09.02.2016 ЕН.01 Математика Задание Выполнить первую часть практической работы № 1 (под своим вариантом), отправить по эл. адресу z23061958@gmail.com в файле со своей фамилией и номером группы. Для этого выполните: 1. Конспект по теории пределов и способами раскрытия неопределенностей. Смотри Приложения 1 и 2. Задания для самостоятельной работы: I вариант II вариант Первая часть 5х 2 а) lim х 4 2 х 3 а) 3 2х х 1 б) б) lim х в) 2 х 0 3x 8 4x 2 а) lim 3x 5 2x 7 б) х 2 в) х 6 г) lim lim х 36 lim хх 6 sin 2 x x lim х5 г) III вариант x5 x lim х 0 2 25 x sin 3 x lim х3 4х 2 5х 1 lim 14 х 8 х5 х в) lim хх 39 2 х3 г) lim sinx5x х 0 Приложения 1 Практическая работа №1 “ Вычисление пределов различными способами ” Цель работы: На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами. Содержание работы: Типы неопределенностей и методы их раскрытия Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей. 0 I. Неопределенность вида 0 Пример 1. Вычислить предел lim x5 х5 x 2 25 Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается 0 неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на 0 2 множители: х -25 = (х-5)*(х+5), получили общий множитель (х-5), на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: lim 1 х х5 5 результат: lim x5 х5 x 25 2 х5 = lim х5 х 25 2 1 х5 х 5 = lim = . Подставив х=5, получим 1 10 2 5х 6 Пример 2. Вычислить предел lim х 2 х3 х 9 Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3 видим, что получается 0 неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на 0 множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта. 2 ( x 3)( x 2) x 2 3 2 1 х 5х 6 lim ( x 3)( x 3) lim x 3 3 3 6 2 x3 х3 x3 х 9 lim Пример 3. Вычислить предел lim х0 sin 2 x sin 3x Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается 0 неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным 0 sin x x 1 и его следствием lim 1 . После чего предел легко х0 x х0 sin x пределом lim вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта. sin 2 x sin 2 x 3x 2 2 2 lim ( ) 11 lim 2 x sin 3x 3 3 3 x0 х0 sin 3x I I. Неопределенность вида 1 8х х 4х 5 Пример 4. Вычислить предел lim Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности ( ) видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим: 1 8х 1 8х = lim 4х х х5 lim х 4х 5 х х х 1 8 = lim x 5 0 8 8 2 , т.к. величины 1 , 5 являются 40 4 x x х 4 x бесконечно малыми и их пределы равны 0. Приложения 2 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ Приведём без доказательства основные теоремы о пределах функций, полагая, что lim f ( x ) и lim g( x ) существуют. xa xa Теорема 1. Предел константы равен самой этой константе: lim c c . x a Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim (k f ( x )) k lim f ( x ) . x a x a Теорема 3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: lim (f ( x ) g( x )) lim f ( x ) lim g( x ) . x a x a x a Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: lim (f ( x ) g( x )) lim f ( x ) lim g( x ) . x a x a x a Теорема 5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен 0 : f (x) f ( x ) lim x a , lim lim g( x ) 0 . x a g ( x ) x a lim g( x ) x a Сформулированные теоремы справедливы и в случае, когда x . Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций. 3 2x . x 4 x 2 4 Применяя теоремы 1-5, находим lim (3 2x ) lim 3 2 lim x 3 2x 3 24 5 1 lim 2 x 4 2 x 4 2 x 4 . x 4 x 4 16 4 20 4 lim ( x 4) lim x lim 4 Пример 1. Найти lim x 4 x 4 x 4 x 2 1 Пример 2. Найти lim 2 . x 1 x 2x 3 lim ( x 2 1) lim x 2 lim 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 lim 2 0. 2 2 x 1 x 2 x 3 lim ( x 2x 3) lim x 2 lim x lim 3 x 1 7x 8 . x 11 x 2 Пример 3. Найти lim x 1 x 1 x 1 Так как lim (1 x 2 ) 0 , то мы не можем воспользоваться теоремой 5. x 1 Заметим, однако, что знаменатель данной дроби при x 1 не равен нулю, а стремится к нему, то есть неограниченно уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отличным от нуля. При этом lim (7 x 8) 1 . Таким x 1 образом, чем ближе значение x к (-1), тем большей становится абсолютная 7x 8 7x 8 величина дроби , поэтому lim . 2 x 11 x 2 1 x f (x) Пусть lim f ( x ) lim g( x ) 0 . В данном случае о пределе частного lim x a x a xa g ( x ) ничего определённого сразу сказать нельзя. Этот предел зависит от закона изменения функций f ( x ) и g ( x ) . Если, например, f ( x ) x 4 , g( x ) x 2 , f (x) x4 lim 2 lim x 2 0 . a 0 , то lim x 0 g ( x ) x 0 x x 0 f (x) 2x lim 2. Если же f (x) 2x , g( x ) x , то lim x 0 g ( x ) x 0 x f (x) x 1 lim lim 2 lim . Или при f ( x ) x , g( x ) x 2 , получаем x 0 g( x ) x 0 x x 0 x Таким образом, знание пределов функций f ( x ) и g ( x ) не позволяет судить о поведении их отношения: необходимо знать сами функции и непосредственно исследовать отношение. Поэтому говорят, что когда lim f ( x ) lim g( x ) 0 , выражение lim f ( x ) / g( x ) представляет xa x a xa 0 неопределён-ность вида . 0 x 2 25 Пример 4. Найти lim 2 . x 5 x 6 x 5 Так как lim (x 2 25) lim (x 2 6x 5) 0 , x 5 x 5 0 то данный предел является неопределённостью вида , и мы не можем 0 воспользоваться теоремой 5. Однако при x 5 данную дробь можно сократить: x 2 25 ( x 5)( x 5) x 5 . x 2 6x 5 ( x 1)( x 5) x 1 Поэтому x 5 10 5 x 2 25 0 . = = lim lim 2 x 5 x 6 x 5 0 x 5 x 1 4 2 Пример 5. Найти lim x 1 3 x 2 . x 1 0 . Но, 0 в отличие от примера 4, данную дробь нельзя сразу сократить на ( x 1) . Поэтому предварительно преобразуем функцию, умножив числитель и знаменатель на ( 3 x 2 ) - выражение, сопряжённое числителю. Получим ( 3 x 2)( 3 x 2) x 1 . ( x 1)( 3 x 2) ( x 1)( 3 x 2) Так как при рассмотрении данного предела x 1 , то 3 x 2 0 1 1 lim lim . x 1 x 1 0 x 1 3 x 2 4 Этот предел, как и в примере 4, является неопределённостью вида 3x 2 2 Пример 6. Найти lim 2 . x x 4x 5 При x значение x неограниченно возрастает, поэтому и числитель, и знаменатель дроби неограниченно увеличиваются, т. е. lim (3x 2 2) lim (x 2 4x 5) . x x В этом случае говорят, что предел является неопределённостью вида . Так же, как и в рассмотренных выше примерах, ничего определённого о f (x) пределе частного lim сразу сказать нельзя, если lim f ( x ) lim g( x ) x x x g ( x ) . Чтобы вычислить данный предел (или, как говорят, раскрыть неопределённость), разделим числитель и знаменатель дроби на x 2 старшую степень аргумента: 2 3 2 2 3x 2 x . 2 4 5 x 4x 5 1 2 x x 1 1 Так как lim lim 2 0 , то, используя теоремы 1,2,3,5, получаем x x x x 2 ) 2 3 x 3x 2 x lim 2 = 3. x x 4 x 5 4 5 1 lim (1 2 ) x x x 2 100 x 195 Пример 7. Найти lim . x x3 1 Этот предел также является неопределённостью вида . Чтобы раскрыть её, разделим числитель и знаменатель дроби на x 3 - старшую степень аргумента: 100 195 100 195 3 lim ( 3) 2 100 x 195 x x x x x 0 0. lim lim x x 1 1 1 x3 1 1 3 lim (1 3 ) x x x 4 2 x 4x x Пример 8. Найти lim 2 . x 2 x 5 x 7 x 4 - старшая степень аргумента, поэтому 4 1 1 2 3 4 2 x 4x x x x . lim 2 lim x 2 x 5x 7 x 2 5 7 3 4 2 x x x Так как 1 lim 0 при всех 0 , x x то 4 1 2 5 7 lim (1 2 3 ) 1, lim ( 2 3 4 ) 0 . x x x x x x x Однако подчеркнём, что знаменатель не равен нулю, а лишь стремится к нему, неограниченно уменьшаясь по абсолютной величине с ростом x . Поэтому 4 1 1 2 3 4 2 x 4x x x x . lim 2 lim x 2 x 5x 7 x 2 5 7 x2 x3 x4 2 lim (3