уровня, следует делать
больший акцент на решение задач 18-20, с целью развития
мышления,
а
также
уделить
внимание
формированию
представления об общекультурной роли математики, развитию
наглядных геометрических представлений.
Вывод.
Анализ результатов всей работы показывает, что лучше всего
выпускники овладели умениями использовать приобретённые знания и
умения в практической деятельности и повседневной жизни – средний
процент выполнения заданий 61,9% и выполнять вычисления и
преобразования (56,6%). Сформированность умения выполнять
действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами в
среднем составляет 42,1%, причем решаемость задач по планиметрии
54,5%, а по стереометрии – 29,8%. Примерно на одном низком уровне
сформированы умения строить и исследовать простейшие
математические модели (38,6%), выполнять действия с функциями
(34,1%), решать уравнения и неравенства (30,1%).
Кудашкина Наталья Васильевна, методист отдела общего образования КГАОУ
ДОВ «Камчатский институт повышения квалификации педагогических кадров»