ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Критерий Михайлова Цель работы: определение устойчивости замкнутой САУ. Дано: характеристическое уравнение замкнутой системы; величина параметра Т. Задание: Определить состояние системы при заданном значении параметра Т и величины этого параметра для двух других состояний системы. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Пусть дано характеристическое уравнение системы: D( s ) a0 s n a1 s n1 ... a n 0 Левую часть характеристического уравнения называют характеристическим полиномом D( s) a0 s n a1 s n 1 ... a n Если подставить в этот полином чисто мнимое значение s = jω, то получим комплексный полином D( j ) a0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 ... a n X ( ) jY ( ) D( )e j ( ) Функции X ( ) a n a n 2 2 a n 4 4 ... , Y ( ) (a n 1 a n 3 2 a n 5 4 ...) называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова; функции D(ω) и ψ(ω) представляют собой модуль и фазу (аргумент) вектора D ( j ) . При изменении частоты ω вектор D( j ) , изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова. Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф) Михайлова при изменении частоты ω от 0 до ∞, начинаясь при ω = 0 на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n — порядок характеристического уравнения. Варианты заданий: 1. Ф 87 0.0053Ts 0.058Ts 1.0Ts 2 (2.7 35T ) s 87 T = 0.1 2. Ф 48.3 0.045Ts (0.04 48.3T ) s (0.45 25.8T ) s 2 (5.8 48.0T ) s 48.3 T = 0.5 3. Ф 49.7 0.007Ts (0.004 0.17T ) s (0.19 21T ) s 2 (1 50.0T ) s 49.7 T = 0.02 4. Ф 49.7 0.02Ts (0.04 0.24T ) s (0.19 22T ) s 2 (1 45.0T ) s 49.7 T = 0.5 5. Ф 87 0.03Ts (0.03 0.36T ) s (0.03 21T ) s 2 (1 44.0T ) s 87 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 T = 0.04 6. Ф 51 0.03Ts (0.03 0.36T ) s (0.4 25T ) s 2 14.0Ts 51 T = 0.1 7. Ф 50 0.005Ts 0.07Ts 2.5Ts 2 (6 20T ) s 50 T = 0.1 8. Ф 87 0.03Ts (0.03 0.36T ) s (0.03 21T ) s 2 (1 44.0T ) s 87 T = 0.5 9. Ф 48 0.005Ts 0.05Ts 0.63Ts 2 (1 2T ) s 48 T = 0.7 4 3 4 3 4 3 4 3 10. Ф 37 0.004Ts (0.007 0.19T ) s (0.24 21T ) s 2 (1 52.0T ) s 37 T = 0.4 11. Ф 82 0.02Ts (0.04 0.48T ) s (0.24 21T ) s 2 (1 47.0T ) s 82 T = 0.5 12. Ф 18 0.04Ts (0.05 48T ) s Ts 2 (5.8 44.0T ) s 18 T = 0.3 4 3 4 4 3 3 13. Ф 29 0.003Ts 0.06Ts (0.19 21T ) s 2 (3 49.0T ) s 29 T = 0.7 14. Ф 87 0.03Ts (0.03 0.36T ) s (0.03 21T ) s 2 (1 44.0T ) s 87 T = 0.4 15. Ф 19 0.003Ts (0.03 0.36T ) s 3 3.5Ts 2 (5 40T ) s 19 T = 0.5 16. Ф 57 0.08Ts s s (2.8 36T ) s 57 T = 0.1 17. Ф 78 0.03Ts (0.04 58T ) s (0.5 26T ) s 2 (5.8 42.0T ) s 78 T = 0.5 18. Ф 99 0.045Ts (0.04 0.39T ) s (0.79 41T ) s 2 (1.5 50T ) s 99 19. Ф 50 0.01Ts (0.02 0.44T ) s (0.03 81T ) s 2 (1.1 60T ) s 50 T = 0.5 20. Ф 97 0.003Ts (0.04 0.16T ) s (0.07 11T ) s 2 (1 60T ) s 97 T = 0.04 21. Ф 57 0.003Ts (0.03 0.36T ) s (0.76 46T ) s 2 (1 23.5Ts 57 T = 0.1 22. Ф 20 0.005Ts 0.36Ts 2.4Ts 2 (8 30T ) s 20 T = 0.1 23. Ф 37 0.02Ts (0.1 0.56T ) s (0.3 91T ) s 2 (3.4 40T ) s 37 T = 0.5 24. Ф 48 0.005Ts (0.007 0.19T ) s 3 (1 51T ) s 2 (1 2T ) s 48 T = 0.7 25. Ф 77 0.002Ts (0.001 0.29T ) s (0.14 51T ) s 2 (1 70T ) s 77 T = 0.4 26. Ф 52 0.007Ts (0.14 58T ) s (0.34 31T ) s 2 (2 42T ) s 52 T = 0.5 27. Ф 98 0.05Ts (0.06 44T ) s 1.2Ts 2 (6 18T ) s 98 T = 0.1 28. Ф 89 0.005Ts 0.06Ts (0.39 41T ) s 2 (3 60T ) s 89 T = 0.8 4 3 4 3 4 4 3 2 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 3 4 3 4 4 3 4 3 4 3 4 3 T = 0.02 29. Ф 87 0.03Ts (0.03 0.36T ) s (0.03 21T ) s 2 (1 44.0T ) s 87 T = 0.7 30. Ф 60 0.005Ts (0.03 0.5T ) s 3 7.5Ts 2 (8 42T ) s 60 T = 0.5 4 3 4 Порядок выполнения задания. 1. Проверить состояние САУ с помощью критерия Михайлова для заданного значения Т, построив годограф Михайлова. 2. Определить два других значения Т (методом подбора) при которых система будет находиться в остальных двух состояниях, построив годографы Михайлова. 3. Найти вещественную и мнимую функции Михайлова. 4. Найти корни вещественной и мнимой функций Михайлова для всех трех найденных значений Т. Значения корней нанести на числовые оси, подтвердив таким образом состояния системы. 5. Определить запасы устойчивости по модулю и фазе для устойчивой системы используя функцию “margin” пакета MATLAB. Примеры построения амплитудно-частотных характеристик. Система неустойчива. Т = …. Общий вид годографа Начальный участок годографа Система на грани устойчивости. Т = …. Система устойчива. Т = …. Общий вид годографа годографа Начальный участок