Metodichka po postroeniu epurov
advertisement
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тольяттинский государственный университет Автомеханический институт Т. А. ВАРЕНЦОВА Г. Н. УПОЛОВНИКОВА И. А. ЖИВОГЛЯДОВА Начертательная геометрия Методические указания по выполнению Эпюров № 1, № 2 Тольятти 2009 1 4.2. Методические рекомендации по выполнению эпюров 4.2.1. Указания к выполнению задания Подп. и дата Взам. инв. № Инв. №дубл. Подп. и дата Справ. № Перв. примен. Работа выполняется на листе формата А3 (297х 420). Лист рекомендуется использовать вдоль длинной стороны. Инв. №подл. Изм. Лист №докум. Разраб. Пров. Т.контр. Лит. Подп. Дата Лист Н.контр. Утв. Копировал Масса Масштаб Листов Формат 1 A3 Рамка выполняется в соответствии с ГОСТ 2. 301- 68, основная надпись по форме 1. Пример заполнения основной надписи. øð. ¹ 3,5 Í Ã. 031. 000 Èç ì . Ë èñò ¹ äî êóì . Ðàçðàá. Èâàí î â Ï ðî â . Ï èñ à ð åâ à Ï î äï . Ä àò à øð. ¹ 10 Ë èò . Ì à ññ à Ì àñ ø ò à á Ýï þð Ë èñ ò øð. ¹ 7 2 Ë èñ ò î â ÒÃÓ ãð. ÀÒç- 101 Пояснение обозначения наименования чертежа НГ.031.000: НГ – чертёж по разделу «Начертательная геометрия»; 031 – вариант 31; Все вспомогательные построения, линии связи выполняются сплошными тонкими линиями (S/2). Проекции геометрических фигур, в том числе прямые и кривые линии, выполняются сплошной толстой основной линией S 0,5 1,4мм, проекции точек выполняются в виде окружностей d 0,8…1 мм . После вычерчивания внутренней рамки чертежа выбирается размер изображения для всех задач с учётом заполнения листа формата от 70% до 80%. В условии задач № 2 и № 3 в некоторых вариантах указаны размеры для построения достаточно наглядных чертежей. При выполнении задания эти размеры проставлять не следует. Если условия задач даны без размеров, то их следует счерчивать, сохраняя расположение данных геометрических фигур на глаз, примерно. Проекции всех геометрических фигур должны иметь соответствующие буквенные обозначения с цифровыми индексами, выполненными шрифтом № 7 для латинских и греческих букв и шрифтом № 3,5 для цифровых индексов по упрощенной сетке. Примеры выполнения греческих и латинских букв для обозначения геометрических фигур по ГОСТ 2.304-68 : h Для поверхностей: 1 2 Ф 2 2 ... h/ 2 Г1 Для линий: 7h/ 10 a 1 b 1 c 1 d 1 g 2 e2 h 2 f 2 ... Для точек: А1 В1 С1 D1 K2 M2 L2 ... или 11 2 1 3 2 ... 3 4.2.2. Методические рекомендации к решению задачи № 1 Условие: на комплексном чертеже задана плоскость общего положения . Построить недостающие проекции отрезков или кривых линий, принадлежащих плоскости . Кратко основные положения темы можно сформулировать в следующем виде: 1. Существует семь способов задания плоскости на комплексном чертеже. Всегда можно от одного способа задания плоскости перейти к другому. 2. Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат плоскости; или прямая принадлежит плоскости, если одна её точка принадлежит плоскости, и прямая параллельна какой-либо прямой плоскости. 3. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в плоскости. Пример 1. (A,b), KL , K1L1 =?.(рис. 1.1) L2 K2 b2 А2 b1 А1 Рис. 1.1 Решение: Поясним приведённые построения. Прежде всего, напоминаем, что плоскость бесконечна, поэтому любые прямые этой плоскости можно продолжать сколь угодно далеко. 1. Продолжая K2L2, получим пересечение с b2: K2L2 b2 = 12. Горизонтальную проекцию этой точки 11 можно сразу построить (рис. 1.2). 2. Для построения второй точки пересечения отрезка KL с какой-либо прямой плоскости перейдём к заданию плоскости двумя пересекающимися прямыми: (A, b) → (с b). Для этого взята произвольная точка M(M1 , M2) на прямой b (рис. 1.3). 4 L2 K2 12 L2 М2 с2 А2 b2 А1 b1 K2 12 22 b2 А2 А1 с1 b1 21 11 Рис. 1.2 М1 11 L1 K1 Рис. 1.3 3. K1L1 находим на продолжении 1121 (рис. 1.4). L2 М2 с2 12 22 K2 b2 А2 А1 с1 b1 21 М1 a2 11 Рис. 1.4 b2 Пример 2. Г(а // b), MN Г, M2 N2 =? (рис. 1.5). N1 M1 Рис. 1.5 5 b1 Плоскости общего положения может принадлежать как отрезок общего положения, так и отрезок прямой уровня (горизонтальной, фронтальной, профильной). В данном случае отрезок MN является отрезком прямой уровня, параллельным профильной плоскости проекций. Наиболее рациональным для построения фронтальной проекции точек M и N будет проведение вспомогательных прямых, параллельных данным a и b . Решение показано на рис. 1.6, 1.7, 1.8. a2 a2 a2 b2 N2 11 21 21 N1 11 b1 N1 11 N1 b1 M1 M1 M1 a1 a1 a1 Рис. 1.6 b2 22 22 21 M2 12 b2 12 Рис. 1.7 b1 Рис. 1.8 Если в задании нужно строить проекцию кривой линии, то построения недостающих проекций точек в плоскости ведут по тем же правилам, что изложены в примерах 1 и 2. Следует помнить, что для построения проекций кривой линии берут 8-10 точек. 4.2.3. Методические рекомендации к решению задачи № 2 Условие задачи: 1. Построить проекции поверхности, геометрической части определителя. 2. Построить недостающую поверхности. проекцию заданной линии, проекциями принадлежащей Алгоритм построения поверхности: 1. Для задания поверхности на комплексном чертеже надо задать проекции геометрической части определителя поверхности. 6 2. Построить проекции дискретного каркаса, состоящего из конечного числа графически простых линий. 3. Построить проекции линии обреза, которые для образования поверхности существенной роли не играют, они лишь ограничивают, обрезают поверхность. 4. Определить видимость поверхности. 5. Обвести видимые линии проекций поверхности сплошной толстой линией. Построение проекций многогранных поверхностей. Пример 1: (АВCD, s) – призматическая поверхность. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.1). Построить проекции поверхности, а также горизонтальную проекцию линии m, принадлежащей поверхности. Алгоритмическая часть определителя: l i ABCD, l i //s. Решение: 1. Если направляющая ломаная линия задана четырьмя точками (призма четырехгранная), то начинать построение необходимо с проекций плоского четырехугольника ABCD. Проекции трёх любых точек, например, A, B и C берут произвольно, выдерживая примерное расположение задания, а четвёртую точку –.D строят, как точку плоскости, определённой тремя точками A, B и C. В нашем примере для этого проведены диагонали АС(А1С1 и А2С2) и ВD(B1D1 и B2D2). Точка D2 взята произвольно (примерно, как в задании), находим D1. B2 m2 C2 S2 A2 D2 B1 C1 A1 S1 Рис. 2.1 2. Переходим к построению проекций поверхности. Прежде всего построим проекции рёбер призмы (рис. 2.2). Горизонтальные проекции рёбер проведены параллельно s1 , а фронтальные – параллельно s2. Поверхность призмы бесконечна, поэтому построим проекции линий обреза, ограничив длину ребер любой произвольной точкой. A2B 2 C2D 2 - фронтальная проекция линии обреза. С помощью линий связи построим ее горизонтальную проекцию – A 1 B 1 7 C 1 D 1 (рис. 2.3). B2 B2 C2 C2 A2 A2 D2 B2 C2 S2 D2 B2 m2 C2 S2 m2 A2 A2 D2 D2 B1 B1 C1 C1 B1 C1 A1 A1 S1 D1 S1 D1 A1 D1 Рис. 2.2 Рис. 2.3 B2 C2 22 A2 42 =(32 ) D2 B2 (C2 ) S2 m2 A2 (12 ) D2 B1 31 C1 21 =(11 ) B1 C1 A1 Для того, чтобы обвести проекции поверхности основной сплошной линией, необходимо определить видимость (рис. 2.4). Точки 1 и 2 (11 = 21) - горизонтально конкурирующие, точка 2 выше, чем точка 1. Точки 3 и 4 (32=42) - фронтально конкурирующие, точка 4 ближе к наблюдателю, чем точка 3. Ребра С2 C 2 и D1 D 1 частично видимые, т.к. поверхность (в данном случае призма) - это пустотелая геометрическая фигура, имеющая только боковую поверхность. 3. Решение задачи заканчивается построением проекций линии на поверхности (рис. 2.5). (D1) S1 41 Рис. 2.4 A1 D1 8 В нашем примере m2 дана, m1 надо строить. Линия, лежащая на нескольких гранях призмы может быть только ломаной. Поэтому, обозначив вершины этой ломаной K2, L2 , M2 и N2 , построим горизонтальные проекции этих точек на проекциях соответствующих рёбер и соединим их, учитывая видимость. B2 C2 22 42 =(32 ) K2 L2 A2 D2 m2 B2 (C2 ) S2 M2 (N2 ) A2 (12 ) D2 B1 C1 31 N1 K1 21 =(11 ) B1 A1 (D1) S1 C1 m1 41 M1 L1 A1 D1 Рис. 2.5 Построение проекций кривых линейчатых развертывающихся поверхностей. S2 Пример 1. (m, S) – коническая поверхность общего вида. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.6). Построить проекции поверхности, фронтальную проекцию линии n, принадлежащей поверхности. Алгоритмическая часть определителя: A2 B2 li m, li S. m2 m1 A1 B1 n1 S1 Рис. 2.6 9 Решение: 1. Построение проекций поверхности следует начать с проекций крайних образующих, т.к. направляющая кривая m - разомкнута. Это образующие SA и SB (рис. 2.7). Далее следует построить проекции линий контура (очерковых образующих) относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Для C F2 2 A2 фронтальной проекции очерковыми образующими являются образующие SC и SD. Для горизонтальной проекции это образующие SE и SF. Очерковые линии S1F1 и S1 E1 проводятся как касательные к C1 кривой m1 из S1. F1 S2 B2 A1 D2 E2 D1 B1 E1 n1 S1 Рис. 2.7 2. Рассмотрим определение видимости очерковых образующих SA и SB относительно П1 (рис. 2.8). Для этого можно воспользоваться горизонтально конкурирующими точками, например, B и K. Аналогично решается вопрос видимости образующих SA и SB относительно плоскости П2. Для этого воспользуемся фронтально конкурирующими точками, например, А и М. 3. Переходим к построению фронтальной проекции линии n, принадлежащей поверхности (рис. 2.9). Задана горизонтальная проекция линии п(n1). Линия n – плоская кривая, следовательно, n2 - тоже кривая. Выделим главные точки кривой. Главными являются точки: 1 и 8 – точки, ограничивающие кривую. 2 и 7 – точки, находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П1 - SE и SF. 3 и 6 – точки, находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П2 - SD и SC. Точки 4 и 5 являются промежуточными. Построение фронтальной проекции кривой сводится к определению проекций указанных точек на фронтальных проекциях соответствующих образующих. 10 Видимость точек относительно П1 S2 S2 2 52 К2 42 62 32 22 A2 =(М2 ) B2 C2 F2 М1 72 12 82 A2 =(М2 ) B2 E2 D2 М1 (A1) (B1)=К1 1 n1 К2 C1 F1 (A1) S1 D1 (B1)=К1 21 31 41 E1 51 71 11 Видимость точек относительно П2 81 61 S1 Рис. 2.8 Рис. 2.9 Пример 2. (m, l) – цилиндрическая поверхность общего вида. m – направляющая, l – образующая. Даны проекции геометрической части определителя (рис. 2.10). Построить проекции поверхности. Алгоритмическая часть определителя:li m, li // l . m2 l2 Решение: 1. Построить дискретный каркас из 8 – 10 образующих и линии обреза (рис. 2.11). Для цилиндрических поверхностей одну проекцию линии обреза надо задать произвольно, а вторую построить. Например, задана фронтальная проекция n2 линии обреза, а горизонтальная проекция построена по принадлежности точек образующим этой поверхности. 11 l1 m1 Рис. 2.10 n2 m2 т – направляющая, п – линия обреза, l2 l – образующая, l1 m1 n1 Рис. 2.11 2. Определить видимость очерковых линий поверхности относительно П1 и П2 по конкурирующим точкам (рис. 2.12). Направляющая т видна относительно П2, так как точка 1, принадлежащая ей, расположена ближе точки 2. Относительно П1 видна образующая l, так как ей принадлежащая точка 3 расположена выше точки 4. 1 т; 2 l; 12 = (22 ) 32 m2 3 l; 42 l2 4 т. l1 21 m1 11 31 =(41 ) Рис. 2.12 12 Построение проекций поверхностей вращения. Любую поверхность вращения можно задать определителем, в состав которого входят ось вращения i и образующая l : (i,l). Алгоритмическая часть определителя заключается в названии. Т.е. название «поверхность вращения» означает, что каждая точка образующей l, вращаясь вокруг оси i, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна этой оси. Обычно ось поверхности вращения располагают перпендикулярно какой-либо плоскости проекций. Поэтому одна проекция окружности – параллели всегда представляет собой окружность истинного вида, а вторая проекция – есть отрезок, равный по длине диаметру окружности. Например, для точки A(A1 , A2) это окружность с (с1 ,с2) (рис. 2.13). Пример 1: Построить проекции поверхности вращения общего вида (i, l), заданной проекциями геометрической части определителя (рис. 2.13). Построить горизонтальную проекцию линии а, принадлежащей поверхности. k2 i2 c2 n2 l2 a2 А2 i2 l2 m2 a2 l1 l1 п1 i1 A1 m1 i1 k1 Рис. 2.13 п1 Рис. 2.14 Линия l – плоская кривая, расположенная в плоскости главного меридиана поверхности. Ось i П1 , поэтому горизонтальная проекция поверхности ограничена тремя окружностями. Это: n1 - горизонтальная проекция горла, m1 горизонтальная проекция экватора и k1 - горизонтальная проекция окружности 13 обреза. Фронтальные проекции этих окружностей вырождаются в отрезки. Это соответственно, n2, m2 и k2 (рис. 2.14). Для построения линии l2 (левого полумеридиана) следует взять 8-10 произвольных точек. Обводим проекции поверхности с учетом видимости (рис. 2.15). Для построения проекции кривой a(а1) на П1 необходимо взять несколько точек на a2 (порядка 6-8 точек) (рис. 2.16). Построение линии a1 показано с учётом видимости кривой относительно плоскости П1 , исходя из условия, что a2 задана как видимая. Главными являются следующие точки: точки 1 и 6 – ограничивающие кривую, точки 3 и 5 – отделяющие видимые участки кривой от невидимых. R i2 i2 l2 a2 62 52 l2 Зона видимости относительно П1 42 32 22 a2 l2 12 l1 l1 l 1 (11 ) i1 i1 (21 ) R Рис. 2.15 61 41 51 31 a1 Рис. 2.16 Пример 2. Построить проекции поверхности вращения общего вида Ф(i,l). Достроить недостающие проекции точек А, В, С (рис. 2.17). Решение: В этой задаче проекции образующей l(l1,l2) не лежат в плоскости фронтального меридиана, поэтому нам необходимо повернуть образующую так, чтобы она оказалась в одной плоскости с осью вращения. 14 Каждая точка образующей на П1, вращаясь вокруг оси i1, опишет траекторию окружности - параллель, на П2 ее проекция проецируется в прямую линию i2. 1. Возьмем на образующей l(l1,l2) 6 точек (рис. 2.18). Введем каждую точку в плоскость фронтального i2 меридиана. Например, точка 1 опишет наибольшую, верхнюю параллель (экватор), точка 6 - наименьшую, А2 l2 нижнюю параллель (горло). Аналогичные построения проведем с остальными точками правый полумеридиан. В2 2. Симметрично правому полумеридиану достраиваем левый (рис. 2.19). Обводим основной толстой линией проекции поверхности. С1 i2 22 32 В2 42 52 62 i1 Рис. 2.17 Совместили образующую с плоскостью фронтального меридиана, тогда она спроецировалась на П2 без искажения А2 12 С1 i1 11 51 41 31 21 l1 3. Для построения недостающих проекций точек А, В, и С необходимо определить зоны видимости: а) все точки, принадлежащие поверхности, относительно П1 будут видимы (изнутри). б) видимость относительно П2 на рис. 2.20 показана заштрихованной зоной. Для построения горизонтальной проекции точки А(А1) необходимо: - через точку А2 провести параллель радиусом R (от оси до очерка) (рис. 2.20); l1 61 Плоскость фронтального меридиана - на П1 строим проекцию этой параллели радиусом R; 12 А2 22 i2 Ф2 Рис. 2.18 - проводим линию связи от точки А2 до пересечения с параллелью в заштрихованной зоне, т.к. точка А2 - видима; 32 В2 42 - проекция точки А(А1) будет видимой. 52 Для построения точки В(В1) проводим аналогичные построения. 62 С1 i1 Ф1 61 51 41 31 21 11 15 l1 относит. П1 А2 i2 l2 12 22 R Ф2 В2 32 R 42 52 62 Рис. 2.19 С1 Рис. 2.20 R R Ф2 i1 Ф1 61 51 Зона видимости относительно П2 В1 41 31 21 А1 11 l1 Рис. 2.21 левого полумеридиана в точке, которую обозначим звездочкой. 12 22 R В 2 32 R R 42 52 62 С1 l2 R (С2 ) относит. П2 4. Горизонтальная проекция точки С1 расположена в незаштрихованной зоне, т.е. за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, фронтальная проекция точки будет невидимой. На П1 через точку С1 проведем параллель радиусом R до пересечения с Ф 1 горизонтальной проекцией А2 i2 R R i1 61 51 В1 41 31 21 А1 11 l1 Зона видимости относительно П2 Построим фронтальную проекцию этой точки и проведем через нее фронтальную проекцию параллели, которой и будет принадлежать точка С2 (рис. 2.21). 16 Для конусов вращения линия обреза задается окружностью. K2 окр. Пример 3. Построить проекции конуса вращения Ф(i,l), у которого ось вращения занимает положение горизонтали. Линия а(а1) , а2 =? (рис. 2.22). S2 Если ось вращения есть горизонталь или фронталь, то одна проекция окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный проекции оси и равный диаметру окружности. Другая проекция этой линии представляет собой эллипс. Большая ось эллипса занимает положение горизонтально проецирующей прямой. Малая ось эллипса занимает положение горизонтали. K2 р. ок K1 = (K1) а1 35 ...47 S1 Рис. 2.22 Разница между большой и малой осями эллипса не должна быть слишком большой или слишком малой. Поэтому угол наклона проекции к оси вращения рекомендуется задавать от 35 до 47 . Для более точного задания эллипса необходимо построить не менее 12 точек. Очерковые образующие конуса следует проводить касательными к эллипсу, точки К2 и К2 - точки касания. Чтобы построить проекцию линии а(а1) на П2 (а2) на а1 отмечают несколько точек (чем больше, тем точнее будет построена кривая), проводят через них образующие и находят их проекции на соответствующих образующих на П2 (рис. 2.23). Главными точками являются точки, принадлежащие очерковым образующим : 1, 6 и 8 и точка 5 – наивысшая точка. Точка 6 является границей видимости линии а на П2. 17 а2 (72 ) 62 52 42 32 22 S2 12 (82 ) 81 7 6 5 1 1 1 41 31 2 1 11 Рис. 2.23 а1 Пример 4. Построить проекции поверхности кольца (i,l). Обозначить проекции горла n(n1, n2) S1 и экватора m(m1,m2), А(А2), А1 =? В(В1,) В2= ? (рис. 2.24). Каждая точка образующей на П1, вращаясь вокруг оси i1 опишет траекторию окружности - параллель, фронтальная проекция параллели проецируется в прямую линию i. 1. Строим проекции полумеридиана (рис. 2.25). 2.Достраиваем симметрично левого полумеридиана (рис. 2.26). правого А2 i2 l1 i1 В1 проекции Рис. 2.24 18 l2 А2 А2 i2 i2 i1 i1 В1 В1 Рис. 2.25 Рис. 2.26 3. Строим недостающие проекции точек А и В. Определяем видимость этих точек относительно П1 и П2, обозначаем проекции горла и экватора (рис. 2.27). Зона видимости относительно П1 * т2 (В2 ) А2 п2 i2 * п1 т1 i1 * * В1 (А1 ) Зона видимости относительно П2 Рис. 2.27 19 Построение проекций винтовых поверхностей. i2 К винтовым поверхностям относятся прямой и наклонный геликоиды. При построении этих поверхностей следует помнить, что они являются линейчатыми и на комплексном чертеже задаются дискретным каркасом. а2 т2 Пример 1. Построить проекции прямого геликоида. Геометрическая часть определителя прямого геликоида (i, m), где i – ось, m - направляющая винтовая линия (рис. 2.28). Алгоритмическая часть определителя: li i, li m, li i, т.е. все образующие являются горизонтальными прямыми. Линия а(а2) , а1 =? 1. Дискретный каркас строим из 13 образующих, поэтому на горизонтальной проекции винтовой линии т берем 13 точек (рис. 2.29). Рис. 2.28 т1 i1 Строим горизонтальную проекцию линии a, принадлежащей поверхности (рис. 2.30). На a2 отмечаем точки, принадлежащие образующим, и находим их горизонтальные проекции. Между образующими 6 и 5, 7 и 6 проведены дополнительные образующие, так как образующая, проведенная из точки 6, занимает проецирующее положение. Таким образом находим горизонтальную проекцию линии а, кривую а1. 122 122 112 i2 112 i2 102 102 92 92 а2 82 82 72 72 62 52 42 32 22 71 62 61 52 42 32 22 т2 02 12 02 81 а2 51 81 71 12 61 51 41 41 i1 91 91 31 101 101 а1 21 111 (О1 )=121 11 т1 Рис. 2.29 31 i1 21 111 (О1 )=121 11 Рис. 2.30 20 т1 т2 4.2.4. Методические рекомендации к решению задачи № 3 Чтобы решить позиционную задачу, нужно ответить на три вопроса: 1. Что? Определить, что будет являться общим элементом пересекающихся геометрических фигур (точки, ломаная линия, контур из плоских кривых, пространственная кривая и т. д.). 2. Сколько? Нужно знать характер пересечения геометрических фигур (чистое проницание, частный случай проницания – касание, вмятие). 3. Как? Выбрать соответствующий алгоритм решения, т.е. определить расположение пересекающихся геометрических фигур относительно плоскостей проекций (1 алгоритм, 2 алгоритм или 3 алгоритм). Примеры решения 2 ГПЗ в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая – непроецирующая. 2 алгоритм Пример 1 . Построить проекции линии пересечения поверхностей сферы и цилиндра вращения - -. = т (рис. 3.1). Алгоритм решения: = т, 2 ГПЗ П1, – непроецирующая 2 алгоритм П1 m 1 =1 ; m 2 2 Сначала строим две проекции сферы и недостающую проекцию цилиндра вращения (рис. 3.2). i2 i2 2 l2 i2 i2 2 l1 i1 n1 i1 i1 i1 1 1 Рис. 3.1 Рис. 3.2 Вид пересечения – проницание. Значит, линий пересечения будет две: = m, m . Обе поверхности являются поверхностями вращения второго порядка. Следовательно, при пространственные кривые второго порядка. 21 их пересечении получатся Решение. Поверхность цилиндра - проецирующая относительно П1, следовательно, горизонтальные проекции двух пространственных кривых линий пересечения совпадают с горизонтальной i2 проекцией (главной проекцией) цилиндра 2 m1 , m1 = 1 Фронтальные проекции обеих линий строим по принадлежности поверхности сферы. i2 2 1. Начинать построение фронтальных проекций линий пересечения следует с главных точек. Такими являются точки 1 и 7 как высшие и низшие точки, лежащие в общем осевом сечении поверхностей вращения (горизонтальная проекция); точки 2, 2 и 8, 8 как самые ближние и линия осевого сечения поверхностей 81 =(81 ) 71 =(71 ) 101 =(101 ) 11 =(11 ) дальние; точки 5, 5 и 11, 11 как 12 =(12 ) точки, лежащие на границе видимой и невидимой частей =m =(m ) 1 1 1 линий пересечения (рис. 3.3). Выбираем несколько промежуточных точек. 1 i1 1 1 i1 1 61 =(61 ) 51 =(51 ) 41 =(41 ) 1 11 =(11 ) 21 =(21 ) 31 =(31 ) Рис. 3.3 2. Для построения фронтальных проекций точек проводим окружности – параллели на поверхности сферы. Например, проводим окружность через точки 11 и 31 (рис. 3.4). Горизонтальная проекция такой окружности вырождается в отрезок прямой, перпендикулярный оси сферы. Радиусом, равным половине этого отрезка, строим ее фронтальную проекцию, которая на П2 изображается в истинном виде. Точки 12 и 32 принадлежат этой окружности. Аналогично строим проекции всех остальных точек (и характерных и промежуточных) на П2. 22 Соединять построенные точки нужно в той же последовательности, что и на горизонтальной плоскости проекций, плавной кривой тонкой линией с последующей (62 ) лекальной обводкой. 3. Решая вопрос видимости искомых линий относительно соответствующей плоскости проекций, надо помнить, что линии пересечения принадлежат обеим поверхностям одновременно. Поэтому видимыми будут те участки линий, которые лежат в зоне видимости обеих поверхностей относительно данной плоскости проекций (рис. 3.5). 52 (102 ) 42 (72 ) 112 (92 ) (82 ) 122 12 2 32 22 122 112 12 (102 ) 2 42 22 32 (92 ) (82 ) (72 ) Относительно П2 в зоне видимых точек будут лежать точки 11, 91 =(91 ) 12, 1, 2, 3, 4, 5. Участки 101 =(101 ) кривых, лежащих между точками 5, 6 и 111 =(111 ) 10, 11, находятся в 121 =(121 ) области видимых точек поверхности сферы, но невидимых точек 1 =m1 =(m1 ) поверхности цилиндра, 11 =(11 ) поэтому будут невидимыми. (62 ) 81 =(81 ) 71 =(71 ) 61 =(61 ) 51 =(51 ) 41 =(41 ) 31 =(31 ) 21 =(21 ) Рис. 3.4 23 52 1 (62 ) 52 (102 ) 42 (72 ) 112 (92 ) (82 ) 122 m2 22 12 2 32 122 m2 112 12 (102 ) 42 22 2 32 (82 ) (92 ) (72 ) 91 =(91 ) 52 (62 ) 81 =(81 ) 71 =(71 ) 101 =(101 ) 61 =(61 ) 111 =(111 ) 51 =(51 ) 121 =(121 ) 41 =(41 ) 1 =m1 =(m1 ) 11 =(11 ) 31 =(31 ) 21 =(21 ) Рис. 3.5 24 1 Пример 2 Построить проекции линии пересечения поверхности эллипсоида вращения с призматической поверхностью (рис. 3.6). Алгоритм решения: =т i2 = т, 2 ГПЗ l2 П2, – непроецирующая 2 алгоритм П2 т 2 =2 ; т 1 1 i2 2 l1 i1 Рис. 3.6 Сначала строим две проекции эллипсоида и недостающую проекцию призмы (рис. 3.7). 2 1 i1 1 После построения проекций поверхностей определяется вид пересечения. В данном примере вид пересечения – вмятие. Из этого следует, что линия пересечения – один замкнутый контур. При пересечении эллипсоида одной гранью призмы линией пересечения будет плоская кривая - эллипс или дуга эллипса. А так как поверхность призмы состоит из четырех граней, то линия пересечения ее с поверхностью эллипсоида вращения представляет собой пространственный контур из плоских кривых – дуг эллипсов. Рис. 3.7 25 Решение. Горизонтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности , эллипсоиду вращения. Так как эллипсы на П1 симметричны относительно плоскости фронтального меридиана, то точки на П1 будем обозначать только в одной половине эллипсоида. 1. Сначала обозначаем главные точки линии пересечения (рис. 3.8). Точки 1 и 1, 3 и 3, 6 – ограничивают линии пересечения (дуги эллипсов). Точки 4 и 4 принадлежат экватору эллипсоида. i2 2 2 12 3 2 12 Точки 2 и 2, 5 и 5 определяют большие оси эллипсов. m2 22 2. Рассмотрим построение одной из дуг эллипса, которая получается от пересечения грани k с поверхностью эллипсоида вращения (рис. 3.9). Фронтальная проекция ее совпадает с фронтальной проекцией грани. Малая ось эллипса определяется точками А и В, которые на П2 являются пересечением продолжения грани k с главным меридианом эллипсоида вращения. B2 22 32 42 42 52 52 62 R A2 1 1 Большая ось (на П2) вырождается в точку 5 и делит отрезок АВ пополам. Точки пересечения ребер призмы с поверхностью эллипсоида – точки, ограничивающие дугу эллипса (3 и 6). i1 Рис. 3.8 26 i2 2 b2 12 2 12 m2 22 22 B2 3 2 32 42 42 52 52 R 62 k A2 1 m1 1 i1 11 R 11 31 (61 ) 2 1 (41 ) (51 ) Рис. 3.9 27 21 (51 ) (41 ) Горизонтальные проекции этих точек, а также любых промежуточных строим по принадлежности параллелям эллипсоида. Например, точка 6 и ей симметричная лежат на параллели – окружности, фронтальная проекция которой вырождена в отрезок прямой, равный диаметру этой параллели и перпендикулярный оси вращения i2, а горизонтальная проекция – окружность в истинном виде. Линии пересечения остальных граней с поверхностью строим аналогично. Определение видимости линии пересечения двух поверхностей относительно П1 в данном примере сводится к определению видимости точек на поверхности призмы. Две верхние грани призмы видимые, поэтому и линии, принадлежащие им, видимые. Примеры решения 1 ГПЗ в случае, когда обе пересекающиеся фигуры непроецирующие (3 алгоритм) Алгоритм решения. 1. Прямую заключают во вспомогательную плоскость. 2. Строят линию пересечения заданной поверхности со вспомогательной плоскостью. 3. Линия пересечения с заданным отрезком прямой пересекаются, так как лежат в одной вспомогательной плоскости. Полученные точки (точка) пересечения и будут искомые. Независимо от того, какая поверхность пересекается с отрезком прямой, алгоритм решения всегда одинаков. Пример1. Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а c октаэдром . а = М, N (рис. 3.10). Сначала надо построить проекции поверхности октаэдра - проекции ребер, проходящих через вершины ломаной направляющей A,B,C,D и точки E и F (рис. 3.11). Видимость ребер можно определить визуально, без помощи конкурирующих точек. Вершина D, принадлежащая направляющей, расположена дальше других вершин этой же направляющей, значит, ребра FD и ED, проходящие через нее, будут относительно П2 невидимыми. Невидимыми относительно этой же плоскости проекций будут звенья направляющей AD и DC, а значит, и грани АED, AFD, DEC, DFC. Относительно П1 видимыми будут те ребра и грани, которые расположены выше направляющей ABCD – DEA, CED, BEC, AEB. 28 E2 2 E2 А2 А2 D2 (D2 ) C2 B2 C2 B2 a2 a2 F2 F2 D1 D1 C1 a1 C1 a1 E1 =(F1 ) E1 = (F1 ) A1 A1 1 B1 B1 Рис. 3.10 Рис. 3.11 Решение. 1. Прямую а заключим во фронтально – проецирующую плоскость (а2 = 2). m – ломаная линия. Так как П2, следовательно, m2 2. (рис. 3.12). 2.Горизонтальную проекцию m построим по принадлежности ее октаэдру , непроецирующей фигуре: точка 1 AF, значит, точка 11 А1 F1 ; точка 2 АВ 21 А1 В1 и т.д. 3.Определим видимость линии m относительно П1. Видимыми будут те участки ломаной линии m, которые лежат на видимых гранях ABE, BEC, CED. Отрезок прямой а и линия m принадлежат одной плоскости , следовательно, они пересекутся в точках M и N: m a = M, N. 4. Определим видимость пересекающихся фигур относительно друг друга. Между точками М и N отрезок прямой на обеих проекциях невидимый, так как находится внутри поверхности . Горизонтальная проекция отрезка до точки N1 видимая, потому что точка N лежит на видимой относительно П1 грани ВЕС. М1 – невидимая, значит, горизонтальная проекция а от М1 до А1D1 также невидимая, так как закрыта видимой гранью AED. 29 E2 2 Алгоритм решения 1. а; 2 2. =m 3.m а =M, N 2 (D2 ) А2 (M2 ) = = т2 а2 m2 32 22 =(52 ) 62 42 N2 C2 B2 12 F2 D1 51 (61 ) a1 C1 (M1 ) 41 E1 =(F1 ) (11 ) m1 N1 A1 1 31 21 B1 Рис. 3.12 Видимость отрезка прямой относительно П2 определяется аналогично. Пример 2. Построить проекции точек пересечения отрезка прямой а с поверхностью тора . а = М, N (рис. 3.13). Сначала строим проекции поверхности тора и проекции отрезка прямой а (рис. 3.14). 30 a2 i2 l2 i2 a2 l2 R i1 i1 l1 a1 a1 Рис. 3.13 Рис. 3.14 Решение. 1. Отрезок прямой а заключаем в горизонтально – проецирующую плоскость , 1 = а1 Вспомогательная плоскость пересекает поверхность тора . Линия пересечения этих фигур – плоская кривая m: = m (рис. 3.15). Так как П1, следовательно, m1 1. 2. Фронтальную проекцию линии m строим по принадлежности ее непроецирующей поверхности . Построение любой кривой начинают с построения главных точек. В данном примере главные точки: 1, 6 – оганичивающие кривую, 3 – высшая, 4 – определяющая границу видимости кривой m относительно П2. Остальные точки – промежуточные. Фронтальные проекции большинства точек строим по принадлежности параллелям – окружностям, проекции которых на П2 вырождаются в отрезки прямых. Фронтальные проекции точек 1 и 6 строим по принадлежности линии обреза, точки 4 – по принадлежности очерковой образующей. Высшая точка кривой при пересечении поверхности вращения с плоскостью лежит в осевом сечении поверхности, перпендикулярном секущей плоскости. Поэтому сначала выделяем точку 31 и при помощи окружности, касательной к 1 строим точку 32. 31 3. Видимость линии m относительно П2 определяем по принадлежности ее поверхности тора. Часть линии, проходящей через точки 1, 2, 3, и 4, будет видимой, так как лежит на видимой части поверхности. Отрезок прямой а принадлежит . Линия m также принадлежит , следовательно, линия m пересекается с а в точках М и N, где М и N – искомые точки: a ; m a m = M, N 4. Определяем видимость пересекающихся фигур относительно П1 и П2 и относительно друг друга. Между точками М и N отрезок прямой а на обеих проекциях будет невидимый. Относительно П1 эти точки видимые, значит, участки отрезка прямой, расположенные за ними будут видны. Относительно П2 точка М – видимая, значит, участок прямой до точки М2 также видимый, точка N – невидимая, участок прямой от N2 до очерковой образующей – невидимый, так как закрыт поверхностью тора. 32 a2 42 l2 M2 22 Алгоритм решения (52 ) m2 (N2 ) 12 1. а ; 2. = m 3. m а = M , N (62 ) 61 51 31 11 М1 а1 1 =т = 1 21 Рис. 3.15 32 41 N1 33 A1 A2 Äàí î : Í Ã 012.001 21 22 f2 B2 - ï ëî ñêî ñò ü (ABC); b ; Ì f1 B1 11 12 b2 C2 b1 C1 M1 M2 f2 ' f 1' a1 a2 Ï î ñò ðî èò ü: 1. b1 = ? 2. Ï ëî ñêî ñò ü . M; II ; (à f) m1 12 11 m2 21 i1 22 i2 31 Äàí î : - ò î ð; (l , i); ò Ï î ñò ðî èò ü: 1. Ï î âåðõí î ñò ü ò î ðà ï î î ï ðåäåëèò åëþ 2. ò 1=? 32 l2 l1 Í .êî í ò ð. Óò â. Èçì . Ëèñò Ðàçðàá. Ï ðî â. Ò.êî í ò ð. ¹ äî êóì . Èâàí î â A1 A2 E1 E2 Ï î äï . D2 C2 12 Äàò à m1 11 l1 Ýï þð ¹ 1 C2 Ëèñò î â Ì àññà Ì àñø ò àá ÒÃÓ ãð.Ý- 105 Ëèñò Ëèò . D2 B2 B1 D1 C1 (41) E2 A1 E1 32 A2 l2 Í Ã 012.001 51 42 22 (52 ) 21 (31) B1 D1 C1 B2 m2 Äàí î : G - ï ðèçì à; G (ABCDE, l ); ò Ï î ñò ðî èò ü: 1. Ï î âåðõí î ñò ü ï ðèçì û ï î î ï ðåäåëèò åëþ 2. ò 1=? 4.2.5. Примеры выполнения эпюра a1 ï1 M1 M2 11 (31) (12 ) 22 1ÃÏ Ç; 3 àëã. à =Ì ,N 1) à , 2 a2 2 2ÃÏ Ç; 2àëã. 2) = ï ; ï 2 2 ; ï 1 1 3)a1 n1 = M1, N1 a2 n2 = M2 , N2 m1 m2 a2 ï2 2 à =? - êî í è÷åñêàÿ ï î âåðõí î ñò ü (ò , S) Í Ã 012.002 34 32 21 S1 N1 (N1) S2 2ÃÏ Ç; 2àëã. Í .êî í ò ð. Óò â. Èçì . Ëèñò Ðàçðàá. Ï ðî â. Ò.êî í ò ð. =ò 1) ò 2 2 2 ; ò 2 = 1 2 ...82 2) ò 1 1 ; ò 1 = 11....81 =? - ï î âåðõí î ñò ü ñô åðû - ï ðèçì à ¹ äî êóì . Èâàí î â 11 12 Ï î äï . 21 Äàò à 21 81 82 22 (22 ) 41 51 61 51 6 1 71 72 Ëèñò î â Ì àññà Ì àñø ò àá ÒÃÓ ãð.Ý- 105 Ëèñò Ëèò . 62 (62 ) 52 (52 ) Í Ã 012.002 31 31 Ýï þð ¹ 2 32 (32 ) 42
