Математика ТОГу

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждения
Высшего профессионального образования
«Хабаровский государственный технический университет»
Кафедра «Прикладная математика»
Контрольная работа №1
Вариант 9
Выполнил студент:
Специальность:
Курс: 1 (2014-2017)
Номер зачетной книжки:
Фамилия:
Имя:
Отчество:
Хабаровск 2014
Задание для выполнения контрольной работы.
Задание 1. Выполнить действия с матрицами и найти матрицу Х.
3
1 4 
 8 5  1




 1 0 2 
 , C  1 5 3 
X  3 AB  4 E  5C , если A    2 2  , B  
 2 2  3
1  1 
1 1 0 




1
Задание 2. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
5
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом;
в) методом Гаусса.
х1  4 х 2  х3  6
{ х1  2 х2  4 х3  20
х1  5 х3  22
Задание 3. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D.
А(5,2,7), В(7,-6,-9), С(-7,-6,3), D(1,-5,2).
8
Вычислить:
а) угол между рёбрами (векторами) АВ и АD;
б) площадь грани АВС;
в) объем пирамиды АВСD;
г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.
Задание 4. Вычислить пределы:
1  4x 2  7x 4
а) lim
x  5 x 4  6 x 3  9 x
в) lim
x 0
х2  9  3
2x 2  7x  4
б) lim1
10 x  5
x
2
г) lim
x 0
х 2  25  5
 4x  1 
д) lim


x 
 4x 
10
sin 8 x  sin 4 x
5x
2x
Задание 5. Найти производные у / данных функций:
а) у  5 х 2  3 х 4 
в) у 
4 5

х3 х
arctg (7 x  2)
(2 x  5) 7
б) у  arccos 4 x 2  sin
г) у  tg x 5  2
1
12
3x
5
д) {
х  cos t  2t
𝑦  t 5  sin t
Задание 6. Провести полное исследование функции и построить ее
график.
y
15
x 2  3x  2
x 1
2
Задание 1. Выполнить действия с матрицами и найти матрицу Х.
1 4 
 8 5  1




 1 0 2 
 , C  1 5 3 
X  3 AB  4 E  5C , если A    2 2  , B  
 2 2  3
1  1 
1 1 0 




1
Решение. 1) Вычислим произведение АВ . Произведение матриц А и В
определено, т.к. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Найдем элементы матрицы С= АВ . Для этого элементы первой строки
матрицы А умножаем на соответствующие элементы первого столбца
матрицы В и складываем. Таким образом:
c11  1 (1)  4  2  7
c12  1 0  4  2  8
c13  1  2  4  (3)  10
c21  (2)  (1)  2  2  6
c22  (2)  0  2  2  4
c23  (2)  2  2  (3)  10
c31  1  (1)  (1)  2  3
c32  1  0  (1)  2  2
c33  1  2  (1)  (3)  5
 7 8  10 


Таким образом, АВ   6 4  10 
  3  2 5


2) Для нахождения обратной матрицы убедимся, что ее определитель
не равен нулю:
8 5 1
det C  C  1 5 3
1 1 0
 8  5  0  5  3  1  1  1  (1)  (1)  5  1  3  1  8  5  1  0  5  0
Итак, матрица С – невырожденная, значит, для нее существует
обратная матрица. Найдем алгебраические дополнения:
С11  (1)11 М 11 
5 3
1 3
1 5
 3; С12  (1)1 2 М 12  
 3; С13  (1)13 М 13 
 4;
1 0
1 0
1 1
3
С 21  (1) 21 М 21  
5 1
8 1
 1; С 22  (1) 2 2 М 22 
 1;
1 0
1 0
С 23  (1) 23 М 23  
8 5
5 1
 3; С31  (1) 31 М 31 
 20;
1 1
5 3
С32  (1) 3 2 М 32  
8 1
8 5
 25; С33  (1) 33 М 33 
 35
1 3
1 5
  3  1 20 


Присоединенная матрица имеет вид: C   3 1  25 
  4  3 35 


*
Согласно
теореме
существования
обратной
матрицы
всякая
невырожденная матрица имеет обратную матрицу. При этом:
С
1
 С11 С 21 С 31 

С* 1 

  С12 С 22 С 32  ,



 С13 С 23 С 33 
где Сij - алгебраическое дополнение к
элементу c ij матрицы С, а ∆ - ее определитель.
Таким образом, имеем: С
1
  3  1 20   0,6 0,2  4 
 

С*
1 


 3 1  25     0,6  0,2 5 
5 5
 

  4  3 35   0,8 0,6  7 
3) Для нахождения матрицы Х умножим произведение АВ на 3,
единичную матрицу единичного порядка на - 4; С 1 на – 5. Результаты
сложим.
X  3 AB  4 E  5C
1
 21 24  30   4 0 0   3 1  20  14 23  10 

 
 
 

 18 12  30    0 4 0     3  1 25    21 9  55 
  9  6 15   0 0 4   4 3  35    13  9 46 

 
 
 

23  10 
14


9  55 
Ответ: X   21
  13  9 46 


4
Задание 2. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) по формулам Крамера;
б) матричным методом;
в) методом Гаусса.
х1  4 х 2  х3  6
{ х1  2 х2  4 х3  20
х1  5 х3  22
Решение. 1) Решим систему линейных уравнений по формулам
Крамера.
Если определитель основной матрицы системы линейных уравнений не
равен нулю   det A  0 , то неизвестные x1 , x 2 , x3 вычисляются по формуле:
xi 
i
, (i = 1, 2, 3),

где  i - определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой i – го
столбца на столбец В.
1 4 1 


Запишем данную систему в матричном виде АХ=В, где А  1 2 4  ,
1 0 5 


 х1 
 6 
 


Х   х 2  , В    20 
х 
  22 


 3
Вычислим определитель матрицы А.
  det A  1 2  5  4  4 1  0  1 2 1  0  4 1 5  4  0
Вычислим определитель  i :
6 4 1
1 6 1
1   20 2 4  32 ,
 22 0 5
 2  1  20 4  8 ,
1  22 5
Согласно формулам Крамера:
х1 
32
 8,
4
х2 
8
 2 ,
4
х3 
 24
 6
4
5
1 4 6
 3  1 2  20  24 ,
1 0  22
2) Решим систему линейных уравнений матричным методом.
Если определитель основной матрицы системы линейных уравнений не
равен нулю   det A  0 , то неизвестные x1 , x 2 , x3 вычисляются по формуле:
Х  А 1 В
Так как определитель основной матрицы
  det A  4  0 , то можно
найти обратную матрицу А 1 . Вычислим алгебраические дополнения:
А11 
2 4
 10 ,
0 5
А21  
А31 
А12  
4 1
 20 ,
0 5
4 1
 14 ,
2 4
1 4
 1 ,
1 5
А22 
А32  
А13 
1 1
4,
1 5
1 2
 2
1 0
А23  
1 1
 3 ,
1 4
А33 
1 4
4
1 0
1 4
 2
1 2
10  20 14 

1
Обратная матрица будет иметь вид: А    1 4  3 
4

  2 4  2
1
Итак, столбец неизвестных:
 х1 
10  20 14   6 
10  (6)  (20)  (20)  14  (22) 
 32   8 
 

 1
 1
  
1
1
Х   х2   А В    1 4  3   20    (1)  (6)  4  (20)  (3)  (22)     8     2 
4
х 

 4  (2)  (6)  4  (20)  (2)  (22)  4   24    6 
  2 4  2   22 



  
 3
3) Решим систему линейных уравнений методом Гаусса.
Умножим первое уравнение на -1 и сложим со вторым, затем первое
уравнение умножим на -1 и сложим с третьим уравнением. В результате
получим следующую систему:
х1  4 х 2  х3  6
{  2 х2  3х3  14
 4 х 2  4 х3  16
Умножим второе уравнение на
1
2
х1  4 х 2  х3  6
{ х2  1,5 х3  7
 4 х 2  4 х3  16
6
Их первого и третьего уравнения отнимем уравнение 2 умноженное
соответственно на 4 и -4. В результате получим следующую систему:
х1  7 х3  34
{ х 2  1,5 х3  7
 2 х3  12
Умножим третье уравнение на 
1
2
х1  7 х3  34
{ х 2  1,5 х3  7
х3  6
Их первого и второго уравнения отнимем уравнение 3 умноженное
соответственно на 7 и -1,5. В результате получим следующую систему:
х1  8
{ х 2  2
х 3  6
Ответ: х1  8 , х2  2 , х3  6
7
Задание 3. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D.
А(5,2,7), В(7,-6,-9), С(-7,-6,3), D(1,-5,2).
Вычислить:
а) угол между рёбрами (векторами) АВ и АD;
б) площадь грани АВС;
в) объем пирамиды АВСD;
г) высоту, опущенную из вершины D на грань АВС.
Решение. 1) Найдем координаты векторов АВ , АС и AD :
АВ  {7 − 5; (−6) − 2; (−9) − 7} = {2; −8; −16}
АС ={−7 − 5; (−6) − 2; 3 − 7} = {−12; −8; −4},
AD ={1 − 5; (−5) − 2; 2 − 7} = {−4; −7; −5}
а) Вычислим угол между векторами АВ и AD из их скалярного

произведения: АВ ∙ AD = АВ  АD  cos( AB AD)
тогда
AB  AD

cos( AB AD) 
AB  AD

2  (4)  (8)  (7)  (16)  (5)
2 2  (8) 2  (16) 2  (4) 2  (7) 2  (5) 2

128
324  90
 0,75
б) Вычислим площадь грани АВС, используя 5-е свойство векторного
произведения:
АВ ∙ AС  {
 8  16
2  16
2 8
,
,
}=
 8  4  12  4  12  8
={32 − 128; −((−8) − 192); (−16 − 96)}={−96; 200; −112}
тогда длина этого вектора │ АВ ∙ AС │= (96) 2  200 2  (112) 2  2 965 , а
площадь соответственно:
S ABC 
1
1
AB  AC   8 965  124,26
2
2
в) Объем пирамиды АВСD вычислим, используя 3-е свойство
смешанного произведения:
8
2  8  16
АВ АС AD   12  8  4  2  (8)  (5)  (12)  (7)  (16)  (8)  (4)  (4)
4 7 5
 (4)  (8)  (16)  (4)  (7)  2  (8)  (12)  (5)  456
Итак, объем V 
1
1
AB  AC  AD  456  76
6
6
г) Высоту h, опущенную из вершины D на грань АВС, найдем из
1
6
формулы V  Sh . Тогда h 
6V
6  76

 3,7
S
4 965

Ответ: cos( AB AD)  0,75 ; S ABC  124,26 ; V  76 ; h  3,7
9
Задание 4. Вычислить пределы:
а) lim
x 
1  4x 2  7x 4
5x 4  6 x 3  9 x
Решение. Найдем следующие пределы: lim
x 
 (7 x 4 )  4 х 2  1
5x 4  6 x 3  9 x
Разделим числитель и знаменатель на х 4 :
4
1
 4
2
х
х
6 9
5  3
х х
7
lim
x 
Выражения
1
4
9
6
, 2 , 3 и
все стремятся к нулю при х→∞:
4
х
х
х
х
4
1
 4
2
х
х  7
6 9
5
5  3
х х
7
lim
x 
б) lim1
x
2
2x 2  7x  4
10 x  5
Решение. Подставляя предельное значение
х
1
в
2
числитель и
знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль:
1
1
2  ( )2  7   4  0
2
2
и
10 
1
5  0.
2
Стоящие в числителе и знаменателе многочлены можно разложить на
множители:
2 х 2  7 х  4  (2 х  1)( х  4)
10 х  5  (2 х  1)  5
2 x 2  7 x  4 (2 х  1)( х  4)

1
10 x  5
(2 х  1)  5
x
lim
2
Общий множитель 2х  1  0 , получаем
2 x 2  7 x  4 ( х  4)

1
10 x  5
5
x
lim
2
При х 
1
2
( х  4) 1 1
9
  (  4) 
1
5
5 2
10
x
lim
2
10
х2  9  3
в) lim
x 0
х 2  25  5
Решение. Подставляя предельное значение х  0 в числитель и
знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль.
Дифференцируя, преобразуем числитель и знаменатель получаем:
lim
x 0
d
( x 2  9  3)
2
х 9 3
 lim dx
 lim
2
х  25  5 x d ( x 2  25  5 x
dx
x
x 2  25
x2  9
 lim
x 
x
x2  9
2
x 5
При х  0 : х 2  25  25  5 и х 2  9  9  3 , следовательно,
lim
x 0
х2  9  3
х  25  5
2
г) lim
x 0

5
3
sin 8 x  sin 4 x
5x
Решение. lim
x 0
lim
x 0
sin 8 x  sin 4 x
sin 4 x  sin 8 x
 lim
x 0
5x
5x
sin 4 x  sin 8 x
5x
d
(sin( 4 x)  sin( 8 x))
4 cos( 4 x)  8 cos(8 x)
4
dx
 lim
 lim
 lim (cos( 4 x)  2 cos(8 x))
x 
x 
x  5
d
5
(5 x)
dx
4
5
4
5
(cos( 4  0)  2 cos(8  0))  (1  2  1) 
При х  0 получаем lim
x 
 4x  1 
д) lim


x 
 4x 
12
5
2x
Решение. При х   получается неопределенность 1 . Произведем
y  0 .Тогда
замену переменных: у  2 х , при этом lim
x 
 4x  1 
lim 

x 
 4x 
Ответ: а)
2x
y
 2 y 1
  e
 lim 
y 0
 2y 
7
9
5
12
; б) ; в) ; г) ; д)
10
3
5
5
11
е
Задание 5. Найти производные у / данных функций:
а) у  5 х 2  3 х 4 
4 5

х3 х
Решение. Найдем производные каждого слагаемого:
у /  (5 х 2 ) /  10 х
у /  (3 х 4 ) / 
(х4 )/
3( х 4 )
у/  (
2
3
4х 3

3( х 4 )
2
3
 4х 3 3
4 /
d 1
12
)  4( ( 3 ))  4  (3x  4 )   4
3
dx x
х
x
5
5
у /  ( )/   2
х
х
у /  (5 х 2 ) /  (3 х 4 ) /  (
б) у  arccos 4 x 2  sin
4 /
5
12
5
)  ( ) /  10 х  4 х 3 3  4  2
3
х
х
x
х
3x
5
Решение. Вычислим производную используя правило произведения:
у /  (arccos 4 x 2  sin
3x /
3x
)  (cos 1 (4 x) 2  sin( )) /
5
5
d
du
dv
3x
(uv)  v
 u , где u  cos 1 (4 x) 2 и v  sin( )
dx
dx
dx
5
Тогда
=(
d
3x
d sin( u ) du
3x
d
(sin( )) 
(sin( u ))  cos(u ) :
, где u  и
dx
5
du dx
5
du
d
3x
3x d 3x
(cos 1 (4 x) 2 ) sin( )  cos( )( ( ) cos 1 (4 x) 2 =
dx
5
5 dx 5
d
3x 3 d
3x
(cos 1 (4 x) 2 ) sin( )  ( ( х) cos 1 (4 x) 2 cos( )
dx
5
5 dx
5
Производная :
d
3x 3
3x
(cos 1 (4 x) 2 ) sin( )  cos 1 (4 x) 2 cos( )
dx
5
5
5
Используя правило:
3
5
= сos 1 (4 x) 2 cos(
d
du 2 du
d
(cos 1 (4 x) 2 ) 
, где u  cos 1 (4 x) и (u 2 )  2u :
du
dx
du dx
3x
d
3x
)  2 cos 1 (4 x)( (cos 1 (4 x))) sin( )
5
dx
5
12
По правилу:
d
d cos 1 (u ) du
, где u  4x
(cos 1 (4 x)) 
dx
du
dx
d
1
(cos 1 (u ))  
:
du
1 u2
d
4x
3
3
x
3x
 cos 1 (4 x) 2 cos( )  ( dx
2 cos 1 (4 x) sin( )
5
5
5
1  16 x 2
3
5
Преобразуем выражение: cos 1 (4 x) 2 cos(
3x
)
5
d
3x
(4 x)) sin( )
dx
5 и
2
1  16 x
2 cos 1 (4 x)(
d
3x
( x)) 2 cos 1 (4 x) sin( )
3
3x
5
cos 1 (4 x) 2 cos( )  dx
2
5
5
1  16 x
4
Преобразуем выражение:
3
3x
у /  cos 1 (4 x) 2 cos( ) 
5
5
в) у 
8 sin(
3x
3x
) cos 1 (4 x) sin( )
5
5
2
1  16 x
arctg (7 x  2)
(2 x  5) 7
Решение
у/  (
arctg (7 x  2) / (arctg (7 x  2)) /  (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  (( 2 x  5) 7 ) /
) 

(2 x  5) 7
(( 2 x  5) 7 ) 2
( 7 x  2) /
 (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  7  (2 x  5) 6  (2 x  5) /
2
1  (7 x  2)


(( 2 x  5) 7 ) 2
(7 x ) /
 (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  7  (2 x  5) 6  (2 x) /
2
1  (7 x  2)


(( 2 x  5) 7 ) 2
7
 (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  7  (2 x  5) 6  2
2
1  (7 x  2)


(( 2 x  5) 7 ) 2
7
 (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  14  (2 x  5) 6
1  (7 x  2)

(( 2 x  5) 7 ) 2
13
г) у  tg x 5  2
Решение
( x 5  2) /
у  (tg x  2 ) 
/
5
( х5  2)/
/
cos 2 ( x 5  2 )

2 x5  2
cos 2 ( x 5  2 )
(x5 )/

2 x5  2
cos 2 ( x 5  2 )
5x 4

2 x5  2
cos 2 ( x 5  2)
д) {
х  cos t  2t
𝑦  t 5  sin t
Решение
y(t )  t 5  sin t
x(t )  2t  cos(t )
Вычисляем производные
dy
dx
и
dt
dt
y / t  5t 4  cos t
x / t  2  sin t
y
5t 4  cos t
dy
: y/ x  t/ 
dt
 2  sin t
xt
/
Вычисляем производную
Ответ: а) у /  10 х  4 х 3 3 
3
5
3x
5
б) у /  cos 1 (4 x) 2 cos( ) 
12
5
 2;
4
x
х
8 sin(
3x
3x
) cos 1 (4 x) sin( )
5
5 ;
2
1  16 x
7
 (2 x  5) 7  arctg (7 x  2)  14  (2 x  5) 6
1

(
7
x

2
)
в) у / 
;
(( 2 x  5) 7 ) 2
5x 4
г) у / 
2 x5  2
cos 2 ( x 5  2)
; д) y / x 
5t 4  cos t
 2  sin t
14

Задание 6. Провести полное исследование функции и построить ее
график.
y
x 2  3x  2
x 1
Решение. Согласно общей схеме исследования функции проведем в
семь этапов.
1. Функция не определена при х  1. Областью ее определения является
интервал (;1)  (1; ) .
2. Если у  0 , то х1  1, х2  2 , т.е. точками пересечения графика с осями
координат являются (0;2); (1;0); (2;0).
3. Функция общего вида, т.к. y( х) 
x 2  3x  2
  у ( х) .
 х 1
4. Прямая х  1- вертикальная асимптота, т.к.
lim y   и lim y  
х 1 0
х 1 0
Найдем уравнение наклонной асимптоты у  кх  b :
x 2  3x  2
x 2  3x  2
 x  4
 1 , b  lim
x 
x 
x 1
( x  1) x
к  lim
Итак, y  x  4
5. Найдем первую производную: y /  (
x 2  3x  2 / х 2  2 х  5
) 
x 1
( х  1) 2
Решением уравнения y /  0 является решение квадратного уравнения в
числителе х 2  3х  2 , т.е. корни х1   6  1  3,4 , х 2  6  1  1,4 .
Первая производная не существует при х3  1 . Отмечаем эти точки на
числовой оси и проверяем знаки производной.
-
+
-3,4
+
1,4
-1
х
При х  (;3,4)  (1,4; ) функция возрастает. При х  (3,4;1,4) функция
убывает. Минимальное значение функции -   , максимальное значение
функции -  .
15
6. Найдем вторую производную y //  (
х 2  2х  5
12
)
2
( х  1)
( х  1) 3
Вторая производная не обращается в нуль ни при каких х и не
существует при х=-1. Отмечаем эту точку на числовой прямой и проверяем
знаки второй производной.
-
+
х
-1
Итак,
при
х  (;1) функция
выпуклая.
При
х  (1; ) функция
вогнутая. Точек перегиба нет, т.к. х=-1 не входит в область определения.
7. Строим график функции:
Рис. – График функции
16
Список использованных источников
1. Высшая матиматика в упражнениях и задачах: учеб. Пособие для
втузов: в 2 ч / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников 3-е изд., 2003.
2. Матиматика для экономистов М.С.Красс., Б.П.Чупрынов. 2004.
3. Матиматика для экономистов: учебник для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальноятям. Н.Ш. Кремер. 2007.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. 2002.
5. Письменный Д.Т. Конспект лекции по высшей матиматике: полный
курс / Д.Т. Письменный. 2004.
17