Эндогенное формирование клубов при возможности отказа от

Эндогенное формирование клубов при возможности отказа от
участия в них*
Вебер Ш. (РЭШ , Southern Methodist University, Dallas, [email protected]),
Мусатов Д.В. (РЭШ, МФТИ(ГУ), КФУ, [email protected]),
Савватеев А.В. (РЭШ, МФТИ(ГУ), Лаборатория социального анализа русского фонда
содействия образованию и науке, [email protected])
1. Введение
В литературе изучается множество моделей, в которых экономические агенты разбиваются на
коалиции для получения клубного блага. Эти модели возникают в разных областях: при анализе
формирования государств (Alesina & Spolaore, 1997), децентрализованной поставки
общественного блага (Mas-Colell, 1980), решения об объёмах перераспределения (Bolton & Roland,
1997), образования политических партий, разбиения на клубы по интересам и т.д. Основным
вопросом является существование равновесия в том или ином смысле. В одних ситуациях ответ
положительный (Савватеев, 2013), в других – отрицательный (Bogomolnaia , Le Breton, Savvateev, &
Weber, 2008). Однако почти все модели предполагают, что участие хотя бы в каком-то клубе
обязательно, альтернативой является бесконечно отрицательная полезность. В настоящей работе
мы рассматриваем ситуацию, когда участие в клубе приносит некоторый конечный доход, а
пребывание в одиночестве является корректной альтернативой. Оказывается, что даже в самой
простой постановке равновесия по Нэшу может не быть.
2. Модель
Мы используем одномерную непрерывную модель: агенты расселены по отрезку [0,1] со строго
положительной непрерывной плотностью 𝑓(𝑥). Агент может участвовать в некотором клубе и
получать от этого полезность 𝑣, либо не участвовать ни в каком и получать нулевую полезность.
Содержание клуба стоит некоторую фиксированную сумму 𝑔, которая делится поровну между
всеми его участниками. Таким образом, каждый участник несёт долю фиксированных издержек
𝑔
,
𝐹(𝑆)
где 𝐹(𝑆) = ∫𝑆 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Кроме того, клуб поставляет некоторое благо, которое сосредоточено в
его медианной точке. Проезд на единичное расстояние стоит 𝜌. Таким образом, агент, живущий в
точке 𝑥 и принадлежащий к клубу 𝑆, получает полезность
𝑢(𝑥, 𝑆) = 𝑣 −
𝑔
− 𝜌|𝑥 − 𝑚𝑒𝑑(𝑆)|.
𝐹(𝑆)
Мы будем считать, что все клубы являются связными. Принадлежность концов не влияет на
полезность, т.к. в распределении населения нет атомов. Равновесием мы будем называть такой
набор клубов, при котором ни один агент не хочет изменить свой клуб, отказаться от участия в
клубе вообще или вступить в какой-либо клуб, не будучи членом ни одного. Иными словами, если
*
Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ №14.У04.31.0002 на базе
лаборатории исследования социальных отношений и многообразия общества (ЛИСОМО РЭШ)
агент 𝑥 принадлежит к клубу 𝑆, то 𝑢(𝑥, 𝑆) ≥ 𝑢(𝑥, 𝑇) для любого другого клуба 𝑇 и 𝑢(𝑥, 𝑆) ≥ 0, а
если агент 𝑥 не принадлежит ни к какому клубу, то 𝑢(𝑥, 𝑆) ≤ 0 для любого клуба 𝑆.
Необходимым условием равновесия является безразличие агентов на краях отрезка: если есть
клубы 𝑆 = [𝑎, 𝑏] и 𝑇 = [𝑏, 𝑐], то 𝑢(𝑏, 𝑆) = 𝑢(𝑏, 𝑇). Действительно, если выполнено строгое
неравенство, то оно выполнено и для некоторой окрестности, а тогда все агенты из этой
окрестности с одной из сторон хотят сменить клуб. Кроме того, если никакого клуба,
непосредственно следующего за 𝑆, нет, но при этом 𝑏 < 1, то должно быть выполнено равенство
𝑢(𝑏, 𝑆) = 0, аналогично и на левом краю.
3. Основной результат
Мы показываем, что даже при такой жёсткой спецификации может не быть даже одного клуба,
удовлетворяющего условию безразличия на краях. А именно, верна такая теорема:
Теорема-контрпример. Существуют такая плотность 𝑓 и параметры полезностей и издержек 𝑣, 𝑔
и 𝜌, что для некоторого клуба 𝑆 полезности всех его членов неотрицательны, но при этом ни для
какого клуба не выполнено условие краевого безразличия на обоих концах.
2
Пример. Мы рассматриваем пример с 𝑔 = 1, 𝜌 = 9, 𝑣 = 0.1115 (нужна очень высокая точность!) и
кусочно-постоянной плотностью населения:
3 4
6 7
45, 𝑥 ∈ [ , ] ∪ [ , ] ;
9 9
9 9
4 5
𝑓(𝑥) =
36, 𝑥 ∈ [ , ]
9 9
{
27,
иначе.
Эта плотность разрывна, но можно взять очень близкую непрерывную.
3 7
Идея доказательства. Для клуба [9 , 9] население равняется 17, а медиана расположена в точке
39
.
72
7
1
2 7
39
613
Наибольшие издержки несёт агент в точке 9, и они равны 17 + 9 (9 − 72) = 5508 ≈ 0.1113 <
0.1115. Таким образом, все агенты получают положительную полезность. Однако для выполнения
условия краевого безразличия нужно либо, чтобы клуб был расположен с краю, либо чтобы его
медиана совпадала с серединой. Мы показываем, что в любом случае издержки на краях будут
слишком большими, таким образом, полезность у краевого агента будет отрицательной, а не
нулевой. Формальное доказательство состоит в рассмотрении большого числа случаев и
оптимизации издержек в каждом из них. В самом лучшем случае издержки будут равны
примерно 0.1117.
4. Заключение
Построенный нами контрпример характеризуется очень маленьким разрывом между
минимальным уровнем издержек вообще и минимальным уровнем издержек при условии
краевого безразличия. Агенты должны очень точно подсчитывать свою полезность, чтобы наши
рассуждения имели смысл. Возникает естественный вопрос, можно ли увеличить этот разрыв, и
если да, то до какой степени. Возможно, напротив, всегда существует приближённое равновесие,
при котором изменение клуба может увеличить полезность не больше, чем на некоторую
небольшую величину 𝜀.
Список литературы
Alesina, A., & Spolaore, E. (1997). On the Number and Size of Nations. Quarterly Journal of Economics,
113, 1027-56.
Bogomolnaia , A., Le Breton, M., Savvateev, A., & Weber, S. (2008). Stability of jurisdiction structures
under the equal share and median rules. Economic Theory, 3, 523-543.
Bolton, P., & Roland, G. (1997). The breakup of nations: a political economy analysis. Quarterly Journal
of Economics, 113, 1057-90.
Mas-Colell, A. (1980). Efficiency and decentralization in the pure theory of public goods. Quarterly
Journal of Economics, 94, 643-673.
Савватеев, А. В. (2013). Миграционно устойчивая организация одномерного мира: теорема
существовагия решения. Известия Иркутского Государственного Университета, серия
"Математика", 6(2), 58-69.