метод проецирования - Камышинский технологический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»
ПРЯМАЯ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ
Методические указания к выполнению семестровой работы
по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2005
УДК 744 (07)
П 85
ПРЯМАЯ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ: Методические указания к выполнению семестровой работы по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика» / Сост. Н. В. Бережная; Волгоград. гос. техн. ун-т. –
Волгоград, 2005 – 24 с.
Предлагаемые методические указания с теоретической основой по теме
«Прямая. Взаимное расположение прямых» и варианты заданий являются руководством к выполнению самостоятельной графической работы для студентов,
обучающихся по направлениям: 260700, 140200 и 150900 и специальностям
140211, 151001 сокращенной формы подготовки студентов.
Ил. 14. Библиогр.: 4 назв.
Рецензент В. А. Деманова
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составитель НАДЕЖДА ВАСИЛЬЕВНА БЕРЕЖНАЯ
ПРЯМАЯ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Методические указания к выполнению семестровой работы
по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика»
Под редакцией автора
Темплан 2005 г., поз. № 56.
Подписано в печать 08. 06. 2005 г. Формат 1/8.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 3. Усл. авт. л. 2,6.
Тираж 100 экз. Заказ 57.
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
©
2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2005
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначения геометрических образов и их проекций
1. Плоскости проекций:
Н – горизонтальная плоскость проекций;
V – фронтальная плоскость проекций;
W – профильная плоскость проекций.
2. Оси проекций:
х – ось абсцисс;
у – ось ординат;
z – ось аппликат.
3. Точки, расположенные в пространстве:
А, B, C, D, …, L, M, N, …
1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14, …
4. Прямая общего положения:
а, b, с, d, …, l, m, n, …
Прямые уровня:
h – горизонталь;
f – фронталь;
w – профильная прямая.
Для прямых используются также следующие обозначения:
(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В;
[АВ) – луч с началом в точке А;
[АВ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В;
АВ – длина отрезка АВ.
5. Проекции геометрических образов:
горизонтальная – без добавления верхнего индекса;
фронтальная – добавление верхнего индекса ;
профильная – добавление верхнего индекса .
6. Следы прямой:
М – горизонтальный;
N – фронтальный;
Р – профильный.
7. Углы:
 – угол, между прямой и горизонтальной плоскостью проекций Н;
 – угол, между прямой и фронтальной плоскостью проекций V;
 – угол, между прямой и профильной плоскостью проекций W.
Для углов используются также следующие обозначения:
, … , …;
АВС, ВСD, …;
– прямой угол.
8. Символы, теоретико-множественные и обозначающие отношения между
геометрическими фигурами:
 – принадлежит;
 – содержит (проходит через точку);
3
∩ – пересечение;
≡ – совпадают;
 – параллельны;
 – перпендикулярны;
– скрещиваются;
 – союз «и»;
 – союз «или»;
 – следует (если …, то …).
Многие из приведенных символов могут быть перечеркнуты наклонной чертой, что обозначает отрицание. Например, А  l – точка А не принадлежит линии l; а  b – прямые а и b не параллельны.
1. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ЕЁ ОСОБЫЕ
ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
На основании инвариантного свойства при ортогональном проецировании
на плоскость прямая линия проецируется в прямую линию. Поэтому для определения проекции прямой достаточно иметь проекции двух не тождественных
точек, принадлежащих этой прямой.
На рис. 1 приведен эпюр отрезка АВ в системе Н, V, W. Точки А и В находятся на разных расстояниях от плоскостей проекций, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них.
Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.
Проекции отрезка прямой общего положения меньше самого отрезка в
пространстве.
Характерный признак этой прямой на эпюре заZ
b
b
ключается в непараллельности и неперпендикулярности её проекций ни одной оси проекций.
Кроме рассмотренного случая, прямая по отноa
a
шению к заданной системе плоскостей проекций
0
X
У
может занимать и особое (частное) положение.
a
I группа прямых частного положения
b
У
Прямая параллельная одной плоскости проРис. 1
екций (прямые уровня). Проекция её отрезка на
эту плоскость равна самому отрезку в пространстве.
Называется такая прямая как и плоскость проекций, которой она параллельна.
Характерный признак таких прямых на эпюре – две проекции из трех параллельны разным осям и перпендикулярны одной оси проекций.
Рассмотрим эти прямые и краткие их характеристики.
4
а) Горизонталь (h) – прямая параллельная плоскости проекций Н
На эпюре горизонтальная проекция отрезка горизонтали равна самому отрезку (cd = CD).
Фронтальная проекция параллельна оси ОХ (cd  ОХ), а угол, составленный
горизонтальной проекцией и осью ОХ (), равен углу наклона горизонтали к
фронтальной плоскости проекций V ( =  (CD, V)). Угол, составленный горизонтальной проекцией и линией связи, равен углу наклона горизонтали к
профильной плоскости проекций W ( = (CD, W)).
V
c
d
c
d
C
D
Х
cd = CD
cd   ОХ
 =  (CD, V)
 =  (CD, W)
Х
c
с
н. в
.
d
H
d
б) Фронталь (f) – прямая параллельная плоскости проекций V
V
f
e
e
н. в.
f
еf = EF 
ef  ОХ
 =  (EF, Н)
 =  (EF, W)
F
E
Х
Х
e
f
f
e
H
в) Профильная прямая(w) – прямая параллельная плоскости проекций
Z
V
k
k
k
K
k
l
Х
Z
L
l
W
O
k
l
H
0
Х
l
k
н. в.
l
У
У
l
kl = KL
kl и kl  ОХ
 =  (KL, Н)
 =  (KL, V)
У
II группа прямых частного положения
Прямая параллельная двум плоскостям проекций и перпендикулярная
третьей (проецирующие прямые). Проекции её отрезка на плоскости проекций, которым она параллельна, равны самому отрезку; на плоскости
проекций, которой она перпендикулярна – точка.
5
В название такой прямой входит признак плоскости проекций, которой она
перпендикулярна с добавлением слова «проецирующая». Характерный признак
таких прямых на эпюре – две проекции из трех перпендикулярны разным осям
и параллельны одной оси проекции, третья проекция – точка.
а) Горизонтально проецирующая – прямая перпендикулярная плоскости проекций Н
а
н. в.
a
V
A
b
аb – точка
а b = а  b = АВ и  ОZ
а b  ОХ
а b  ОУ.
b
В
Х
H
Х
а b
а b
б) Фротально проецирующая – прямая перпендикулярная плоскости проекций V
V
c d
C
с d
cd – точка
cd = cd = СD и  ОУ
сd  ОХ
cd  ОZ
D
Х
Х
c
н.в.
c
H
d
d
в) Профильно проецирующая – прямая перпендикулярная плоскости проекций W
Z
Z
e
V e
e
f
E
F
O
X
H
н. в.
f
W
O
X
f
e
e f
f
e
н. в.
f
У
У
e f – точка
ef = e f = EF и  ОX
ef  ОУ
e f  ОZ
У
Таким образом, прямая может занимать семь характерных положений относительно плоскостей проекций.
Принадлежность прямой плоскости проекций является частным случаем параллельности прямой этой плоскости и трудностей при проецировании не вызывает.
2. СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
6
Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. Эти точки разделяют прямую линию на участки, расположенные
в различных частях пространства, разделенного плоскостями проекций, т. е. это
точки перехода прямой из одной четверти или октанта в другой.
В зависимости от того, с какой плоскостью проекций происходит пересечение прямой, следы обозначают и называют:
М – горизонтальный след прямой;
N – фронтальный след прямой;
Р – профильный след прямой.
Z
c3
N n
n
l
l
c2
X
m
n
p
l
c
c1
M m
У
m р
O
c5
У
с4
P p
m
р
Рис. 2
Составим алгоритм нахождения следов прямой. Для примера рассмотрим
определение М прямой l (рис. 2). Горизонтальный след принадлежит как прямой l, так и плоскости проекций Н. Поэтому для нахождения горизонтального
следа прямой необходимо:
а) отметить точку пересечения фронтальной проекции прямой с осью ОХ
(l ∩ ОХ = m′);
б) через полученную точку провести прямую с, перпендикулярную оси ОХ
(с  ОХ; с  m′);
в) пересечение перпендикуляра (с) с горизонтальной проекцией прямой укажет
положение горизонтального следа
М (с ∩ l).
То есть алгоритм определения горизонтального следа прямой l может быть
записан:
М = (l ∩ ОХ = m′); (с  ОХ; с  m′); с ∩ l.
Для определения горизонтального следа можно использовать и профильную
проекцию прямой l, тогда алгоритм определения М будет:
7
М = (l ∩ ОУ = m); (с1  ОУ; с1  m); с1 ∩ l.
Аналогично определяется фронтальный N и профильный след прямой l:
N = (l ∩ ОX = n); (с2  ОX; с2  n); с2 ∩ l′,
N = (l ∩ ОZ = n); (с3  ОZ; с3  n); с3 ∩ l′,
P = (l ∩ ОУ = p); (с4  ОУ; с4  p); с4 ∩ l ,
P = (l′ ∩ ОZ = p′); (с5  ОZ; с5  p′); с5 ∩ l .
По положению следов М, N и Р можно заключить, что заданная прямая l
проходит через I, II, IV и VIII октанты.
Следы у прямых частного положения определяются аналогично рассмотренному примеру с прямой общего положения. Но следует иметь в виду, что
прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, следа на этой плоскости
иметь не может, так как она с ней не пересекается. Поэтому, прямые уровня (I
группа прямых частного положения) имеют только два следа, а проецирующие
прямые (II группа) – только один след.
3. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ. ДЕЛЕНИЕ
ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции
точки принадлежат одноименным проекциям прямой.
Из трех точек С, D и Е, приведенных на рис. 3, лишь одна точка С лежит на
прямой АВ.
b
Если точка не принадлежит прямой то возможd
ны четыре частных случая: точка над прямой; точc
e
ка под прямой; точка перед прямой; точка за прямой. Так на рис. 3 точка D расположена над пря- a
мой, а точка Е перед прямой АВ.
Х
Из свойств ортогонального проецирования изb
вестно, что если точка делит отрезок прямой в
a
d
c
данном отношении, то проекции этой точки деe
лят одноименные проекции прямой в том же
Рис. 3
отношении.
Из чего следует, что для деления отрезка АВ в
данном отношении достаточно разделить в этом отношении одну из проекций
данного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию
отрезка.
На рис. 4 дан пример деления отрезка АВ в отношении 2:4. Для этого из горизонтальной проекции точки А проведем вспомогательную прямую, на которой отложим шесть (2 + 4) отрезков произвольной длины, но равных между собой. Проведем отрезок В6 и параллельно ему через точку 2 прямую, получаем
горизонтальную проекцию точки К, причем ak:kb = 2:4, затем по линии связи
находим фронтальную проекцию точки К, которая в заданном отношении разделит фронтальную проекцию прямой АВ.
8
a
b
c
k
b
a
b
b
b
k
a
2
c
6
c
a
Рис. 4
Рис. 5
Этим способом можно воспользоваться для более простого построения
недостающей проекции точки на профильной прямой. Так, если на фронтальной проекции отрезка АВ (рис. 5) задана проекция точки С, то для построения
ее горизонтальной проекции необходимо разделить горизонтальную проекцию
АВ в том же отношении, в котором точка С делит фронтальную проекцию АВ.
Проведем из горизонтальной проекции точки А вспомогательную прямую, отложив на ней фронтальную проекцию отрезка, затем проведем прямую b′ b и
параллельную ей через точку с′ прямую до пересечения с АВ в точке с. Эта точка и будет искомой.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА
ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ И УГЛОВ НАКЛОНА
ЕГО К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого равен одной из проекций, другой – разности расстояний концов второй проекции до оси проекций.
На рис. 6 показано определение натуральной величины отрезка АВ и углов
его наклона к плоскостям проекций
Вначале находят разность расстояний точек до плоскостей проекций (∆х, ∆у, ∆z).
При определении натуральной величины отрезка АВ на горизонтальной плоскости
проекций Н, к горизонтальной проекции отрезка под прямым углом нанесем второй катет – разность расстояний точек до Н(∆z). Гипотенуза построенного треугольника выразит натуральную величину отрезка АВ, а угол между проекций
9
прямой и гипотенузой – угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости
проекций Н().
Z
b
b
.
н. в
х
z
y .
a
a
x
н. в.
У
X
a .
y
z
н. в.
b
У
Рис. 6
При определении натуральной величины отрезка на фронтальной плоскости
проекций V, к фронтальной проекции отрезка под прямым углом наносят разность расстояний точек до V(∆у). Гипотенуза треугольника – натуральная величина отрезка, а угол между проекцией и гипотенузой – угол наклона отрезка АВ
к V().
Определяя натуральную величину отрезка на профильной плоскости проекций W, к профильной проекции отрезка под прямым углом наносят разность
расстояний точек до W(∆х). Гипотенуза треугольника – натуральная величина
отрезка, а угол между проекцией и гипотенузой – угол наклона отрезка к
W().
Итак, если необходимо найти только натуральную длину отрезка, то достаточно найти ее на любой из плоскостей проекций, но если требуется найти углы
наклона прямой к плоскостям проекций, то необходимо определить натуральную величину отрезка на всех плоскостях проекций.
5. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Различают три случая взаимного положения двух прямых: параллельные,
пересекающиеся и скрещивающиеся прямые.
а) Параллельные прямые.
b
Если в пространстве прямые параллельны,
d
то их одноименные проекции параллельны
между собой.
a
c
Для того чтобы сделать вывод о взаимной паХ
раллельности двух прямых общего положения,
d
c
достаточно параллельности их одноименных проb
екций на двух плоскостях проекций. На эпюре
a
Рис. 7
(рис. 7) у прямых общего положения АВ и СD го10
ризонтальные и фронтальные проекции попарно параллельны, следовательно,
эти прямые параллельны между собой.
Особый случай представляют собой прямые уровня, для оценки взаимного
положения которых необходимо обратиться к проекциям прямых на той плоскости проекций, которой они параллельны. Так, горизонтальные и фронтальные
проекции профильных прямых EF и GK попарно параллельны (рис. 8), но эти
прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных
проекций.
На рис. 9 показан случай, когда можно установить, что профильные прямые
АВ и СД не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей проекции: достаточно обратить
Z
внимание на чередование букg
g
c венных обозначений и изменение величины проекций отрезa
e
e
ков.
k
k
b
Итак, для прямых общего
d положения
f
f
условия параллельa
У
X
k
d ности следующие:
f
если одноименные проекc ции прямых общего положеg
ния параллельны в системе
b
e
двух плоскостей проекций, то
У
Рис. 8
Рис 9
прямые параллельны.
Для прямых частного положения:
если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.
б) Пересекающиеся прямые.
a
d
p
Если прямые пересекаются, то их одноименные
проекции пересекаются между собой в точке, которая
c
является проекцией точки пересечения этих прямых. Х
b
Проекции точки пересечения (рис. 10) будут лежать на
c
b
одной линии связи.
a
p
d
Если одна из прямых параллельна какой-либо плоскоРис. 10
сти проекций, то для определения положения прямых в
пространстве необходимо построить проекции прямых на этой плоскости проекций.
f
3
в) Скрещивающиеся прямые.
q
1 2
Скрещивающиеся прямые – это прямые не
4
k
параллельные и не пересекающиеся между соe
бой, т. е. эти прямые не имеют общей точки и Х
1
e
k
не лежат в одной плоскости.
f
На рис. 11 изображены две скрещивающиеся
3 4
2
q
прямые общего положения: хотя одноименные
11
Рис. 11
проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не лежат на
одной линии связи. У этих точек горизонтальные или фронтальные проекции
совпадают, а другие нет.
Точки, у которых совпадают одни проекции, а другие проекции не совпадают, называются конкурирующими.
6. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ УГЛОВ
а) Если плоскость угла перпендикулярна к плоскости проекций, то он
проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии (рис. 12).
a
c
c
b
a
b
a
c
a
c
b
b
Рис. 12
Рис. 13
б) Если плоскость угла параллельна какой-либо плоскости проекций,
то его проекция на эту плоскость равна по величине проецируемому углу
(рис. 13).
в) Если плоскость угла не перпендикулярна плоскости проекций и хотя
бы одна из его сторон параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в прямой, острый в острый, тупой в тупой, но проекции
двух последних не равны по величине проецируемому углу.
Итак, если угол прямой, то для того чтобы он спроецировался на плоскость
проекций в натуральную величину, достаточно параллельности одной его стороны этой плоскости проекций (рис. 14).
a
.
b
e
m
c
h
f
d
X
X
. b
e
c
h
a
Рис. 14
12
d
m
f
7. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ
Прежде чем приступить к решению задач, необходимо изучить материал по
учебной литературе и ответить на вопросы, поставленные к данной работе.
Каждый студент получает отдельный вариант задания, в который входит
решение трех задач. Пример решения задач дан в приложении. Вариант назначается преподавателем. Выполненное задание сдается преподавателю в установленные сроки.
Графическая работа выполняется в карандаше на листе формата А4. Изображения должны быть расположены на поле чертежа рационально. Все промежуточные построения, выполненные тонкими линиями, остаются на листе для
проверки преподавателем.
Внутренняя рамка чертежа проводится на расстоянии 20 мм от его левого
края и по 5 мм с трех других сторон.
Надписи, а также цифровые и буквенные обозначения должны быть выполнены стандартным шрифтом № 5 по ГОСТ 2.304-81. Толщина и тип линии
должны соответствовать ГОСТ 2.303-68.
8. СОДЕРЖАНИЕ И ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЯ
Вариант № 1
a
1. Построить фронтальную проекцию отрезка АВ, если он наклонен к плоскости проекций Н под углом 30 и имеет длину 50 мм.
X
a
b
2. Построить проекции ромба АВСD, если
дана его диагональ ВD и горизонтальная
проекция вершины А.
X
a
b
.
d
d
a
3. Построить следы прямой, определяемой
точками А и В, и указать, через какие четверти пространства она проходит.
b
X
b
a
13
Вариант № 2
c
a
b
1. Через точку А провести горизонталь, пересекающую отрезок ВС.
X
b
a
c
2. Даны фронтальная проекция АВ – стороны прямоугольника АВСD и прямая ВМ.
Построить прямоугольник, если его большая сторона ВС принадлежит прямой ВМ и
отношение сторон равно двум.
a
b
m
X
b
m
l
3. Определить следы прямой l общего положения. Указать, через какие четверти
пространства она проходит.
X
l
Вариант № 3
Z
1. Построить фронтальную проекцию треугольника АВС и определить его истинный
вид по трем сторонам.
b
a
X
c
У
b
a
c
У
a
c
b
d
2. Определить расстояние между параллельными прямыми АВ и СD.
d
c
b
a
a
3. Определить следы прямой АВ, и указать,
через какие четверти пространства она проходит.
b
X
b
a
14
Вариант № 4
1. Построить эпюр прямой АВ длиной 50
мм, расположенной над плоскостью проекций Н на расстоянии 20 мм и наклоненной к
плоскости V под углом 30. АВ – горизонталь.
.
X
a
e
2. Через точку К перпендикулярно данному
отрезку ЕК провести горизонталь КА и
фронталь КВ отрезки прямых, равные отрезку ЕК.
k
k
e
l
3. Определить следы прямой l общего положения. Указать, через какие четверти
пространства она проходит.
X
l
Вариант № 5
a
1. Построить недостающую фронтальную
проекцию отрезка АВ, если
Zb – Za = 2 (Уb – Уa).
a
b
a
2 Построить проекции ромба, если АС –
диагональ ромба АВСD. Вершина В принадлежит Н, а вершина D равноудалена от
плоскостей Н и V.
c
X
a
3. Определить следы прямой e, и указать,
через какие четверти пространства она проходит.
15
c
e
X
e
Вариант № 6
Z
b
. Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, если угол наклона его к плоскости Н равен 60.
a
a
X
У
У
b
2. Через точку А перпендикулярно отрезку
АВ провести горизонталь и на ней по разные стороны от точки А отложить отрезки,
равные данному отрезку АВ.
b
a
a
b
a
3. Построить следы прямой, определяемой
точками А и В, и указать, через какие четверти пространства она проходит.
X
a
b
Вариант № 7
d
1. Построить недостающую горизонтальную проекцию отрезка CD, если
Ус – Уd = 3 (Zd – Zc).
c
d
a
k
2 Построить проекции ромба АBСD c
фронтальной диагональю АС и вершиной
В на прямой K.
c
a
k
3. Определить следы прямой e, и указать,
через какие четверти пространства она
проходит.
X
e
e
16
c
Вариант № 8
Z
k
1. Через точку А провести прямую АВ, параллельную профильной прямой KL.
l
a
X
У
k
a
l
У
a
b
c
2. Определить расстояние от точки С до
прямой АВ.
c
b
a
3. Построить проекции прямой по заданным ее следам, и указать, через какие четверти пространства она проходит.
X
.
.
N
M
Вариант № 9
a
1. Определить недостающую фронтальную проекцию отрезка АВ, его длину и угол , если угол
 = 30 и Zb > Za.
a
b
f
2. Построить равнобедренный треугольник АBС
c основанием ВС на прямой MN и с вершиной А
на прямой EF, исходя из условия, что точка К
является основанием высоты АК, а основание
равно 2АК.
n
e
k
m
m
e
k
n
f
a
3. Определить следы прямой, определяемой
точками А и В, и указать, через какие четверти
пространства она проходит.
b b
X
a
17
Вариант № 10
b k
e
a
1. Построить недостающие проекции точек E
и К профильной прямой, заданной отрезком
АВ.
a
b
a
n
m
2. Построить квадрат АВСD с диагональю ВD
на прямой MN.
c
m
n
a
3. Определить следы прямой, определяемой
точками А и В, и указать, через какие четверти пространства она проходит.
a
b
X
b
Вариант № 11
Z
b
1. По натуральной величине отрезка и одной из
его проекций построить недостающие проекции
отрезка АВ. Указать количество решений.
X
.
У
b
н. в.
a
У
a
2. Построить прямоугольный треугольник АBС
c катетом ВС на прямой MN. Катет ВС в 1,5 раза
больше катета АВ.
m
n
m
n
a
3. Построить проекции прямой по заданным ее
следам, и указать, через какие четверти пространства она проходит.
.
M
X
.
N
18
Вариант № 12
b
1. Построить горизонтальную проекцию отрезка АВ, параллельного прямой m и пересекающего прямую l.
m
l
a
X
l
m
f
b
2. Построить квадрат АВСD со стороной ВС
на прямой ВМ, исходя из условия, что вершина А принадлежит прямой EF.
e
f
m
b
m
e
3. Построить проекции прямой по заданным
ее следам, и указать, через какие октанты
пространства она проходит.
. .
N
Z
M
X
.
P
У
У
Вариант № 13
1. По натуральной величине отрезка и одной из
его проекций построить недостающие проекции
отрезка CD. Указать количество решений.
н.
в
.
Z
d
c
X
У
c
У
e
2. Построить ромб АBСD c большей диагональю
ВD на прямой MN и вершиной А на прямой EF,
исходя из условия, что точка O есть пересечение диагоналей, а их отношение равно 2.
f
o
m
e
o
m
f
l l
3. Определить следы прямой l, и указать, через
какие четверти пространства она проходит.
X
19
n
n
Вариант № 14
Z
a
1. Через точку М провести прямую n, пересекающую прямую а и ось Z.
m
O
X
а
У
m
c
m
X
2. Построить проекции треугольника, если
СМ – высота треугольника АВС и вершина В
принадлежит плоскости проекций V.
m
c
3. Построить проекции прямой по заданным
ее следам, и указать, через какие октанты она
проходит.
.
.
P
N
.
X
Z
У
M
У
Вариант № 15
. . .
.
n
1. Построить недостающие проекции указанных точек, принадлежащих одной и той же
прямой l.
m
X
k
e
e
2. Построить квадрат АBСD c диагональю ВD
на прямой MN, исходя из условия, что вершина А принадлежит прямой EF и точка O есть
пересечение диагоналей.
f
n
o
m
o
m
e
n
f
3. Определить проекции прямой по заданным
ее следам, и указать, через какие октанты она
проходит.
.
Z
M
X
N
.
У
20
.
P
У
Вариант № 16
b
1. Определить недостающую горизонтальную
проекцию отрезка АВ, его длину и угол , если угол  = 30 и Уb  Уа.
a a
c
2. Определить расстояние между прямыми АВ
и CD.
a
b
d
c
a
b
3. Построить проекции прямой по заданным
ее следам, и указать, через какие октанты она
проходит.
d
.
Z
N
X
. .
P
M
У
У
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К РАБОТЕ
1. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая называется прямой общего положения?
2. Какие линии называют прямыми уровня, проецирующими прямыми?
3. Сколько положений относительно плоскостей проекций может занимать
прямая?
4. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку?
5. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой, если его
фронтальная проекция равна самому отрезку?
6. Что называется следом прямой линии на плоскости проекций?
7. Укажите алгоритм построения следов прямой линии.
8. У каких прямых линий можно получить три следа, только два и у каких
прямых только один след?
9. Как определить натуральную величину отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскостям проекций?
10. Как разделить отрезок прямой линии в заданном отношении?
11. Как изображаются на чертеже параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые линии?
12. Как следует истолковывать точку пересечения проекций двух скрещивающихся прямых?
13. В каком случае прямой угол проецируется в виде прямого угла?
14. Может ли проекция острого или тупого угла, у которого одна сторона
параллельна плоскости проекций, равняться самому углу в пространстве?
21
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.Л. Курс начертательной геометрии. –
М.: Высшая школа, 1998. – 272 с.
2. Бубенников А.Д., Громов М.Я. Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк.,
1973. – 416 с.
3. Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 1983. –
239 с.
4. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. – М.: Гуманит. изд.
центр ВЛАДОС, 1999. – 471 с.
22
ПРИЛОЖЕНИЕ
Примеры решения типовых задач
Задача 1. На прямой общего положения l отложить вправо от точки
А отрезок АВ длиной 25 мм.
Решение:
l
a
b
z
1
1
b
.
25 мм
a
l
.
z
10
b0
1. Отмечаем на прямой l произвольную точку 1(1,1);
2. Определяем натуральную величину [A1];
3. На полученном направлении
натуральных величин от точки А
откладываем /АВ/ заданной длины;
4. Из точки b0 проводим  к l и в
пересечении получаем b, затем b.
Задача 2. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник
АВС с катетом ВС на прямой m.
в.
н.
.
b
b
a
x
Решение:
m
c
у
c
1. Прямая m – фронталь, следовательно
проецируется на V;
2. Пересечение , проведенного из точки А к прямой m, дает точку В;
3. Определяем натуральную величину /АВ/ и откладываем по фронтали (m);
4. Соединяем полученные точки.
m
у
a
Задача 3. Определить следы прямой l общего положения. Указать,
через какие углы пространства она проходит.
Решение:
l
I
II
n
n
x
m
1. Определяем следы:
М = (l  ∩ ОХ = m′); (с  ОХ; с  m′); с ∩ l.
N = (l ∩ ОX = n); (с1  ОX; с1  n); с1 ∩ l′;
2. Определяем углы пространства.
Заданная прямая проходит через I, II и
III четверти пространства
III
m
l
23
СОДЕРЖАНИЕ
Условные обозначения………………………………………………………………3
1. Проецирование прямой линии и ее особые положения относительно……..
плоскостей проекций…………………………………………..………………...4
2. Следы прямой…………………………………………………………...…….7
3. Точка на прямой. Деление отрезка в заданном отношении………………..8
4. Определение натуральной величины отрезка прямой общего……………...
положения и углов наклона его к плоскостям проекций……………………...9
5. Взаимное положение прямых в пространстве…………………………......10
6. Проекции плоских углов……………………………………………………12
7. Указания к выполнению задания…………………………………………...13
8. Содержание и варианты задания…………………………………………...13
Контрольные вопросы к работе…………………………………………………...21
Список рекомендуемой литературы………………………………………………22
Приложение…………………………………………………………………………23
24
Составитель НАДЕЖДА ВАСИЛЬЕВНА БЕРЕЖНАЯ
ПРЯМАЯ. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Методические указания к выполнению семестровой работы
по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика»
Под редакцией автора
Темплан 2005 г., поз. № 56.
Подписано в печать 08. 06. 2005 г. Формат 1/8.
Бумага потребительская. Гарнитура ”Times“.
Усл. печ. л. 3,14. Усл. авт. л. 2,75.
Тираж 100 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.