МетодыМатМоделирования

Для аттестации. Контакты: 8-916-673-70-21, natali.voznyuk@yandex.ru.
Элементы математического моделирования
в классах, спрофилированных на медицинские специальности
Вознюк Н.Е., учитель математики ГОУ СОШ №1253.
Пред любым учителем всегда встает вопрос о развитии познавательного
интереса учащихся к его предмету. Я работаю учителем математики в
химико-биологических
классах
при
Российском
Государственном
медицинском университете имени Н.И. Пирогова. Для поступления в РГМУ
ребятам высокие баллы ЕГЭ по математике не нужны (только для получения
аттестата). Однако уже на первом курсе будущие медики начинают изучать
высшую математику, которая включает в себя следующие разделы:




Математический анализ
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Дифференциальные уравнения
Методы математической физики.
На своих уроках я стараюсь давать материал таким образом, чтобы в
дальнейшем учащиеся чувствовали себя достаточно уверенно на лекциях и
семинарах по высшей математики. Большое внимание я уделяю решению
практических задач химико-биологической направленности средствами
математики. Это дает мне возможность показать высокую значимость
математики для химиков и биологов, способствует развитию логического
мышления учащихся. Способность аналитически мыслить, создавать
математическую модель объекта и исследовать ее открывают перед
ребятами новые возможности в области решения задач по химии. Такой
подход к урокам математики привлекает учащихся, повышает их мотивацию,
что в итоге несомненно приводит к повышению качества обучения как по
математике,
так
и
по
химии
и
биологии.
Особое внимание я уделяю использованию дифференциального
исчисления, тем самым показывая учащимся, что производные и интегралы
изучают не ради их самих, а как инструмент для объяснения реальных
явлений природы.
В разделе химической кинетики учащиеся 11-го класса изучают зависимость
скорости реакции от концентрации реагирующих веществ. На уроке алгебры
можно предложить им следующую задачу.
Хлорбензол превращается в фенол в реакторе, представляющем собой
трубу. Условия подобраны таким образом, что скорость превращения
линейно зависит от концентрации хлорбензола в смеси. Известно, что
реакционная масса движется равномерно, изменением объема можно
пренебречь. Если длина трубы составляет 𝐿 м, то степень превращения
хлорбензола в фенол составляет 50%. Определите, какой длины должна
быть труба-реактор, чтобы степень превращения составляла 75%?
По условию задачи скорость превращения линейно зависит от концентрации.
Значит,
𝑣(𝑡) = 𝑘 ∙ 𝑐(𝑡),
(1)
где 𝑣(𝑡) – функциональная зависимость скорости превращения от времени,
𝑘 - константа скорости реакции, 𝑐(𝑡) - функциональная зависимость
концентрации
хлорбензола
от
времени.
В условии сказано, что скорость превращения зависит только от
изменения концентрации, следовательно,
𝑣(𝑡) = −𝑐 ′ (𝑡).
(2)
Приравняем правые части равенств (1) и (2):
𝑘 ∙ 𝑐(𝑡) = −𝑐 ′ (𝑡).
(3)
Уравнение (3) представляет собой дифференциальное уравнение
показательного убывания. Решением этого уравнения является функция
𝑐(𝑡) = 𝑐0 ∙ 𝑒 −𝑘𝑡 ,
(4)
где 𝑐0 - начальная концентрация хлорбензола в реакционной смеси.
Преобразуем выражение (4):
𝑐(𝑡)
𝑐0
= 𝑒 −𝑘𝑡 .
(5)
Обозначим левую часть равенства (5) 𝛼(𝑡) (доля хлорбензола, оставшаяся в
реакционной смеси в зависимости от времени реакции). Равенство (5)
примет вид:
𝛼(𝑡) = 𝑒 −𝑘𝑡 .
(6)
Если
степень
превращения
составляет
50%,
то
𝛼 = 100% − 50% = 50% = 0,5; если степень превращения составляет 75%,
то 𝛼 = 100% − 75% = 25% = 0,25.
В условии задачи сказано, что реакционная масса движется по трубе
(длиной 𝑙) равномерно, следовательно
𝑡=
𝑙
𝑣𝑚
,
(7)
где 𝑡 - время реакции, 𝑙 - длина трубы, 𝑣𝑚 - скорость движения реакционной
массы.
Подставим выражение (7) в выражение (6):
𝛼=𝑒
−𝑘
𝑙
𝑣𝑚
.
(8)
Так как 𝑘 и 𝑣𝑚 - константы, то их отношение также будет константой:
𝑘′ =
𝑘
𝑣𝑚
.
(9)
С учетом (9) выражение (8) примет вид:
𝛼 = 𝑒 −𝑘′𝑙 .
(10)
Подставим в равенство (10) значения 𝛼 = 50% = 0,5 и 𝑙 = 𝐿 и выразим 𝑘 ′ :
0,5 = 𝑒 −𝑘′𝐿 , −𝑘 ′ =
ln 0,5
𝐿
.
Подставим в равенство (10) значения 𝛼 = 25% = 0,25 и выражение для 𝑘 ′ и
выразим 𝑙:
ln 0,5
∙𝑙
𝐿
0,25 = е
, 𝑙=
ln 0,25
ln 0,5
∙ 𝐿 = 2𝐿.
Таким образом, длина трубы-реактора, в котором степень превращения
вещества равна 75%, должна быть в 2 раза больше, чем длина трубыреактора, в котором степень превращения равна 50%.
Представим графически зависимость концентрации хлорбензола от времени
𝑐(𝑡) = 𝑐0 ∙ 𝑒 −𝑘𝑡 (4).
𝑐(𝑡)
𝑐0
0,5𝑐0
0,25𝑐0
𝑡
𝑡0,5
𝑡0,75
𝑡0,5 и 𝑡0,75 - время, когда степени превращения равны 50% и 75%
соответственно.
Данный
пример
наглядно
демонстрирует
применения
знаний
математического анализа для решения задачи по химии. Рассмотренная
задача требует от учащихся знания физического смысла производной,
умения решать простейшие дифференциальные уравнения, умения решать
показательные уравнения с помощью логарифмирования. При решении
данной задачи мы создали и исследовали математическую модель
изменения концентрации хлорбензола в трубе-реакторе.
На своих уроках я уделяю большое внимание построению графиков функций
и исследованию функций. Поэтому последний этап решения, графическое
представление, имеет большое значение. Во-первых, учащиеся понимают,
что изучаемые на уроках алгебры функции описывают конкретные
физические, химические, биологические процессы. Во-вторых, учащиеся не
боятся строить графики, многие задачи решают графически, что приводит к
успешному решению задания С5 ЕГЭ.
В 2010 году на ЕГЭ выпускникам было предложено решить следующую
задачу.
Найдите все значения параметра a, при которых функция
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − |𝑥 − 𝑎2 | − 9𝑥
имеет хотя бы одну точку максимума.
При исследовании данной функции надо раскрыть модуль и рассмотреть
совокупность
двух
случаев:
𝑥 ≥ 𝑎 или 𝑥 < 𝑎.
Графическое исследование функции приводит к следующему результату:
𝑦 = 𝑓(𝑥; 2) -
график данной функции при 𝑎 = 2; 𝑦 = 𝑓(𝑥; 2,1) - график
функции при 𝑎 = 2,1; 𝑦 = 𝑓(𝑥; √5) - график функции при 𝑎 = √5.
Дальнейшее исследование функции приводит к тому, что функция может
иметь точку максимума (причем, только одну) в том случае, когда 4 < 𝑎2 <
5, т. е. 𝑎 ∈ (−√5; 2) ∪ (2; √5).
Этот пример показывает, что наличие элементов графического решения
значительно упрощает решение задачи.
Я преподаю алгебру и начала математического анализа в 10 – 11 классах по
УМК А.Г. Мордковича, базовый уровень. Нагрузка – 4 часа алгебры (по
подгруппам)
в
неделю.
Согласно планированию на построение графиков функций в 10 – 11
классах отводится:
 Числовые функции и их графики, преобразования графиков функций,
10 класс – 9 часов.
 Тригонометрические функции и их графики, преобразование графиков
тригонометрических функций, 10 класс – 8 часов.
 Построение графиков функций с использованием первой и второй
производной, 10 класс – 3 часа.
 Функция 𝑦 = √𝑥 , ее график, преобразования графика, 11 класс – 3
часа.
 Степенные функции и их графики, 11 класс – 3 часа.
 Показательная функция и ее график, 11 класс – 3 часа.
 Логарифмическая функция и ее график, 11 класс – 3 часа.
 Построение графиков функций при нахождении площади
криволинейной трапеции, 11 класс – 4 часа.
𝑛
Итого: построение графиков функций в 10 классе – 20 часов, в 11 классе –
16 часов, всего – 36 часов.
Согласно планированию на элементы математического анализа в 10 - 11
классах отводится:
 Производная, 10 класс – 31 час.
 Дифференцирование показательной и логарифмической функций, 11
класс – 3 часа.
 Первообразная и интеграл, 11 класс – 7 часов.
 Понятие о простейших дифференциальных уравнениях, 11 класс – 3
часа.
Итого: элементы математического анализа в 10 классе – 31 час, в 11
классе – 13 часов, всего – 44 часа.
Согласно планированию на применения методов математической физики в
10 – 11 классах отводится:
 Физический смысл производной, 10 класс – 3 часа.
 Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции, 10 класс – 3
часа.
 Применение интеграла, 11 класс – 3 часа.
 Понятие о дифференциальных уравнениях, 11 класс – 3 часа.
Итого: применение методов математической физики в 10 классе – 6 часов,
в 11 классе – 6 часов, всего – 12 часов.
Я думаю, что у многих возникает вопрос, где мы берем задачи химикобиологической направленности. Некоторые задачи приносят сами учащиеся
(из различных задачников по химии), некоторые задачи – плоды совместной
работы учителей химии, биологии и математики. Есть задачи, которые
учащиеся оформляют как проектные работы с несколькими способами
решения (с применением различных математических методов и с
использованием только знаний по химии и биологии (если это возможно)).
В завершении, хочу отметить, что, применяя элементы математического
моделирования, учащиеся создают математическую модель, исследуют ее
методами математической физики и (или) графическим способом. Кроме
того, такие межпредметные связи усиливают возможности химии (и
биологии) и математики в плане развития познавательного интереса
учащихся к изучаемым предметам. А это, в свою очередь, приводит к
повышению качества знаний выпускников школы и готовит их в достаточной
мере к изучению высшей математики в выбранном ими медицинском ВУЗе.