УМК_БкЭ-200-Математика
advertisement
ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при
Президенте Российской Федерации»
Волгоградский филиал
Кафедра информационных систем и математического моделирования
А. Ю. Савушкин
к.ф.-м.н., доцент
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс для студентов направления подготовки
080100.62 «Экономика»
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры
Протокол № ____ от «___» ___________ 2011 г.
Заведующий кафедрой ИС и ММ
_______________ Астафурова О.А.
Волгоград 2011
СОДЕРЖАНИЕ
Наименование раздела
№
стр
РАЗДЕЛ 1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ______________________ 3
1.1. Требования государственного образовательного стандарта и дидактические единицы по
учебной дисциплине «Математика» ___________________________________________________3
1.2. Цели и задачи учебной дисциплины. _______________________________________________4
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины (знания, умения, навыки). _______________5
1.4. Тематический план курса «Математика» (432 ч.) ___________________________________6
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины ____________________________10
I семестр ________________________________________________________________________________________ 10
II семестр _______________________________________________________________________________________ 32
III семестр _______________________________________________________________________________________ 49
IV семестр ______________________________________________________________________________________ 71
V семестр _______________________________________________________________________________________ 89
РАЗДЕЛ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ________________________________________________ 122
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического комплекса _____122
2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса _____________________________________123
2.3. Рекомендации по работе с литературой __________________________________________123
2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету) ________________________________________124
РАЗДЕЛ 3. МАТЕРИАЛЫ ТЕСТОВОЙ СИСТЕМЫ ИЛИ ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ ЛЕКЦИЙ _____________________________________________________ 124
3.1. I семестр ______________________________________________________________________124
3.2. II семестр _____________________________________________________________________138
3.3. III семестр ____________________________________________________________________149
3.4. IV семестр ____________________________________________________________________162
3.4. V семестр _____________________________________________________________________169
РАЗДЕЛ 4. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ) _____________________ 205
РАЗДЕЛ 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
_________________________________________________________________________________ 217
РАЗДЕЛ 6. ДАННЫЕ О МУЛЬТИМЕДИЙНЫХ ЛЕКЦИЯХ ___________________________ 217
Раздел 1. Рабочая программа учебной дисциплины
1.1. Требования государственного образовательного стандарта и дидактические единицы по
учебной дисциплине «Математика»
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и матрицами, системы линейных алгебраических уравнений, определители и их свойства, собственные
значения матриц, комплексные числа, прямые и плоскости в аффинном пространстве, выпуклые
множества и их свойства.
Математический анализ и дифференциальные уравнения: предел последовательности и его
свойства, предел и непрерывность функции, экстремумы функций нескольких переменных, неопределенный и определенный интегралы, числовые и степенные ряды, дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей и математическая статистика: случайные события, частота и вероятность, основные формулы для вычисления вероятностей, случайные величины, числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин, нормальный закон распределения, генеральная совокупность и выборка, оценки параметров, корреляция и регрессия.
Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория оптимального
управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы
графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри; марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.
Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия; функции
спроса; уравнение Слуцкого; кривые доход-потребление; кривые цены-потребление коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.
Дидактические единицы по учебной дисциплине «Математика»
N
ДЕ
1
Наименование
дидактической единицы
ГОС
Алгебра и геометрия
Основные темы ДЕ
Матрицы и определители
Системы линейных уравнений
Квадратичные формы
Прямая на плоскости
Кривые второго порядка
Прямая и плоскость в пространстве
2
3
4
5
Функции: основные понятия и определения
Непрерывность функции. Точки разрыва
Производные первого порядка
Дифференциальное исчисление ФНП
Основные методы интегрирования
Математический анализ
Приложения определенного интеграла
Числовые последовательности
Сходимость числовых рядов
Область сходимости степенного ряда
Ряды Тейлора (Маклорена)
Типы дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные
Дифференциальные уравнения высших поуравнения
рядков
Линейные дифференциальные уравнения 2
порядка
Основные понятия теории вероятностей
Полная вероятность. Формула Байеса
Дискретная случайная величина
Теория вероятностей и
математическая статистика Статистическое распределение выборки
Характеристики вариационного ряда
Элементы корреляционного анализа
Линейное программирование
Транспортная задача
Вычислительная
Теория игр: матричные игры
математика,
дискретная
Функции полезности
математика
Кривые безразличия
Функции выпуска продукции
1.2. Цели и задачи учебной дисциплины.
Цель курса состоит в том, чтобы обучить студентов основным приемам и методам высшей
математики, развить навыки логического и алгоритмического мышления, научить их самостоятельно использовать математическую литературу и полученные знания при решении прикладных
задач.
Современная финансово-экономическая теория предлагает высокий уровень формализации
как на макро- так и на микроуровне. Поэтому овладение математическими методами анализа и
моделирования является естественной и необходимой составляющей финансово-экономического
образования.
Задачами курса являются:
изучить основные понятия и методы линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, теории вероятностей и математической статистики, а также методами математического моделирования;
сформировать базу для изучения других дисциплин, использующих математический аппарат;
научиться использовать основные приёмы математических методов при самостоятельном
исследовании и решении различных прикладных задач;
научиться использовать основные приёмы обработки экспериментальных данных;
освоить методы проверки зависимости случайных величин;
ознакомиться с некоторыми экономико-математическими методами и моделями;
развить логическое и алгоритмическое мышление студентов;
повысить общий уровень математической культуры студентов.
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины (знания, умения, навыки).
Учебная программа по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» со-
держит следующие разделы: математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, линейная алгебра и математическое программирование, экономическо-математические
методы и модели.
В результате изучения дисциплины будущий специалист должен:
иметь представление о математике, как особом способе познания мира, общности и
универсальности ее понятий и представлений;
уметь использовать математическую символику для выражения количественных и
качественных отношений объектов;
знать методы и приемы обработки количественной информации;
владеть способами наглядного графического представления результатов исследования;
иметь понятие о математическом моделировании финансово-экономических процессов с
учетом их стохастического характера;
иметь навыки исследования моделей и оценки пределов применимости полученных
результатов.
1.4. Тематический план курса «Математика» (432 ч.)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Наименование тем
I семестр
Введение в дисциплину. Специфика
изучения высшей математики в ВУЗе.
Элементы матричного анализа.
Определители. Свойства определителей.
Обратная матрица. Алгоритм поиска.
Ранг матрицы.
Линейные пространства. Линейный оператор. Собственные числа и собственные значения линейного оператора.
Квадратичные формы.
Системы линейных алгебраических
уравнений. Решение методом обратной
матрицы. Формулы Крамера.
Анализ и решение систем линейных
уравнений методом Гаусса. Критерий
совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Общее решение неопределенной системы линейных уравнений.
Понятие функции. Способы задания
функций.
Основные
элементарные
функции.
Предел последовательности и функции.
Правила вычисления пределов.
Замечательные пределы. Непрерывность
функции. Точки разрыва.
Задачи, приводящие к производной.
Определение производной. Геометрический смысл. Экономическое истолкование производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции в точке. Таблица производных.
Производная неявных и параметрически
заданных функций.
Понятие дифференциала функции. Приложения дифференциала.
Основные теоремы дифференциального
исчисления. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
Приложение производной к исследованию функции. Интервалы монотонности. Экстремумы. Приложение второй
производной. Выпуклость функции.
Точки перегиба.
Асимптоты графика функций. Общая
схема исследования функций и построения их графиков.
Очное
лек(ч) сем(ч)
2
2
4
4
2
2
2
4
2
4
4
4
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
4
6
2
4
Заочное
лек(ч) сем(ч)
Второе высшее
лек(ч) сем(ч)
_
_
ИТОГО за I семестр
Форма контроля
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
36
48
К/р, зачет
II семестр
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица инте4
4
гралов. Непосредственное интегрирование.
Методы интегрирования. Замена переменной. Стандартные подстановки.
4
6
Формула интегрирования по частям.
Интегрирование дробей.
Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства и правила вычисления
4
6
определенных интегралов. Формула
Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла.
4
4
Несобственные интегралы.
Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные произ4
4
водные. Производная по направлению.
Градиент. Дифференциал.
Экстремум функций нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее
4
6
значения функции. Условный экстремум.
Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Общее
4
4
решение дифференциального уравнения.
Задача Коши. Теорема существования и
единственности решения задачи Коши.
Методы интегрирования дифференци2
6
альных уравнений I-го порядка.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Ме4
6
тоды решения. Уравнения Бернулли.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка с правой ча4
6
стью специального вида. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод Лагранжа.
38
52
ИТОГО за II семестр
Форма контроля К/р, экзамен
III семестр
Числовые ряды. Основные понятия и
определения. Определение сходимости
ряда. Основные свойства сходящихся
4
4
числовых рядов. Необходимый признак
сходимости числового ряда.
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки
сравнения. Признак Даламбера. Призна4
6
ки Коши. Знакочередующиеся ряды.
Теорема Лейбница.
Функциональные ряды. Область сходимости. Определение степенного ряда.
4
4
Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Свойства сходящихся степенных рядов.
Разложение функций в степенные ряды.
Формула и ряд Тейлора. Формула и ряд
4
6
Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.
Предмет и основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики
4
4
Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
Алгебра событий. Теоремы сложения и
умножения вероятностей независимых
4
4
событий.
Формула полной вероятности. Формула
2
2
Байеса.
Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли.
2
4
Наивероятнейшее число появлений события. Предельные теоремы.
Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайная величина. Закон
распределения. Многоугольник распре4
4
деления. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины.
Плотность распределения вероятностей.
Основные свойства. Числовые характеристики дискретной случайной величи4
6
ны. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Классические законы распределения
случайных величин. Биномиальный закон. Равномерное и показательное рас4
4
пределение. Нормальная случайная величина. Центральные предельные теоремы теории вероятностей.
36
48
ИТОГО за III семестр
Форма контроля
Экзамен
IV семестр
Двумерные случайные величины. Ко4
4
эффициент корреляции (ДЕ3)
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Закон распределения вероятностей для
функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон
больших чисел (ДЕ3)
Нормальное распределение: центральная предельная теорема. Цепи Маркова
и их использование в моделировании
социально-экономических процессов
(ДЕ3)
Корреляционно-регрессионный анализ.
Статистическая зависимость. Понятие
корреляционной и функциональной зависимости. Метод наименьших квадратов. Определения параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии. Коэффициент линейной корреляции Пирсона.
Линейное программирование как раздел
математического
программирования.
Общая характеристика и примеры задач
линейного программирования. Экономико-математическая модель производственной задачи. Теоретические основы
анализа задачи линейного программирования.
Геометрическое решение задачи линейного программирования.
Симплекс метод решения производственной задачи. Аналитический метод.
Симплекс – таблицы.
Транспортная задача линейного программирования.
Задача о назначениях. Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях.
Целочисленное программирование. Задача дробно – линейного программирования. Многокритериальные задачи оптимизации.
Задача коммивояжера.
ИТОГО за IV семестр:
Форма контроля
V семестр
Элементы теории графов. Задача о кратчайшем пути в графе.
Сетевое планирование и управление.
Сетевые модели.
Элементы теории игр. Предмет теории
игр. Основные понятия и определения.
Элементы теории игр в задачах моделирования экономических ситуаций.
4
4
2
4
2
2
1
4
6
2
1
4
4
2
2
2
2
2
4
4
2
1
4
4
2
1
2
2
4
6
1
2
2
38
52
Экзамен
1
32
4
4
2
2
4
2
4
4
2
6
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Вполне определенные игры. Нижняя и
верхняя цены игры. Принцип «минимакса». Элементарные методы решения
игр, 2 2, 2 n, m 2 . Геометрическая
интерпретация. Приведение матричной
игры к задаче линейного программирования.
Игры с природой.
Производственные функции. Предельные показатели.
Золотое правило экономики. Многоресурсные функции.
Линейные балансовые модели в экономике. Модель Леонтьева.
Динамические модели в экономике
Аналитическая геометрия. Элементы
векторной алгебры.
Прямая на плоскости.
Кривые второго порядка.
Прямая и плоскость в пространстве.
ИТОГО за IV семестр:
Форма контроля
4
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
4
6
4
4
4
2
4
4
4
4
4
38
52
Экзамен
32
6
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины
I семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Введение в дисциплину. Специфика изучения высшей математики в ВУЗе. Элементы матричного анализа (2ч).
Основные исторические этапы развития математики. Структура современной математики.
Место и роль математики в финансово-математических исследованиях. Основные черты математического мышления.
Определение матрицы. Виды матриц: матрица прямоугольная и квадратная, матрица-строка
и матрица-столбец, нулевая и единичная матрица. Операции над матрицами: произведение матрицы на число, сумма (разность) матриц, произведение двух матриц, транспонирование матриц.
Свойства матричных операций.
Основные понятия: матрица, главная диагональ квадратной матрицы, побочная диагональ, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, диагональная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, вектор-строка, вектор-столбец, транспонированная матрица.
Лекция 2-3. Теория определителей. Обратная матрица. Алгоритм поиска (4ч).
Понятие определителя. Определители второго порядка. Определители третьего порядка.
Правила вычисления. Миноры и алгебраические дополнения. Определители любого порядка.
Формула Лапласа. Основные свойства определителей. Неособенная (невырожденная матрица).
Определение присоединенной (союзной) матрицы. Теорема о существовании и единственности
обратной матрицы. Алгоритм построения обратной матрицы. Определитель обратной матрицы.
Основные понятия: детерминант, минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение
элемента матрицы, присоединенная матрица, обратная матрица..
Лекция 4. Ранг матрицы (2ч).
Определение минора k-го порядка матрицы. Понятие и определение ранга матрицы. Основные свойства ранга. Способы определения. Инвариантность ранга относительно элементарных
преобразований. Метод окаймляющих миноров. Определение линейной зависимости (независимости) строк или столбцов матрицы. Теорема о ранге.
Основные понятия: минор, ранг матрицы, базисный минор, линейная зависимость строк
(столбцов).
Лекция 5. Линейные пространства. Линейный оператор. Собственные числа и собственные
значения линейного оператора. Квадратичные формы (2ч).
Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Векторное линейное пространство. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные
числа и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии знакоопределенности.
Основные понятия: линейное пространство, линейный оператор, собственное число, собственное значение, квадратичная форма, знакоопределенность квадратичной формы критерий
Сильвестра.
Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение методом обратной матрицы. Формулы Крамера (2ч).
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Матричная и векторная формы
записи. Определение решения системы. Совместность, несовместность системы. Системы определенные и неопределенные. Эквивалентные системы. Элементарные преобразования систем. Главная матрица системы. Решение системы линейных уравнений в случае невырожденности главной
матрицы. Метод обратной матрицы (матричный метод). Формулы Крамера.
Основные понятия: линейное уравнение, система уравнений, векторная форма, совместная система, определенность системы.
Лекция 7. Анализ и решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Общее решение неопределенной системы линейных уравнений (2ч).
Алгоритм метода Гаусса. Прямой ход. Применение элементарных преобразований системы
с целью последовательного исключения неизвестных. Несовместность системы. Бесконечное
множество решений. Обратный ход в случае определенности системы. Универсальность метода
Гаусса. Главная и расширенная матрицы системы. Теорема Кронекера-Капелли. Понятие базисного минора. Основные и свободные переменные. Структура общего решения систем линейных
уравнений в случае неопределенности. Базисное решение. Допустимое решение.
Основные понятия: несовместная система, эквивалентные преобразования системы,
метод алгебраического сложения, расширенная матрица, базисное решение, ранг системы, базисный минор.
Лекция 8. Понятие функции. Способы задания функций. Основные свойства функций. График функций. Основные элементарные функции (2ч).
Постоянные и переменные величины, абсолютные постоянные и параметры, действительные переменные. Числовые множества: отрезок, интервал, промежуток. Понятие функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций: целая рациональная функция (многочлен),
дробно-рациональная функция, показательная и логарифмическая функция, тригонометрические и
обратные тригонометрические функции. Функции чётные и нечётные, периодические. Возрастающие и убывающие функции (монотонные). Сложные функции. Неявные и обратные функции.
Основные понятия: функция, монотонность, область определения, область значений,
график, неявная функция, обратная функция.
Лекция 9. Предел последовательности и функции. Правила вычисления пределов (2ч).
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Определение предела
функции в точке. Предел функции при неограниченном возрастании аргумента. Основные теоремы о пределах. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке. Бесконечно малая величина. Бесконечно большая величина. Связь бесконечно малой с пределом
функции. Эквивалентность бесконечно больших и бесконечно малых величин. Правила вычисления пределов. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
Основные понятия: числовая последовательность, предел числовой последовательности,
предел функции, односторонние пределы, пределы в функции бесконечности, бесконечно малая и
бесконечно большая функции, замечательные пределы.
Лекция 10. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Точки разрыва (2ч).
Первый и второй замечательные пределы. Основные эквивалентности бесконечно больших
и бесконечно малых величин. Определение непрерывности функции в точке и на интервале. Теоремы о непрерывных функциях. Определение точек разрыва. Точки устранимого разрыва. Точки
разрыва 1-го рода. Точки разрыва 2-го рода. Теорема о предельном переходе под знаком непрерывной функции.
Основные понятия: непрерывность, точка разрыва, устранимый разрыв, конечный ска-
чок, бесконечный скачок.
Лекция 11-12. Задачи, приводящие к производной. Определение производной. Геометрический смысл. Экономическое понимание производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. Таблица производных. Производная неявных и параметрически заданных функций (4ч).
Истоки дифференциального исчисления. Задача о касательной. Задача о мгновенной скорости движения. Задача о производительности. Определение производной. Понятие дифференцируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции в точке. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Приложение производной в экономической теории. Эластичность. Правила дифференцирования. Производная постоянной функции.
Производная суммы (разности) функций. Производная частного. Таблица производных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование. Производная от параметрических функций. Производные высших порядков. Производные высших порядков от неявных и параметрических функций.
Основные понятия: касательная, производная, мгновенная скорость изменения, дифференцируемость, относительная производная, эластичность, неявная функция, функция заданная
параметрически.
Лекция 13. Понятие дифференциала функции. Приложения дифференциала (2ч).
Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях.
Основные понятия: приращение функции, дифференциал функции, линеаризация функции.
Лекция 14. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределенностей (2ч).
Приложение производной к исследованию функции. Интервалы монотонности. Экстремумы. Приложение второй производной. Интервалы выпуклости графика функции. Точки перегиба (4ч).
Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечном приращении (геометрический смысл). Теорема Коши. Приложение
производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя-Бернулли.
Основные понятия: неопределенность вида
0
и .
0
Лекция 15-16. Приложение производной к исследованию функции. Интервалы монотонности. Экстремумы. Приложение второй производной. Интервалы выпуклости графика функции. Точки перегиба (4ч).
Возрастание и убывание функции. Необходимое условие монотонности. Достаточное условие монотонности. Определение экстремума функции. Точка экстремума. Критическая точка.
Стационарная точка. Максимум, минимум функции. Необходимое условие экстремума. Первое
достаточное условие экстремума функции в точке. Второе достаточное условие экстремума. Алгоритм исследования функции на интервалы монотонности и экстремумы. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Достаточное
условие выпуклости. Алгоритм исследования функции на интервалы выпуклости и точки перегиба.
Основные понятия: критическая точка, стационарная точка, экстремум функции, минимум, максимум функции, выпуклость (вогнутость), точки перегиба.
Лекция 17. Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и построения
их графиков (2ч).
Определение асимптоты графика функции. Классификация асимптот. Вертикальная и горизонтальная асимптоты. Наклонная асимптота. Нахождение асимптот.
Основные этапы исследования функций с последующим построением эскиза графика.
Основные понятия: асимптота.
Планы семинарских занятий (I – семестр)
Семинар 1. Матрицы. Основные матричные операции (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение матрицы. Виды матриц.
2. Умножение матрицы на число. Алгебраическая сумма матриц.
3. Транспонирование матриц.
4. Умножение матриц. Некоммутативность произведения.
Практические задания:
1. Транспонировать матрицы
3 5
,
0 7
1 2 3
1 2 3
, 4 5 6 .
2 3 5,
4 5 6 7 8 9
2. Умножить матрицу на число
1 0
2 1
, 3 2 1.
2
3 2
2 3
3. Сложение и вычитание матриц
2 1 1 1 3 0
2 0 1
2
, 3
2
3 2 1 1 4 3
5 2 2
0
1 5
2 1 11 0
3 1
7 9 5 4 2 13 1, 2 2 1
9 5
3 0 24
1 2
5
1 2 2
1 3 15
1 2 2
2 2 1
3 4
2
1
,
4 12
3 8 0
5
3 2 3 1 .
3 2
6 3
2
4. Умножение матриц
3 1 1 1
2 1 1 1 3 1
; 2 1 2 2
3
2
1
1
5
1
1 2 3 1
3 1
1
4
9 3 3 2 1 10
2 1 1
2 1
;
2 ; 1 3 2 1
3 0 1 1 0 10 3 0 1 2 3 8
0
2 1 2 1 5 5
;
1 3 1 3 5 10
1 0 0
1
1
1 1 4 3 6; 3 2 1 1
1
2
0 1 5
3
2 1 5 3 9
3 2 1 2 2
7 0 1 2 22 ;
4
1
1
3
1
2 7 5 1 3
2
cos
sin
sin
cos 2
cos
sin 2
2
1 6 2 1
1 1 6 1 1 ;
0 1 8 1 4
6 7
0 1 7 2 6;
4 1
1
1 4 1 4
6 2 1
3 2 3 9 15 ; 3 1
0 1 5 2
9 0 1
4
0 1 2
3
1 18 21 2 1 1
;
2
1 21 27 3 0 1
3 7 1 1
3
2
1
7
0 9
3
2
0
1
9
1
10
0
24
4 4
4 3 ;
3 4
1
3
;
3
10
2 1 1 x 2x y z
sin 2
; 3 1 2 y 3x y 2 z .
cos 2
1 1 0 z x y
5. Для заданной матрицы A вычислить E + A + A2 + A3:
1 2
а) A
3 0
1 1
.
б) A
1 1
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 2. Теория определителей (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определители второго порядка.
2. Определители третьего порядка. Правило треугольников. Правило Сарруса.
3. Применение основных свойств вычисления определителей для квадратных матриц
произвольной размерности.
4. Алгебраические дополнения. Формула Лапласа.
Практические задания:
1. Вычислить determinant матриц по определению:
1)
2 1
3 2
1; 2)
3 1
2
4
3 2 1
4 3 5
3 2 2
10; 3) 2 3 1 12; 4) 7 2 2 72; 5) 1 3 1 5.
1 2 3
6 5 3
5 3 4
2. Вычислить определители по правилу Саррюса:
1 7 5
2
1) 0 3 2 10;
0 4 6
1 3
3
2) 2 1 2 3;
1 0 1
3) 2
1
2 1
1
3
7
0
7
2
3 0; 4) 5 1 5 7;
2
2 3 1
3
1
5) 2 3 1 0.
4 6 2
3. Вычислить определители при помощи разложения по любой строке или столбцу:
9
7 5
a) 0
1
0
0
2 8; b) 1 3
1
5 3
1
2
2 1 4
0 1 3
d)
0 0 2
2 0 2
2 1
4 6; c) 4
1
3
1
2 71;
5
3
3
5
1 3 0 1
5 2 2 5
7
2 3 3 5
1 3 2 4
4; e)
6; f )
0;
5
0 2 4 6
1 1
1 2
0 1
2 0 2 3
2
4
1 6
4. Вычислить определитель, упростив его элементарными преобразованиями:
1 2 3 4
1 1 1 2
a)
1;
0 3 3 3
0
0
1
2
2 1 1 3
3 2 3 2
1 0 2 1
2 3 2 3
b)
32; c)
0;
4 3 1 3
2 3 3 2
2
2
1 1
3 2 2 3
4 3 3 2
2 2 2 2
d)
12.
4 2 4 3
2
3 5 2
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 3. Обратная матрица. Ранг матрицы (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Обратная матрица. Корректность постановки задачи. Алгоритм построения.
2. Главный минор матрицы. Ранг матрицы.
3. Вычисление ранга: метод элементарных преобразований; метод окаймляющих миноров.
4. Обратная матрица. Алгоритм поиска.
Практические задания:
1. Найти обратные матрицы
1 2 3
5
2
A 1
; 2) A 0 1 2
2 1
0 0 1
1 2
1) A
2 5
2 2 3
3) A 1 1 0
1 2 1
1 1 1
5) A 1 1 2
1 2 3
A
1
1 2 7
A 1 0 1 2 ;
0 0 1
1 4 3
3 1 0
1 5 3 ; 4 ) A 2 1 1
1 6 4
2 1 4
1 1 1
1 2 1
A 1 1 2 1 ; 6) A 1 1 2
1 1 0
2 3 1
A
1
5 4 1
1
10 12 3 ;
5
0 1 1
7 1 5
1
A 1 3 1 1 .
4
5 1 3
2. Используя обратную матрицу, найти неизвестную матрицу X из матричного уравнения.
1 1 1 1 1 3
3 2 0
2 5
4 6
2 23
1)
X
X
; 2)X 2 1 0 4 3 2 X 4 5 2 ;
1
3
2
1
0
8
1 1 1 1 2 5
5 3 0
4 2 0
0 2 6
3) 1 1 2 X 2 4 3
3 2 0
0 3 4
0 1 2
X 0 3 1 ;
1 0 0
1 2 3 4 11 3
4) X 2 3 5 1 6 1
1 4 1 2 2 16
0 1 2
X 1 0 2 .
2 2 0
3. Определите ранг следующих матриц:
1 2
1)
3 4
1 0
r 2 ; 2) 1 2
3 5
3 5 7
4) 1 2 3
1 3 5
2 3 4
r 2 ; 3) -1 2 0
1 1 3
2 1
3 1
r 2 ; 5)
1 3
4 3
3 1
2 0
4 2
1 1
r 3;
2 1 3 2 1
r 2 ; 6) 4 2 2 1 7
2 1 1 8 2
r 3;
3 2
1 2
r 2 ; 8) 2 4 6 4
3 6 9 6
1 2 1 3 4
7) 3 4 2 6 8
1 2 1 3 4
1
3
9)
3
5
3 3
5 2
1 5
7 1
2 5
3 4
0 7
4 1
2
1
r 3 ; 10)
1
1
1
3
1
1
1
1
1
5
1
1
3
1
r 1;
r 4;
3 2 1 2 0 1
4
1
0
3
0
2
r 2 ; 12) 2 1 2 1 1 3
3 1 3 9 1 6
3 1 5 7 2 7
0 4 10 1
4 8 18 7
11)
10 18 40 17
1 7 17 3
r 3.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 4. Линейные пространства. Линейный оператор. Собственные числа и собственные
значения линейного оператора. Квадратичные формы (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение и примеры линейных пространств.
2. Линейный оператор. Матрица линейного оператора.
3. Собственные числа и собственные значения линейного оператора.
4. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы.
5. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии знакоопределенности.
Практические задания:
1 4
.
1. Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора A
9 1
2. Записать матрицу квадратичной формы:
2.1. L( x1 , x2 , x3 ) 4 x1 12 x1 x2 10 x1 x3 x2 3x3
2
2.2. L( x1 , x2 ) 2 x1 4 x1 x2 3x2
2
2
2
2
3. Проверить предложенные квадратичные формы на знакоопределенность:
3.1. L( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x1 x2 4 x2 3x3
2
2
2
3.2. L( x1 , x2 , x3 ) x1 x1 x3 2 x2 2 x3 2 x2 x3
2
2
2
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 5. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный метод решения.
Формулы Крамера (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.
2. Матричный метод решения.
3. Формулы Крамера.
Практические задания:
1. Решить системы уравнений матричным методом и по формулам Крамера.
x1 x2 2 x3 1
x1 x2 3x3 1
1
1
1) 2 x1 x2 2 x3 4 x 2 ; 2) 3 x1 x2 2 x3 4 x 1 ;
4 x x 4 x 2
2 x 3 x x 6
2
1
3
2
3
1 2
1
2 x1 x2 x3 4
3 x1 2 x2 x3 5
3
2
3) 3 x1 4 x2 2 x3 11 x 1 ; 4) 2 x1 3 x2 x3 1 x 2 ;
3 x 2 x 4 x 11
2 x x 3 x 11
1
3
2
3
3
1
1 2
x1 3x2 7 x3 12
x1 2 x2 3x3 2
1
1
5) 3 x1 5 x2 x3 0 x 1 ; 6) 2 x1 x2 2 x3 2 x 2 ;
5 x 7 x 3x 4
3x 2 x x 8
2
1
2
3
2
3
1
1
x1 2 x2 4 x3 14
2
7) 2 x1 x2 3x3 7 x 2 ;
3 x 2 x 2 x 4
3
2
3
1
x1 2 x2 4 x3 31
3
8) 5 x1 x2 2 x3 29 x 4 .
3 x x x 10
5
1 2 3
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 6-7. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Алгоритм метода Гаусса.
2. Решение в случае определенности системы.
3. Бесконечное множество решений.
4. Несовместность системы.
Практические задания:
1. Решить системы уравнений методом Гаусса.
x1 3x2 5 x3 7 x4 12
x1 x2 2 x3 3x4 1
1
1
x1 3x2 7 x3 12
1
3x x x 2 x 4
1
1
3x1 5 x2 7 x3 x4 0
1 2 3
4
x .
1) 3x1 5 x2 x3 0 x 1 ; 2)
x
; 3)
0
0
5 x1 7 x2 x3 3x4 4
5 x 7 x 3x 4
2 x1 3x2 x3 x4 6
2
2
3
1
7 x1 x2 3x3 5 x4 16
x1 2 x2 3x3 x4 4
2
1
x1 2 x2 3x3 2 x4 6
4 x1 2 x2 3x3 x4 13
1
1
2 x x 2 x 3x 8
2
2
1 2
5 x2 2 x3 3x4 16
3
4
4)
x
;5)
x ;
1
3
3x1 2 x2 x3 2 x4 4
2 x1 3x2 4 x3 2 x4 0
2 x1 3x2 2 x3 x4 8
x1 3x3 x4 14
2
4
x1 2 x2 3x3 4 x4 5
2 x1 3x2 11x3 5 x4 5
2
1
2 x x 2 x 3x 1
2
1
x x 5 x3 2 x4 3
3
4
6) 1 2
x ;7) 1 2
x ;
3
1
3x1 2 x2 x3 2 x4 1
3x1 2 x2 8 x3 4 x4 5
4 x1 3x2 2 x3 x4 5
3x1 4 x2 14 x3 9 x4 4
3
1
2. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 x2 2 x3 x4 x5 1
1) 3x1 x2 x3 4 x4 3x5 4
x 5x 9 x 8x x 0
2
3
4
5
1
x 2x x 5
4) 21x x2 33x 4
1
2
3
5 x1 x2 2 x3 x4 7
2) 2 x1 x2 4 x3 2 x4 1
x 3x 6 x 5 x 0
2
3
4
1
3x x x 2 x 4
5) x 1 x 2 x 3 2 x 4 1
1
2
3
4
x1 x2 3x4 x5 0
x x 2x x 0
1 2
3
4
3)
4 x1 2 x2 6 x3 3x4 4 x5 0
2 x1 4 x2 2 x3 4 x4 7 x5 0
x1 x2 x3 x4 2
6) 2 x1 2 x2 x3 2 x4 2
x1 x2 x4 2
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 8. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Методы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Предел функции в точке по Коши.
2. Основные теоремы о пределах. Основные приемы раскрытия неопределенностей.
3. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Практические задания:
Вычислить следующие пределы:
x2 4x 1
lim
x 1
2x 1
2
2. lim x 3x 1 1
x 0
x4
1.
x3
lim
3.
x 1 x 2
4.
lim
5.
6.
x
1
7
x2 4
2
3
lim 1
x
x 4 x 2
3n
n 1 2 n
Ответ: -2/3
x5
Ответ: 3/4
Ответ:
21.
Ответ: 0
22.
Ответ: 1
23.
24.
x 1
x
x2 1
2
8.
9.
10.
11.
12.
lim
xx x
x
lim
Ответ:
3
1 7x2 x
3x 6
x2 x 3 8
lim
3x 3 x 2 5
x 4 2 x 5x3
3
2x 6 2
lim
x 7
x7
x 2 3x 10
lim
x 2 x 2 7 x 10
x 25
x3 x
25.
Ответ: 1/7
26.
Ответ: 1/4
27.
28.
x
lim
x 0 1 3x 1
lim
x 0
Ответ: -3/2
lim
lim
20. lim
Ответ: 3/5
2
Ответ: 0
x x 4 3x 2 1
3
7.
2
19. lim x 4x 5
lim
x
3 x 3 x
2 x3
x 7 x 2 49
2
lim
9x
x 3 3x 3
lim
x8
x8 3 x 2
1
x3
lim
x1 x 1 x 2 1
2x 3 3
lim
x3 x 2 1
x 6x
lim
x 3x 1
Ответ: 2/3
Ответ:
3
Ответ: -1/56
Ответ: -12
Ответ: 12
Ответ: 1
Ответ: 2/3
Ответ: -2
3
29.
30.
2x 3 1
lim
x x 1
lim
1 2n
n 1 2 n1
Ответ: 3 2
Ответ: -1/2
5
13.
lim
2x 4 5 9x3 1
6
x
9
31.
7
x x 1 x
14. lim x
x
x x 2 4
15.
16.
18.
lim
x 3
33.
34.
x2 4 x
4
lim
4
x x 3x 1
5
20
lim
x 2 4 x 2
x 2
35.
Ответ: ½
x 1 1
x2
lim x 3 2 x 2 x 3 3x
x
x 4 5x
lim
x 4 3x 2 5 x 4
3
17.
32.
Ответ: 0
x3 x
x22
x1
3
lim
x 2 2x 1
x 3 27
lim
Ответ: -27/7
x3 2 x 2 5x 3
t
lim
10 2
Ответ: 1/10
t 10 t 1 5
lim
1 x 3x 3
Ответ: -1
x 1 x 2 3x 3
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 9. Замечательные пределы. Эквивалентность бесконечно больших и бесконечно
малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва, их классификация (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Первый замечательный предел.
2. Второй замечательный предел.
3. Использование эквивалентности функций при вычислении пределов.
4. Непрерывность функций.
5. Точки разрыва, их классификация.
Практические задания:
Вычислить следующие пределы:
x
Ответ: 1/3
x 0 sin3 x
1 cos 6 x
4. lim
Ответ: 9
x 0 1 cos 2 x
1. lim
2
7. lim 1
x
x
3x
Ответ: e6
arctg3 x
x 0 sin4x
2. lim
e x 1
5. lim
x 0
x
x
8. lim
x 1 x
Ответ: 3/4
3.
lim
x 0
1 cos 2 x
x
5x
Ответ: -1
1
6. lim 1
x
x
Ответ: e-2
9. lim x ctg 2 x
2x
x 0
Ответ: 2
Ответ: e-5
Ответ: ½
1
Ответ: 1
x
tg x sin x
13. lim
Ответ: ½
x 0 x sin 2 x
10. lim x sin
x
16. lim 2 x 1
x 0 2 x 1
2x
Ответ: e-2
Ответ: e-2
19. lim x 1 2 x
x 0
ln(1 3x)
22. lim
x 0
sin 6 x
-
1
2
1
e
1 3x x
25. lim
x 0 1 2 x
1
e
1
28. lim cos 2 x sin
2
x 0
2
x
31. lim 5x ln( x 6) ln x 30
x
34. lim
x
2
37. lim cos x x2 e
x 0
x 0
ln(1 x)
sin 2 x
14. lim 1 3 x
Ответ: -1/2
5/ x
x 0
Ответ: e
1
2
15
2
17. lim x 2 x 3 Ответ: 4
x 3 x 2 5x 6
2
sin ax x
a
20. lim
x 0
tgbx
b
x 1
23. lim
x x 2
2 x 1
26. lim 1 tgx
1
sin x
x 0
x 0
15. lim 1
x 0
2
2
3
18. lim 1 2 x x Ответ:
x x 2 3x 4
21. lim sin x sin a Ответ: cosa
x a
6x
2
xa
e
x
1
1
30. lim sin x
x
2
ln 2
6
tgx
e
1
1
125 1
33. lim
ln 5
x 0
3x
cos x
1
36. lim
x
2 x
2
x
2
2 1
2 3x x
27. lim
x 0 2 5 x
x 1
38. lim
x 0
e
2x 5
29. lim
e
x 2 x 3
ln(1 x) ln 2 1
32. lim
x 1
x 1
2
x
sin 3x
Ответ: -9
3 2x 9
7/ x
x
Ответ: e7/2
12. lim
1
24. lim 1 2
x
x
-6
3x
35. lim 2 x e 1 6
x
ctgx
1
2x 2
1
11. lim
39. lim
x 4
ln x ln 4 1
2x 8
8
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 10-11. Определение производной. Геометрический смысл. Основные правила и методы дифференцирования. Таблица производных элементарных функций (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Техника дифференцирования. Производная функции в точке.
2. Дифференцирование неявно заданной функции.
3. Уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
4. Логарифмическое дифференцирование.
5. Производная параметрически заданных функций.
Практические задания:
1. Найти производные функций и вычислить их значение при х=х0:
1. y( x ) x 4 3x 2 2x 1, x0 1, x0 2;
2. y( x ) ln( x x 2 12 ), x 0 2;
3. y( x ) x 2 1 ,
4. y( x ) sin( x )e cos( x ) ,
y
(2)
y
(-2);
x
;
0
2
2x 2
5. y( x ) 1 ln 2 ( x ) ,
x 0 1;
6. y( x ) ln 4 1 tgx ,
x0 0.
1 tgx
2. Найти производные функций:
1) y( x ) 3 x 1 3 4 ;
x x2
2) y( x ) cos x ;
1 2 sin x
3) y( x ) x 4 ( 8 ln 2 x 4 ln x 1 );
4) y( x ) e
arcsin x
;
5) y( x ) 1 x 2 arccos x ;
6) y( x ) ln cos x ;
cos x
7) y( x ) ln 1 ctg 2 x ;
8) y( x ) cos 2 x ln tg x ;
2
9) y( x ) xarctgx 1 ln( 1 x 2 );
2
10) y( x ) arctgx ;
1 x2
11) y( x ) x 2 sin 3 ( 1 x );
12) y( x ) ln( 1 e x 1 ) ln( 1 e x 1 );
13) y( x ) x 1 x 2 1 arcsin( x );
2
2
x
1
2
14) y( x )
x 1 ln( x x 2 1 );
2
2
3. Найти производные неявно заданных функций:
3) x 2 xy ln y 2 в точке (2;1);
1) x 2 y 2 1;
2) x 2 xy y 2 6 ;
4) e x sin y e y cos x 0 .
4. Геометрическое приложение производной:
1) Составить уравнение касательной к кривой y
8
4 x2
в т. x0=2; в точке пересечения с осью
Оy.
2) Составить уравнение касательной к кривой y x 2 2x в точках пересечения её с прямой
3x y 2 0 .
3) Составить уравнение касательной к кривой y x ln( x e ) в т. x0=2.
4) Составить уравнение касательной к кривой y x в точке пересечения с осью Оy.
x2
5) В каких точках касательная к графику функции y 1 x3 5 x 2 7 x 4 образует с осью Оx угол в
3
2
45.
2
6) В каких точках касательная к графику функции y 2x x образует с осью Ох угол в 135.
2
2
7) Дана кривая y x x . Составить уравнения касательных, проходящих через т. (2;-5).
4
8) Найдите касательную к графику функции y ln x такую, чтобы она проходила через начало
координат.
x3
9) Написать уравнения тех касательных графику функции y 2 , которые параллельны пря3
мой y x 3 .
10) При каком значении p касательная к графику функции y x3 px в точке x 1 проходит через точку (2; 3).
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 12. Основные теоремы дифференциального исчисления. Дифференциал функции.
Правило Лопиталя – Бернулли (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа, Коши.
2. Дифференциал функции.
3. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях.
4. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей вида
0
и .
0
Практические задания:
1. Используя приложение дифференциала вычислить приближенно значение функции:
f ( x x) f ( x) f ( x)x
6)
ln( e 0,272);
tg 46 ;
7)
arctg
0,95;
8)
ln( 0,1 0,12 1);
1)
4
2)
3)
16,64 ;
0,99
;
1,01
4)
e 1, 03 ;
9)
f (2,01) , где f ( x) x 3 3x 2 3x;
5)
5
10)
f ( x) 1 x 2 , x 0, x 0,01.
255,15;
2. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей
0
вида , : lim f ( x) lim f ' ( x) .
0
x x0 g ( x )
x x0 g ' ( x )
1)
lim
x
x 3 x 2 6x
;
x 3 x 16
6)
lim
x 1
x 3 x 2 5x 3
;
x 3 4 x 2 5x 2
7)
lim
x 4
x 2 16
8
2
x 5x 4 3
ln( x 2 3)
;
x 2 x 2 3 x 10
3) lim x ln x;
2)
lim
8)
x 0
10)
1
1
lim x
;
x 0 x
e 1
x3 27
27
5) lim
x 3 2 x 2 5 x 3
7
2
2x 7x 6
1
6) lim
2
x 2 6 x x
5
4)
12)
14)
16)
1
7)
lim x1 x e
18)
x 1
e3 x esin x
8) lim
4
x 0
x
1
9) lim 1
x
x
20)
x3 1
;
x 1 ln x
1 xx
lim
;
x 1 1 x
lim x ln x x x 2 .
x
x3 x
lim 4
0
x x 3 x 2 1
4 x2 5x 1
lim
3
x 1 3 x x 2 2
13)
lim x x 1
15)
3x 6 1
x 2 x 3 8
4
lim
x 0
x 0
x 0
lim
sin x
17)
x5 1 5
x 1 x 3 1
3
cos x
lim(sin 2 x) 1
19)
lim
x
11)
ln(sin(5 x))
1
ln(sin(2 x))
lim x ln x 0
9)
lim
1
lim 1
x 0 x
tg 2 x 2 x 8
lim
x 0
x3
3
21)
lim(tgx) x 1
23)
lim
x 0
2
1
ln x
1
2
tg x
10) lim 3 1
x 0 sin 4 x
6
22)
24)
lim ln x x 1
x
lim x
x 0
3
1 ln x
e
3
25)
x 2
x3 2 x 2 x 2
5
sin( x 2)
lim(ctgx)
x 0
1
ln x
e 1
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 13-14. Приложение производной к исследованию функции. Интервалы монотонности. Экстремумы. Приложение второй производной. Выпуклость функции. Точки перегиба
(4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
2. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.
3. Определение интервалов выпуклости. Точки перегиба.
Практические задания:
1. Исследовать на монотонность и найти экстремумы функции:
1) y( x) x 3 6 x 2 9 x 4;
3) y ( x)
x4 x3
;
4
3
2) y( x) x ln 2 x;
4) y ( x)
ex
;
x
2
;
1 x2
7) y( x) x 3 2 x 2 7 x 4;
6) y ( x) 2 x 3 3 x 2 ;
5) y( x)
9) y ( x)
8) y ( x) ln( 2 cos x);
x3
;
1 x2
10) y ( x)
1 x2
.
1 x2
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном интервале:
1.
y( x) x 3 6 x 2 9 x 5,
2.
y( x) x 3 1,5 x 2 6 x 1,
3.
y( x) 3x 2 6 x,
4.
f ( x) 3 ( x 2 2 x ) 2 ,
[0;5];
[-2;0];
[0;3];
0;3;
-1;2;
5.
f ( x) x5 5x4 5x3 1,
6.
y ( x) cos 2 x sin x, [0; ];
4
7.
y ( x)
x 2
,
8 x
[1;6];
8.
1
y ( x) x ,
x
0;+ .
3. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:
1)
y( x) 2 x 3 3x 2 15;
4)
y( x) 2 x 2 ln x;
2)
y ( x) x 3 6 x 2
5)
y( x) xe x ;
6)
y ( x)
3)
y( x) e
x2
;
x2 1
.
x2 1
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 15-16. Асимптоты графика функций. Общая схема исследования функций и построения их графиков (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Асимптотические линии графика функции.
2. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
3. Полная схема исследования функции и построения графика.
Практические задания:
1. Найти асимптоты графиков функций.
1) y ( x)
3 4x
;
2 5x
1 x2
;
1 x2
3x 5
;
4) y ( x)
2 x4
x2
6) y ( x)
.
x 1
2) y ( x)
1 x2
;
3) y ( x)
1 x2
2 x 3 ln x
;
5) y ( x) 2
x 1
2. Провести полное исследование функций и построить их графики.
1) y ( x)
1 x2
;
1 x2
2) y ( x) 2 xe
3) y( x) x 3x ;
3
3
2
x2
2
;
x3
4) y ( x)
;
1 x2
x2
;
x 1
3x 2
;
7) y ( x)
x2
9) y ( x) x ln x;
6) y( x) e x ;
11) y ( x) x 2e x ;
12) y( x) 3 1 x3 .
5) y ( x)
2
8) y ( x) x ln x;
10) y( x) x3 12 x 2 36 x;
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
Тема
Вопросы, выносимые на СРС
Содержание
СРС
1
Основы теории
множеств.
Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами: объединение, пересечение,
разность, дополнение множеств. Декартово произведение множеств.
Универсальное множество. Диаграммы Эйлера-Венна.
УМ, СК
2
Элементы математической
логики.
Сущность математической логики.
Высказывание. Простое высказывание, составное высказывание. Логические операции (связки). Отрицание,
импликация, эквивалентность, конъюнкция, дизъюнкция. Таблицы истинности.
УМ, СК
Форма
Учебноконтроля методическое обесСРС
печение
КО
ОЛ1, ДЛ5, ДЛ6
КО
ДЛ5, ДЛ6
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Матрицы. Виды матриц. Основные операции с матрицами.
2. Определители. Свойства определителей. Способы вычисления определителей.
3. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.
4. Обратная матрица. Способы нахождения обратной матрицы.
5. Системы линейных уравнений.
6. Матричный способ решения систем линейных уравнений.
7. Формулы Крамера.
8. Метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений.
Варианты контрольных работ для осуществления
текущего контроля уровня знаний студентов.
Контрольная работа №1
1. Вычислить определитель.
2
3 1 2
3 1 5 2
2 1 2
3
4 1 2 2
4. Решить систему уравнений матричным
методом.
x1 5 x2 x3 8
2 x1 3x2 5 x3 16
5 x 2 x x 6
2
3
1
2. Найти обратную матрицу и выполнить
5. Решить систему уравнений методом Кра-
проверку, умножив ее на исходную.
мера.
3 3 1
7 6 2
7 9 2
3. Решить систему методом Гаусса.
2 x1 x 2 3x 3 2 x 4 3
x 2 x x 3x 5
1
2
3
4
2
x
3
x
2
x
x
2
3
4 1
1
3x1 x 2 x 3 x 4 5
3x1 5x 2 2 x 3 4
4 x1 5x 2 x 3 8
3x 4 x 1
1
3
6. Найти ранг матрицы.
2 1
3 1
1 3
4 3
3 1
2 0
4 2
1 1
Контрольная работа №2
1. Вычислить пределы:
1
3xtg2 x
x 2 5 x 14
1 2 x
1.1.) lim
при a) x0 2, b) x0 ; 1.2.) lim
; 1.4.) lim
.
2
2
x x0 2 x x 6
x 0 x 1
x 0 sin 3x
2. Вычислить производные:
2.1.) y 4 tgx ln 7 x ; 2.2.) y cos(ln 5 x) .
3. Составить уравнение касательной к графику функции в указанной точке:
y 0,25 4 x x 2 , x0 2.
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: y 2 x3 3x2 36 x 21, -4,1 .
5. Исследовать на монотонность и экстремумы: y( x )
4 x2
.
x 1
Вопросы к зачету:
I. Матрицы.
1. Основные определения: матрица прямоугольная и квадратная, матрица-строка и матрицастолбец, нулевая и единичная матрица.
2. Действия над матрицами: произведение матрицы на число, сумма (разность) матриц, произведение двух матриц, транспонирование.
3. Обратная матрица: её вычисление, проверка правильности нахождения.
4. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы.
II. Определители.
5. Определители второго порядка, вычисление.
6. Определители третьего порядка Методы вычислений.
7. Миноры и алгебраические дополнения.
8. Свойства определителей (два любые уметь доказывать).
9. Теоремы замещения и аннулирования. Теорема Лапласа.
III. Системы линейных уравнений.
10. Основные понятия: линейные уравнения, системы линейных уравнений.
11. Решение системы, системы совместные и несовместные, определённые и неопределённые.
12. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений.
13. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными: случаи несовместности, неопределённости и определённости системы.
14. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.
15. Формулы Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными.
16. Системы m линейных уравнений с n переменными (m < n).
17. Ранг системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли.
IV. Математический анализ
18. Определение функции. Способы задания функции. Элементарные функции, их свойства и
графики ( y sin( x), y cos( x), y x 2 , y a x , y x , y x 3 , y ax 2 bx c, y log a x, y
1
).
x
19. Функции чётные и нечётные. Возрастающие и убывающие функции (монотонные). Сложные
функции. Неявные и обратные функции.
20. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
21. Предел функции. Односторонние пределы. Критерий существования предела функции в точке.
22. Основные теоремы о пределах. Предел функции при неограниченном возрастании аргумента.
23. Бесконечно малая и бесконечно большая функции.
24. Два замечательных предела (один с выводом).
25. Замечательные пределы (два с выводом).
26. Эквивалентность бесконечно больших и бесконечно малых величин.
27. Непрерывность функции. Основные свойства непрерывных функций. Точки разрыва функции.
28. Классификация точек разрыва функции. Теоремы о непрерывных функциях.
29. Определение производной. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцированием функции.
30. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.
31. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование.
32. Производные высших порядков. Правило Лопиталя – Бернулли.
33. Основные теоремы дифференциального исчисления.
34. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Приложения дифференциала в приближенных вычислениях.
35. Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания
(убывания) функции.
36. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточные
условия экстремума функции в точке.
37. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
38. Алгоритм писка наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке.
39. Исследование функции на интервалы монотонности и экстремумы.
40. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.
41. Асимптоты графика функции.
42. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
Список литературы
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Дополнительная литература
1. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 2004.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 2001.
4. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 2005.
5. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.
– 2000.
6. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учеб. пособие. – М.: Логос, 2000.
II семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства интеграла. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование (2ч).
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл как совокупность первообразных. Геометрическое понимание неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Табличное интегрирование. Об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
Основные понятия: первообразная, неопределенный интеграл.
Лекция 2. Методы интегрирования (2ч).
Основные методы интегрирования. Применение свойств неопределенного интеграла. Метод подстановки. Известные подстановки для некоторых типов интегралов. Формула интегрирования по частям.
Основные понятия: интегрирование по частям.
Лекция 3-4. Понятие определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства и правила вычисления определенных интегралов. Формула НьютонаЛейбница (4ч).
Интегральная сумма. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определённого интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Связь определённого
и неопределённого интегралов. Теорема существования определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Определенный
интеграл как функция переменного верхнего предела. Вычисление определенного интеграла. Интегрирование подстановкой. Формула интегрирования по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в пределах симметричных относительно начала координат.
Основные понятия: интегральная сумма, криволинейная трапеция, определенный интеграл, среднее значение функции.
Лекция 5. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы (2ч).
Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление
длины дуги плоской кривой. Вычисление объемов тел вращения. Понятие несобственных интегралов. Их классификация. Определение сходимости. Методы решения несобственных интегралов.
Основные понятия: спрямляемость дуги кривой, тело вращения, несобственный интеграл.
Лекция 6-7. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал (4ч).
Определение функции нескольких переменных. Область определения и область значений
функции двух и более переменных. Частные значения аргументов и частное значение функции.
Поверхность в пространстве как график функции двух переменных. Предел и непрерывность
функции в точке. Полное и частные приращения функции нескольких переменных. Частные производные, их механический смысл. Частные производные высших порядков. Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости. Частные производные высших порядков. Приложение полного дифференциала в
приближенных вычислениях. Производная по направлению.
Основные понятия: функция нескольких переменных, частные приращения, частные производные, касательная плоскость, нормаль, градиент, направляющие косинусы.
Лекция 8. Экстремум функций нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум (2ч).
Производная сложной функции. Формула полной производной. Экстремум функции двух
переменных. Определение точки максимума (минимума). Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в
замкнутой области. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Функции нескольких переменных в экономической теории.
Основные понятия: экстремум функции многих переменных, уравнение связи, условный
экстремум.
Лекция 9. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее решение дифференциального уравнения. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши (2ч).
Определение дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее и частное решение. Общий вид дифференциального
уравнения первого порядка. Другие представления дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл общего и частного решений. Общий интеграл. Начальные условия для
нахождения частного решения дифференциального уравнения первого порядка и их геометрический смысл (задача Коши).
Основные понятия: дифференциальное уравнение, общее решение, задача Коши, особое
решение, общий интеграл.
Лекция 10. Методы интегрирования дифференциальных уравнений I-го порядка (2ч).
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их решение. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, с правой частью – однородной функцией нулевого порядка. Интегрируемость.
Основные понятия: однородная функция, разделение переменных.
Лекция 11. Методы интегрирования дифференциальных уравнений I-го порядка (2ч).
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Методы решения. Метод Лагранжа. Метод Бернулли. Уравнения Бернулли.
Основные понятия: линейность, однородность, метод Бернулли, метод Лагранжа.
Лекция 12-13. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с правой частью специального вида. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.
Метод Лагранжа (4ч).
Общее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка. Геометрический смысл общего и частного решений. Начальные условия для нахождения частного решения
дифференциального уравнения второго порядка и их геометрический смысл. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Однородное линейное дифференциальное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение.
Фундаментальная система решений. Общее решение Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения второго порядка. Структура общего решения. Нахождение общего решения и частного
решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью уравнения. Метод Лагранжа решения линейно-
го неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и произвольной правой частью уравнения
Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, независимость решений, вронскиан,
структура решения, неоднородное уравнение с правой частью специального вида, квазимногочлен,
частное решение, первый интеграл.
Планы семинарских занятий (II – семестр)
Семинар 1-3. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы
от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Табличное интегрирование. Основные правила интегрирования. Метод разложения.
2. Подведение под знак дифференциала.
3. Интегрирование методом подстановки.
4. Формула интегрирования по частям.
Практические задания:
1. Вычислить интегралы, используя таблицу:
dx
1) 2
;
9x 1
dx
3)
;
4x 2 1
5)
(2 x 1) 2 dx
x x
2
( x 16)dx
7)
9)
2
tg xdx;
x 2
sin
4)
6)
;
10)
2
( x 2 3x 5)dx
;
x
sin
8)
;
dx
;
x cos 2 x
x 2 dx
;
x2 4
2)
2
x
dx;
2
x 4 dx
.
x2 1
2. Вычислить интегралы, используя метод подстановки [замену переменной].
f ( x)dx f ((t ))(t )dt
1 x 2 dx
;
x2
dx
1)
xdx
(1 x 2 ) 3 ;
2)
3)
x
4)
5)
6)
x
2 x dx;
8)
x
dx
2
sin( x 3 1)dx;
dx
4x 5
ln xdx
;
7)
x
;
x (1 x )
x 1
;
;
1
( x sin )dx
x
9)
;
2
x
10)
dx
sin x ;
1
11)
x dx
;
x 16
e x dx
12) 2 ;
x
dx
14)
;
1 x
ln 2 xdx
16)
;
x 3 ln x
dx
18) 3 ;
sin x
13) sin( 2 x)e sin x dx;
2
cos xdx
15)
2 sin x 1 ;
17)
19)
21)
xdx
;
1 x4
dx
3
;
sin( x )cos ( x )
dx
co s
4
x
;
23) sin 4 xdx;
20)
22)
24)
3
dx
;
x x
sin 2 xdx
3 cos 4 ( x )
dx
1 x 2
2
;
(подстановка x tgt ).
3. Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
udv uv vdu
sin(
1)
xe dx;
2)
3)
x sin xdx;
4)
5)
ln x;
ln(ln x)dx
;
x
xdx
6)
;
cos 2 x
7)
arcsin xdx;
8)
9)
x
ln x
dx;
x2
x )dx;
arcsin
10) x sin
x dx
1 x
x dx;
13) sin(ln x) dx;
x cos xdx
;
sin 3 x
x 2 dx
;
14) 2
( x 1) 2
15) ( x 2 4 x 1)e x dx;
16) arctgxdx.
11) ln 2 xdx;
12)
;
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 4. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Вычисление определенного интеграла.
2. Формула Ньютона-Лейбница.
3. Интегрирование подстановкой.
4. Формула интегрирования по частям.
Практические задания:
b
1. Используя формулу Ньютона – Лейбница
f ( x )dx F (b) F (a ) , вычислить следующие опреa
деленные интегралы, при необходимости используя подстановку:
2
5
3
2
(4 x 6 x 2 x 1)dx 5
1)
9)
1
0
4
e
1
2)
sin x dx 2
2
cos x
4
10)
dx
3)
2x 3
2
11)
1
0
xdx
2
1
12)
x
13)
0
3
4 x 2 dx
14)
1
2
2
7)
8)
0
x
9 x 2 dx
2
0
4
2sin x 1cos xdx 3 1 / 3
15)
0
1
2
xdx
2ln 2 1
x 1
0
1
6)
1 32 3
ln
2
x x 1 2
4
1
9 94 x 2 dx
tg xdx
3
0
1 x
dx 1
1 x
2
3
16)
***
x
1
ln 2 2
2
xdx
0
2
5)
tgx ln(cos x)dx
1
x
4)
sin(ln x )dx
x
1
3
5
5
xdx
4
1 3x
81
16
1 ln 2
2
dx
ln(1,5)
x
2
b
b
***
2. Используя формулу интегрирования по частям udv uv a vdu , вычислить следующие интеb
a
a
гралы:
1)
x sin xdx
0
ln 3 x
6e 16
1 x 2 dx e
e
6)
1
arctgxdx
2)
0
ln 4
4
e2
7)
2
2
ln( x 4)dx 4 6ln 2
8)
0
(arcsin x ) dx
2
4)
0
8
4
xe
5x
x3
1 x
2
dx
2 5 2
3
9
2
9)
e
x
dx 4e3 2
0
2
4
0,2
5)
0
1
xdx 2e2 2
2
1
2
3)
ln
dx 0,04
10)
0
sin
xdx 2
0
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 5. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Приложения определенного интеграла.
2. Вычисление площади плоской фигуры.
3. Вычисление длины дуги плоской кривой.
4. Объемы тел вращения.
5. Несобственные интегралы.
Практические задания:
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
1)
y x2 2,
y x;
S 4,5
2)
y x2 ,
3)
y 4 x2 ,
4)
y x2 ,
y 0, x 1, x 2
11) y x3 3x,
5)
y x2 ,
y 2x 3
12) y
6)
y x 2 4 x 5,
y x 2, y 0;
y x2 2 x;
S 5/6
S9
x y 5, y 0, x 0
8)
y x2 1,
9)
y x,
10) y x2 ,
x,
13) y 1 / x,
y 3 x,
x0
y 1 1 x2 ;
y 2 x, y x;
y x;
S /2-1
S7/6
S8
y 2 x, y 0;
y x, x 2;
S7/6
S 3 / 2 ln 2
7)
y x2 5 x 4,
y x 1.
14) y x 2 5 x 4,
***
y x 1, y 0.
2. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее
покрытия, если длина корабля 200м, ширина в центре 50м, расход краски 0,75 кг на м2.
3. Найти значение несобственных интегралов или установить их расходимость:
1
1) cos xdx
4)
0
3
5)
0
3)
2
1
2) e2 x dx
1
dx
x
0
dx
9 x2
1
dx
x2
6) ln( x )dx
0
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 6-7. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Частные производные.
2. Дифференцирование неявных функций. Полная производная.
3. Дифференциал функции двух переменных. Приложение дифференциала в приближенных
вычислениях.
4. Производная по направлению. Градиент.
Практические задания:
1) Найти частные производные до второго порядка:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
z( x, y ) x 2 y 3 xy 4 x 2 y 5
2
2
z( x, y ) x 3 y 3 4 xy
y
z ( x , y ) arctg
2
1 x
z ( x , y ) y ln x
2) Найти частные производные в указанной точке:
2.1. z ( x , y ) x y x 2 y 2 при x 3, y 4
x 3y
при x 2, y 4
y 3x
y
2.3. z ( x , y ) arctg при x 1, y 1
x
3
2.4. z( x , y ) x y xy 3 при x 1, y 2
2.2. z( x , y )
z z
Найти
, если
x y x y 1
Найти
z( x , y ) ln(1 x 2 y 2 )
1.
1 z 1 z
z
2 , где
x x y y y
zy z y
, если z( x , y ) ln( x 2 y 2 )
zx zx
Проверить равенство
z
z x 3
3. x 2
, где
y2
x
y
y
z( x, y ) y ln( x 2 y 2 )
z
z
2. x 2
xy yz , где
x
y
y
z( x , y ) y sin
x
y
x
Вычислить приближенно, применив
линеаризацию функций двух переменных:
z( x x, y y ) z( x, y ) zx x z y y
z( x , y )
4.
x2 x 1 1
2y 2 x y
2
2
1 z 1 z
z
2 , где z( x, y ) ye x y
x x y y y
Найти производные неявно заданных функций,
dy
z
используя формулу
x
dx
zy
1. 1,02 4 ,05 1,08
1.
xe 2 y y ln x 8
2.
x 2 ln y y 2 ln x 0
3. ln( 0 ,09 3 0 ,99 3 ) 0 ,03
3.
1 xy ln( e xy e xy ) 0
1,02
0 ,82
0 ,95
4.
x y yx 0
2.
1,04 2 3,012 3,185
4. arctg
Производная по направлению
z z
z
cos cos
x
y
1. Найти производную от функции z( x, y ) 3x 4 xy y 3 в точке M (1;2) в направлении составляющем с осью абсцисс угол в 60 .
2. Найти производную от функции z( x, y ) 5 x 2 3x y 1 в точке M (2;1) в направлении, идущем
от этой точки к точке N (5;5) .
3. Найти производную функции z( x, y ) x 2 xy y 2 в точке M (1;1) в направлении вектора
6i 8 j .
4. Найти производную функции z( x, y ) ln( x 2 y 2 ) в точке M (3;4) в направлении градиента
функции.
5. Вычислить производную функции z( x, y ) x 2 y 2 x в точке M (1;2) по направлению вектора
MM1 , где M1 (3;0) .
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 8. Экстремум функций нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции. Условный экстремум (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.
2. Исследование функции двух переменных на набольшее и наименьшее значения в замкнутой области.
3. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Сведение к задаче на экстремум функции
одной переменной в случае линейного уравнения связи.
Практические задания:
1. Исследовать на экстремум функции двух переменных.
1. z( x, y ) x3 y 3 9 xy
minz(x,y)=z(3,3)=-27
2. z( x, y ) x 2 y 2 xy 3x 6 y
3. z( x, y ) xy 2 (1-x-y)
minz(x,y)=z(0,3)=-9
maxz(x,y)= 1
4. z( x, y ) 4 x2 y 24 xy y 2 +32y-6
64
minz(x,y)=z(-3,2)=-10
5. Z x 2 y 2 xy 9 x 6 y 20
6. Z 2 xy 4 x 2 y
7. Z x 2 xy y 2 2 x y
2. Найти условные экстремумы функций.
z x 2 y,
1.
2
x y 1.
z x y xy ,
2.
x y 2.
z x y xy,
3. 2
2
x y 1.
z x 2 2 y 2 12 xy,
z xy,
4. 2
5.
2
4 x y 25.
x y 2.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 9. Методы интегрирования дифференциальных уравнений I-го порядка (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Геометрический смысл. Общий
интеграл.
2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной с
правой частью однородной функцией.
Практические задания:
I. Проинтегрировать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:
x
1. xyy 1 x 2
2
y 2 ln Cx2
1 x
y(0) 1 y
1 x
Cy
3. xy y y 3 x
y 2 1
Cx
, y 1
4. y xy 1 x 2 y, y (1) 1 y 1
x 1
2. y
1 y2
,
1 x2
5. x 2 y ' 1 y xy '
6. yy
1 2x
, y (0) 0
y
y
7.
xy2 x dx y x 2 y dy 0
3
3x 3x 2
1 y
ln x C
8. y 2 1dx xydy
2
C 1 x2
y 2 1, x 0
1 x
9. 2 x 2 yy y 2 2 y 2 2 Ce
y
0, y (e) 1
10. xy '
ln x
II. Решить дифф.ур-ия с правой частью однородной функцией нулевого порядка:
1)
y
x y
x y
5)
xy y xe x
2)
y 2 x 2 y xyy
6)
x 2 y 2 2 xyy
3)
y 2 xy x y ' 0, y(0)=1
7)
y 4 2 x 3 y x 4 2 xy 3 y ' 0
4)
y x y ' xyy ', y(1) 1
8)
y2
y
y 2 4 2.
x
x
2
2
y
III. Построить математическую модель и решить задачу.
Скорость обесценивания производственного оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени t его фактической стоимости y. Начальная стоимость A0. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет?
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 10-11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Методы решения. Уравнения Бернулли (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Структура общего
решения.
2. Метод Бернулли.
3. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.
4. Уравнение Бернулли. Методы решения.
Практические задания:
I. Решить ЛДУI:
1) y
y
x,
x
y (1) 1
3) y 2 xy xe
x2
y x
2
x 2
x2
y e C
2
ex
5) xy y e 0, y(1) e y
x
1
x
, y (0) 0 y
7) y ytgx
cos x
cos x
x
y ( x C)e
2) y y e x
x
1
1 2x
2 x
2
y
1
y
Cx
e
x
4) y
x2
6) 1 x 2 y 2 xy 1 x 2
8) y
y x C 1 x
2
2
2
y 2 x3 , y (1) 1
x
II. Решить уравнения Бернулли:
y
2
y x
x
1.
y 2
3.
y 2 y y e
2.
y y cos x ytgx
4
4. (1 x ) y 2 xy xy , y(0) 0, 5
2 x
2
2
5. xy y x y , y(1) 1
6. xy 2 x
7. xyy ' y 2 x 4 , y(1) 1
8. y ' ytg ( x) y 2 cos( x) 0, y(0) 1
2
2
3
2
y 4 y , y(1) 0
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 12-13. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Характеристическое
уравнение. Определение фундаментальной системы решений в зависимости от корней
характеристического уравнения.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего
решения. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго
порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью уравнения.
3. Интегрирование линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами и произвольной правой частью уравнения.
4. Задача Коши для дифференциальных уравнений второго порядка.
Практические задания:
I. Решение ЛОДУII:
Найти общее решение ЛОДУII
1. y y 2 y 0
y C e
2. y 2 y y 0
y e
3. y 4 y 5 y 0
y e
y 3 y 2 y 0, y (0) 3, y(0) 4
6.
C1 C2 x
7.
C2e
x
1
x
Найти решение задачи Коши ЛОДУII
2x
2 x
C1 cos x C2 sin x
y 2e x e 2 x
y 2 y y 0, y (0) 1, y(0) 0
y 1 x e x
8. y 2 y 2 y 0, y (0) 1, y(0) 1 y e x cos x
4. 4 y '' 6 y ' 3 y 0
9. y '' 6 y ' 25 y 0
5. y '' 4 y ' 29 y 0
10. 9 y '' 6 y ' y 0
II. Решить ЛНДУII с правой частью «специального» вида:
y C C e x x
y 3 y 2 y 2e
y C e C e e
y 2 y y 6e y e (C C x ) 3 x e
1. y 3 y 1 6 x
2.
3.
3x
1
2
2
3x
x
2x
1
x
3x
7. y '' 4 y sin 2 x
2 x
8. 3 y '' 7 y ' 2 y 3xe2 x
2
x
1
6. y '' y x sin x
2
4. y y 2 y cos x 3sin x при y(0) 1, y(0) 2 y e x sin x
9. 2 y '' 5 y ' 2 y xe2 x
5. y 3 y 2 y sin x
10. y '' sin x
y C e
1
x
C2e2 x 0,3cos x 0,1sin x
III. Решить ЛНДУII методом Лагранжа (вариации произвольных постоянных):
1. y '' 2 y ' y
1
ex
, y(0) 1, y '(0) 0
3. y '' y
, y(1) e, y '(1) 3e
cos x
x
y cos x(ln(cos x ) 1) x sin x
y xe x (1 ln x )
1
, y( 2 ) 1, y '( 2 ) 0
sin x
y 2 cos x sin x x cos x sin x ln(sin x)
2. y '' y
4. y '' y
4 x2 1
, y(1) e 4, y '(1) e 2
x x
y e
x
4 x
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
Тема
1 Комплексные числа.
Вопросы, выносимые на СРС
Определение комплексного числа.
Основные формы записи: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Геометрическое истолкование комплексного числа. Действия с комплексными числами.
Формула Муавра.
Интегрирование элементарных
дробей. Рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных
дробей. Метод неопределенных
коэффициентов. Интегрирование
тригонометрических функций.
Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование иррациональных функций.
Биноминальные дифференциалы.
Подстановки Эйлера. Метод неопределенных коэффициентов.
3. Обыкновенные
Уравнения в полных дифферендифференциальные циалах. Уравнения вида у = f(y’)
уравнения.
и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и
2 Интегральное исчисление.
Форма
УчебноСодержание
контроля методическое обесСРС
СРС
печение
УМ, СК
КО
ОЛ1, ОЛ2, ДЛ3
УМ, СК
КО
ОЛ1, ОЛ2, ДЛ3
УМ, СК
КО
ОЛ1, ОЛ2, ДЛ3
Клеро. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение
порядка. Уравнения вида y(n) =
f(x). Уравнения, не содержащие
явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Определение первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
2. Основные методы интегрирования. Табличный. Метод подстановки. Формула интегрирования
по частям.
3. Определенный интеграл. Условие существования определенного интеграла. Геометрический
смысл определенного интеграла.
4. Формула Ньютона – Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.
5. Основные методы вычисления определенного интеграла. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.
6. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур,
Вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объёма тел вращения.
7. Определение функции двух переменных. Пример. График функции двух переменных.
8. Определение частных производных.
9. Дифференциал функции двух переменных. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях.
10. Дифференцирование неявной функции с помощью частных производных.
11. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Варианты контрольных работ для осуществления
текущего контроля уровня знаний студентов.
Контрольная работа №1
1. Вычислить неопределенные интегралы, проверив один из результатов дифференцированием:
ln x
4 x3 2 x
dx
dx; c) 2 dx ; d) (2 x x )dx .
a)
; b) 4
x
x 1
1 x x
2. Найти частные производные первого порядка следующих функций:
а) Z x 2 3xy y 2 ; b) Z
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x,
y
x y2
2
y x2.
4. Исследовать на экстремум функцию двух переменных: z x 2 xy y 2 3x 2 y 1.
Контрольная работа №2
1. Решить дифференциальные уравнения.
1.1. y tgx tgy ; 1.2. y
2
y ( x 1) 2 , y (0) 1 ; 1.3. y 5 y 4 y e x ; 1.4. xy 4 y x2 y .
x 1
2. Исследовать на сходимость числовые ряды.
n
(n21)! ;
n 1
2.1.
2.2.
n
(1)n 1 2 ;
n 1
2.3.
3
n
sin 2 n n
n 1
n n
.
3. Найти область сходимости степенного ряда:
n
n
3 x
3.1.
;
n 1 n( n 1)
x 2 .
n
n 1 3n 1 2
3.2.
n
Вопросы к экзамену:
1. Определение функции. Основные свойства функций. Элементарные функции и их графики
( y sin( x), y cos( x), y x 2 , y a x , y x , y x 3 , y ax 2 bx c, y log a x, y
1
).
x
2. Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
3. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функции. Точки разрыва (классификация).
5. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной. Геометрический
смысл производной.
6. Уравнение касательной. Связь между непрерывностью и дифференцированием функции.
7. Правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Доказать по определению
производной, что x 2 2 x .
8. Дифференцирование неявных функций. Логарифмическое дифференцирование.
9. Производные высших порядков. Правило Лопиталя – Бернулли.
10. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Приложения дифференциала
в приближенных вычислениях.
11. Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания
(убывания) функции.
12. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточные условия экстремума функции в точке.
13. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.
14. Алгоритм писка наибольшего и наименьшего значений функции на заданном интервале.
15. Исследование функции на интервалы монотонности и экстремумы.
16. Исследование функции на выпуклость и точки перегиба.
17. Асимптоты графика функции.
18. Общая схема исследования функций и построения их графиков.
19. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
20. Таблица основных неопределенных интегралов.
21. Основные методы интегрирования. Табличный. Метод подстановки. Формула интегрирования
по частям.
22. Определенный интеграл. Условие существования определенного интеграла. Геометрический
смысл определенного интеграла.
23. Формула Ньютона – Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.
24. Основные методы вычисления определенного интеграла. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.
25. Приложение определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, Вычисление
длины дуги плоской кривой, вычисление объёма тел вращения.
26. Функции нескольких переменных. Основные понятия и определения.
27. Частные производные. Геометрический смысл. Производная по направлению. Градиент.
28. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Производная сложной
функции. Формула полной производной. Дифференцирование неявной функции.
29. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума.
30. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Определение решения дифференциального
уравнения.
31. Дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Общее решение. Общий интеграл. Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
32. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
33. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно
производной с правой частью однородной функцией.
34. Линейные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Метод Бернулли.
35. Линейные дифференциальные уравнения 1 – го порядка. Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.
36. Уравнение Бернулли. Метод решения.
37. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема о структуре общего решения.
38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Структура общего решения.
39. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 – го порядка с постоянными коэффициентами с произвольной правой частью. Решение методом Лагранжа.
40. Числовые ряды. Основные определения. Определение сходимости числового ряда.
41. Ряд геометрической прогрессии.
42. Основные свойства рядов. Необходимый признак сходимости Коши и следствие из него.
43. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. 1 – ый, 2 – ой признаки сравнения. «Эталонные числовые ряды».
44. Достаточные признаки сходимости числовых рядов. Признак Д’ Аламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши.
45. Знакочередующиеся ряды. Теорема и признак Лейбница. Условная и абсолютная сходимость.
46. Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенной ряд.
47. Исследование на сходимость степенного ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Обобщенное понятие степенного ряда.
48. Свойства сходящихся степенных рядов (пример).
49. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Формула и ряд Маклорена.
50. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций e x ,sin( x ),cos( x ),ln(1 x ),(1 x ) .
Список литературы
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Дополнительная литература
1. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 2004.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 2001.
4. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 2005.
III семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 14. Числовые ряды. Основные понятия и определения. Определение сходимости ряда. Основные свойства сходящихся числовых рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда (2ч).
Числовые ряды. Основные понятия. Числовая последовательность, числовой ряд. Частич-
ные суммы и сумма числового ряда. Ряды сходящиеся и расходящиеся. Произведение ряда на число, сумма рядов. Ряд бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Основные свойства
сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный признак расходимости
ряда. Вычисление суммы ряда через предел последовательности его частичных сумм. Единственность суммы ряда в случае его сходимости.
Основные понятия: числовая последовательность, числовой ряд, частичная сумма, сходимость (расходимость) ряда, ряд геометрической прогрессии.
Лекция 15-16. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Признаки
сравнения. Признак Даламбера. Признаки Коши. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница (4ч).
Первый и второй признаки сравнения. Эталонные ряды. Гармонический ряд. Ряд Дирихле.
Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Доказательство
расходимости гармонического ряда. Определение знакочередующегося ряда. Теорема и признак
Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютная сходимость. Условная сходимость.
Основные понятия: необходимый признак, достаточный признак, гармоника, знакочередующийся ряд, абсолютная сходимость, условная сходимость.
Лекция 17. Функциональные ряды. Область сходимости. Определение степенного ряда. Интервал и радиус сходимости степенного ряда (2ч).
Понятие функционального ряда. Область сходимости. Степенной ряд. Интервал и радиус
сходимости степенного ряда. Вывод формулы Адамара. Исследование сходимости ряда на концах
интервала. Обобщенное понятие степенного ряда.
Основные понятия: функциональный ряд, область сходимости, степенной ряд, радиус
сходимости.
Лекция 18. Свойства сходящихся степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды.
Формула и ряд Тейлора. Формула и ряд Маклорена. Применение рядов в приближенных
вычислениях. (2ч).
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Интегрирование и дифференцирование сходящихся степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.
Условие разложимости функции в ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Представление простейших
функций в виде ряда Маклорена. Применение рядов к приближённым вычислениям с вычислением допущенной при этом погрешности.
Основные понятия: ряд Тейлора, ряд Маклорена, остаточный член формулы Тейлора в
форме Коши (Лагранжа), критерий сходимости.
Лекция 1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий.
Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики (2ч).
Классическая теория вероятностей. Краткая историческая справка. Основные понятия теории вероятностей: испытание и событие в теории вероятностей; классификация событий в теории
вероятностей; предмет теории вероятностей; виды случайных событий; элементарные исходы и
благоприятствующие элементарные исходы испытания; вероятность события, классическое определение вероятности события; основные свойства (аксиомы) вероятности; относительная частота
события и ее отличие от вероятности; статистическая вероятность; свойство устойчивости относительной частоты события. Введение в теорию вероятностей – элементы комбинаторики. Классическая формула определения вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече. Игла
Бюффона.
Основные понятия: случайное событие, частота события, вероятность, комбинаторика, факториал натурального числа, сочетания, размещения, перестановки, геометрическая вероятность.
Лекция 2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей (2ч).
Случайные события и их описание. Основные теоремы теории вероятностей: понятие суммы событий; события совместные и несовместимые; теорема сложения вероятностей несовместимых событий и событий, образующих полную группу; противоположные события и соотношение
между вероятностями противоположных событий.
Основные теоремы теории вероятностей: понятие произведения событий; события зависимые и
независимые; условная вероятность события; теорема умножения вероятностей для зависимых и
независимых событий. Следствия теорем сложения и умножения: теорема «про хотя бы»; теорема
сложения вероятностей для двух совместимых событий.
Основные понятия: сумма и произведение случайных событий, зависимые (независимые)
события, совместные (несовместные) события, условная вероятность.
Лекция 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2ч).
Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Основные понятия: полная группа событий, гипотеза.
Лекция 4. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли.
Наивероятнейшее число появлений события. Предельные теоремы (2ч).
Повторные независимые испытания; последовательность независимых испытаний. Вывод
формулы Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в серии повторных независимых
испытаний. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Нормированная функция Гаусса и её основные
свойства. Формула Пуассона. Интегральная теорема Лапласа. Функция Лапласа и ее свойства.
Основные понятия: схема независимых испытаний.
Лекция 5. Дискретные случайные величины (2ч).
Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины и их описание. Закон распределения дискретной случайной величины. Ряд распределения. Многоугольник
распределения. Интегральная функция распределения; свойства функции распределения; график.
Построение интегральной функции распределения для дискретных случайных величин. Интегральная функция как аналитическая форма закона распределения случайных величин.
Основные понятия: случайная величина, дискретная случайная величина, закон распределения, интегральная функция распределения.
Лекция 6. Непрерывные случайные величины (2ч).
Дифференциальная функция распределения или плотность распределения вероятностей;
свойства плотности распределения вероятностей. Связь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей. Понятие числовых характеристик случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение. Формулы вычисления числовых характеристик для дискретных и непрерывных случайных величин.
Основные понятия: непрерывная случайная величина, функция плотности распределения
вероятностей, числовые характеристики, математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
Лекция 7-8. Классические законы распределения случайных величин (4ч).
Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики. Равномерное и показательное распределения непрерывных случайных величин. Интегральные
и дифференциальные функции распределений, их графики. Вывод числовых характеристик. Нормальное распределение непрерывной случайной величины: нормально распределённая случайная величина; зависимость кривой нормального распределения от величины математического ожидания и
среднего квадратического отклонения случайной величины; вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал; вероятность заданного отклонения нормально распределённой
случайной величины от её среднего значения; правило трёх сигм и его графическое представление.
Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема теории вероятностей - теорема Ляпунова.
Основные понятия: биномиальный закон, геометрический закон, гипергеометрический закон, показательное распределение, равномерное распределение, нормальный закон, кривая Гаусса,
интеграл ошибок.
Планы семинарских занятий (III – семестр)
Семинар 14-15. Исследование на сходимость числовых рядов (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Числовые ряды. Основные понятия. Числовая последовательность, числовой ряд.
2. Сумма ряда как предел частичных сумм.
3. Ряд геометрической прогресии. Исследование на сходимость.
4. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточный
признак расходимости знакоположительного числового ряда.
5. Первый и второй признаки сравнения.
6. Гармонический ряд. Ряд геометрической прогрессии. Ряд Дирихле.
7. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признак Даламбера,
признаки Коши.
8. Теорема и признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Абсолютная сходимость.
Условная сходимость.
Практические задания:
1. Найти сумму ряда.
n(n 2) 4
2)
3
5
7
2n 1
... 2
1
2
1 4 4 9 9 16
n 1 n (n 1)
(1) n 1 1
1 1 1
1
...
3 9 27 81
4
3n
n 1
4)
n(n 1)
1
1
1
...
1 3 2 4 3 5
6)
3 3 3 3
...
2 4 8 16
8)
6n 1
1
2
2
12
n 1 (3n 1) (3n 2)
10)
1)
1
3
n 1
3)
5)
7)
n 1
11)
5n 3
ln 5n 2
12)
2 4 8 16
...
3 9 27 81
14)
24
2
n2 9n 12n 5
16)
9n
n1
2
17)
2
n0 4n 8n 3
5
(5n 2)(5n 3)
n 1
6
15)
2
n1 9n 6n 8
1
(n 2)(n 3)
n 1
n 1
6
13)
2
n1 9n 12n 5
1
(3n 2)(3n 1)
n 1
9)
1
18)
9
2
21n 8
49n
n1
14
2
28n 45
3
19)
2
n1 9n 3n 2
49n
20)
n1
7
2
7n 12
2. Исследовать ряды на сходимость, применяя необходимый признак или признаки сравнения.
5 7 9 11
2n 3
...
(Р)
2 5 8 11
n 1 3n 1
1.
1 4 7 10
...
11 15 19 23
2.
n 4n 2 1
2
n 1 5n 3
3.
2n 1
n 1 2 n 3
4.
1.
2.
n 1
4.
5.
n(n 1)
n 1
6.
n 1
n
n 1
3
1
(С)
1
3n
n ln 3n 1
n 1
n
2
1
sin n
n 1
n
1
2
3.
n
1
2
ntg n
n 1
(Р)
5.
n 1
n 1 n
(С)
n
(Р)
6.
1
ln( 1 n
n 1
2
)
(С)
3. Исследовать на сходимость, применяя признаки Даламбера и Коши.
1.
n2
n
n 1 2
(С)
2.
n2
n
n 1 3
9.
3 (n 1)
n 1
6.
10.
n
n 1
14.
n 1 4n 1
3n 2
17.
n 1 3n 1
n 1
n
(Р)
2 n2
2n 1
18. 2
n 1 n 5
22.
n2
3
n ln3n
3n
(Р)
3 n
n 1 n 2
4.
2 n n!
(С)
n
n 1 n
7.
n!
n
n 1 n
8.
5n 3n
n!
n 1
11.
ln( n 2)
5n
n 1
12.
16.
2n 1
n 1 5n 4
2n
n
n
1
2
n 1
3n n
13. n
n 1 5
3.
n!
n
n 1 100
n!
21.
(С)
5.
10 n
n 1 n!
n
(С)
15.
3n
(1
n 1
1 n
n
)
2
2n n n 1
n
n 1 (3n 1)
(Р)
n
19.
20.
ln n
n 1 n
n
n 1
23.
n !3n
n
n 1 n
24.
1
n
n 1
2
2
n
1
(С)
1
(С)
4. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды, применяя признак Лейбница.
(1) n 1
n3
n 1
1)
(СА) ;
2)
(1) n 1
(СУ) ;
3)
n
n 1
(1) n
n 2 n ln n
(СУ).
5. Найти с точностью до 0,1 сумму ряда.
(1) n 1
0,1 ;
2
n 1 (3n)
(1) n 1
0,6 .
n!
n 1
1)
2)
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 16. Исследование на сходимость степенных рядов (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости.
2. Формула Адамара. Исследование степенного ряда на сходимость.
3. Поведение степенного ряда на границах интервала сходимости.
4. Обобщенный степенной ряд.
Практические задания:
Исследовать степенной ряд на сходимость.
x
2
n0
n
( 1)
n 1
(1)
n 1
x
3
n0
x
n
n 1
n 1
n
2
(2 x )
n
n
1 1
2; 2
nx
2
n
=
n 1
(nx )
1 1
3; 3
x
(1 x )
2
n
x0
n
x0
n 1
( 3;3)
n
n 1
-1;1
n
n
(3 x )
2; 2
n
n! x
n 1
1;1
2 n 1
x
n 0 2n 1
n! x
n 1
n
n
2 n 1
n 1
2n 1 ( x 2)
n 1
x
2 n 1
n
( x 2)
3
( x 4)
n 1
n 1
n
n
n 1 2n 1
( x 2)
2n
n
x ,
(-4;4)
n
(2n 1) 2
n 1
n
( x 5)
n
n
( ;)
( x 5)
n 1
n
n
2
x
n0 n!
n( n 1)
5
( e ;e )
n
2 n 1
4
n 1
( 2 3;-2+ 3)
n
n 1
n
2 n 1
2n 4
,
n
n
(-7;-3)
2
n
1
1 n ( x - 1) ,
n 1
0;4
1
1
1 - e ;1 e
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ, 2004.
3. Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф.
Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
Семинар 17. Приложение степенных рядов (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Интегрирование и дифференцирование сходящихся степенных рядов.
2. Формула и ряд Тейлора.
3. Формула и ряд Маклорена.
4. Разложение функций в ряд Маклорена.
5. Приложение рядов в приближённых вычислениях.
Практические задания:
1. Найти сумму ряда
nx
n 1
, |x| < 1.
n 1
x2 x3
xn
2. Найти сумму ряда x
(|x| < 1).
2
3
n
3. Найти область сходимости функционального ряда
x2
4.
Разложить e
5.
Разложить 2x в ряд по степеням x.
6.
Разложить sin2x в ряд по степеням x.
7.
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням
x
1 x2
x2
1 x4
xn
1 x 2n
.
в ряд по степеням x.
7.1.
9
20 x x 2
7.4.
ln 1 2 x 8 x 2
7.2.
x:
6
8 2x x 2
arcsinx
1
x
7.3.
arctgx
x
7.5.
7.6. y( x )
1
1 x2
.
8. Вычислить интеграл с точностью до 0,01:
0,1
8.1.
sin 100x dx ;
2
1
8.2.
0
ln 1 x 5
x
0
1
dx ;
8.3.
0
dx
4
16 x 4
1
2
; 8.4. sin x dx .
0
9. Найти сумму ряда:
9.1.
4n
n 0
2
9n 5 x
n1
;
9.2.
n
n 0
2
n 1 x ;
n
9.3.
n 2n 1 x
n 2
.
n 0
Семинар 1-2. Классическое определение вероятности. Алгебра событий. Теоремы сложения
и умножения вероятностей (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Классическая формула вероятности.
2. Основные формулы комбинаторики.
3. Теорема сложения вероятностей событий.
4. Независимые события. Теорема умножения вероятностей.
5. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей событий.
Практические задания:
1. Основные комбинаторные формулы.
1.1. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье место 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
1.2. Сколькими способами можно с помощью букв A, B, C, D, E, F, G, K обозначить вершины куба?
1.3. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить
по столовой?
2. Классическое определение вероятности.
2.1. Из корзины, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара извлекают один шар. Найти
вероятность, что он - белый. Извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них
окажутся: а) Один белый; б) Два белых; в) Три белых; г) Хотя бы один белый.
2.2. В 10 экзаменационных билетах содержатся по 2 вопроса, которые не повторяются.
Студент знает ответы на 15 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен,
если для этого достаточно ответить на один вопрос.
2.3. В партии из 10 изделий 7 - стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых
наудачу деталей ровно 4 - стандартные.
2.4. Из 10 билетов лотереи выигрышными являются - 2. Найти вероятность того, что среди
взятых наудачу 5 билетов выигрышными окажутся один или два.
2.5. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно: 1)
оканчивается нулем; 2) состоит из одинаковых цифр; 3) больше 27 и меньше 46; 4) не
является квадратом целого числа.
2.6. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по
одному билету. Найти вероятность того, что оба студента взяли «хорошие» билеты.
2.7. Из слова «Наугад» выбирается одна буква. Найти вероятность того, что это гласная.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
3.1. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо
4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
3.2. В барабане 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу извлечены 2. Вычислить вероятность
того, что оба они белые.
3.3. Вероятность попасть в цель для первого снайпера 0,8; для второго - 0,9; для третьего 0,7. Найти: а) Вероятность одного попадания; б) Вероятность двух попаданий;
в) Вероятность хотя бы одного попадания.
3.4. Вероятность безотказной работы в течение гарантированного срока составляет для
пылесоса - 0,8 и для холодильника - 0,95. Какова вероятность того, что в течение срока
гарантии окажутся работоспособными: а) оба прибора; б) один прибор.
3.5. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на
первый вопрос 0,9; на второй - 0,7; третий - 0,4. Найти вероятность того, что студент сдаст
экзамен, если для этого достаточно правильно ответить на два вопроса.
3.6. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в неё в
начале стрельбы равна 0,8; а после каждого выстрела уменьшается на 0,2. Найти
вероятность того, что он попадает два раза.
3.7. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50
денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша для владельца 1 лотерейного
билета?
3.8. Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2, а второго – 0,13. Чему
равна вероятность того, что оба станка потребуют наладки в течение смены?
3.9. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность
попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность
того, что мишень будет поражена.
3.10. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим (без возвращения)
выбирают два билета. Какова вероятность того, что номера этих билетов четные?
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Полная группа событий. Вероятности гипотез.
2. Формула полной вероятности.
3. Формула Байеса.
Практические задания:
1. В пирамиде 10 винтовок [6 с оптическим прицелом и 4 без оптики]. Вероятность поразить цель
для винтовок соответственно 0,8 и 0,3. Из случайно выбранной винтовки произведен выстрел.
Найти вероятность поражения цели.
2. На склад поступили изделия с трех заводов [ 40% с первого; 35% со второго и 25% с третьего ].
На первом заводе было изготовлено 90% изделий первого сорта, на втором - 80%, на третьем
70%. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие первого сорта. { 0,815 }
3. В корзину [ 2 белых и 1 черный шаров ] доложили один шар. После чего из неё наугад извлекли один шар. Найти вероятность того, что он белый, если первоначально мог быть доложен
любой шар.
4. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4. Что вероятнее: попадет в цель наудачу выбранный стрелок или нет.
5. В группе из 25 человек, среди которых три отличника, 15 хорошистов, 7 троечников необходимо сдать зачет. Вероятность успешно сдать зачет для отличника 0,9; для хорошиста – 0,8;
для троечника – 0,6. Вызванный наугад студент не сдал зачет. Какова вероятность того, что он
хорошист.
6. В группе из 200 мужчин и 300 женщин 5% мужчин и 3% женщин страдают бронхитом. Наугад
выбранное для обследования лицо страдает бронхитом. Какова вероятность того, что это женщина.
7. Из 20 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 8 – с вероятностью 0,7 и остальные с
вероятностью – 0,4. Наудачу выбранный стрелок попал в мишень. К какой группе вероятнее
всего он принадлежит.
8. В одной из трех корзин 6 белых и 4 черных шара, во второй 7 белых и 3 черных, в третьей – 8
черных. Наугад выбирают одну из трех корзин и из неё шар. Он черный. Найти вероятность
того, что шар из второго ящика.
9.
Одна и та же контрольная работа была проведена в трех группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на "отлично". Во второй, где 28 студентов, — 6 работ;
в третьей, где 27 студентов — 9 работ. Найти вероятность того, что первая взятая наудачу при
повторной проверке контрольная из работ, принадлежащих группе, которая также выбрана
наудачу, окажется выполненной на "отлично".
10. В двух залах кинотеатра идут два различных фильма. Вероятность того, что на определенный
час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3, в кассе второго зала — 0,4. Какова вероятность
того, что на данный час в первой кассе есть билеты, а во второй — нет?
11. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо
страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и
женщин одинаковое число).
12. На первом заводе на каждые 100 лампочек 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а
продукция их составляет соответственно 50%, 30%, 20% всех электролампочек, поставляемых
в магазины данного района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 4. Модель Бернулли (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Схема и формула Бернулли.
2. Определение наивероятнейшего числа появлений события в серии из n независимых испытаний.
3. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
5. Асимптотическая формула Пуассона.
Практические задания:
1. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится трижды.
2. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при 4 независимых выстрелах равна 0,9984.
Найти вероятность попадания при одном выстреле.
3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах 0,64. Найти вероятность
трех попаданий при пяти выстрелах.
4. В цехе работают 4 станка, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них
одна и та же и равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа остановятся не менее
трех станков.
5. Вероятность изготовления пальто высшего качества на швейной фабрике 0,6. Изготовлено 600
пальто. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего качества и вероятность этого события. Найти вероятность того, что изделий высшего качества будет не более 400.
6. Вероятность получения дивидендов по акции 0,8. Найти вероятность того, что дивиденды принесут не менее 120 акций из 144.
7. С вероятностью 0,8 орудие при выстреле поражает цель. Произведено 1600 выстрелов. Найти
наивероятнейшее число попаданий. Найти вероятность того, что число попаданий будет в интервале от 1000 до 1500.
8. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть семян
оценивается с вероятностью 0,75. {0,036}
9. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,2. Найти наиболее вероятное
число точных приборов в партии из 9 штук. {7,8}
10.Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. {0,05}
11.Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что
среди 400 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 штук. {0,8882}
12.Садовод сделал осенью шесть прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки
семь из каждых десяти прививок оставались жизнеспособными. Какое число прижившихся
прививок наиболее вероятно?
13.Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти вероятность
того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся стандартными.
14.Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 5-6-7. Дискретная случайная величина. Непрерывная случайная величина. (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Понятие дискретной случайной величины.
2. Закон распределения. Табличная форма (ряд распределения). Многоугольник распределения
(графическая форма). Интегральная функция распределения вероятностей (аналитическая
форма).
3. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
4. Понятие непрерывной случайной величины.
5. Закон распределения. Интегральная функция распределения вероятностей. Дифференциальная
функция распределения вероятностей (плотность распределения).
6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание.
Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
Практические задания:
Дискретные случайные величины.
1. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения случайной величины Х – число стандартных деталей среди отобранных.
Построить многоугольник распределения. Найти F(x).
2. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон
распределения случайной величины X – число стандартных деталей среди отобранных.
3. Студенту для сдачи экзамена необходимо ответить на билет, содержащий два вопроса. Вероятность того, что он знает первый вопрос 0,8; второй 0,6. Составить закон распределения
случайной величины X – число вопросов, на которые ответит студент. Найти и построить
график F(x).
4. В корзине находятся 4 белых и 2 черных шаров. Случайным образом извлекаются два. Найти
закон распределения случайной величины X – количество белых шаров среди извлеченных.
F(x), M(x), D(x).
5. Рассматривается случайная величина X – число появлений события в двух независимых испытаниях. M(x)=1,2. Найти p и D(x), если вероятность события в каждом из испытаний постоянна.
6. Дискретная случайная величина X представлена табличной формой закона распределения:
Xi
Pi
-4
0,2
6
0,3
Вычислить М(х), D(x), (x). Построить график F(x).
10
0,5
7. Дискретная случайная величина представлена рядом распределения:
Xi
x1=4
x2=6
x3=?
Pi
p1=0,5
p2=0,3
p3=?
Найти x3, p3, если M(x)=8.
8.
Дискретная случайная величина принимает два значения, причем x1<x2. Найти закон
распределения случайной величины Х, если М(х)=1,4; D(x)=0,24; p1 0, 4 .
9.
Известны возможные значения дискретной случайной величины Х: x1=-1, x2=0, х3=1.
Известно, что М(х)=0,1 и D(x)=0,89. Найти p1, p2, p3.
10. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для
случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х
Р
3
0,4
5
0,3
7
0,2
9
0,1
Непрерывные случайные величины.
1. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 0
F ( x) 81 x 3 , если 0 x 2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(1<X<3)–?.
1, при x 2
2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 1
F ( x) 12 ( x 2 x), если 1 x 2 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
1, при x 2
P(X<3/2) – ?.
3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
0, при x 0
F ( x) cx 2 , если 0 x 3 Найти f(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(1<X<3)–?.
1, при x 3
4. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x 1
f ( x) x 12 , если 1 x 2 Найти F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x 2
P(0<X<3/2) – ?.
5. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x 1
f ( x) с, если - 1 x 1 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x). P(X<0) – ?.
0, при x 1
6. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности:
0, при x 4
f ( x) с( x 4), если 4 x 6 Найти c, F(x), M(x), D(x), (x). Построить графики F(x) и f(x).
0, при x 6
P(X>5) – ?.
7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией плотности:
x 1
0,
2
f ( x) 3 x , 1 x 0 .
0,
x0
8. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x), причем a неизвестно:
x 0,
0,
2
f ( x) a(3x x ), 0 x 3, Найти: 1 Коэффициент a; 2. P(1<X<2)
0,
x 3.
9. Функция распределения случайной величины X задана выражением
0, x 0,
x 2
F ( x) , 0 x 2, Найти функцию плотности.
4
x 2.
1,
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 8-9. Классические законы распределения случайных величин (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение биномиального закона распределения дискретной случайной величины. Свойства.
Числовые характеристики.
2. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
3. Показательный закон распределения непрерывной случайной величины. Свойства. Числовые
характеристики.
4. Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса. Числовые характеристики. Основные
свойства. Правило трех сигм.
Практические задания:
Равномерное распределение.
1. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть
непрерывная случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [19;20].
Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 час. 22 мин. до 19 час. 46
мин.
2. Случайная величина X распределена равномерно и имеет следующие числовые
характеристики M ( x ) 2, D( x ) 3. Найти F ( x ), f ( x ) , построить графики.
3. Про случайную величину X известно, что X
R[4, 7]. Найти:
a ) f ( x ); b) P X (6; 6, 81); c) M ( x), ( x).
Показательный закон распределения.
4. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с
0, 2 e 0, 2 t , при t 0, Найти: функцию распределения F ( t ) ;
плотностью: f ( t )
0,
при t 0.
математическое ожидание и дисперсию случайной величины T ; вероятность того, что
радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.
5. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром 0, 4. Найти
интегральную и дифференциальную функции распределения, а также вероятность попадания
значений случайной величины в интервал (0,25;5).
6. Случайная величина X , равная длительности работы элемента, имеет плотность
распределения f ( t ) 0, 003 e 0, 003t , t 0. Найти среднее время работы элемента и вероятность
того, что элемент проработает не менее 400 часов.
7. Средняя продолжительность телефонного разговора составляет 3 мин. Найти вероятность того,
что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут.
Нормальный закон распределения.
8. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=10, (x)=4.
Найти: f(x); P(2<X<13); P( ( X a 10).
9. Нормальная случайная величина задана числовыми характеристиками: М(х)=15, (x)=2.
Найти: f(x); P(10<X<17); P( ( X a 3).
10. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8, = 3. Найти вероятность того,
что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).
11. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной
величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое
ожидание) a = 40 см, среднее квадратическое отклонение = 0,4 см. Найти вероятность того,
что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
12. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с
параметрами a = 0, = 9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность
того, что погрешность хотя бы одного измерения не превосходит по абсолютной величине 3
мм.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
Тема
1 Элементы диспер-
Вопросы, выносимые на СРС
Дисперсионный анализ. Назнасионного анализа. чение и общие понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Двухфакторный дисперсионный
анализ.
2 Двойственная заПостановка двойственной
дача линейного
задачи. Математическая
программирования. формулировка двойственной
задачи. Сравнение прямой и
двойственной задач линейного
программирования. Правила
составления задачи,
двойственной по отношению к
исходной. Соответствие между
переменными в исходной и
двойственной задачах.
Двойственные оценки и их
смысл.
Нахождение двойственных оценок. Матрица изменения оптимального плана производства.
Условия устойчивости двойственных оценок. Определение
допустимого изменения запаса
сырья одного вида, при котором
двойственные оценки не изменяются. Определение допустимых изменений величин запасов
сырья всех видов одновременно,
при которых двойственные оценки сырья сохраняют свой значения. Изменение функции цели
при изменении запасов сырья.
Форма
Содержание
контроля
СРС
СРС
УМ, СК
КО
УМ, СК
КО
Учебнометодическое
обеспечение
ОЛ3, ОЛ5, ОЛ6
ОЛ3, ОЛ5, ОЛ6
Нахождение нового оптимального плана производства при изменении запасов сырья.
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.
3. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Наивероятнейшее
число появлений события в серии из n независимых испытаний.
6. Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
7. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
8. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины. Основные свойства.
9. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства.
10. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
12. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
13. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
14. Показательное распределение.
15. Нормальный закон распределения.
Варианты контрольных работ для осуществления
текущего контроля уровня знаний студентов.
Контрольная работа №1
1. В коробке лежат 10 деталей, причем 4 окрашены. Извлекаются 3 детали. Найти вероятность,
что: а) две из них окрашены; б) хотя бы одна окрашена.
2. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, трем – типа В, двум – типа С. Вероятность
попадания в мишень типа А равна 0,4; типа В – 0,1; типа С – 0,15. Найти вероятность
попадания в мишень при одном выстреле.
3. В лотерее 5 билетов, два из которых призовых и три без выигрыша. Приобретается два билета.
Составить закон распределения случайной величины Х – число призовых билетов среди двух
купленных. Найти F(x) (построить график); M(x); D(x); x); P(x>0).
4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:
0,
5. f ( x) a(2 x 1),
0,
3) P ( X 1,5) .
x 1
1 x 2 , Найти: 1) a, M ( x), D( x), ( x) ; 2) F ( x), f ( x) - графики;
x 2.
Контрольная работа №2
1. Решить произв. задачу графически и табличным симплекс методом:
F 8 x1 6 x2 max
x1 3x2 12
2 x1 x2 10
2 x 2 x 12
2
1
2. Решить транспортную задачу:
Запас (11 11 8)
Заказ (5 9 9 7)
7 8 1 3
C 2 4 5 9
6 3 5 2
Вопросы к зачету:
1. Предмет и основные понятия теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое
определение вероятности.
2. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей независимых событий.
3. Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли. Наивероятнейшее
число появлений события в серии из n независимых испытаний.
6. Асимптотические формулы Муавра – Лапласа и Пуассона.
7. Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Многоугольник распределения.
8. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины. Основные свойства.
9. Плотность распределения вероятностей. Основные свойства.
10. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
11. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
12. Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины.
13. Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины.
14. Показательное распределение.
15. Нормальный закон распределения.
16. Предмет математической статистики. Основные задачи, решаемые математической статистикой.
17. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма. Основные выборочные характеристики.
18. Точечные оценки неизвестных параметров генеральной совокупности. Характеристики оценок.
Доверительный интервал.
19. Понятие статистической гипотезы. Схема проверки. Ошибка 1-рода. Ошибка 2-го рода.
20. Понятие корреляционной зависимости. Основные задачи теории корреляции.
21. Метод наименьших квадратов. Выборочное уравнение прямой линии среднеквадратической
регрессии. Выборочный коэффициент линейной корреляции. Основные свойства коэффициента корреляции.
22. Производственная задача - задача об оптимальном использовании ресурсов.
23. Табличная форма постановки производственной задачи.
24. Экономико-математическая модель производственной задачи.
25. Целевая функция в задачах линейного программирования.
26. Система ограничений основной задачи линейного программирования.
27. Каноническая, общая и стандартные формы постановки задачи линейного программирования.
28. Графо - аналитический метод решения задачи линейного программирования.
29. Аналитический симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Критерий
оптимальности опорного плана Условие неограниченности функции цели.
30. Табличная форма симплексного метода.
31. Формулировка транспортной задачи.
32. Матрица планирования перевозок.
33. Целевая функция транспортной задачи.
34. Метод наименьшей стоимости нахождения опорного плана транспортной задачи.
35. Критерий оптимальности в транспортной задаче.
36. Алгоритм улучшения опорного плана. Цикл пересчета.
Список литературы
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Дополнительная литература
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 1997.
2. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 1998.
4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 1998.
5. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 1999.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
7. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических
расчетах. -М.: Экономика, 1988.
8. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Математическое программирование. -Минск.:
Высшая школа, 1994.
9. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. – М.:
Высшая школа, 1986.
10.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа,
1986.
IV семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 9-10. Математическая статистика (4ч).
Математическая статистика. Предмет математической статистики. Две основные задачи
математической статистики. Выборочный метод наблюдения. Генеральная и выборочная совокупности. Основные виды выборок. Репрезентативная выборка. Статистическое распределение выборки. Статистическая функция распределения. Основные показатели генеральной совокупности.
Основные показатели выборочной совокупности. Вариационный ряд. Графическое представление
вариационного ряда. Полигон. Гистограмма. Выборочные характеристики статистического распределения. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Выборочное среднеквадратическое отклонение. Мода, размах выборки, медиана. Коэффициент вариации.
Основные понятия: статистика, выборочный метод, репрезентативность, вариационный ряд, полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения, мода, медиана, коэффициент вариации.
Лекция 11. Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы и
доверительные вероятности. Проверка статистических гипотез. (2 часа)
Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки. Качество точечных
оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность. Исправленная выборочная дисперсия.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Доверительная
вероятность при оценке неизвестного математического ожидания. Доверительный интервал и его
статистический смысл. Принцип практической невозможности маловероятных событий в при однократном проведении эксперимента. Проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Выбор критерия. Ошибка первого рода. Ошибка второго рода.
Основные понятия: точечное оценивание, несмещенность, сходимость по вероятности,
эффективность, доверительный интервал, статистическая гипотеза, ошибки первого и второго
родов, мощность критерия, критическая область.
Лекция 12. Корреляционно-регрессионный анализ. Статистическая зависимость. Понятие
корреляционной и функциональной зависимости. Метод наименьших квадратов. Определения параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратической регрессии.
Коэффициент линейной корреляции Пирсона (2 часа).
Связь двух случайных величин. Факторная или независимая и результативная или зависимая случайные величины. Статистическая зависимость её разновидность - корреляционная зависимость. Корреляционное поле. Выборочная регрессия и выборочная линия регрессии. Две основные задачи корреляционного анализа. Линейная и нелинейная корреляция. Параметризация линейной регрессионной модели. Метод наименьших квадратов. Оценка тесноты связи двух показателей. Коэффициент корреляции и его свойства. Таблица Чеддока. Анализ качества уравнения регрессии в целом. F – тест Фишера.
Основные понятия: экзогенная переменная, эндогенная переменная, корреляция, регрессия,
регрессор, групповая средняя, регрессионная модель, система нормальных уравнений, коэффициент линейной корреляции, коэффициент детерминации.
Лекция 13. Линейное программирование как раздел математического программирования. Общая характеристика и примеры задач линейного программирования. Экономикоматематическая модель производственной задачи. Теоретические основы анализа задачи
линейного программирования (2ч).
Математическое программирование как наука. Линейное программирование как раздел математического программирования. Производственная задача - задача об оптимальном использовании ресурсов. Табличная форма постановки производственной задачи. Экономико-математическая
модель производственной задачи. Целевая функция в задачах линейного программирования. Си-
стема ограничений основной задачи линейного программирования. Математическая формулировка
основной задачи линейного программирования. Общая, стандартная и каноническая форма постановки основной задачи линейного программирования. Матричная форма записи основной задачи
линейного программирования. Решения системы линейных ограничений - её базисные решения.
Основные понятия: экономико-математическая модель, оптимум функции цели, система
допустимых решений, балансовые переменные, каноническая модель.
Лекция 14. Геометрическое решение задачи линейного программирования (2ч).
Основные теоремы линейного программирования. Преимущества и недостатки геометрического метода решения задачи. Нахождение области допустимых решений системы линейных
ограничений. Нахождение постоянных уровней функции цели. Направление возрастания целевой
функции. Геометрическое нахождение оптимального решения основной задачи линейного программирования. Геометрическое представление единственного оптимального плана. Геометрическая интерпретация множества оптимальных решений. Геометрическое представление отсутствия
оптимального решения из-за неограниченности функции цели. Геометрический аналог отсутствия
оптимального решения из-за несовместимости линейных ограничений (область допустимых решений - пустое множество). Свойства оптимальных решений основной задачи линейного программирования на плоскости.
Основные понятия: функционльно-графический метод, выпуклый многоугольник, линия
уровня, градиент функции цели, угловая точка.
Лекция 15. Общая идея и два основных этапа симплекс-метода. Алгоритм симплекс-метода.
Общая идея симплексного метода. Два основных этапа симплексного метода. Аналитическое представление симплекс-метода. Алгоритм симплексного метода. Критерий оптимальности
решения. Условие бесконечного множества оптимальных решений. Условие неограниченности
целевой функции. Табличная форма симплексного метода. Нахождение в симплекс-таблице ключевого столбца и его роль. Ключевая строка и её назначение. Разрешающий элемент в симплекстаблице и его использование. Правило прямоугольников преобразования элементов симплекстаблицы. Условие неопределённости системы линейных ограничений и количество её решений.
Условие несовместимости системы линейных ограничений. Основные правила при составлении и
преобразовании симплекс-таблиц.
Основные понятия: симплекс, опорный план, критерий оптимальности, симплексный метод, симплекс-таблица, разрешающий элемент, индексная строка.
Лекция 16-17. Транспортная задача линейного программирования (4 часа).
Формулировка транспортной задачи. Матрица планирования перевозок. Закрытые и открытые модели транспортной задачи. Введение ограничений на перевозки, связанные с наличием гру-
зов. Ограничения на перевозки, связанные с потребностями в грузе. Целевая функция транспортной задачи. Полная математическая постановка транспортной задачи. Условие разрешимости
транспортной задачи. Сведение открытой модели задачи к закрытой (случай, когда запасы превосходят потребности). Переход от несбалансированной транспортной задачи к сбалансированной
(когда потребности превышают запасы грузов). Особенности постановки экономико-математической
модели транспортной задачи. Распределительный метод решения транспортной задачи. Различные
способы отыскания исходного опорного плана. Метод северо-западного угла. Метод наименьшей
стоимости. Вырождение опорного плана поставок. Преодоление вырождения опорного плана и
зацикливания. Критерий оптимальности в транспортной задаче. Потенциалы строк и столбцов.
Алгоритм метода потенциалов. Схема перемещения перевозки в незаполненную клетку. Циклы
пересчета в транспортной задаче и их различные конфигурации. Алгоритм нахождения оптимального плана перевозок транспортной задачи.
Основные понятия: матрица планирования перевозок, закрытая модель, метод северозападного угла, метод минимальной стоимости, метод потенциалов, цикл пересчета, базисная
ячейка.
Лекция 1. Задача о назначениях (2ч).
Постановка задачи. Математическая модель задачи о назначениях. Лемма об оптимальности. Алгоритм решения задачи на минимум (максимум).
Основные понятия: лемма, эквивалентные преобразования, венгерский алгоритм, «расстановка меток».
Лекция 2-3. Целочисленное программирование. Задача дробно – линейного программирования. Многокритериальные задачи оптимизации (4ч).
Постановка задачи целочисленного программирования. Методы целочисленной оптимизации. Метод Гомори решения задачи. Математическая модель задачи дробно-линейного программирования. Сведение к задаче линейного программирования. Решение задач многокритериальной
оптимизации с заданным уровнем притязаний по одному из критериев.
Основные понятия: целочисленное программирование, метод отсечений, дробно - линейное программирование, двухкритериальная задача.
Лекция 4. Задача коммивояжера (2ч).
Общая постановка и математическая модель задачи. Алгоритм решения задачи коммивояжера. Критерий оптимальности. Связь с задачей о назначениях.
Основные понятия: коммивояжер, дерево вариантов, метод ветвей и границ, эвристический алгоритм.
Планы семинарских занятий (IV – семестр)
Семинар 10. Выборочный анализ. Выборочные характеристики статистического распределения. Статистические оценки параметров распределения. Доверительные интервалы и доверительные вероятности (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Статистическая функция распределения.
2. Выборочные характеристики статистического распределения.
3. Полигон. Гистограмма.
4. Статистические оценки параметров распределения: выборочная средняя, исправленное
среднеквадратическое отклонение.
5. Доверительные интервалы.
Практические задания:
Задача_1. При изучении прибыли малых предприятий одного профиля было обследовано n
предприятий и получены значения прибыли за месяц X усл. ден. ед., представленные в таблице.
Требуется:
1. Выполнить первичную статистическую обработку результатов наблюдений:
а) определить выборочное среднее xв ;
б) «исправленное» стандартное отклонение S ( x ) ;
в) коэффициент вариации V ( x ) изучаемого признака;
2. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения,
найти доверительный интервал для среднего значения прибыли а предприятий этого профиля
на уровне заданной надёжности =0,95.
3. Изобразить на одном графике эмпирическую и сглаженную кривые.
В. № 1
В. № 2
В. № 3
В. № 4
В. № 5
В. № 6
В. № 7
В. № 8
16,2
—
—
15,7
18,6
14,6
23,3
26,3
20,1
24,1
17,2
20,5
19,2
19,5
19,4
24,8
21,4
23,5
18,5
21,2
17,0
20,0
20,1
22,4
18,9
19,2
20,0
18,4
19,8
16,8
24,3
20,1
16,5
21,8
16,2
19,3
21,3
19,4
22,8
27,1
X
17,3
20,3
18,0
17,8
16,2
17,1
18,0
25,5
усл. ден.
18,2
22,4
19,1
16,7
17,4
18,2
17,5
25,1
ед.
19,5
22,0
22,3
18,8
20,5
17,5
17,1
21,0
20,4
23,1
20,4
16,2
19,6
16,2
18,8
22,8
21,0
19,9
18,9
22,0
18,3
15,7
23,7
24,5
18,2
22,7
17,8
23,1
18,1
19,2
—
26,7
19,4
21,5
23,0
19,5
16,9
15,5
—
—
—
—
—
17,5
—
—
—
—
Задача_2. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской
одежды проведено выборочное обследование определённых групп детского населения и получено
распределение количества детей по величине обхвата груди X см. (таблица).
Требуется:
1. Построить гистограмму относительных частот для наблюдаемых значений признака X.
2. Определить: а) выборочное среднее
x в ; б) стандартное отклонение
в; в) коэффициент
вариации V ( x ) .
3. Полагая,
что
изменчивость
величины признака
X в пределах
рассматриваемой
половозрастной группы детей описывается законом нормального распределения, найти:
а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения а обхвата груди у
детей рассматриваемой группы на уровне надёжности ;
б) вероятность Р того, что величина признака X у выбранного наугад ребёнка такого
возраста окажется в пределах от см. до см.
Вариант
№1
№2
№3
№4
№5
№6
Обхват груди X
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
Кол-во
(см)
детей
детей
детей
детей
детей
детей
54 - 58
21
—
—
—
42
7
58 - 62
43
—
21
15
55
16
62 - 66
59
35
48
28
71
58
66 - 70
62
50
68
40
50
62
70 - 74
26
77
59
50
40
34
74 - 78
14
69
37
42
31
19
78 - 82
—
54
23
21
—
—
82 - 86
—
39
—
—
—
—
n
225
324
256
196
289
196
0,9108
0,9786
0,9642
0,8904
0,9544
0,9722
(см)
66
74
62
74
58
64
(см)
70
78
66
78
62
70
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 11-12. Корреляционно-регрессионный анализ (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Две основные задачи корреляционного анализа.
2. Корреляционное поле (спецификация модели). Метод наименьших квадратов.
3. Система нормальных уравнений для отыскания параметров линейной регрессии
(параметризация модели).
4. Оценка тесноты связи. Коэффициент линейной корреляции.
5. Проверка значимости уравнения регрессии в целом (верификация модели).
Практические задания:
Задача_1. Экономист, изучая зависимость уровня издержек обращения Y(ден. ед.) от объёма
товарооборота X(ден. ед.) магазина за определённый период, получил данные по n = 10 магазинам
одинакового профиля (таблица). Выполнить следующий выборочный анализ:
Полагая, что между признаками Y и X имеет место линейная корреляционная связь,
1.
определить выборочное уравнение регрессии
yˆ ( x) b xy ( x x )
и выборочный
коэффициент линейной корреляции rв .
Построить диаграмму рассеяния и линию регрессии. Сделать выводы о направлении и
2.
тесноте связи между показателями Y и X.
Используя полученное линейное уравнение регрессии, оценить ожидаемое значение
3.
признака Y при X = 130 ден. ед.
Номера вариантов
№1
№2
№3
№4
№5
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
ден.
ден.
ден.
тыс.
ден.
ден.
ден.
ден.
ден.
ден.
ед.
ед.
ед.
руб.
ед.
ед.
ед
ед.
ед.
ед.
110
6,1
80
4,2
160
12,5
50
4,2
60
2,9
85
4,2
60
4,9
120
9,3
130
10,8
90
7,1
70
2,9
100
7,2
110
9,2
100
9,6
150
11,8
120
5,8
130
9,1
80
6,4
80
5,1
80
6,3
150
8,3
120
6,4
90
7,5
90
7,4
110
7,2
90
5,2
50
3,9
130
11,6
70
6,2
120
8,4
60
3,4
90
5,1
150
13,1
150
11,4
70
4,8
140
7,5
150
8,4
70
5,2
60
3,3
130
11,2
100
4,9
70
3,5
100
7,9
140
12,2
100
6,7
115
5,4
125
8,7
60
4,4
110
10,5
140
10,6
Задача_2. Получено распределение заводов по основным фондам X (ден. ед.) и по стоимости готовой продукции Y (ден. ед.), помещённое в корреляционную таблицу.
Предполагая, что между признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:
1) вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между рассматриваемыми признаками;
2) составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики.
X
Y
10
20
30
40
50
60
ny
15
5
7
-
-
-
-
12
25
-
20
23
-
-
-
43
35
-
-
30
47
2
-
79
45
-
-
10
11
20
6
47
55
-
-
-
9
7
3
19
nx
5
27
63
67
29
9
n = 200
Семинар 13. Общая характеристика и примеры задач линейного программирования. Экономико-математическая модель производственной задачи. Теоретические основы анализа
задачи линейного программирования. Геометрическое решение задачи линейного программирования (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Экономико-математическая модель производственной задачи.
2. Стандартная, общая и каноническая формы постановки производственной задачи.
3. Целевая функция. Анализ области допустимых решений (системы ограничений задачи).
4. Нахождение области допустимых решений системы линейных ограничений.
5. Нахождение постоянных уровней функции цели.
6. Направление возрастания целевой функции. Градиент функции. Геометрическое истолкование.
7. Геометрическое нахождение оптимального решения основной задачи линейного
программирования.
8. Геометрическое представление единственного оптимального плана.
9. Геометрическая интерпретация множества оптимальных решений.
10. Геометрическая иллюстрация отсутствия оптимального решения из-за неограниченности
функции цели.
Практические задания:
I. Решить графически систему линейных неравенств и найти координаты его угловых точек.
x1 x2 6
2 x1 x2 4
1) x1 2 x 2 4
x1 3
x2 4
x1 x2 6
x1 x2 2
2) x1 2 x2 0
x1 5
0 x2 3
4 x1 x2 8 0
x1 x2 4
3) x1 3 x2 6 0
x1 0
x2 0
II. Предприятие выпускает два вида продукции А и D. На изготовление единицы изделия А требуется затратить а1 кг. сырья первого типа, а2 кг. сырья второго типа и а3 кг. сырья третьего типа.
На изготовление единицы изделия D требуется затратить d1 кг. сырья первого типа, d2 кг. сырья
второго типа и d3 кг. сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьём каждого типа в количестве b1 кг., b2 кг., b3 кг. Стоимость единицы изделия А составляет c1 тыс. ден. ед., а единицы
изделия D
– c2 тыс. ден. ед. Составить план производства изделий А и D, обеспечивающий мак-
симальную сумму от их реализации. Решить задачу геометрически.
Задача 1.
а1 = 2 кг; d1 = 5 кг; b1 = 432 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 4 кг; b2 = 424 кг;
а3 = 5 кг; d3 = 3 кг; b3 = 582 кг.
c1 = 34 тыс. руб.
c2 = 50 тыс. руб.
Задача 2.
а1 = 4 кг; d1 = 1 кг; b1 = 240 кг;
а2 = 2 кг; d2 = 3 кг; b2 = 180 кг;
а3 = 1 кг; d3 = 5 кг; b3 = 251 кг.
c1 = 40 тыс. руб.
c2 = 30 тыс. руб.
Задача 3.
а1 = 2 кг; d1 = 7 кг; b1 = 560 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 3 кг; b2 = 300 кг;
а3 = 5 кг; d3 = 1 кг; b3 = 332 кг.
c1 = 55 тыс. руб.
c2 = 35 тыс. руб.
Задача 4.
а1 = 1 кг; d1 = 3 кг; b1 = 300 кг;
а2 = 3 кг; d2 = 4 кг; b2 = 477 кг;
а3 = 4 кг; d3 = 1 кг; b3 = 441 кг.
c1 = 52 тыс. руб.
c2 = 39 тыс. руб.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 14-15. Симплекс – метод решения производственной задачи (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Два основных этапа симплексного метода.
2. Аналитический симплекс – метод.
3. Первое опорное решение.
4. Принцип замены базисной переменной на свободную.
5. Второе базисное решение и проверка его на оптимальность.
6. Условие бесконечного множества оптимальных решений.
7. Условие неограниченности целевой функции.
8. Табличная форма симплексного метода.
9. Нахождение в симплекс-таблице ключевого столбца и его роль.
10. Ключевая строка и её назначение.
11. Разрешающий элемент в симплекс-таблице и его использование.
12. Условие неопределённости системы линейных ограничений и количество её решений.
13. Условие несовместимости системы линейных ограничений.
14. Основные правила при составлении и преобразовании симплекс-таблиц.
Практические задания:
I. Предприятие выпускает два вида продукции А и D. На изготовление единицы изделия А требуется затратить а1 кг. сырья первого типа, а2 кг. сырья второго типа и а3 кг. сырья третьего типа.
На изготовление единицы изделия D требуется затратить d1 кг. сырья первого типа, d2 кг. сырья
второго типа и d3 кг. сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьём каждого типа в количестве b1 кг., b2 кг., b3 кг. Стоимость единицы изделия А составляет c1 тыс. ден. ед., а единицы
изделия D – c2 тыс. ден. ед. Составить план производства изделий А и D, обеспечивающий максимальную сумму от их реализации.
1. Решить задачу аналитическим симплекс-методом.
2. Решить задачу табличным симплекс-методом.
Задача № 1.
a1=1; d1=2; b1=10; c1=4; b1= 2;
a2=3; d2=1; b2=12; c2=6; b2= 10;
a3=1; d3=1; b3=6;
b3= 3.
Задача № 2.
a1=1; d1=3; b1=12; c1=8; b1= 5;
a2=2; d2=1; b2=10; c2=6; b2= 2;
a3=2; d3=2; b3=12;
b3= 4.
II. Предприятие может производить в сутки изделий типа А не более 120 ед. и не более 360 единиц
изделий типа В. При этом рыночный спрос на изделия не превосходит 200 единиц (безразлично
какого типа). Стоимость единицы изделия типа А - 4р., а изделия В - 1р. Требуется спланировать
выпуск продукции так, чтобы предприятию была обеспечена наибольшая прибыль.
III. Предприятие может изготавливать продукцию двух видов. Суточный расход металла не может
превышать 80 кг, при этом на единицу изделия 1-го вида требуется 2 кг металла, а на единицу изделия второго вида – 1 кг. Дневная потребность в продукции 1-го вида не превышает 30 единиц, а
для второго вида 40 единиц. Составить план производства, обеспечивающий максимально возможную прибыль, если цены изделий 1-го и 2-го видов составляют соответственно 50 и 30 у.е.
IV. Мебельный цех получает ежедневно 40 досок первого сорта и 19 досок второго сорта. Цех выпускает столы и стулья, при этом на изготовления стола требуется 4 доски первого и 1 доска второго сортов, а на изготовление стула – 1 доска первого и одна доска второго. Прибыль от реализации стола составляет 8 руб., а стула – 6 руб. Какой план производства будет наиболее выгоден цеху.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – 4-е
изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 415 с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высшая школа., 1998. – 400 с.
6. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 16. Транспортная задача (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Матрица планирования перевозок.
2. Целевая функция транспортной задачи.
3. Полная математическая постановка транспортной задачи.
4. Условие разрешимости транспортной задачи.
5. Метод северо-западного угла.
6. Метод наименьшей стоимости.
7. Вырождение опорного плана поставок.
8. Преодоление вырождения опорного плана и зацикливания.
9. Критерий оптимальности в транспортной задаче.
10. Проверка опорного плана на оптимальность.
11. Потенциалы строк и столбцов.
12. Алгоритм метода потенциалов.
13. Схема перемещения перевозки в незаполненную клетку.
14. Циклы в транспортной задаче и их различные конфигурации.
15. Алгоритм нахождения оптимального плана перевозок транспортной задачи.
Практические задания:
На трёх базах А1, А2 , А3 находится однородный груз в количестве а1 т., а2 т., а3 т.
Этот груз необходимо развести пяти потребителям B1, B2, B3, B4, B5, потребности которых в данном грузе составляют b1 т., b2 т., b3 т., b4 т., b5 т. соответственно. Требуется спланировать первоначальные планы перевозок xij двумя способами и улучшить их так, чтобы общая стоимость
транспортных расходов была минимальной.
Задание 1.
а1 = 200 т;
а2 = 250 т;
а3 = 250 т;
b1 = 80 т;
b2 = 260 т;
b3 = 100 т;
b4 = 140 т;
b5 = 120 т;
7 9 15 4 18
cij 13 25 8 15 5
5 11 6 20 12
b1 = 60 т;
b2 = 140 т;
b3 = 100 т;
b4 = 80 т;
b5 = 120 т;
19 8 14 5 9
cij 6 10 5 25 11
7 13 8 12 14
Задание 2.
а1 = 150 т;
а2 = 200 т;
а3 = 150 т;
Семинар 1. Задача о назначениях (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Математическая модель задачи о назначениях.
2. Лемма об оптимальности.
3. Эквивалентные преобразования.
4. Алгоритм решения задачи на минимум.
5. Алгоритм решения задачи на минимум.
Практические задания:
I. Решить задачу о назначениях на максимум.
1.
14
11
14
2
14
3
2.
6 6 10 7 8
3 6 2 6 14
9 11 13 4 15
5 7 15 7 6
4 1 1 12 13
8 15 1 15 3
11
6
7
2
8
4
9 9 8 10 4
14 10 6 9 8
13 13 4 11 14
3 9 10 2 9
14 10 11 12 5
15 2 4 1 4
3.
3
5
8
6
14
12
4.
2
7
4
2
10
12
13
11
11
4
7
12
11
6
6
7
13
4
1
12
9
7
11
3
7
15
10
5
12
13
6
12
6
9
12
7
3
2
5
4
8
7
2
11
15
11
2
3
3
2
13
1
8
6
14
4
3
14
11
2
8
12
2
12
9
13
Ответы
1. L = 79. Назначения: x26 = 1; x32 = 1; x44 = 1; x63 = 1; x11= 1; x55 = 1.
2. L = 72. Назначения: x11= 1; x36 = 1; x44 = 1; x55 = 1; x62 = 1; x23 = 1.
3. L = 70. Назначения: x26 = 1; x51 = 1; x62 = 1; x13 = 1; x35 = 1; x44 = 1.
4. L = 71. Назначения: x15 = 1; x21 = 1; x34 = 1; x52 = 1; x66 = 1; x43 = 1.
II. Решить задачу о назначениях на минимум.
1 5 4 10 10 11
2 12 6 12 9 11
5 2 13 14 7 1
1.
14 7 14 14 2 1
1 9 8 8 4 2
1 11 2 4 6 2
7 4 1 14 6 8
5 3 6 14 3 13
8 5 1 9 14 14
2.
2 15 2 11 10 8
6 10 2 8 12 11
5 7 5 3 13 8
8 12 14 6 10 3
14 7 5 11 14 13
10 7 14 9 13 8
3.
14 13 3 15 9 11
12 6 5 9 12 5
10 11 14 12 1 5
4 9 2 4
10 8 13 8
3 14 10 9
4.
3 2 12 9
11 14 1 14
9 11 15 8
11
14
13
11
12
9
4
7
8
1
3
10
Ответы
1.
2.
3.
4.
L = 16. Назначения: x21 = 1; x32 = 1; x45 = 1; x56 = 1; x64 = 1; x13 = 1.
L = 23. Назначения: x16 = 1; x25 = 1; x41 = 1; x64 = 1; x32 = 1; x53 = 1.
L = 32. Назначения: x31 = 1; x43 = 1; x65 = 1; x14 = 1; x22 = 1; x56 = 1.
L = 26. Назначения: x31 = 1; x53 = 1; x65 = 1; x22 = 1; x46 = 1; x14 = 1.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 2-3-4. Целочисленное программирование. Задача дробно – линейного программирования.
Многокритериальные задачи оптимизации (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Метод Гомори решения задачи решения задачи целочисленного программирования.
2. Математическая модель задачи дробно-линейного программирования. Сведение к задаче
линейного программирования.
3. Решение задач многокритериальной оптимизации с заданным уровнем притязаний по одному из
критериев.
Практические задания:
I. Методом Гомори решить задачу линейного целочисленного программирования.
1. F 8x1 6x2 max
2. F x1 4x2 max
3x1 5x2 11,
4x1 x2 8;
2x1 4x2 7,
10 x1 3x2 15;
x1 , x2 0; x1 , x2 Z.
x1 , x2 0; x1 , x2 Z.
3. F 8x1 6 x2 max ;
4. F x1 x2 max
6x1 5x2 20,
2x1 3x2 10;
2x1 5x2 12,
4x1 x2 10;
x1 , x2 0; x1 , x2 Z.
x1 , x2 0; x1 , x2 Z.
II. Решить задачу дробно-линейного программирования.
1. Z
0,012 x1 0,008 x2
max
0,01x1 0,04x2 1
1,8x1 0,2 x2 20,
2,55 x1 1,2 x2 45;
xj 0
S1
S2
S3
Удельные
затраты
Прибыль
2. Z
2 x1 3 x2
max
x1 x2
x1 4 x2 12,
4 x1 x2 12;
( j 1, 2).
xj 0
P1
1,1
0,4
3,5
P2
2,2
1,8
0
0,03
0,06
0,024
0,06
Запасы
90
60
150
Условнопостоянные
затраты 3
3. Z
( j 1, 2).
0,024 x1 0,06 x2
max
0,03 x1 0,06x2 3
1,1x1 2,2 x2 90,
0,4 x1 1,8 x2 60,
Ответ:
3,5 x 150;
1
xj 0
( j 1, 2).
y1 y2 5,
Z max 0,42 42%,
300
27,27
x1 x2
11
S1
S2
Уд. затр.
Прибыль
P1
2
0,2
0,06
0,04
P2
0
3,4
0,02
0,02
Запасы
100
160
Усл. пост.
затраты 2
S1
S2
Уд. затр.
Прибыль
P1
0,2
4,4
0,02
0,01
P2
1,8
0,6
0,08
0,001
Запасы
80
60
Усл. Пост.
затраты 2
0,04 x1 0,02 x2
max
0,06 x1 0,02x2 2
y1 8,5; y2 7,5
Z 0,49 49%,
2x1 100,
max
0,2 x1 3,4 x2 160, Ответ: x1 50
x j 0 ( j 1, 2).
x 750 44,12
2 17
4. Z
Z max 0,06 6%,
v 0,44
5.
x1 3,6
x2 0
6. Для производства двух изделий A и B предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на данном типе оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.
Оборудование 1-го и 3-го типов предприятие может использовать не менее 24 и 16 ч соответственно, оборудование 2-го типа – не более 5 ч.
Определить, сколько изделий следует изготовить предприятию, чтобы средняя
себестоимость одного изделия была минимальной.
Затраты времени на обработку одного изделия, ч
Тип оборудования
А
В
1
8
3
2
1
1
3
2
8
Затраты на производство
одного изделия, тыс. р.
4
2
Многокритериальные задачи оптимизации.
S1
S2
S3
Цена единицы
продукции
P1
1
1
3
P2
2
1
1
17
12
Запасы
20
15
39
Стоимость единицы ресурса
1
1
4
Составить план производства, который определяет максимальную выручку от реализации
продукции и одновременно обеспечивает максимальную прибыль.
Экономико-математическая модель задачи:
F 17x1 12x2 max
x1 2x2 20,
x1 x2 15,
3 x x 39;
2
1
x1 , x2 0.
,
W 3x1 5x2 max
Определить максимум целевой функции F при условии притязаний по второму критерию
не менее 50% от его максимума на области допустимых решений.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 5. Задача коммивояжера (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Математическая модель задачи коммивояжера.
2. Алгоритм решения. Метод ветвей и границ.
3. Дерево вариантов. Склейка циклов.
Практические задания:
ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЕРА.
Задана матрица расстояний между городами. Найти кратчайший способ циклического
объезда всех городов и длину кратчайшего пути.
Задача_1.
X
6
5
4
4
X
7
2
5
7
X
3
3
2
8
X
Задача_2.
X
1
5
8
2
3
X
1
4
3
2
7
X
3
7
4
10
2
X
4
3
8
4
4
X
80
40
100
Задача_3.
X
90
60
50
10
20
X
30
70
40
40
X
20
50
50
60
X
20
70
20
50
X
Задача_4.
Испекла бабка колобок и поставила его остывать на окошко. И решил колобок, что пока он
остывает, он вполне может обежать лес, посмотреть на лесных жителей и снова вернуться к деду и
бабке. Сказано - сделано. Спрыгнул колобок из окошка и покатился в лес. Помогите колобку
найти кратчайший маршрут его движения по лесу, если расстояния между норами лесных жителей, а также домом деда и бабки даны в таблице.
Дед и бабка
Заяц
Волк
Медведь
Лиса
X
6
4
5
2
6
X
3
3,5
4,5
4
3
X
5,5
5
5
3,5
5,5
X
2
2
4,5
5
2
X
Дед и бабка
Заяц
Волк
Медведь
Лиса
Задача_5.
X
8
2
7
7
1
15
X
4
5
9
3
2
14
X
13
4
2
6
4
13
X
6
8
2
1
4
5
X
15
18
13
7
10
3
X
Ответ: Склейка циклов 1 3 6 5 1 и 2 4 2 . Кратчайший цикл:
1 3 6 5 2 4 1. Длина 19.
Задача_6.
16
2
7
14
11
15
9
3
17
17
10
3
14
7
1
20
1
20
18
6
19
5
20
15
6
16
16
8
16
4
Ответ: Склейка циклов 2 6 5 4 2 и 1 3 1. Кратчайший цикл:
1 4 2 5 6 3 1. Длина 33.
Задача_7.
M
3
53
M
69
3
0
0
6
13
9
0
Ответ: Длина 67.
2
66
M
8
0
74
1
20
0
M
97
9
0
M
1
1
M
61
55
71
0
6
11
M
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
V семестр
ЛЕКЦИИ
Лекция 5-6. Элементы теории графов. Задача о кратчайшем пути в графе (4ч).
Определение графа. Способы задания графа. Характеристики графа. Вершины, ребра, дуги.
Путь и цикл в графе. Связность графа, деревья. Ориентированные графы. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Решение задачи о кратчайшем пути в графе. Алгоритм расстановки меток.
Основные понятия: граф, вершина, ребро, дуга, маршрут, цепь, простая цепь, цикл, простой цикл, путь, контур, простой контур, дерево, лес, кратчайший путь, расстановка меток.
Лекция 7. Сетевое планирование и управление. Сетевые модели (2ч).
Назначение и области применения сетевого планирования и управления. Назначение, характеристика и структура СПУ. Сетевая модель. Построение сетевого графика. Критический путь.
Оптимизация сетевых моделей.
Основные понятия: сетевая модель, работа, событие, путь, сетевой график, критический путь, резерв времени.
Лекция 8. Элементы теории игр. Предмет теории игр. Основные понятия и определения.
Элементы теории игр в задачах моделирования экономических ситуаций (2ч).
Теория игр как математическая теория конфликтных ситуаций. Историческая справка. Основные понятия. Терминология. Антагонистическая игра или игра с нулевой суммой. Личный и
случайный ходы. Стратегия игрока. Чистые и смешанные стратегии. Цель теории игр. Решение
игры. Платежная матрица.
Основные понятия: игра, стратегии, ход, цена игры, решение игры.
Лекция 9. Вполне определенные игры. Нижняя и верхняя цены игры. Принцип «Минимакса». Элементарные методы решения игр 2 2, 2 n, m 2 . Геометрическая интерпретация.
Приведение матричной игры к задаче линейного программирования (2 ч).
Нижняя и верхняя цены игры. Принцип «минимакса». Игра с седловой точкой. Чистая цена
игры. Решение игры в чистых стратегиях. Смешанные стратегии. Теоретические основы решения
задач в смешанных стратегиях. Теоремы Неймана. Алгоритмы решения игр 2 2, 2 n, m 2 .
Геометрическая иллюстрация. Моделирование и разрешение игры m n как задачи линейного
программирования.
Основные понятия: минимакс, нижняя и верхняя цена игры седловая точка, чистые и
смешанные стратегии.
Лекция 10. Принятие решений в условиях неопределенности. Игры с природой (2 ч).
Принципы математического моделирования. Постановка задачи. Матрицы последствий и
рисков. Принятие решений в условиях полной неопределенности. Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Правило Сэвиджа (правило минимального риска). Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Правило
минимизации среднего ожидаемого риска. Байесовский подход к принятию решений.
Основные понятия: математическая модель, спецификация, параметризация, верификация, стратегия принятия решений.
Лекция 11-12. Производственные функции. Предельный анализ экономических процессов
(4 ч).
Производственные функции. Функция Кобба – Дугласа. Предельные показатели. Эластичность (относительная производная). Золотое правило экономики. Задача оптимизации выбора потребителя. Законы Госсена. Кривая безразличия.
Основные понятия: производственная функция, ценовая эластичность, бюджетное ограничение, предельная полезность, кривая безразличия.
Лекция 13. Линейные балансовые модели в экономике. Модель Леонтьева (2 ч).
Основная задача межотраслевого баланса. Матричная модель Леонтьева межотраслевого
баланса. Структура и содержание таблицы межотраслевого баланса. Показатели использования
ресурсов.
Основные понятия: линейная балансовая модель, коэффициенты прямых, косвенных и
полных затрат, конечный продукт.
Лекция 14. Динамические модели в экономике (2 ч).
Модели Эванса и Солоу. Параметра модели Солоу. Стационарные траектории в модели Со-
лоу. «Золотое правило» экономического роста.
Основные понятия: модель Эванса, модель Солоу.
Лекция 15. Аналитическая геометрия. Элементы векторной алгебры (2 ч).
Вектор. Длина вектора. Нулевой вектор. Единичный вектор. Коллинеарные векторы. Равные векторы. Компланарные векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на
ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
Действия над векторами, заданными проекциями. Скалярное произведение. Свойства скалярного
произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Ортогональные векторы.
Векторное произведение. Свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты. Условие коллинеарности векторов. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл. Свойства смешанного
произведения. Выражение смешанного произведения через координаты. Установление компланарности векторов. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды.
Основные понятия: вектор, декартова система координат, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение, проекция, модуль.
Лекция 16. Прямая на плоскости (2 ч).
Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках». Нормальный и направляющий векторы прямой. Угол
между прямыми. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
Основные понятия: прямая, направляющий вектор, угловой коэффициент, нормаль, коллинеарность, ортогональность.
Лекция 17. Кривые второго порядка (2 ч).
Уравнение второго порядка в декартовой системе координат. Замечательные кривые второго порядка на плоскости. Канонические уравнения. Геометрические характеристики.
Основные понятия: окружность, радиус, центр, эллипс, фокус, большая ось, малая ось,
эксцентриситет, гипербола, асимптота, парабола, директриса.
Лекция 18. Прямая и плоскость в пространстве (2 ч).
Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение плоскости проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости проходящей через три точки. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через
две заданные точки. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Основные понятия: плоскость, нормаль плоскости, двугранный угол.
Планы семинарских занятий (V – семестр)
Семинар 6-7. Элементы теории графов. Задача о кратчайшем пути в графе (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Определение графа. Способы задания графа. Матрица смежности. Матрица инцидентности.
2. Характеристики графа. Путь и цикл в графе. Связность графа, деревья. Изображение графа.
3. Математическая модель задачи о кратчайшем пути в графе.
4. Алгоритм решения (алгоритм расстановки меток).
Практические задания:
I. По заданной матрице смежности нарисовать граф и найти матрицу инцидентности.
0
1
0
1
0
0
1) A 1 0 1 2) A
0
1 0 0
0
0
1 0 0 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 1 0
.
1 0 0 1 0
1 1 1 0 1
0 0 0 1 1
II. По заданной матрице инцидентности нарисовать ориентированный граф и найти матрицу
смежности.
1 0 0 1 0
1 1 0 0 1
B
.
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
III. Задан граф с 20 вершинами, расположенными в виде прямоугольника 4×5 и изображенными
кружочками. Каждая вершина соединена с соседями справа, слева, снизу, сверху неориентированными ребрами. Длины ребер указаны числами, находящимися между вершинами. Найти длины
кратчайших путей из левой верхней вершины в каждую вершину графа.
ОТВЕТЫ
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 8-9. Сетевое планирование и управление. Сетевые модели (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Граф. Сетевая модель. Сетевой график.
2. Основные элементы сетевого графика.
3. Обязательные требования при построении сетевых графиков.
4. Критерий оптимальности сетевой модели. Критический путь.
5. Оптимизация комплекса работ по критерию времени.
Практические задания:
Задача_1.
Предположим, что при составлении плана подготовки выставки товаров выделено шесть
различных работ. Для каждой работы определены предшествующие и завершающие события, указана предполагаемая продолжительность каждой работы. Вся информация предложена в таблице.
№
п/п
Содержание работ
Длительность
работ (дней)
Опорные работы
1.
Подбор кадров
6
—
2.
Заказ товаров
5
—
3.
Ремонт помещения
8
—
4.
Размещение товаров
12
2
5.
Обучение кадров
9
1
6.
Оформление торг. зала
4
3, 4, 5
Требуется:
1. Построить первоначальный сетевой график.
2. Определить ранние сроки начала и окончания работ.
3. Определить самые поздние сроки начала и окончания каждой работы.
4. Определить полные резервы времени.
5. Найти критический путь и критические работы.
Задача_2.
По предложенной таблице, описывающей сетевую модель,
Коды работ
Длительность (дни)
1–2
7
2–3
1
3–8
4
1–4
8
4–6
8
4–7
9
6–7
5
7–8
3
1–5
4
Требуется:
1. Построить первоначальный сетевой график.
2. Определить ранние сроки начала и окончания работ.
3. Определить самые поздние сроки начала и окончания каждой работы.
4. Определить полные резервы времени.
5. Найти критический путь и критические работы.
Задача_3.
5–8
12
2–4
0
5–6
0
Код работы
0–1
0–2
1–3
2–3
2–4
3–5
4–5
3–6
4–6
5–6
Продолжительность
2
3
2
3
2
3
7
2
5
6
Требуется:
1. Построить первоначальный сетевой график.
2. Определить ранние сроки начала и окончания работ.
3. Определить самые поздние сроки начала и окончания каждой работы.
4. Определить полные резервы времени.
5. Найти критический путь и критические работы.
Задача_4.
По предложенной таблице, описывающей сетевую модель,
№ работы
Предшествующие работы
Длительность
1
2
3
4
5
6
—
—
1, 2
2
3
4
4
6
7
3
4
5
Требуется:
1. Построить первоначальный сетевой график.
2. Определить ранние сроки начала и окончания работ.
3. Определить самые поздние сроки начала и окончания каждой работы.
4. Определить полные резервы времени.
5. Найти критический путь и критические работы.
Задача_5.
Предположим, что при составлении плана подготовки выставки товаров выделено
шесть различных работ. Для каждой работы определены предшествующие и завершающие события, указана предполагаемая продолжительность каждой работы и приведены коэффициенты пересчёта ресурсов (таблица).
Таблица
№
Наименование работ
п/п
Обозна-
Опорные
Длитель-
Коэффициент
чение ра-
работы aj
ность работ
пересчета ре-
ti (дней)
сурсов ci
боты ai
1.
Подбор кадров
a1
-
t1 = 6
c1 = 0,1
2.
Заказ товаров
a2
-
t2 = 5
c2 = 0,2
3.
Ремонт помещения
a3
-
t3 = 8
c3 = 0,3
4.
Размещение товаров
a4
a2
t4 = 12
c4 = 0,4
5.
Обучение кадров
a5
a1
t5 = 9
c5 = 0,5
6.
Оформление торг. зала
a6
a 3, a4
t6 = 4
c6 = 0,6
Требуется:
1. Построить первоначальный сетевой график.
2. Провести оптимизацию всего комплекса работ по критерию времени.
3. На каждом этапе отразить результат в виде промежуточного сетевого графика в масштабе времени.
4. Построить оптимальный сетевой график.
5. Определить экономию времени в результате перераспределения ресурсов.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 10-11-12. Теория игр (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Теория игр как математическая теория конфликтных ситуаций. Основные понятия.
2. Нижняя и верхняя цены игры. Принцип «минимакса». Игра с седловой точкой. Чистая цена
игры. Решение игры в чистых стратегиях.
3. Смешанные стратегии. Теоретические основы решения задач в смешанных стратегиях. Теоремы
Неймана.
4. Алгоритмы решения игр 2 2, 2 n, m 2 . Геометрическая интепретация.
5. Моделирование и разрешение игры m n как задачи линейного программирования.
Практические задания:
Задача № 1. (Чистые стратегии). Для следующих матриц найти оптимальные стратегии игроков,
седловую точку и оптимальное решение игры:
5
1
а)
4
3
7 11 6 8
4 0 3 2
8 9 2 3
6 5 4 6
2 0
5 1
б)
9 2
3 3
3 1 4
4 3 7
6 8 2
5 2 0
5
3
с)
3
4
1 3 1 4
2 4 5 7
.
0 1 7 1
1 9 6 8
Задача № 2. (Доминирование). Используя принцип доминирования, свести исходную матрицу
игры к матрице меньшей размерности:
3 2 4 5
б) 0
1 2 3
5 4 8 6
2 0 5 1
а) 1 4 3 1
4 2 7 3
5 7 0 6
с) 0 4 1 3 .
1 8 2 5
Задача № 3. (Смешанные стратегии). Для платежной матрицы найти оптимальные стратегии игроков и значение игры:
2 1 6 2
б) 1
0 1 5
1 2 3 4
5 4 7 3
а) 0 3 2 1
3 7 5 4
5 4 7 3
с) 0 3 2 1 .
3 7 5 4
Задача № 4. (Симметрические игры). Найти оптимальные стратегии игроков для игры, заданной
кососимметрической матрицей:
0 1 2
а) 1
0 1
2 1 0
0 2 3
б) 2
0 1
3 1
0
0 2 1
с) 2
0 3 .
1 3
0
Задача № 5. Найти оптимальные стратегии игроков и значение игры, заданной матрицами:
2 3 11
а) 7 5 2
6
б) 4
2
1
5
6 .
7
8
Задача №6. Найти решение игры, сведением к задаче линейного программирования.
0 1 1
а) A 0 1 0
1 0 1
4 5 3
6 7 4 .
B
б)
5 2 3
Задача №7. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов ( A1 , A2 , A3 ) ; их
реализация и прибыль магазина зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагается, что
спрос может иметь три состояния ( B1 , B2 , B3 ) и не прогнозируется. Определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия максимизации средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибыли:
Тип
товара
A1
A2
A3
Спрос
B1 B2 B3
20
16
13
15
12
18
10
14
15
Найти решение игры, заданной матрицей:
2 3
1.
3 4
1,5 3
2.
2 1
50 20
5.
30 40
0,75 0,35
6.
0,6 0,8
3 1 5
9.
1 6 0
4
2
10.
0
1
2 10 3 14 5
13 . 8 9 5 6 7
10 8 4 8 12
2 2 3 4
14.
4 3 2 2
*
3
4
5
6
4
3.
3
7
5
7.
5
2
2
1
6
4
6
3
5
3
6
3
1 3
4.
2 1
4
2
3
2
2
3
5
4
2 3 1 4
8.
4 2 3 1
12 2
10 7
11.
7 9
1 11
4 8 12 6
12.
9 6 5 10
4 6 0
15.
3 0 7
5 2
16.
1 3
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 13. Игры с природой (2 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Принципы математического моделирования. Постановка задачи. Матрицы последствий и рисков. Принятие решений в условиях полной неопределенности.
2. Правило Вальда (правило крайнего пессимизма).
3. Правило Сэвиджа (правило минимального риска).
4. Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации).
5. Принятие решений в условиях частичной неопределенности. Правило максимизации среднего
ожидаемого дохода. Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Байесовский подход к
принятию решений.
Практические задания:
I. Возможно строительство четырех типов электростанций: А1(тепловых), А2(приплотинных), А3
(бесшлюзовых), А4 (шлюзовых). Состояния природы обозначим Р1, Р2, Р3, Р4. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состоя-
5
2
ния природы и задана матрицей:
8
1
2
3
5
4
8 4
4 12
. Используя критерии принятия решений в усло3 10
2 8
виях неопределенности, дать рекомендацию относительно выбора типа электростанции.
II.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 14-15-16. Производственные функции. Предельный анализ экономических процессов. Функция полезности (6 часов).
Рассматриваемые вопросы:
1. Производственные функции. Функция Кобба – Дугласа.
2. Свойства и основные характеристики производственных функций. Линии уровня (изокванты)
производственных функций. Средняя производительность труда. Средняя фондоотдача. Сред-
няя фондовооруженность.
3. Использование производственных функций в задачах экономического анализа, прогнозирования
и планирования.
4. Предельные показатели. Эластичность (относительная производная). Предельная производительность. Предельная норма замещения ресурсов. Эластичность производства. Ценовая эластичность.
5. Золотое правило экономики. Теория одноресурсной фирмы. Многоресурсные функции.
6. Задача оптимизации выбора потребителя. Законы Госсена. Кривая безразличия.
Практические задания:
Производственные функции.
0. Объем добычи щебня y(т/ч) зависит от количества вложенного труда x(чел./час):
y 6 x . Цена щебня 40 руб./т, зарплата рабочего 30 руб./ч. Кроме зарплаты, другие издержки не учитываются. Найдите оптимальное количество вложенного труда (рабочих).
Решение: x=16.
1. Производственная функция описывается функцией Кобба-Дугласа f x, y 1500 x 5 y 5 , где
x - затраты капитала, y - затраты труда. Рассчитать предельную и среднюю фондоотдачу;
предельную и среднюю производительность труда при x = 243, y = 32.
2
3
2. Фирма работает в условиях совершенной конкуренции: выпускает один вид продукции, используя при этом два вида ресурсов. Производственная функция равна f ( x, y ) 80 xy , цена
реализации продукции - 120 д.е., ресурсы приобретаются по ценам p1 20 д.е., p2 15 д.е.
соответственно. Решить задачу фирмы максимизации прибыли.
3. В небольшой теплице ежедневно снимаемый урожай огурцов y кг зависит от числа работников x: y 4 x 4ln( x ) . Найдите оптимальное число работников, если дневная зарплата
работника равна цене 2 кг огурцов.
4. Несколько семей рыбаков сообща владеют небольшим рыболовецким судном. Объем добычи рыбы y (кг/день) зависит от количества рыбаков x на судне: y 100 x . Цена одного
кг рыбы 8000 руб., зарплата рыбака p=100000 (руб./день). Найти оптимальный размер бригады рыбаков. Решение: x=16.
5. Для функций: z x 2 y 1 , z( x, y ) ( y 1) x2 , z( x, y ) xy y 2 :
2
a) построить линии уровня при C=0 и C=1;
б) найти частные производные до второго порядка включительно в точке (1;1);
в) найти градиент в точке (2;3);
г) найти дифференциал в общем виде и в точке (3;5);
д) найти производную в точке (0;0) по направлению вектора l 1;4 ;
е) найти направление и величину максимальной скорости роста функций в точке (1;1).
6. Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа. Чтобы увеличить выпуск
продукции на 3%, необходимо увеличить фонды на 6% или численность рабочих на 9%. В
настоящее время один работник за месяц производит продукции на 1 млн. руб., а всего работников 1000. Основные фонды оцениваются в 10 млрд. рублей. Запишите производственную функцию и найдите предельную производительность труда, предельную фондо-
отдачу, среднюю
1
1
( Y 1000 K 2 L3 )
фондовооруженность,
эластичности
по
обоим
ресурсам.
7. Завод за месяц производит продукции на 10 млн. руб. Его основные фонды также составляют 10 млн. руб. Подсчитано, что для увеличения выпуска на 1 млн. руб. необходимо приобрести оборудования на 3 млн. руб. Найти производственную функцию Кобба – Дугласа,
1
2
для которой 1 и численность рабочих 1000 человек. ( Y 0,05 K 3 L3 )
8. Основные фонды фермерского хозяйства составляют 10 млн. руб. Количество работников
равно 10. Когда пригласили еще одного работника, то доход вырос на 8% и составил 13
1
4
млн. руб. Найти функцию Кобба – Дугласа, для которой 1 . ( Y 1,2 K 5 L5 )
9. Фирма производит в месяц продукции на 3 тыс. д.е. на 10 станках. Для увеличения прибыли на 500 д.е. необходимо приобрести еще 2 станка. Численность рабочих 5 человек. Составить функцию Кобба – Дугласа при условии 1 .
10. Дана производственная функция Y 3,2 K 0,4 L0,6 . Произошло изменение производственных ресурсов: стоимость основных фондов возросла на 2%, а трудовые ресурсы в результате сокращения снизились на 3%. На сколько при этом изменился объем производимой продукции. (ответ обосновать).
1
2
11. Процесс производства описывается с помощью функции выпуска Y 0,05 K 3 L3 , (К=400,
L=200). Предполагается увеличить производственные фонды до 260. Сколько при этом высвободится трудовых ресурсов.
12. Производственная функция (в денежном выражении) имеет вид Y 30 K 3 L . Стоимость
единицы первого ресурса – 5, второго – 10 ден. ед. Найти максимальную прибыль при использовании ресурсов.
13. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск
продукции на 1 %, надо увеличить основные фонды на 4 % или численность работников на
3 %. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на 100000 руб., а
всего работников L = 10000 . Основные фонды оцениваются в К = 106 руб. Найдите производственную функцию, среднюю фондоотдачу, среднюю производительность труда, фондовооруженность.
14. Группа «челноков» в количестве Е решила объединиться с N продавцами. Прибыль от дня
1
работы (выручка минус расходы, но не зарплата) выражается формулой Y 600( E N ) 3 .
Зарплата «челнока» 120 руб. в день, продавца - 80 руб. в день. Найдите оптимальный состав
группы из «челноков» и продавцов, т. е. сколько должно быть «челноков» и сколько продавцов. Решение: Е≈7, N≈10.
15. Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие. Ознакомившись со
статистикой, он увидел, что примерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа рабочих N выражается формулой Y = 900А½N¼. Амортизационные и другие
ежедневные расходы на одну машину равны 400 руб., ежедневная зарплата рабочего 100
руб. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин.
16. Бизнесмен задумал открыть пивной бар. Предположим, что зависимость выручки Y (за вычетом стоимости пива и закусок) от числа столиков М и числа официантов F выражается
2
1
формулой Y 200 M 3 F 4 . Расходы на один столик составляют 50 руб., зарплата официанта
- 100 руб. Найдите оптимальный размер бара, т. е. число официантов и столиков.
Дополнительные задачи.
17. Заданы функции спроса q( p) 10 p и предложения s( p) 3 p 6 . Найти: а) равновесную
цену; б) эластичность спроса для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении
равновесной цены на 5%.
p 8
и предложения s ( p ) p 0,5 . Найти: а) равновесную
p2
цену; б) эластичность спроса для равновесной цены; в) изменение дохода при изменении
равновесной цены на 10%.
18. Заданы функции спроса q ( p )
19. Заданы функции спроса q( p) 7 p и предложения s ( p) p 1 . Найти: а) равновесную
цену; б) эластичность спроса и предложения для равновесной цены; в) изменение дохода
при увеличении равновесной цены на 5%.
20. Известна функция спроса d ( p) 5 0,5 p . Проанализировать спрос при p 2;5;9 . Определить при какой цене выручка оптимальна.
21. Предприятие производит x единиц продукции в месяц и реализует ее по цене
1
1
p 25 x . Суммарные издержки производства составляют K x 2 5 x 300 . Опреде30
15
лить, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной.
Функции полезности.
1. Дана функция полезности u( x1 , x2 ) x1 x2 :
a. Построить несколько кривых безразличия;
b. Найти предельные полезности в точке (1;1); проверить положительность предельных полезностей и выполнение I – закона Госсена (убывание предельных полезностей);
c. Найти эластичность по товарам в точке (2;3);
d. Найти точку спроса при доходе 40 и ценах (4;1).
2. Дана функция полезности u( x1 , x2 ) 3 3 x1 3 x22 :
a. Найти предельные полезности в точке (1;1); проверить положительность предельных полезностей и выполнение I – закона Госсена (убывание предельных полезностей);
b. Найти эластичность по товарам в точке (2;2);
c. Найти точку спроса при доходе 50 и ценах (2;3).
3. Функция полезности потребителя задана уравнением U X 2Y . Общий доход, которым
располагает потребитель, равен 240 у.е. Цена товара Х: Рх=4 у.е.; цена товара Y: Ру= 8 у.е.
Найти точку спроса. Решение: Х=40, Y=10, U=16000 ютилей.
4. Функция полезности потребителя задана уравнением U 2 X 5Y . Общий доход, которым
располагает потребитель, равен 1 000 у.е. Цена товара Х: Рх=10 у.е.; цена товара Y: Ру=20
у.е. Найти точку спроса. Решение: Х=0, Y=50, U=250 ютилей.
5. Функция полезности потребителя задана уравнением U min 2 x, y . Построить кривую
безразличия при U=4. Общий доход, которым располагает потребитель, равен 1 000 у.е.
Цена товара Х: Рх=20 у.е.; цена товара Y: Ру=10 у.е. Найти точку спроса. Решение: Х=25,
Y=50, U=50 ютилей.
6. Функция полезности потребителя задана уравнением U X 0,5 Y . Общий доход, которым
располагает потребитель, равен 1000 у.е. Цена товара Х: Рх=5 у.е.; цена товара Y: Ру=20 у.е.
Найти точку спроса. Решение: Х=4, Y=49, U=51 ютилей.
7. Потребитель выделил на приобретение двух товаров 3300 д.е. Цена первого товара 15 д.е.,
второго - 22 д.е. Функция полезности потребителя: U(x,y) = 60x + 90y. Решить задачу потребителя.
8. Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х - 20
рублей, а товара Y - 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить
уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум
потребителя. Представить графически. Решение: Х=15, Y=30, U=450 ютилей.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 17-18. Линейные балансовые модели в экономике. Модель Леонтьева. Динамические модели в экономике (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Линейные модели в экономике. Балансовый анализ.
2. Модель Леонтьева. Основная задача межотраслевого баланса.
3. Коэффициенты прямых затрат. Матрица полных затрат.
4. Динамические модели в экономике. Модель Эванса установления равновесной цены на рынке
одного товара.
5. Модель Солоу. Динамическая односекторная модель экономического роста – «базовая модель
Солоу».
Практические задания:
I. Завершить составление баланса, располагая следующими данными об экономической
системе, состоящей из трех экономических объектов (P1 – промышленность, P2 – сельское хозяйство, P3 – транспорт).
Задача_1
Отрасли
P1
P2
P3
P1
20
10
0
30
270
300
V
X
P1
P2
V
X
P1
P2
V
X
P1
P2
V
X
P1
P2
V
X
P2
50
0
60
110
390
500
Задача_2
P1
P2
160
0
40
140
Y
140
Y
P1
P2
V
X
X
P1
P2
V
X
47
45
Задача_4
P1
P2
12
6
18
Y
X
50
29
40
Задача_5
P1 P2
19 31
42
0
99
Y
58
X
200
450
240
100
50
160
310
X
300
Задача_3
P1
P2
15 25
0
33
P3
30
40
100
170
230
400
P1
P2
P3
V
X
X
P1
P2
P3
V
X
Задача_6
P1 P2
12
0
19
Y
15
Y
300
500
400
X
10
30
Задача_7
P1 P2
10 21
19
23
X
47
Задача_7
P1
P2
20
70
40
160
300
Y
15
210
Задача_8
P1
P2
15
19
0
82
18
P3
50
100
210
190
X
240
150
P3
45
Y
150
100
245
82
Y
X
200
200
II. Используя отчетный баланс: 1) найти aij; 2) построить систему балансовых уравнений
в двух формах; 3) по вектору Y найти вектор X; 4) найти вектор Y, если дан X; 5) определить матрицы коэффициентов полных и косвенных затрат; 6) построить новые балансовые таблицы.
P1
P2
Задача_1
P1 P2 Y X
5 12 17 23 40
6 12 18 32 50
P1
P2
Задача_2
P1 P2
Y
X
160 0 160 140 300
40 40 80 120 200
P1
P2
Задача_3
P1 P2 Y
X
19 31 50 110 160
42 0 42 58 100
10
50
Y , X
20
100
50
200
Y , X
100
50
100
100
, X
Y
60
150
IIIa. По данному вектору объемов производства X найти вектор-столбец конечной продукции Y.
0,4 0
100
, X
.
A
0,1 0,5
50
IIIb. По известному вектору конечной продукции Y найти вектор объемов производства X.
0,4 0
60
, Y
A
0,1 0,5
15
IV. Завершите заполнение отчетного баланса «затраты-выпуск». По известному вектору конечной
продукции найдите вектор объемов производства и составить новую балансовую таблицу
Задача_1
P1 P2 Y X
100
Y
P1 10 40
50
50
P2 50 0
150
P1
P2
P3
Задача_2
P1 P2 P3 Y X
18 0 20
180
36 0 40 80
9 15 60
200
177,6
Y 105,2
168,05
V. Найти выражение для объема реализованной продукции y y( t ) , если известно, что кривая
спроса p( y ) 2 y , норма акселерации
1
2 , норма инвестиций m 0, 5; y(0) 0, 5.
VI. Найти функцию дохода y y( t ) , если известно, что величина потребления задается функцией
c 2t ; коэффициент капиталоемкости прироста дохода b 0, 5; y(0) 2.
107
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 19-20. Элементы векторной алгебры (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Вектор. Линейные операции над векторами.
2. Базис. Система координат. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
3. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения. Геометрический смысл
векторного произведения.
4. Смешанное произведение векторов. Свойства. Геометрический смысл.
Практические задания:
1. Найти площадь треугольника, вершинами которого являются точки: A(2;-3), B(3;2) и C(-2;5).
2. Площадь треугольника равна 10 кв. ед., две его вершины – точки A(5;1), B(-2;2). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси абсцисс.
3. Точки A(-2;1), B(2;3) и C(4;-1) – середины сторон треугольника. Найти координаты его вершин.
4. Площадь треугольника равна 3 кв. ед., две его вершины – точки A(3;1), B(1;-3). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.
5. Три вершины параллелограмма – точки A(3;7), B(2;-3) и C(-1;4). Найти длину его высоты,
опущенной из вершины В на сторону АС.
6. Прямая проходит через точки М(2;-3) и N(-6;5). Найти на этой прямой точку, ордината которой
равна –5.
108
7. Прямая проходит через точки А(7;-3) и В(23;-6). Найти точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс.
8. Написать разложение вектора
x
по векторам
p, q, r .
x 2, 4, 7 , p 0, 1, 2, q 1, 0, 1, r 1, 2, 4.
9. Коллинеарны ли векторы
c1 и c 2 , построенные по векторам a
и
b?
a 1, 2, 3 , b 3, 0, 1, c1 2a 4b, c 2 3b a.
10. Найти косинус угла между векторами
AB и AC
A 1, 2, 3 , B 0, 1, 2 , C 3, 4, 5 .
11. Даны векторы a (–4; –8; 8) и b (4; 3; 2). Найти векторное произведение, синус угла между
ними, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
12. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
13. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
14. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 3b ; 3a b , если
a b 1; a ^ b 30 0.
15. Найти (5 a + 3 b )(2 a - b ), если a 2,
b 3, ab .
16. Найти угол между векторами a и b , если a i 2 j 3k , b 6i 4 j 2k .
17. При каком m векторы a mi j и b 3i 3 j 4k перпендикулярны.
18. Найти векторное произведение векторов a 2i 5 j k и b i 2 j 3k .
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
109
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 21-22. Прямая на плоскости (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
4. Уравнение прямой в отрезках.
5. Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно известному вектору.
6. Общее уравнение прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
7. Расстояние от точки до прямой.
Практические задания:
Обязательный уровень
1.
Даны четыре точки на плоскости: A( 4; 4), B( 3; 2), C ( 2; 5), D(3; 2). Найти угол между
векторами AC и BD .
2.
.
2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (1; 2) параллельно вектору
a ( 4;3) ( 2; 0) . / 3 x 4 y 5 0 /, / y 2 / .
3.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (1; 1) перпендикулярно вектору
n ( 1;1) . x y 2 0 .
4.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 ( 2; 3) перпендикулярно оси
абсцисс. x 2 .
5.
Вычислить угол между прямыми x 2 y 1 0 и 2 x y 3 0 .
6.
Вычислить взаимное расположение следующих пар прямых:
7.
a.
6 x 15 y 7 0 и 10 x 4 y 1 0
b.
5 x 7 y 4 0 и 3x 2 y 13 0
c.
x 2 y 1 0 и 2x 4 y 1 0
.
2
.
Найти расстояние от точки M 0 ( 2; 1) до прямой 3 x 4 y 22 0 . Определить координаты
проекции точки на данную прямую. d 4 .
110
8.
Дан
ABC с вершинами A(1; 0), B( 2; 3), C (3;1). Вычислить длину перпендикуляра BD ,
5 .
опущенного из вершины B на сторону AC .
9.
Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку A( 2;1) , одна из которых
параллельна прямой 3 x 2 y 2 0 , а другая перпендикулярна этой прямой.
/ 3x 2 y 4 0 /, / 2 x 3 y 7 0 / .
10.
Найти расстояние между прямыми 3 x 4 y 24 0 и 3 x 4 y 6 0 .
11.
Даны уравнения сторон
d 6 .
ABC :
3 x 4 y 24 0 / AB /, 4 x 3 y 32 0 / BC /, 2 x y 4 0 / AC / . Составить уравнение
высоты, медианы и биссектрисы, проведенных из вершины B , и найти их длины.
/ x 2 y 8 0, 4
12.
5 /, / 2 x 11 y 16 0, 5 5 /, / x 7 y 8 0, 203 2 / .
Составить уравнение прямой, проходящей через точку A( 2; 3) : а) параллельно оси Ox ; б)
параллельно оси Oy ; с) составляющей с осью абсцисс угол 45 .
13.
y 3, x 2, y x 1 .
Составить уравнения прямых, проходящих через точку пересечения прямых
2 x 3 y 1 0 и 3 x y 2 0 параллельно и перпендикулярно прямой y x 1 .
/ x y 0 /, / x y 2 0 / .
14.
Найти длину и уравнение высоты BD в треугольнике с вершинами
A( 3; 0), B( 2; 5), C (3; 2).
15.
10 , 3 x y 11 0 .
Найти уравнение прямой, проходящей через точку A( 4; 3) и отсекающей от первого
координатного угла треугольник площадью 3 кв. ед.
16.
x
4
23y 1 .
Две стороны параллелограмма заданы уравнениями y x 2 и x 5 y 6 0 . Диагонали
его пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон
параллелограмма и его диагоналей.
/ x y 2 0 /, / x 5 y 6 0 /, / x y 0 /, / x 2 y 0 / .
Дополнительные задачи.
17.
Площадь
ABC S 8 кв. ед. Две его вершины суть точки A(1; 2), B( 2; 3) , а третья
вершина C принадлежит второй четверти и лежит на прямой 2 x y 2 0 . Определить
координаты вершины C .
18.
C (1; 4) .
Найти проекцию точки P ( 6; 4) на прямую 4 x 5 y 3 0 . Найти расстояние от точки до
прямой.
(2; 1), 41 .
111
19.
Найти точку Q , симметричную точке P ( 5;13) относительно прямой 2 x 3 y 3 0 .
(11; 11) .
20.
Даны две точки: P ( 2; 3), Q( 1; 0) . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Q перпендикулярно к отрезку PQ .
21.
x y 1 0 .
Даны вершины треугольника A(1; 1), B( 2;1), C (3; 5). Составить уравнение
перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B .
4 x y 3 0 .
22.
Через точки M1(1; 2), M2 (2;3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой
прямой с осями координат и углы, которые образует прямая с осями координат.
(7;0),(0; ) .
7
3
23.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку P (3; 5) на одинаковых расстояниях
от точек A( 7;3), B(11; 15) .
24.
x y 8 0,11x y 28 0 .
Даны вершины треугольника A(1; 2), B(5; 4), C ( 2; 0). Составить уравнения биссектрис
его внутреннего и внешнего углов при вершине A .
25.
5 x y 3 0, x 5 y 11 0 .
Дана прямая 2 x 3 y 4 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M 0 (2;1) под углом 45 к данной прямой и образующей острый угол с осью абсцисс.
x 5 y 3 0 .
26.
Через точку пересечения прямых x y 1 0 и 2 x 3 y 4 0 провести прямую
перпендикулярную прямой 3 x y 7 0 .
x 3 y 11 0 .
27.
Найти внутренние углы треугольника с вершинами: A(1;1), B( 2; 3), C (5; 1).
28.
На плоскости заданы две точки: M (3; 2), N (5; 2) . На оси абсцисс найти такую точку P ,
чтобы MNP был прямым. Записать уравнение высоты, проведенной из точки P .
29.
Составить уравнение биссектрисы угла, образованного двумя прямыми x 3 y 5 0 и
3x y 2 0 .
30.
4 x 4 y 3 0, 2 x 2 y 7 0 .
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2 x 7 y 8 0
и 3 x 2 y 5 0 под углом 45 к прямой 2 x 3 y 7 0 . Решить задачу, не вычисляя
координат точки пересечения данных прямых.
Литература:
x 5 y 13 0, 5 x y 13 0 .
112
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Семинар 23-24. Кривые второго порядка (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Окружность.
2. Эллипс.
3. Гипербола.
4. Парабола.
Практические задания:
I. ЭЛЛИПС.
1. Эллипс задан уравнением 9 x 2 25 y 2 225 . Найти полуоси эллипса, координаты фокусов и
эксцентриситет.
2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что:
А) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3;
B) большая полуось a = 6, а эксцентриситет 0,5 ;
3
С) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ;
5
D) расстояние между фокусами равно 6, а a b 9 ;
Е) расстояние между фокусами равно 2 13 , а a b 1 .
3. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс
проходит через точки M 1 (4;4 5 / 5) и M 2 (0;6) .
4. Эллипс проходит через точку M (4; 21) и имеет эксцентриситет 0,75 . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки M.
113
5. Найти длину хорды эллипса x 2 2 y 2 18 , делящей угол между осями пополам.
6. Ординаты всех точек окружности x 2 y 2 36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
7. Определить траекторию точки M, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке
F (1;0) , чем к прямой x 4 .
II. ГИПЕРБОЛА.
1. Гипербола задана уравнением 3x 2 4 y 2 12 . Найти действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.
2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:
А) расстояние между фокусами равно 10, а между вершинами 8;
B) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет
3
;
2
4
C) расстояние между фокусами равно 20, а уравнения асимптот y x ;
3
D) мнимая полуось равна 4, а расстояние между фокусами 10.
3. Гипербола проходит через точку M (6;2 2 ) и имеет мнимую полуось b =2. Написать её уравнение и найти расстояния от точки M до фокусов.
4. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса
x2 y2
1.
25 9
5. Написать уравнения касательных к гиперболе x 2 4 y 2 16 , проведенных из точки A(0;2) .
6. Определить траекторию точки M ( x; y ) , которая при своем движении остается вдвое ближе к
прямой x 1, чем к точке F (4;0) .
III. ПАРАБОЛА.
1. Парабола задана каноническим уравнением y 2 6 x . Найти координаты фокуса, уравнение директрисы.
2. Написать уравнение параболы:
А) проходящей через точки (0; 0) и (1; -3) и симметричной относительно оси абсцисс;
B) проходящей через точки (0; 0) и (2; -4) и симметричной относительно оси ординат.
3. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы и касающейся её директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности.
114
4. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ох и что точка пересечения прямых y x и x y 2 лежит на параболе.
5. Написать уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола проходит через
точки пересечения прямой x y 0 и окружности x 2 y 2 4 y 0 и симметрична относительно оси Oy.
6. На параболе y 2 6 x найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
7. Из вершины параболы y 2 2 px проведены всевозможные хорды. Написать уравнение множества середин этих хорд.
8. Написать уравнение множества точек, одинаково удаленных от точки F(0; 2) и от прямой
y 4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат.
9. Написать уравнение множества точек одинаково удаленных от начала координат и от прямой
x 4 . Найти точки пересечения этой кривой с осями координат.
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
Семинар 25-26. Прямая и плоскость в пространстве (4 часа).
Рассматриваемые вопросы:
1. Общее уравнение плоскости. Исследование общего уравнения.
2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору.
3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
4. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
5. Уравнения прямой линии в пространстве: прямая как линия пересечения плоскостей, векторное
уравнение прямой, параметрические уравнения прямой, канонические уравнения прямой,
115
уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Практические задания:
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;1) :
a. Параллельно плоскости Oxy ;
z 1 0
b. Ось Oy .
x 2z 0
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через:
a. Точку A(5; 4; 6) , перпендикулярно оси Ox ;
x 5 0
b. Параллельной оси Oz и проходящей через точки M1 (3; 1; 2) и M 2 (1; 2;5) .
3x 4 y 5 0 .
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (2;0;0) , M 2 (0; 4;0) ,
10x 5 y 4z 20 0 .
M 3 (0;0;5) .
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 2;3) и линию пересечения
плоскостей 2 x y 2 z 6 0 и 3 x 2 y z 3 0 .
14x 7 y 2z 6 0
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 3; 2) параллельно плоскости 3x 2 y 4 z 3 0 .
3x 2 y 4z 1 0
6. Найти величину острого угла между плоскостями 11x 8 y 7 z 15 0 и 4 x 10 y z 2 0 .
4
7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости x 2 y 2 z 5 0 и удаленной от
точки M (3; 4; 2) на расстояние d 5 . x 2 y 2 z 24 0, x 2 y 2 z 6 0
x y z 1 0
8. Записать каноническое уравнение прямой
.
2 x y 3z 5 0
x 2 y 1 z
1 3
4
9. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (3; 2;5) :
x 3 y 2 z 5
a. Параллельно оси Oz ;
0
1
0
x y z 1 0
x 3 y 2 z 5
b. Параллельно прямой
.
2
1
1
2 x y 4 z 3 0
10. Найти расстояние от точки M (5; 4;3) до прямой
x 2 y 3 z 1
.
1
3
2
2 10
11. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
116
12. Доказать, что расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и имеющей
направляющий вектор
, определяется формулой d ,
AB
.
13. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3 :
A1 1, 3, 6 , A2 2, 2, 1 , A3 1, 0, 1 , A4 4, 6, 3 .
14. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости, проходящей через точки M 1 , M 2 , M 3 :
M1 3, 4, 7 , M 2 1, 5, 4 , M 3 5, 2, 0 , M 0 12, 7, 1 .
15. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно вектору BC :
A1, 0, 2 , B 2, 1, 3 , C 0, 3, 2 .
16. Найти угол между плоскостями: x 3 y 5 0,
2 x y 5z 16 0.
17. Найти координаты точки A , равноудаленной от точек B и C :
A 0,
y, 0 , B 1, 6, 4 , C 5, 7, 1 .
Литература:
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
Организация самостоятельной работы студентов
№
п/п
Тема
Вопросы, выносимые на СРС
Форма
УчебноСодержание
контроля методическое обесСРС
СРС
печение
117
1 Задачи оптимизации в экономике.
Понятие многокритериальной
оптимизационной задачи. Оптимальность по Парето. Модель
обмена, цены. Ящик Эджворта.
Понятие динамического программирования. Общая постановка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
Общая схема применения метода
динамического программирования. Задача об оптимальном распределении ресурсов между отраслями на n лет. Задача определения пути наименьшей стоимости. Задача управления запасами.
3 Решение систем
Сведение системы к дифферендифференциальных циальному уравнению высшего
уравнений.
порядка. Метод интегрируемых
комбинаций. Первый интеграл
системы. Интегрирование линейных автономных систем с постоянными коэффициентами.
4 Системы массового Структура и классификация сиобслуживания.
стем массового обслуживания.
Марковский случайный процесс.
СМО с отказами. СМО с неограниченным ожиданием.
2 Модели динамического программирования.
УМ, СК
КО
ОЛ2, ОЛ8, ОЛ9
УМ, СК
КО
ОЛ2, ОЛ8, ОЛ9
УМ, СК
КО
ОЛ2, ОЛ8, ОЛ9
УМ, СК
КО
ОЛ2, ОЛ8, ОЛ9
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. Задача о назначениях. Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях.
2. Целочисленное программирование. Задача дробно – линейного программирования. Многокритериальные задачи оптимизации.
3. Задача коммивояжера.
4. Элементы теории графов. Задача о кратчайшем пути в графе.
5. Сетевое планирование и управление. Сетевые модели.
Варианты контрольных работ для осуществления
текущего контроля уровня знаний студентов.
Контрольная работа №1
Вариант 0.
1. Решить задачу о назначениях на максимум
118
3 2 13 11 1 7
5 7 11 6 12 15
8 4 11 6 9 10
6 2 4 7 7 5
14 10 7 13 11 12
12 12 12 4 3 13
2. Решить задачу дробно-линейного программирования, максимизируя рентабельность.
Р
Р
Запасы
1
2
Р1
0
3
5
,5
Р2
3
0
2
,8
,2
Уд.
0
0
Уд. пер. зазатраты
,01
,04
траты 0,1
при
0
0
быль
,19 ,019
3. Для двухкритериальной задачи найдите оптимальное решение по первому при уровне притязаний по второму в 0,5 от его максимума на допустимом множестве.
2 x1 8 x2 max
4 x1 x2 max
x1 5 x2 15
6 x1 x2 12
x ,x 0
1 2
4. Найти ранние и поздние сроки выполнения работ, полные резервы, критический путь.
2
4
7
5
2 5 3 6
6 5 2 4
6 6 4 7
2 2 7 4
5. Найти кратчайшие пути из левой верхней вершины графа в другие вершины
2 2 5 3
6
5
4
6
3
4 6 5 2
2
6
4
3
7
7 6 6 4
6
4
3
4
2
5 2 2 7
6. Решить задачу коммивояжера
119
x
20
16
8
3
13
2
x 16 8 2 3
3 x 20 4 8
20 16 x 9 11
14 14 5 x 18
16 2 20 12 x
12
1
1
7
Контрольная работа №2
Вариант_0
1. Найти нижнюю и верхнюю цену игры, седловую точку, если она есть.
5 6 4 3
1 8 5 9
7 2 1 5
3 4 5 2
2. Решить игру (2x2) аналитически и графически.
3 2
.
а)
1 1
3. Решить игру.
1 4 2 6
а) 5 3 4 4 .
2 6 3 7
4. Заданы вероятности холодной и теплой погоды, найти оптимальную стратегию игрока.
0.4 2 3 4 5
0.6 2 1 0 3
5. Для функции полезности u x11/4 x2 3/4 найдите:
а) предельные полезности в общем виде и в точке (1,1), проверьте их положительность и
выполнение первого закона Госсена;
б) эластичность полезности по каждому товару;
в) найдите точку спроса в общем виде и при доходе 100, ценах (2,5).
6. Фирма производит в месяц продукции на 5000 д.е. на 20 станках. Подсчитано, что для увеличения прибыли на 1000 д.е. надо приобрести еще 5 станков. Численность рабочих составляет 20
человек. Предполагая, что производственная функция это функция Кобба – Дугласа, у которой
α + β = 1, найдите ее общий вид.
7. Подсчитано, что зависимость объема выпуска продукции предприятием от количества станков
K и рабочих L определяется функцией Y 30 K 1 / 3 L1 / 3 . Расходы на один станок составляют 5
у.е., а зарплата рабочего 2 у.е. Определите оптимальное количество станков и рабочих.
Вопросы к экзамену:
1. Задача о назначениях. Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях.
120
2. Задача дробно – линейного программирования. Многокритериальные задачи оптимизации.
3. Задача коммивояжера.
4. Элементы теории графов. Задача о кратчайшем пути в графе.
5. Сетевое планирование и управление. Сетевые модели.
6. Задача о назначениях.
7. Задача дробно-линейного программирования.
8. Многокритериальные задачи оптимизации.
9. Межотраслевой баланс.
10. Линейная балансовая модель в экономике. Коэффициенты затрат.
11. Многофакторные производственные функции.
12. Линии постоянного выпуска. Предельные показатели. Первый закон Госсена.
13. Применение полного дифференциала в экономике. Коэффициенты эластичности.
14. Производственные функции. Основные свойства. Функция Кобба-Дугласа.
15. Функция полезности. Кривые безразличия. Предельные полезности. Эластичность полезности.
16. Условный экстремум функции. Метод множителей Лагранжа.
17. Оптимизация выбора потребителя. Точка спроса.
18. Золотое правило экономики для одноресурсной функции.
19. Золотое правило экономики для многоресурсной функции.
20. Динамические модели в экономике. Модели Эванса и Солоу.
21. Основные понятия теории графов.
22. Способы задания графа, виды графов.
23. Задача о кратчайшем пути в графе.
24. Сетевые графики. Критический путь. Сетевое планирование.
25. Ранние и полные сроки в сетевом графике. Полные резервы.
26. Оптимизация сетевых моделей.
27. Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ.
28. Основные понятия теории игр. Виды игр. Матричные антагонистические игры.
29. Верхняя и нижняя цена игры. Максимин и минимакс. Седловая точка.
30. Решение игр (2x2) аналитически.
31. Графическое решение игр (2 x 2).
32. Графическое решение игр (2 x n) и (m x 2).
33. Сведение игр к задаче линейного программирования.
34. Применение аппарата теории игр в экономике.
35. Аналитическая геометрия. Система координат. Векторы на плоскости. Коллинеарность векторов.
121
36. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Расстояние между точками.
37. Векторное произведение векторов. Свойства.
38. Смешанное произведение векторов. Свойства.
39. Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой «в отрезках».
40. Нормальный и направляющий векторы прямой. Угол между прямыми. Взаимное расположение
двух прямых. Расстояние от точки до прямой.
41. Аналитическая геометрия на плоскости. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Канонические уравнения. Основные свойства.
42. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнение плоскости проходящей через данную
точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости.
43. Уравнение плоскости проходящей через три точки. Угол между плоскостями. Расстояние от
точки до плоскости.
44. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки.
45. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Список литературы
Основная литература
1. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов/ Б.П. Демидович,
В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч. 1-2.
– М.: Высшая школа, 1996.
3. Карасев А.И., Аксюшина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов, ч.I, II — М.: Высшая школа,1982.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.:
Издательство «ДИС», 1998.
5. Минюк С.А. Математические методы и модели в экономике. Учеб. пособие / Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002.
6. Таха Х. Введение в исследование операций, ч. 2. — М.: Мир, 1985.
7. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико-математические методы и прикладные модели. — М.: ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 1997.
9. Малыхин В.Н. Математика в экономике. -М.: Инфра-М, 2005.
Дополнительная литература
1. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
122
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 2004.
3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. -М.: Высшая школа, 2001.
4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ИнфраМ., 1997..
5. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.
– 2000.
6. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учеб. пособие. – М.: Логос, 2000.
Раздел 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для
студентов
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического
комплекса
Данный учебно-методический комплекс ставит своей целью оказание помощи студентам
экономических специальностей академии в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по дисциплине «Математика» в объеме действующей
программы. Эта работа требует не только большого упорства, но и умения, без которого затрата
сил и времени не дает должного эффекта. Читать, понимать прочитанное и применять его практически – вот в чем суть умения работать с методическими пособиями.
Особое внимание в комплексе уделено практикуму. Решение задач является лучшим способом творческого проникновения в математическую истину. Чтобы научиться решать задачи того
или иного типа, рекомендуется сначала изучить план решения в общем виде (алгоритм), затем
рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае, решив при этом не менее 3 – 5 задач
из числа предлагаемых для самостоятельного решения. Важной позицией является также то, что
основным навыком профессионала является умение самостоятельно работать с литературой в
процессе решения конкретной проблемы.
Конечно, общих рецептов для решения разнообразных задач не существует, однако рекомендуем придерживаться следующих советов:
Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.
Не следует приступать к решению, не обдумав условия и не найдя плана решения.
Попробуйте выделить в данной задаче серию вспомогательных задач, последовательное
решение которых может привести к успеху.
123
Определив алгоритм решения, реализуйте его, произведите проверку полученного результата и его анализ.
Очень успешным бывает применение функционально-графического метода.
Если решить задачу не удается, обязательно обратитесь к преподавателю за консультацией.
2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса
Особое внимание следует уделить разделу, посвященному дифференциальному и интегральному исчислению. Эта тема – своеобразная лакмусовая бумага с помощью, которой проверяется математическая культура студента. Ведь здесь речь идет о теоремах и моделях, которые
нашли широкое приложение в экономической теории.
Важная роль отводится разделу «Математическая статистика». Это базовый фундамент для
дальнейшего успешного изучения курсов статистики и эконометрики и освоения методов обработки и анализа экспериментальных данных.
Наиболее сложной в изучении, но в тоже время, пожалуй, самой интересной является тема
«Дифференциальные уравнения». Здесь достаточно сослаться на наследие Ньютона о том, что все
эволюционные процессы в реальном мире моделируются моделями дифференциальных уравнений. Не говоря уже о том, что многие фундаментальные законы экономики суть дифференциальные уравнения.
Исходя из практической целесообразности, следует добавить, что именно дополнительные
вопросы из этих тем, в основном звучат на зачетах и экзаменах.
Темы, связанные с задачей линейного программирования находят самое широкое применение в экономике. Знание данных тем окажется безусловно полезным будущих специалистов.
2.3. Рекомендации по работе с литературой
Очень важную роль играет выбор учебной литературы и методических пособий. Желательно придерживаться этих учебников при изучении всего курса, так как замена может привести к
утрате логической связи между отдельными темами.
В последние годы среди студентов экономических специальностей особой популярностью
пользуется следующая литература:
1. Высшая математика для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера.-М.: Банки и биржи, 2001.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1986.
3. Карасев А.Н., Аксютина З.М., Савельева Т.Н. Курс высшей математики для экономических
вузов. Ч1 и 2.-М.: Высшая школа, 1986.
4. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. -М.:Инфра-М, 2001.
5. Исследование операций в экономике. / Под.ред. Н.Ш.Кремера. -М.: Банки и биржи, 2005.
124
6. Практикум по высшей математике для экономистов. / Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002.
Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после понимания предыдущего, выполняя все необходимые вычисления. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Необходимо подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. При изучении
материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные для получения консультации преподавателя.
2.4. Советы по подготовке к экзамену (зачету)
Фундамент математических знаний закладывается на лекционных и семинарских занятиях,
а также при подготовке к ним. Буквально с первого сентября необходимо выработать серьезное
отношение к конспекту по математике. Он должен в полном объеме содержать определения, теоремы и выводы основных формул курса. Записи должны быть аккуратными. Не нужно забывать,
что они делаются для того, чтобы впоследствии с ними работать. Все теоремы и факты нужно понять, а поняв, уметь их самостоятельно доказывать. Прочитав доказательство какой-то теоремы,
воспроизвести это доказательство на бумаге без конспекта или учебника.
Помните, что умение решать задачи является следствием глубоко понятого соответствующего теоретического материала. Учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение – важнейшее средство, предотвращающее забывание; необходимо выработать привычку систематической самостоятельной работы, «натаскивание» к экзамену или зачету дает слабый и поверхностный результат.
Для успешной сдачи зачета и экзамена студент должен знать наизусть достаточно
солидный объем теорем, формул, алгоритмов, моделей. Не откладывая процесс заучивания на
последние три дня перед экзаменом, подготовка должна вестись с первых лекций. Будет очень
хорошо, если вы заведете себе личный справочник и будете его регулярно изучать, пополняя
новым материалом.
Раздел 3. Материалы тестовой системы или практикум по решению задач по
темам лекций
3.1. I семестр
1 2 3
2 0 1 .
3 5 4
Решение. Имеем: матрица А размера 23, матрица В размера 33, тогда произведение АВ = С
1 2 1
Пример 1. Найти произведение матриц А=
иВ=
3 1 0
существует и элементы матрицы С равны: с11 = 11 +22 + 13 = 8; с21 = 31 + 12 + 03 = 5;
125
с12 = 12 + 20 + 15 = 7; с22 =32 + 10 + 05 = 6; с13 = 13 + 21 + 14 = 9; с23 = 33 + 11 + 04 = 10.
8 7 9
AB =
, а произведение BA не существует.
5 6 10
1 0 3
1
1
Пример 2. Даны матрицы А = 2 4 1 , В = 3 , С = 2 и число = 2. Найти АТВ+С.
2
1
1 4 2
1 2 1
1 2 1 1 1 1 2 3 1 2 9
2
AT = 0 4 4 ; ATB = 0 4 4 3 = 0 1 4 3 4 2 = 4 ; C = 4 ;
3 1 2
3 1 2 2 3 1 1 3 2 2 10
2
9 2 7
АТВ+С = 4 + 4 = 8 .
10 2 12
Пример 3.
1 2 2
Вычислить определитель 2 1 1 : а) разложив его по элементам первого столбца; б) предвари3 1
4
тельно упростив с помощью элементарных преобразований.
Решение. а) Разложим заданный определитель по элементам первого столбца, которые
равны a11 = 1, a21 = 2, a31 = 3. Вычислим алгебраические дополнения этих элементов:
A11 ( 1 )11
2 2
1 1
2 4 ( 2 ) 1 10 ,
4 1 ( 1 ) 1 4 1 5 , A21 ( 1 )21
1 4
1 4
A31 ( 1 )31
2 2
0 , так как первая строка пропорциональна второй. Применяя формулу Лапла1 1
са, получаем: ∆ = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31 = 1 5 +2 (-10) + 3 0 = -15.
б) упростим определитель с помощью элементарных преобразований.
1 2 2
Сложим элементы второго и третьего столбцов. Ре-
2 1 1
3 1
зультат запишем во второй столбец.
4
1 2 2 2
1 0 2
2 1 1
3 1 4
1 2 0 1
4
3 5 4
( 1 )3 2 5
1 2
2 1
Разложим этот определитель по элементам второго
столбца, т. к. в нём содержится два нуля.
Вычислим определитель 2-го порядка.
126
(5) (1 (1) 2 (2)) 15 .
Ответ: обоими способами получили ∆ = -15.
2
4
Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка
3
4
2
2
4
5
8
6
7
.
5
2
8
7
3
Решение. Выполним следующие элементарные преобразования. Из второго столбца вычтем
третий. Получим:
2 4 4 6 2 44 4 6 2 0 4 6
4 2 5 7 4 2 5 5 7 4 3 5 7
. Затем из третьего столбца вычтем удвоенный
3 2 8 5 3 2 8 8 5 3 6 8 5
2 87 7 3
2 8 7 3
2
1
7 3
2 0 4 22 6 2 0 0 6
4 3 5 4 2 7 4 3 3 7
первый:
. Из четвёртого столбца вычтем утроенный первый:
3 6 8 3 2 5 3 6 2 5
2
1
7 22 3
2
1
3
3
2 0 0 6 23
2 0 0 0
4 3 3 7 4 3
4 3 3 5
. Разложим этот определитель по элементам 1-й стро
3 6 2 5 3 3
3 6 2 4
2
1
3 23
3
2
1
3
3
3 3 5
ки: a11 A11 2 ( 1 ) 6
1
11
3 3 5 3
2 6
1
2
3
3 3 5
4 2 6
3
1
2
3
2
3
4 . Сложим второй и третий столбцы, получим:
3
3 3 8
4 2 2 6
3 3
1
2
3
2 . Из второго столбца вычтем утроенный первый и разло0
жим определитель по элементам третьей строки:
3 3 ( 3 ) 3 8
2 6
1
2 ( 6 ) 3
3 1 3
2 1 ( 1 )31
3
6
8
2 2 6 20 2 2 a31 A31
0
1 0 0
6 8
2 6 ( 2 ) 20 ( 8 ) 2 ( 12 160 ) 296 .
20 2
Ответ: ∆ = 296.
Пример 5.
127
1 2 3
Для матрицы A 0 4 1 найти обратную.
5 0 0
Решение. Сначала запишем транспонированную матрицу:
1 0 5
AT 2 4 0 .
3 1 0
Находим присоединенную матрицу. По определению, элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы. Вычислим
элементы присоединенной матрицы.
A11 (1)11
4 0
0 5
0 5
0 , A12 (1)1 2
5 , A13 (1)13
20 ,
1 0
1 0
4 0
A21 (1) 21
2 0
1 5
1 5
0 , A22 (1) 2 2
15 , A23 (1) 23
10 ,
3 0
3 0
2 0
A31 (1)31
2 4
1 0
1 0
10 , A32 (1)3 2
1 , A33 (1)33
4.
3 1
3 1
2 4
Таким образом, матрица, присоединенная к матрице A, имеет вид:
A11
A A12
A
13
A21
A22
A23
A31 0
0 10
A32 5 15 1 .
A33 20 10 4
Пользуясь правилом треугольников, найдем
1 2 3
A 0 4 1 1 4 0 0 0 3 5 ( 2 ) ( 1 ) 3 4 5 0 1 (1) 0 0 (2) 10 60 50 .
5 0 0
Так как = –50 0, то матрица — неособенная и для неё существует обратная
A1
1
A.
A
Подставляя найденные определитель и присоединённую матрицу, находим обратную мат-
рицу:
0
1
1
A1 A
5
A
50
20
0 10 0
0
0,2
15 1 0,1 0,3 0,02 .
10 4 0,4 0,2 0,08
128
Нам осталось сделать проверку, используя то свойство, что произведение заданной мат-1
-1
рицы A и найденной обратной A должно равняться единичной матрице, т. е. A A = E.
0
0,2
1 2 3 0
A A1 0 4 1 0,1 0,3 0,02
5 0
0 0,4 0,2 0,08
0 0, 2 1, 2 0 0, 6 0, 6 0, 2 0, 04 0, 24 1 0 0
0 0, 4 0, 4 0 1, 2 0, 2 0 0, 08 0, 08 0 1 0 E ,
000
0 0 1
000
1 0 0
следовательно, обратная матрица найдена верно.
0
0, 2
0
Ответ: A 0,1 0,3 0, 02 .
0, 4 0, 2 0, 08
1
1 2 - 1
Пример 6. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы 2 4 3
-1 - 2 6
- 2
0 .
6
Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например,
минор (элемент) М1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи
второй строки и третьего столбца, получаем минор M2 =
теперь
к
минорам
3-го
порядка,
1
-1
2
3
окаймляющим
1
добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: 2
, отличный от нуля. Переходим
М2 .
2
4
-1 - 2
Их
-1
всего
два
(можно
1 -1 - 2
3 0, 2 3
6
-1 6
0 0. Таким
6
образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А
равен двум.
2 3 5 3 2
Пример 7. Найти ранг матрицы А= 3 4 3 - 1 - 3 эквивалентными преобразованиями.
5 6 - 1 3 - 5
Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
1
2
5
1
3 5 - 3 - 2 .Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответ
6 -1 3 -5
1 -2
2
129
1
ственно на 2 и 5: 0
0
1
0
0
1
1
2
1
9 - 7 0 , которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью ко
0 0 0
1 -2
1
0
1
9 - 7 0 ; из третьей строки вычтем первую; получим матрицу В =
9 -7 0
1 -2
2
нечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и rang(A)=2.
5 x y z 0
Пример 8. Решить систему уравнений методом обратной матрицы x 2 y 3z 14 .
4 x 3 y 2 z 16
x
Решение. Х = y , B =
z
0
14 , A =
16
5 1 1
-1
1 2 3 . Найдем обратную матрицу А .
4 3 2
5 1 1
= det A = 1
4
2
3
3 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
2
M11 =
2 3
= -5;
3 2
M21 =
1 1
= 1;
3
2
M31 =
1 1
= -1;
2
3
M12 =
1 3
10;
4 2
M22 =
5 1
14;
4 2
M32 =
5 1
16;
1 3
1 2
5 1
5 1
5;
19;
11;
M23 =
M33 =
4 3
4 3
1 2
5
1
1
1
1
1
a111 ;
a121 ;
a131 ;
30
30
30
30
30
6
1
7
8
10
14
16
1
1
1
a 21
;
a 22
;
a 23
;
A-1 =
;
3
15 15
30
30
30
1
19
11
5
19
11
1
1
1
a31 ;
a32 ;
a33 ;
30
30
6
30
30
30
Cделаем проверку:
1
1
5
30
30
5 1 1 30
25 10 5 5 14 19 5 16 11
10
14
16
1
5 20 15 1 28 57 1 32 33 =E.
AA-1 = 1 2 3
30 30 30
4 3 2 30
19
11
5
20 30 10 4 42 38 4 48 22
30
30
30
Находим матрицу Х.
M13 =
130
1
1
30
x
6
1
7
Х = y = А-1В =
3
15
z
1
19
30
6
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
1
30 0
8
14 =
15
11 16
30
14 16
1
0
30 30 1
6
1 0 98 128 2 .
3
15 15
1
266 176 3
0
30
30
6
2 x1 x2 3x3 5,
Пример 9. Решить систему уравнений по формулам Крамера x1 2 x2 2 x3 17,
x x 3x 4.
3
1 2
2
1
Решение. Вычислим определитель системы: 1 2
1
1
3
2 12 2 3 6 4 3 26.
3
Так как 0 , то система совместна.
а) Найдём решение по формулам Крамера. Для этого найдём 1 , 2 , 3 :
5
1
3
2 5 3
1 17
4
2
1
2 78, 2 1 17
3
1 4
2
1
5
2 130, 3 1 2 17 52 .
3
1 1 4
Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение
системы: x1
1 78
130
52
3, x2 2
5, x3 3
2.
26
26
26
Пример 10. Применяя метод Гаусса, решить систему уравнений:
x2 3x3 x4 10,
x 3x 8 x x 22,
1
2
3
4
4 x1 2 x2 3x4 11,
x1 6 x2 2 x4 0.
Решение. С помощью одного из уравнений надо исключить из всех последующих уравнений переменную x1. Поменяем местами первое уравнение со вторым, тогда получим:
x1 3x2 8 x3 x4 22,
x 3x x 10,
2
3
4
4
x
2
x
3
x4 11,
1
2
x1 6 x2 2 x4 0.
Шаг 1. Так как а11 = 1 0, можно исключить с помощью первого уравнения переменную
x1 из последующих уравнений. Как видно из системы, второе уравнение не содержит переменную
x1.Чтобы с помощью первого уравнения исключить переменную x1 из третьего уравнения, умножим первое уравнение на (-4) и прибавим полученное уравнение к третьему уравнению:
131
4 x1 12 x2 32 x3 4 x4 88
4 x1 2 x2 0 x3 3x4 11 .
10 x2 32 x3 x4 77
Это уравнение записываем вместо третьего. Теперь исключаем x1 из четвертого уравнения. Для этого первое уравнение умножаем на (-1) и складываем с четвертым:
x1 3x2 8 x3 x4 22
x1 6 x2 0 x3 2 x4 0 .
9 x2 8 x3 x4 22
Записываем полученное уравнение в четвертой строке новой системы. Сохраняем первое и
второе уравнения без изменения, а третье и четвёртое записываем в преобразованном виде, получим:
x1 3x2 8 x3 x4
x2 3x3 x4
10 x2 32 x3 x4
9 x2 8 x3 x4
22,
10,
77,
22.
Шаг 2. Рассмотрим новую систему. Здесь а22 = 1 0, следовательно, можно, оставляя без
изменения первое уравнение новой системы, с помощью второго уравнения исключить переменную x2 из последующих. Для этого к третьему уравнению прибавляем второе, умноженное на 10, а
к четвёртому — второе, умноженное на 9. В результате получим систему:
x1 3x2 8 x3 x4
x2 3x3 x4
2 x3 9 x4
19 x3 10 x4
22,
10,
23,
68.
Шаг 3. Сохраняя первые два уравнения новой системы без изменения, с помощью третьего уравнения исключаем переменную x3 из последнего уравнения. Это возможно, так как а33 = -2
0. Прибавим к четвертому уравнению третье, умноженное на 19/2 = 9,5. В результате приходим к
системе треугольной формы, содержащей четыре уравнения и четыре переменные:
x1 3x2 8 x3 x4
x2 3x3 x4
2 x3 9 x4
95,5 x4
22,
10,
23,
286,5.
Следовательно, полученная и исходная системы являются совместными. Искомое решение находим, используя обратный ход метода Гаусса, т.е. все неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего уравнения. Из четвёртого уравнения находим:
132
x4 = 286,5 / (-95,5) = -3. Это значение x4 = -3. Подставляем в третье уравнение системы и получаем:
-2x3 -9(-3) = 23, отсюда x3 = 2. Далее, подставляем значения x3 и x4 во второе уравнение системы:
x2 + 32 - (-3) = 10, тогда x2 = 1. Наконец, подстановка значений x2, x3, x4 в первое уравнение даёт:
x1 +31 +82 - (-3)=22, откуда x1 = 0.
Итак, данная система уравнений совместна и имеет единственное решение:
x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2; x4 = -3.
Примерный вариант контрольной работы.
1. Найти матрицу, обратную матрице A. Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
6 7 3
A= 2 1 0
2 2 1
2. Решить систему уравнений двумя способами: матричным методом и по формулам Крамера:
4 x1 3x 2 x3 5,
5 x1 4 x3 7,
2 x x 2 x 8.
2
3
1
3. Фирма производит оплату трем категориям K1, K2, K3 своих служащих по трем видам
начислений: N1 – должностной оклад, N2 – надбавка за стаж работы в фирме и N3 – премиальные
выплаты. Нормы выплат и объем расхода денежных средств на один день заданы таблицей. Найти
количество работников каждой из категорий, которые могут работать в ней при таких исходных
данных.
Виды начислений
Нормы выплат по категориям (ден. ед.)
Объем расхода денежных средств на
K1
K2
K3
N1
7
3
4
280
N2
6
2
3
230
N3
5
9
1
250
1 день (ден. ед.)
4. Построить множество решений системы линейных неравенств и найти координаты его угловых точек.
133
x1 x 2 6
2x 1 x 2 4
x 1 2x 2 4
x1 3
x24
5. Определить, являются ли матрица A и B особенными, и перемножить A на B и B на A:
5
9 9
9 7 3
A = 4 1 2 B = 14 9 4
14 13 7
0 3 2
6. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и выполнить проверку.
x1 3x 2 5 x3 7 x 4 12
3x 5 x 7 x x 0
1
2
3
4
.
5
x
7
x
x
3
x
4
1
2
3
4
7 x1 x 2 3x3 5 x 4 16
2 x 2 3x 2
.
x 2
x2 2 x
Решение. Подстановка предельного значения x = 2, дает нам неопределенность вида 0/0.
Пример 10. lim
Избавимся от нее путем разложения числителя и знаменателя на линейные множители.
2x2 – 3x – 2 = 0 — квадратный трехчлен, корни которого находим по формулам корней квадратного уравнения: x1,2
3 9 422 3 5
1
b b2 4ac
, т. е. x1,2
. Итак, x 1 , x2 = 2. Зная
22
4
2
2a
корни, имеем разложение трехчлена: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) или, в нашем случае,
1
2 x 2 3 x 2 2 x x 2 2 x 1 x 2 .
2
Аналогично получаем для знаменателя x2 – 2x = x(x – 2). Тогда наш предел примет вид:
2 x 1 x 2 2 x 1
2 x 2 3x 2
lim
. Теперь подставим под знак предела значение x =
lim
2
x 2
x 2
x 2
x 2x
x x 2
x
lim
2: lim
x 2
2 x 1 2 2 1 5 .
x
2
2
Пример 11. lim
x 1
.
x 8 3x
Решение. Подстановка предельного значения x = –1 дает неопределенность вида 0/0. Изx 1
2
бавимся от нее, умножая числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, т.е.
на
x2 8 3x ; тогда имеем:
lim
x 1
x 1
x 2 8 3x
x 2 8 3x
x 2 8 3x
lim
x 1
x 1
x 2 8 3x
x2 8 9 x2
lim x 1
x 1
x 2 8 3x
8 8x2
.
134
В знаменателе выносим общий множитель, раскладываем разность квадратов и получаем
lim
x 1
x 1
x 2 8 3x
8 1 x 2
lim x 1
x 2 8 3x
8 1 x 1 x
x 1
lim
9 3 3
x 2 8 3x
.
lim
x1 8 2
8
8 1 x
x 1
5 x3 7 x 2 2
Пример 12. lim 3
.
x 2 x 4 x 3
Решение. Имеем неопределенность вида /. Разделим числитель и знаменатель дроби на
старшую степень x, т.е. на x3:
5 x3 7 x 2 2
5 7 x 2 x3 5
lim 3
lim
(т.к. выражения 7/x, 2/x3, 4/x2, 3/x3 при x имеют своx 2 x 4 x 3
x 2 4 x 2 3 x 3
2
им пределом 0).
2 x 7
3x 2
1 .
Пример 13. lim
x 3 x 4
Решение. Выделяем в круглых скобках единицу, для чего делаем следующие преобразо-
вания:
3 x 2 3 x 2 4 4 (3 x 4) 6 3 x 4
6
6
1
.
3x 4
3x 4
3x 4
3x 4 3x 4
3x 4
Теперь воспользуемся вторым замечательным пределом:
6
lim 1
x
3x 4
2 x 7
6
3 x4
3 x4
6 6
lim 1
x
3 x 4
e
2 x 7
6
lim e 3 x 4
x
(2 x 7)
. Предел в показателе степени вы-
6(2 x 7)
12 x 42
lim
4 . Следовательно,
n 3 x 4
n 3 x 4
числим как предел отношения многочленов: lim
3x 2
lim
x 3 x 4
2 x 7
e4 .
1 2x 1
.
1 sin 8 x 1
Решение. Числитель запишем в виде (1 2 x)1 3 1, а знаменатель — в виде (1 sin 8 x)1 4 1 .
3
Пример 14. lim 4
x 0
Используя соотношение 1 x 1
(1 2 x)1 3 1
, при x 0 получаем:
1
1
2 x , (1 sin 8 x)1 4 1 sin 8 x .
3
4
135
1
1
2x
2x
1 2x 1
4 2x 1
3
3
Значит, lim 4
lim
sin 8 x ~ 8 x lim
lim
.
x 0 1 sin 8 x 1
x 0 1
x 0 1
x 0 3 8 x
3
sin 8 x
8x
4
4
3
1
sin x 1cos x
Пример 15. Найти lim y , где y
[1 ].
x 0
x
Решение. Функция y — четная, поэтому будем считать x > 0. Тогда
ln y
ln sin x ln x 0
ln y :
. Теперь вычислим lim
x 0
1 cos x 0
cos x 1
(ln sin x ln x)
sin
x
x lim x cos x sin x 0 =
lim ln y lim
lim
0
x 0
x 0
x 0
x 0
(1 cos x)
sin x
x sin 2 x
lim
x 0
( x cos x sin x)
x sin x
. Сократим полученную дробь на x sinx:
lim 2
2
x
0
( x sin x)
sin x 2 x sin x cos x
lim ln y lim
x 0
x 0
1
1
1
1
. Таким образом, lim y e 3 3 .
x
0
sin x
3
e
2 cos x
x
1
Пример 16. Исследовать на непрерывность функцию f ( x) arctg .
x
Решение. Выражение
1
не определено при x = 0, следовательно, точка x = 0 есть точка
x
разрыва заданной функции. Определим вид разрыва.
Выполним замену переменной t
lim arctg
x 0
1
, тогда при x 0 t и
x
1
1
lim arctgt , lim arctg lim arctgt .
x t
2 x 0
x t
2
Таким образом, при x = 0 имеем разрыв первого рода, а именно — скачок.
Пример 17. Продифференцировать y 3 5 x 3 2 x 3
y/
3
x 2
4
2
3 4
1
5 x3 2 x 3 3 15 x 2 2
.
5
3
x 2
Пример 18. Продифференцировать y ctg5x
arctg2 x
.
В данном примере, прежде чем дифференцировать функцию, удобно её прологарифмировать, а затем найти производную как от неявной функции:
136
ln y ln(ctg 5 x)arctg2 x
ln y arctg 2 x ln(ctg 5 x)
y /
(arctg 2 x) / ln(ctg 5 x) arctg 2 x(ln ctg 5 x ) /
y
1
1
1
y /y
2 ln(ctg 5 x) arctg 2 x
2 5
2
ctg 5 x sin 5 x
1 4x
2ln(ctg 5 x)
5arctg 2 x
y / (ctg 5 x)arctg2 x
.
2
ctg 5 x sin 2 5 x
1 4x
Пример 19. Найти y / и y / / неявно заданной функции arctg ( y ) y x 0 .
Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая у как функцию от х:
y/
y / 1 0;
1 y2
y / / 2 y 3 y /
y / y / y 2 y / 1 y 2 0; y /
1 y2 1
2 1 . Находим далее y / / :
y2
y
2 /
y . В правую часть последнего равенства подставляем вместо y / его значение
y3
y//
2 1 y2
2(1 y 2 )
.
y3 y 2
y5
Пример 20. Найти производные первого и второго порядков параметрически заданной
x ln t ,
функции
y sin 2t.
Если функция задана параметрическими уравнениями, то её производная находится по фор/
dy y t
d 2 y d dy 1
муле:
. Вторая производная находится по формуле:
/
.
dx x t
dx 2 dt dx x / (t )
dy 2 cos 2t
1
x / t , y / t 2 cos 2t ;
2t cos 2t ;
t
dx
1t
d dy
d2y
/
(2
t
cos
2
t
)
2
cos
2
t
4
t
sin
2
t
(2cos 2t 4t sin 2t )t 2t (cos 2t 2t sin 2t ).
;
dt dx
dx 2
Пример 21. Исследовать функцию y
x2 5x 3
и построить ее график.
x2 x 1
Решение.
1. Область определения x , .
2. Исследуем симметрию графика y x
x2 5x 3
. Так как y x y x и y x y x ,
x2 x 1
то функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Непериодическая.
4. Находим точки пересечения графика функции с координатными осями.
137
С осью 0у: х = 0, у = 3. А(0, 3) – точка пересечения с осью 0у. С осью 0х: у = 0, x 5x 3 0 :
2
D 25 12 13; x1
5 13
5 13
0, 7; x2
4,3 . В(–0,7; 0), С(–4,3; 0) – точки пересече2
2
ния с осью 0х.
5. Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
y/
(2 x 5)( x 2 x 1) ( x 2 5 x 3)(2 x 1)
( x 2 x 1) 2
2 x3 2 x 2 2 x 5 x 2 5 x 5 2 x 3 x 2 10 x 2 5 x 6 x 3 4 x 2 4 x 2
.
( x 2 x 1) 2
( x 2 x 1) 2
4 x 2 4 x 2
y 0 если
0 ; 4 x 2 4 x 2 0, 2 x 2 2 x 1 0; D 4 8 12
2
2
( x x 1)
/
x1
2 12 1 3
0,35;
4
2
;
х
1,35
/
–
у
y
–1,35
0
ymin 1,31
2 12 1 3
1,35
4
2
x2
1,35;
0,35
0,35
0
ymax 3,31
+
0,35;
–
6. Находим интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.
y //
(8x 4)( x 2 x 1)2 (4 x 2 4 x 2)2( x 2 x 1)(2 x 1)
( x 2 x 1)4
8 x3 8 x 2 8 x 4 x 2 4 x 4 (4 x 2 4 x 2)(4 x 2)
( x 2 x 1)3
8 x3 8 x 2 8 x 4 x 2 4 x 4 16 x3 8 x 2 16 x 2 8 x 8 x 4
( x 2 x 1)3
8x3 12 x 2 12 x 8 8( x3 1) 12 x( x 1)
( x 2 x 1)3
( x 2 x 1)3
8( x 1)( x 2 x 1) 12 x( x 1) ( x 1)(8 x 2 8 x 8 12 x)
( x 2 x 1)3
( x 2 x 1)3
( x 1)(8 x 2 20 x 8) 4( x 1)(2 x 2 5 x 2) / /
. y 0 если 4( x 1)(2 x 2 5x 2) 0
2
3
2
3
( x x 1)
( x x 1)
x 1 или 2 x 2 5 x 2 0 , D 25 16 9 ; x1 1 2
х
y //
у
;
2
–
–2
1
2;
2
0
т. пер. –1
+
7. Найдём асимптоты графика функции.
1
2
0
т. пер. 1
x2 2 .
1
;
2
–
1
1
0
т. пер. 3
1;
+
138
Так как точек разрыва нет, то и вертикальных асимптот тоже нет. Найдём наклонные асимптоты
y kx b . k lim
x
f ( x)
x2 5x 3
lim 2
0 . Так как k 0 , то наклонных асимптот нет.
x ( x x 1) x
x
x2 5x 3
lim 2
1 . y 1 – горизонтальная асимптота.
x x x 1
у
3
1
0
–1
х
3.2. II семестр
Пример 1.
dx
x 1 3 x
.
Решение. Интегрирование проводим методом подстановки. Положив x = (t) = t6, полуx t 3 , 3 x t 2 , dx = '(t)dt = 6t5dt. Тогда
чим
6t 5 dt
t 2 dt
(t 2 1) 1
dt
6(t arctgt ) C .
3
6
6
dt 6 dt
2
2
2
3
1 t 2
1 t
1 t
t 1 t
x 1 x
dx
Возвращаясь к переменной x по формуле t 6 x , окончательно получаем
Пример 2.
dx
x 1 x
3
6( 6 x arctg 6 x ) C .
x sin x dx .
2
Решение. Полагая t = x2, имеем dt = 2xdx , т.е. xdx
1
1
1
dt . Тогда
2
1
x sin x dx 2 sin tdt 2 cos t C 2 cos x
2
Пример 3.
e
x
x
dx .
2
C .
139
Решение. Обозначим t x , тогда dt
интеграле, получим
e
x
x
dx
. Выполняя замену переменной в исходном
2 x
dx 2 et dt 2et C 2e
x
C .
ln 2 x
Пример 4.
dx .
x
Решение. Воспользуемся подстановкой t = lnx. Тогда dt
dx
и
x
ln 2 x
1 3
1 3
2
x dx t dt 3 t C 3 ln x C .
Пример 5. tgxdx .
Решение. Представим заданный интеграл в виде
становкой t = cosx, dt = –sinxdx. Тогда
tgxdx
sin xdx
и воспользуемся подcos x
dt
ln t C ln cos x C .
t
dx
2
dx
dx
d (tgx)
Пример 6.
cos x
ln tgx C .
2
sin x cos x
tgx cos x
tgx
tgx
Пример 7. Найти
x sin xdx
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям udv uv vdu .
Положим u = x, dv = sinxdx, тогда du = dx, v = –cosx.
x sin xdx x cos x cosxdx x cos x sin x C
Пример 8. ( x 3 1) ln xdx .
Решение. Обозначим u = lnx, тогда (x3 + 1)dx = dv. Отсюда, du
v x3 1 dx x3 dx dx
dx
и
x
1 4
1
1
dx
x x и ( x 3 1) ln xdx x 4 x ln x x 4 x .
4
4
4
x
1
1
dx 1
Вычислим последний интеграл: x 4 x x3dx dx x 4 x С .
16
4
x 4
1
1
Окончательно получаем ( x 3 1) ln xdx = x 4 x ln x x 4 x C .
4
16
1
Пример 9. Вычислить
2 2
1 x2
dx .
x2
140
Решение. Применим подстановку x = sint. Тогда dx = costdt, t = arcsinx. Найдем новые пределы интегрирования. При a 2 2 получим arcsin
2
, при b=1 получим arcsin1 .
2
4
2
Тогда интеграл в новых переменных и с новыми пределами интегрирования будет:
1
2 2
2
2
2
1 x2
1 sin 2 t
cos 2 t
1 sin 2 t
dx
cos
tdt
dt
sin 2 t
sin 2 t 4 sin 2 t dt
x2
4
4
ctg
2
1
sin
4
2
2
1dt (ctgt t ) 4
t
ctg 0 1 1 .
2 2
4 4
2
4
4
Следует запомнить, что любой определенный интеграл это число, а неопределенный –
функция, поэтому про неопределенный интеграл говорят, что его находят, а про определенный,
что его вычисляют.
Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x, y x 2 , x 2.
Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:
2
2
x3 x2 2 8 4 1 1 5
S x 2 dx xdx (ед2).
21 3 2 3 2 6
3
1
1
Пример 11. Найти полный дифференциал функции z
y
.
x y2
2
z
2 yx
z y ( x 2 y 2 ) y (2 y ) x 2 y 2 2 y 2
x2 y2
2
;
;
x ( x y 2 ) 2 y
(x 2 y 2 )2
(x2 y 2 )2
(x 2 y 2 )2
dz
2 xy
x2 y2
dx
dy
(x2 y 2 )
(x2 y 2 )2
Пример 12. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по
направлению вектора АВ . В (3, 0).
Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора АВ : АВ =(3-1; 0-2)
= (2; -2) = 2 i 2 j . Далее определяем модуль этого вектора: AB = 8 2 2 . Находим частные
производные функции z в общем виде:
z
z
2x y2 ;
2 yx. Значения этих величин в точке А:
x
y
141
z
z
6;
4. Для нахождения направляющих косинусов вектора АВ производим следующие
x
y
преобразования: S =
AB
i cos j cos
AB
2
2 2
i
2
2 2
j . За величину S принимается
произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление
дифференцирования. Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора АВ :
cos
2
2
z
2
2
6
4
2 - значение
; cos
. Окончательно получаем:
2
s
2
2
2
производной заданной функции по направлению вектора АВ .
Пример 13. Найти экстремум функции двух переменных z = x3 + y3 - 9xy.
Решение. Находим частные производные первого порядка:
z
z
x3 y 3 9 xy 3x 2 9 y,
x3 y 3 9 xy 3 y 2 9 x . Согласно необходимому условию
x
y
x
y
2
3 x 9 y 0,
экстремума функции, для нахождения критических точек надо решить систему 2
Из
3 y 9 x 0.
первого уравнения y
1 2
x , подставляем во второе уравнение, получим x x3 27 0 . Стало быть, x
3
имеет два критических значения: x1 = 0 и x2 = 3. Подставляя полученные значения x в выражение
для y, получаем y1 = 0 и y2 = 3. Это значит, что имеем две критические точки: (0; 0) и (3; 3).
Применяем достаточное условие экстремума. Находим частные производные второго порядка:
2 z
2 z
2 z
2 z
2
2
2
,
3
x
9
y
6
x
,
3
y
9
x
6
y
3
x
9
y
9,
3 y 2 9 x 9 .
2
2
x
y
y
x
x
y
xy
yx
Надо найти значения этих производных в критических точках:
A
2 z
x 2
x xкр
y yкр
, C
2 z
y 2
x xкр
y yкр
, B
2 z
xy
x xкр
y yкр
.
1. Вычисляем эти значения в первой критической точке (0; 0):
A1 = 6 0 = 0, C1 = 6 0 = 0, B1 = –9.
Отсюда 1 A1 C1 B12 0 0 (9) 2 81 0 , в этой критической точке экстремума нет.
2. Вычисляем эти значения во второй критической точке (3; 3):
A2 = 63 = 18, C2 = 63 = 18, B2 = – 9.
142
Отсюда 2 A2 C2 B22 18 18 (9) 2 324 81 243 0 , в этой критической точке есть
экстремум. Чтобы установить максимум это или минимум, смотрим на знак A2 = 18 > 0, значит,
согласно теореме о достаточном признаке экстремума, это — минимум. Вычислим это значение:
min z = z(3; 3) = 33 + 33 – 933 = 27+ 27 – 81 = 54 – 81 = –27.
Ответ. У функции z = x3 + y3 – 9xy в критической точке (3; 3) min z = z(3; 3) = –27.
Пример 14. Найти частное решение уравнения
ным условиям:
y
Решение.
x 1
yy
e y 0 , удовлетворяющее начальx
0.
Представим
производную
в
виде
y
dy
, тогда уравнение будет
dx
y dy
e y 0 или ye y dy xdx 0 . Получили дифференциальное уравнение с разделяюx dx
щимися переменными. Интегрируя первое слагаемое по частям ye
ye
y
e
y
y
dy xdx C , получим:
x2
C – это общее решение (общий интеграл) заданного уравнения.
2
Чтобы получить частное решение, необходимо найти конкретное значение C. Подставим в
общий интеграл начальные условия: x0 = 1, y0 = 0, получим: 0 e e
0
1
0
12
C
2
1
1
C C . Итак, частное решение, удовлетворяющее заданным начальным услови2
2
ям, будет: e
y
1
(1 y ) (1 x 2 ).
2
Ответ. Частное решение, удовлетворяющее условиям x0 = 1, у0 = 0: e
y
1
(1 y ) (1 x 2 ).
2
Пример 15. Найти общее решение уравнения y' = 3x + 2y.
Решение. Сделаем подстановку t = 3x + 2y — новая неизвестная. Тогда t' = 3 + 2y' y
Подставляя y и y' в заданное уравнение, получим
t 3
.
2
t 3
t. Преобразуя последнее уравнение, за2
dt
dx . Интегрируем каждую часть последнего
2t 3
dt
1
dx C ln(2t 3) x C . Проводя обратную замену
уравнения по своей переменной:
2t 3
2
пишем: t' = 2t + 3. Разделяя переменные, имеем
143
переменных (t = 3x + 2y)
1
ln(6 x 4 y 3) x C и потенцируя 6 x 4 y 3 e 2 x C , окончательно
2
1
запишем y (e 2 x C 6 x 3) .
4
1
Ответ. Общее решение заданного уравнения y (e 2 x C 6 x 3) .
4
Пример 16. Решить дифференциальное уравнение (x + y)dx + xdy = 0.
Решение. В этом уравнении P(x; y) = x + y и Q(x; y) = x являются однородными функциями
первой степени P(kx; ky) kP(x; y), аналогично для Q(x; y). Полагаем
y
= u, тогда y = xu, где u —
x
новая неизвестная функция. Находим дифференциал: dy = d(xu) = xdu + udx и подставляем y и dy в
заданное уравнение: (x + xu)dx + x(xdu + udx) = 0 (при x 0) (1+ u)dx + (xdu + udx) = 0
xdu + (2u + 1)dx = 0. Путём деления обеих частей уравнения на (2u + 1) и на x получим уравнение с разделёнными переменными
du
dx
= . Домножим правую и левую части на 2:
2u 1
x
2du
d (2u 1)
и проинтегрируем каждую часть по своей переменной:
2u 1
2u 1
d (2u 1)
dx
C
2 ln(2u 1) 2 ln x ln C ln(2u 1) ln 2 . Выполняем действие потенциро2u 1
x
x
вания 2u 1
C
2y
C
1 2 . Выражаем отсюда y:
и производим обратную замену переменных
2
x
x
x
x C
C
y 1 , здесь C1
— произвольная постоянная. В процессе нахождения решения при2 x
2
шлось делить на (2u + 1) и на x, в результате чего могла произойти потеря корней. Проверим это.
1. Подставим в исходное уравнение x = 0, а значит, и dx = 0. Исходное уравнение обратится в тождество – функция x = 0 является решением заданного уравнения.
x
1
x
2. Функцию 2u 1
1 = 0 или y , т.е. dy dx dx также подставляем в
2
2
x
2
2y
x
x
заданное уравнение: ( x y )dx xdx x dx dx 0 .
2
2
Итак, оба решения действительно потеряны — они оба удовлетворяют заданному дифференциальному уравнению. Но второе решение y
x
не является дополнительным, оно входит в
2
общее решение (1) при С1 = 0.
Ответ.
Совокупность
x C
y 1 и x = 0.
2 x
всех
решений
заданного
дифференциального
уравнения
144
Пример 17. Решить уравнение x y' + 2y = x .
2
Решение. Это линейное уравнение первого порядка. Применим метод Бернулли. Заменяем
y = u v. Находим производную y' = u' v + u v' и подставляем в заданное уравнение:
x (u' v + u v') + 2u v = x2. Раскрываем скобки и группируем второе и третье слагаемые:
x u' v + x u v' + 2u v = x2 x u' v + u [x v' + 2 v] = x2. Подбираем функцию v = v(x) так,
чтобы x v' + 2v = 0, тогда вторую функцию u= u(x) найдём из уравнения x u' v = x2.
Из первого уравнения последовательно получаем
x v 2v 0 x
dv
dv
v
dv
v
dv
dx
2v 0
2 0
2
2 . Интегрируя каждую часть
dx
dx
x
dx
x
v
x
уравнения по своей переменной, запишем
dv
dx
2 ln v 2 ln x ln C1 . Выбирая C1 = 1 и
v
x
потенцируя, получим первую из двух неизвестных функций v
x u' v = x2 подставляем выражение для v, тогда x u
Интегрируя,
y u v
имеем
3
du x dx ,
1
. Во второе уравнение
x2
1
du
x 2 u x3
x 3 du x 3dx .
2
x
dx
следовательно,
u
x4
C .
4
Общее
решение
будет
x2 C
1 x4
C
4 x2 .
x 2 4
Ответ. Общее решение заданного неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид y
x2 C
.
4 x2
Пример 18. Найти общее решение уравнения x y' – y = – y2 lnx.
Решение. Это уравнение Бернулли. Делим на (– y2): x
z
y 1
ln x и выполним замену:
y2 y
1
1
y 1 , z y 2 y 2 y . Исходное уравнение в новых переменных примет вид:
y
y
x z' + z = lnx — это линейное уравнение относительно z. Делаем подстановку Бернулли:
z = u v, z'= u' v + u v', уравнение запишется:
x (u' v + u v') + u v = lnx x u' v + x u v' + u v = lnx x u' v + u [x v' + v] = lnx.
Выбираем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в квадратных скобках равнялось нулю,
т.е. x v' + v = 0 или x
dv
dv
dv
dx
v 0 x v . Разделяем здесь переменные:
; интегриdx
dx
v
x
руя, имеем ln v ln x v
1
. Подставляем в (1), получим дифференциальное уравнение для
x
145
определения
u ln x
функции
u
=
u
(x):
u'v
=
lnx
du
ln x du ln xdx u x ln x x C .
dx
Возвращаясь к подстановке Бернулли z = u v, получим z
Отсюда
x
1
C 1
x ln x x C ln x 1 .
x
x y
1 x ln x x C
x
.
, y
y
x
x ln x x C
Ответ. Общее решение заданного уравнения Бернулли y
x
.
x ln x x C
Пример 19. Решить уравнение y – 5y + 6y = ex.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение y – 5y + 6y = 0.
Записываем его характеристическое уравнение k 2 – 5k + 6 = 0. Его корни, согласно k1 = 2, k2 = 3.
Корни действительные различные. Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения запишем в виде y = C1 ek1x + C2 ek2x = C1 e2x + C2 e3x.
Для нахождения общего решения y = ~
y + z заданного неоднородного уравнения необходимо ещё найти частное решение z. Правая часть f (x) = aemx = ex, здесь m = 1 и это значение не является корнем характеристического уравнения. В этом случае частное решение ищем в виде z =
Aex, где A — неизвестный коэффициент.
Находим производные
z' = Aex и z'' = Aex.
Подставляя эти выражения в заданное уравнение, получим:
Aex – 5Aex + 6Aex = ex или 2A = 1.
Отсюда A
1
1
. Частное решение неоднородного уравнения имеет вид z e x .
2
2
Общее решение заданного уравнения, согласно структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид.
1
y C1e 2 x C2 e3 x e x .
2
Пример 20. Найти общее решение уравнения y – 4y + 4y = cos x.
Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение
y – 4y + 4y = 0
Его характеристическое уравнение k 2 4k 4 0 . Его корни, k1,2 2 4 4 2 , т.е. k — действительный корень двойной кратности.
146
Следовательно, общее решение однородного дифференциального уравнения запишем в
виде y = ekx(C1 + C2x) = e 2x(C1 + C2 x). Частное решение ищем в виде
z = Acosx + Bsinx, где A и B — неизвестные коэффициенты.
Находим производные z = – A sinx + B cosx и z = –Acosx – Bsinx.
Подставляем z, z и z в левую часть уравнения и группируем члены, содержащие cosx и
sinx: –Acosx – B sinx + 4A sinx – 4B cosx + 4A cosx + 4B sinx cosx.
Приравнивая коэффициенты при sinx и cosx слева и справа, получим следующую систему:
3 A 4B 1
Решая эти уравнения совместно, находим следующие значения
4 A 3B 0.
A
3
4
3
4
и B
и тогда частное решение будет иметь вид z cos x sin x .
25
25
25
25
Общее решение заданного уравнения будет
y e 2 x C1 C2 x
3
4
cos x sin x .
25
25
Примеры решения задач по темам 25 – 28
Пример 21. Найти сумму ряда
1
1
1
1 3 3 5 5 7
1
(2n 1) (2n 1)
.
Решение. Общий член ряда можно представить в следующем виде:
un
1
1 1
1
, n 1, 2,
(2n 1) (2n 1) 2 2n 1 2n 1
,
откуда
1 1
11 1
11 1
u1 1 , u2 , u3 ,
2 3
23 5
25 7
.
Следовательно,
1 1 11 1 11 1
Sn 1
2 3 23 5 25 7
1 1
1
2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1
1
2 3 3 5 5 7
Так как lim S n
n
1
1 1
1
1
.
2n 1 2n 1 2 2n 1
1
1
1 1
lim 1
, то ряд сходится, и его сумма S .
2
2 n 2n 1 2
n2
1 1
Пример 22. Исследовать сходимость ряда n 1 .
n
n 1 2
147
Решение. Применим радикальный признак Коши.
n2
n
1 1
Здесь un n 1 ,
2 n
n
1 1
un 1 . Применив второй замечательный предел, полу2 n
n
1
1
1
чаем: C lim un lim 1 e 1 , следовательно, данный ряд расходится.
n
2 n n
2
n
Пример 23. Исследовать сходимость ряда
1
n! .
n 1
Решение. Применяем достаточный признак Даламбера. Находим
un 1
1
1
n!
1
:
. Так как предел этого отношения при n равен 0 и, следоваun
(n 1)! n ! (n 1)! n 1
тельно, меньше 1, то ряд сходится.
Пример 24. Исследовать сходимость ряда
1
(n 1) ln(n 1) .
n 1
Решение. Воспользуемся интегральным признаком Коши. Здесь
un
1
1
.
, f ( x)
(n 1) ln(n 1)
( x 1) ln( x 1)
dx
dx
x 1 d (ln( x 1)) ln ln( x 1) .
1 ( x 1) ln( x 1) 1 ln( x 1) 1 ln( x 1)
1
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.
Пример 25. Исследовать сходимость степенного ряда
x
x2
2
xn
n
.
Решение. Здесь an = 1/n, an + 1 = 1/(n + 1). Найдем радиус сходимости:
R lim
n
an
n 1
1 1
1
lim :
lim
lim 1 1 .
n
an1 n n n 1 n n
n
Следовательно, ряд сходится абсолютно для значений x, удовлетворяющих неравенству
–1 < x < 1.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x = 1, то получаем гармонический ряд 1
1
2
1
n
, который, как известно, расходится.
1 1
Если x = –1, то получаем ряд 1
2 3
1
n
, который сходится по признаку Лейб-
ница.
Итак, область сходимости данного степенного ряда — интервал [–1, 1).
148
Пример 26. Исследовать сходимость ряда
1!(x – 1) + 2!(x – 1)2 + 3!(x – 1)3 + … + n!(x – 1)n + ….
Решение. Здесь an = n! и an + 1 = (n + 1)!, значит,
n!
1
lim
0.
n ( n 1)!
n n 1
R lim
Ряд сходится только при x – 1 = 0, т.е. в точке x = 1.
Пример 27. Найти сумму ряда 1 + 2x + 3x2 + … + nxn – 1 + … (|x| < 1).
Решение. Данный ряд получается почленным дифференцированием следующего ряда 1 +
x + x2 + … + xn + … (|x| < 1), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией; его сумма:
1 x x2
xn
1
.
1 x
Дифференцируя последнее равенство, получаем
1 2 x 3x 2
Пример 28. Найти сумму ряда x
nx n 1
x 2 x3
2 3
1
.
(1 x)2
xn
n
(|x| < 1).
Решение. Продифференцировав почленно данный ряд, получим ряд 1 + x + x2 +
+ … + xn + …, сумма которого
1 x x2
xn
1
.
1 x
Проинтегрировав последнее равенство в пределах от 0 до x (|x| < 1), находим
x
x 2 x3
2 3
xn
n
dx
d (1 x)
1
ln(1 x) ln
.
1 x
1 x
(1 x)
0
0
x
x
Пример 29. Разложить y sin 2 x в ряд по степеням x.
1
Решение. Воспользуемся равенством sin 2 x (1 cos 2 x) . Запишем разложение функции
2
cos2x, заменив в известной формуле x на 2x: cos 2 x 1
1 (2 x) 2 (2 x) 4 (2 x)6
Таким образом, sin x 1 1
2
2!
4!
6!
2
1
(2 x)2 (2 x)4 (2 x)6
2!
4!
6!
2 2 23 4 25 6 27 8
x x x x
4!
6!
8!
2!
Пример 30. Вычислить e x dx с точностью до 0,0001.
2
0
.
.
149
Решение. Неопределенный интеграл от функции e x
2
не выражается в элементарных
функциях, поэтому вычисление заданного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно,
и мы вынуждены ограничиться приближенным вычислением интеграла.
Разложение в степенной ряд функции e x имеет вид:
2
e
x2
x2 x4 x6
1
1! 2! 3!
x2n
(1)
... .
n!
n
Интегрируем полученный ряд почленно на отрезке [0; 1]:
1
e
0
x2
2n
x2 x4 x6
n x
dx 1
( 1)
...dx
1! 2! 3!
n!
0
1
x3 1 x5 1 x 7
x
3 2! 5 3! 7
1 x 2 n 1
(1)
n ! 2n 1
1
n
1 1 1
1
1
1
1
1
3 10 42 216 1320 9360 75600
0
.
Получили знакочередующийся числовой ряд с убывающими по абсолютной величине
членами. Этот ряд является сходящимся по признаку Лейбница, и для вычисления его суммы с заданной точностью мы можем ограничиться первыми семью членами (так как восьмой член ряда
по абсолютной величине меньше 0,0001). Выполняя все вычисления, получаем
1
e
x2
dx 0, 7468.
0
3.3. III семестр
Пример 1. Студент знает 15 вопросов из 30 в первом разделе курса и 25 из 40 вопросов
второго раздела этого курса.
Найти вероятность того, что студент:
1) знает ответы на оба вопроса;
2) не знает ответов на оба вопроса;
3) знает ответ только на один вопрос в билете.
Решение. Обозначим общее число вопросов первого раздела курса n1 = 30, а количество
выученных вопросов этого раздела m1 = 15.
Общее число вопросов второго раздела курса – n2 = 40, а количество выученных вопросов
этого раздела (т.е. благоприятствующих хорошему ответу) m2 = 25. Далее введём обозначение событий. Пусть: событие A состоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом
предложенный ему из первого раздела курса; A – противоположное событие, состоит в том, что
студент не знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из первого раздела кур-
150
са; событие B состоит в том, что студент знает ответ на вопрос, случайным образом предложенный
ему из второго раздела курса; B – противоположное событие, состоит в том, что студент не знает
ответ на вопрос, случайным образом предложенный ему из второго раздела курса.
Вероятности событий A и B найдём, пользуясь классическим определением вероятности:
P( A)
m1 15 1
,
n1 30 2
P( B)
m2 25 5
.
n2 40 8
Вероятности противоположных событий A и B определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий:
P( A) 1 P( A) 1
1 1
,
2 2
P( B ) 1 P( B) 1
5 3
.
8 8
1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события:
пусть событие C состоит в том, что студент знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса из первого и второго разделов курса.
Опираясь на понятие произведения двух событий, видим, что C = AB.
Для нахождения вероятности события C применим теорему умножения вероятностей не1 5 5
зависимых событий. Тогда P(C ) P( A B) P( A) P( B) 0,312 .
2 8 16
2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события: событие D
состоит в том, что студент не знает ответы на оба случайным образом предложенных ему вопроса
из первого и второго разделов. Используя понятие произведения двух событий, D A B .
Для нахождения вероятности события D применим снова теорему умножения вероятно1 3 3
стей независимых событий. Тогда P( D) P( A B) P( A) P( B) 0,188 .
2 8 16
3. Для решения третьего пункта введём ещё одно обозначение события: событие E состоит
в том, что студент знает ответ только на один из двух случайным образом предложенных ему вопросов из первого или второго раздела курса. Это сложное событие состоит из двух событий: или
студент знает ответ на случайный вопрос из первого раздела и не знает ответ на вопрос из второго
раздела, т.е. A B , или студент не знает ответ на вопрос из первого раздела и знает ответ на вопрос
из второго раздела, т.е. A B .
Окончательно, событие E A B A B .
Для нахождения вероятности этого события сначала применим теорему сложения вероятностей несовместных событий.
В нашем случае будет P( E ) P( A B A B) P( A B) P( A B) .
Теперь дважды применим теорему умножения вероятностей независимых событий:
151
P( E ) P( A B A B) P( A B) P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) .
Подставляем числовые значения этих вероятностей, получим:
P( E )
1 3 1 5 35 8 1
.
2 8 2 8 16
16 2
Ответ. 1. Студент знает ответы на оба предложенных вопроса с вероятностью P(C) =
5
0,312 . 2. Студент не знает ответов на оба предложенных вопроса с вероятностью
16
P ( D)
3
0,188 . 3. Студент знает ответ на один из двух предложенных ему вопросов с вероят16
ностью P ( E )
1
0,5 .
2
Пример 2. Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока составляет для
пылесоса 0,8 и для холодильника 0,95.
Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока окажутся работоспособными:
1) оба прибора;
2) хотя бы один прибор?
Решение. Введём обозначение событий. Пусть событие A состоит в том, что пылесос не
сломается в течение гарантийного срока; A — противоположное событие, состоит в том, что пылесос сломается в течение гарантийного срока; событие B состоит в том, что холодильник не сломается в течение гарантийного срока; B — противоположное событие, состоит в том, что холодильник сломается в течение гарантийного срока. Вероятности событий A и B нам даны в условии
задачи: P(A) = 0,80; P(B) = 0,95. Вероятности противоположных событий A и B определим, исходя из соотношения между вероятностями противоположных событий:
P( A ) = 1 – P(A) = 1 – 0,80 = 0,20; P( B ) = 1 – P(B) = 1 – 0,95 = 0,05.
1. Для нахождения ответа на первый пункт введём обозначение ещё одного события: событие C состоит в том, что оба прибора не сломаются в течение гарантийного срока. Опираясь на
понятие произведения двух событий, видим, что C = AB. Для нахождения вероятности события C
применим теорему умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B). Тогда P(C) = P(A B) = P(A)P(B) = 0,800,95 = 0,760.
2. Для решения второго пункта задачи введём ещё одно обозначение события:
событие D состоит в том, что в течение гарантийного срока хотя бы один прибор будет работать.
D – противоположное событие, состоит в том, что оба прибора сломаются в течение гарантийного
срока. Используем понятие произведения двух событий: D A B . Для нахождения вероятности
152
события D применим ту же теорему умножения вероятностей независимых событий. Тогда
P( D) P( A) P( B) 0, 2 0, 05 0, 010 .
Но это вероятность противоположного события D , а нам надо узнать вероятность прямого события D, которую определим, пользуясь соотношением между вероятностями противоположных событий. Тогда вероятность того, что будет работать хотя бы один прибор:
P(D) = 1 – P( D ) = 1 – 0,010 = 0,990.
Ответ. 1. Вероятность того, что пылесос и холодильник будут работать в течение гарантийного срока, P(C) = 0,76. 2. Вероятность того, что хотя бы один из приборов будет работать в
течение гарантийного срока, P(D) = 0,99.
Пример 3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий
конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.
Решение. Событие A = {деталь оказалась отличного качества}. Гипотезы: B1 – деталь изготовлена первым автоматом, B2 – деталь изготовлена вторым автоматом. Найдем вероятности гипотез, исходя из того, что производительность первого автомата вдвое больше второго:
P B1 2 3; P B2 1 3 . PB1 A – вероятность того, что наудачу взятая деталь будет отличного
качества, при условии, если она произведена первым автоматом. PB2 A – вероятность того, что
наудачу взятая деталь будет отличного качества, при условии, если она произведена вторым автоматом. По условию задачи эти вероятности соответственно равны PB1 A 0,6; PB2 A 0,84 .
Найдем вероятность P(A) по формуле полной вероятности:
P A P B1 PB1 A P B2 PB2 A
2
1
2 7 17
0, 6 0,84
3
3
5 25 25
Первое слагаемое соответствует доле вероятности изготовления деталей отличного качества первым автоматом. Тогда по формуле Бейеса имеем:
2
0, 6
3
PA B1 2
2
1
0, 6 0,84
P Bi PBi A
3
3
i 1
P B1 PB1 A
2
5 10 .
17 17
25
Ответ. Вероятность того, что взятая с конвейера деталь, которая оказалась отличного качества, произведена первым автоматом, равна 10/17.
153
Пример 4. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход
электроэнергии не превысит нормы в течение 4 суток.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 7
суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25. По условию задачи количество повторных независимых испытаний, т.е. количество наблюдаемых суток, n = 7, k = 4. Используя
формулу Бернулли, получаем: P7 4 C74 p 4 q 7 4
7!
4
3
0, 75 0, 25 0,173 .
4! 3!
Ответ. Из 100 недель, взятых для наблюдения, в 17 случаях расход электроэнергии не
превысит нормы в течение 4 суток.
Пример 5. Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем 90% выпускаемых изделий являются стандартными. При выборочном контроле качества продукции было случайным образом отобрано 400 изделий. Каково наивероятнейшее число стандартных изделий среди 400 отобранных и чему равна соответствующая этому событию вероятность? Какова вероятность того, что среди этих 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных?
Решение.
1. Наивероятнейшее число k0 событий в серии из n повторных независимых испытаний
находим как целое число, заключённое в пределах: np – q k0 np + p.
В нашей задаче:
общее число испытаний n = 400 (количество отобранных для контроля изделий);
p = (90%) = 0,9 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным;
q = 1 – p = 1 – 0,9 = 0,1 — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным.
Подставляем числовые данные в двойное неравенство, получим
400·0,9 – 0,1 k0 400·0,9 + 0,9 360 – 0,1 k0 360 + 0,9 359,9 k0 360,9.
В этих пределах находится единственное целое число k0 = 360, т.е. вероятнее всего, что из
наугад выбранных 400 изделий стандартными окажутся 360.
При больших значениях n наивероятнейшее число k0 событий приближённо можно находить из соотношения
k0 n·p = 400·0,9 = 360.
2. Найдём вероятность P400(360), используя локальную формулу Лапласа:
Pn ( k )
1
npq
1
2
e
x2
2
1
npq
( x) ,
154
где x
k np
npq
1
, а ( x)
2
e
x2
2
Тогда Pn ( k 0 ) P400 ( 360)
1
Для ( x )
2
e
x2
2
— нормированная функция Гаусса.
( x)
npq
( x)
400 0,9 0,1
.
составлены таблицы в зависимости от её аргумента
x
k 0 np
npq
360 400 0,9
400 0,9 0,1
360 360
36
0.
Находим, что значение функции Гаусса (0) 0,3989 . Тогда искомая вероятность будет:
P400 ( 360)
( 0)
400 0,9 0,1
0,3989
36
0,3989
0,0665 .
6
3. Вероятность P400 (34 k 50) того, что среди 400 изделий окажется от 34 до 50 нестандартных будем находить, используя интегральную теорему Лапласа:
Pn(k1 k k2)
где Ф( z )
1
2
z
1
2
z2
e x 2 dx Ф(z2) – Ф(z1),
2
z1
e x 2 dx — функция Лапласа, а z 1
2
k 1 np
npq
0
, z2
k 2 np
npq
— её аргументы.
Но здесь следует изменить вероятности p и q прямого и противоположного событий:
p — вероятность того, что наугад выбранное изделие является нестандартным, p = 0,1;
q — вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным, q = 0,9.
Находим аргументы функции Лапласа:
z1
z2
k 1 np
npq
k 2 np
npq
34 400 0,1
400 0,1 0,9
50 400 0,1
400 0,1 0,9
34 40
36
50 40
36
6
1,
6
10
1,67.
6
Тогда Pn(k1 k k2) Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1).
Значения функции Лапласа находим в таблице, учитывая, что эта функция нечётная Ф(-x) = - Ф(x).
Тогда Ф(1,67) = 0,4525, Ф (-1) = -0,3413, получаем:
P400(34 k 50) Ф(z2) – Ф(z1) = Ф(1,67) – Ф(-1) = 0,4525 – (- 0,3413) = 0,4525 + 0,3413 = 0,7938.
Ответ. 1. Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся k0 = 360 шт.
2. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными
окажутся 360, — P400(360) 0,0665 0,07.
155
3. Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными
окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна P400(34 k 50) 0,7938 0,79.
Пример 6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной функцией плотности:
0, x 0,
f ( x ) 1, 0 x 1,
0, x 1.
Решение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], вычисляется по формуле:
x2
M X x f x dx x f x dx xdx
a
0
0
2
b
1
1
1
0
1
.
2
2
Найдем M ( X ) :
x3
M X x f x dx x f x dx x dx
a
0
0
3
b
2
1
2
1
2
1
2
0
1
.
3
Дисперсия вычисляется по формуле:
D X M X
2
M X
2
1 1
1
.
3 2
12
2
Среднее квадратическое отклонение находим по формуле:
X D X 1 12
1
2 3
3
.
6
Ответ. Математическое ожидание случайной величины X
D X
M(X )
1
; дисперсия
2
3
1
; среднее квадратическое отклонение — X
.
12
6
Пример 7. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x),
причем a неизвестно:
x 0,
0,
f ( x ) a( 3 x x 2 ), 0 x 3,
0,
x 3.
Требуется:
1. Найти коэффициент a.
2. Найти вероятность попадания X в промежуток (1; 2).
156
Решение. 1. Так как все значения данной случайной величины заключены на отрезке [0; 3],
то по формуле f ( x )dx a 3 x x 2 dx 1 , откуда
3
3
0
0
3
2
1
33
2
3
33
9
a 3 x x dx a x 2 x 3 a
1 или a 1 , следовательно, a .
0
9
3 0
3
2
2
2
3
2
Таким образом, плотность распределения имеет вид:
x 0,
0,
2
f ( x ) ( 3 x x 2 ), 0 x 3,
9
x 3.
0,
2. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток (1; 2) найдем по формуле
(2.33), учитывая, что f ( x )
2
2
x x 2 на промежутке (1; 2):
3
9
2
2
2 2
2x 3
4 16 1 2 13
2
x
P 1 x 2 x x dx
1 3
9
27 1 3 27 3 27 27
3
2
Ответ. a
2
13
, P 1 x 2
.
27
9
Пример 8. Случайная величина распределена нормально с параметрами a = 8, = 3. Найти
вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение, заключенное в интервале (12,5;14).
a
a
Решение. Воспользуемся формулой: P x Ф
Ф
.
Так как = 12,5, = 14, a = 8, = 3, имеем
a 14 8
a 12,5 8
2,
1,5 .
3
3
Тогда P(12,5 < x < 14) = Ф(2) – Ф(1,5) = 0,4772 – 0,4332 = 0,0440.
Ответ. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (12,5; 14), равна 0,0440.
Пример 9. Получено распределение заводов по основным фондам X (ден. ед.) и по стоимости готовой продукции Y (ден. ед.), помещённое в корреляционную табл.1. Предполагая, что
между признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость, требуется:
1) вычислить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между рассматриваемыми
признаками;
2) составить уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y и построить их графики.
Таблица 1
X
157
Y
15
25
35
45
55
nx
10
5
5
20
7
20
27
30
23
30
10
63
40
47
11
9
67
50
2
20
7
29
60
6
3
9
ny
12
43
79
47
19
n = 200
Решение. 1) Если обе линии регрессии Y на X и X на Y - прямые, то корреляция является
линейной.
~
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид Y x y rВ ~ y ( x x ),
x
~
и выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y: X y rВ ~ ( y y ), где Y x , X y
x
y
y
~ ,
~ - выбоусловные средние признаков Y и X, y, x - выборочные средние признаков Y и X,
x
y
рочные средние квадратические отклонения; rВ - выборочный коэффициент корреляции.
2) У нас данные наблюдений над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами (выборка большая n = 200). В этом случае для упрощения вычислений перейдём к условным вариантам (вместо X введём u, а вместо Y - v), вычисляя их по следующим формулам: ui
y C2
xi C1
, vj j
, где
h1
h2
C1 – варианта признака X, имеющая наибольшую частоту; C2 – варианта признака Y, имеющая
наибольшую частоту; h1 – шаг (разность между двумя соседними вариантами X); h2 – шаг (разность между двумя соседними вариантами Y). Тогда выборочный коэффициент корреляции с использованием условных вариант будет: rВ
n uv n u v .
uv
n~ u~ v
Здесь u – выборочное среднее значение условной варианты u;
v – выборочное среднее значение условной варианты v;
u – выборочное среднее квадратическое отклонение варианты u;
v – выборочное среднее квадратическое отклонение варианты v.
Вычислять их будем по формулам:
u
n
u
n
u
, v
n
v
n
v
2
2
2
2
Здесь u – выборочное среднее значение квадрата условной варианты u;
2
2
, u u u , v v v .
v – выборочное среднее значение квадрата условной варианты v.
158
3) Для случая нашей корреляционной таблицы наибольшая частота nxy = 47, она соответствует значениям вариант x = 40 и y = 35. Эти значения возьмём в качестве ложных нулей
C1 = 40, C2 = 35.
Шаг h1 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака X (20-10);
шаг h2 равен разности между двумя соседними значениями вариант признака Y (25-15), т.е.
h1 = 10, h2 = 10.
Вообще говоря, эти шаги не обязательно должны быть равными, и в общем случае h1 h2 .
Составим корреляционную таблицу в условных вариантах.
Это делается следующим образом.
В первой строке вместо ложного нуля C1 (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают -1; - 2; - 3; справа от нуля пишут 1; 2.
В первом столбце вместо ложного нуля C2 (варианты 35) пишут 0; над нулём последовательно записывают -1; -2; под нулём пишут 1; 2.
Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной табл. 1. В итоге
получим корреляционную табл. 2 в условных вариантах.
Таблица 2.
u
v
-3
-2
-1
0
1
2
nv
-2
5
7
-
-
-
-
12
-1
-
20
23
-
-
-
43
0
-
-
30
47
2
-
79
1
-
-
10
11
20
6
47
2
-
-
-
9
7
3
19
nu
5
27
63
67
29
9
n = 200
4) С помощью этой таблицы находим средние выборочные u и v условных вариант, перемножая сначала значения в верхней и нижней строчках, а затем в первом и последнем столбцах:
u
n u 5 (3) 27 (2) 63 (1) 67 0 29 1 9 2 0,425;
u
n
200
v
n v 12 (2) 43 (1) 79 0 47 1 19 2 0,090.
v
n
200
2
Теперь находим средние выборочные u и v
2
значения квадратов условных вариант u и
v, перемножая сначала значения квадратов в верхней на значения в нижней строчках, а затем
квадратов значений в первом на значения в последнем столбцах, получим:
159
2
u
2
n u 5 9 27 4 63 1 67 0 29 1 9 4 1,405;
v
2
u
2
200
n v 12 4 43 1 79 0 47 1 19 4 1,070.
2
v
n
200
5) Находим величины средних разбросов u , v значений условных вариант u и v:
2
u u u
2
1, 405 (0, 425) 2 1, 2244 1,1065;
2
v v v
2
1, 070 (0, 090) 2 1, 0619 1, 0305.
Далее вычисляем средние квадратические отклонения x , y значений истинных вариант
x и y: x h1 u 10 1,1065 11, 065; y h2 v 10 1, 0305 10,305.
Так же находим средние выборочные x и y истинных вариант:
x h1 u C1 10 (0, 425) 40 35,75; y h2 v C2 10 0,090 35 35,90.
6) Для нахождения выборочного коэффициента rв линейной корреляции
rВ
n
uv
u v n u v
n u v
; осталось вычислить двойную сумму
n
uv
u v .
7) Для этого составляем расчётную табл. 3.
Дадим пояснения к её заполнению.
а) Количество строк и количество столбцов в ней увеличиваем на один по сравнению с их
количеством в табл. 2.
б) В каждой клетке записываем три числа: в центре клетки по-прежнему записана варианта nuv; в правом верхнем углу — её произведение на соответствующую варианту u из второй строки, например, в первой клетке в правом верхнем углу записано произведение 5 (–3) = –15; в левом нижнем углу записываем произведение частоты nuv на соответствующую варианту v, стоящую в первом столбце, так в первой клетке внизу слева записано произведение 5(–2) = –10.
в) Складываем все числа, помещённые в правых верхних углах клеток одной и той же
строки, а их сумму записываем в клетку этой же строки, но в предпоследний столбец U. Например, для первой строки U = –15 + (–14) = –29.
г) Умножаем варианту v из первого столбца на соответствующее значение U из предпоследнего столбца и полученное произведение записываем в клетку этой же строки последнего
столбца v U. Например, для первой строки варианта v = –2, значение параметра U = -29, следовательно, их произведение будет v U = (–2) (–29) = 58. Это число и записываем для первой строки
в последний столбец.
160
U 169 , которая и
д) Складываем все числа последнего столбца v U, получаем сумму
v
равна искомой сумме
n
uv
u v .
е) Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам.
Если результаты совпадают, то
n
uv
u v v U u V 169.
v
u
8) Теперь выборочный коэффициент rв линейной корреляции будет равен
rВ
n
uv
u v nu v
n u v
169 200 (0, 425) 0,090
0,775.
200 1,106 1, 209
9) В уравнения прямых линий регрессии Y x y rВ
y
x
x x , X y y rВ
x
y y
x
подставляем все найденные величины: x 11, 065; y 10,305; x 35, 75; y 35,90; rВ 0, 775.
Получим: Y x 35,90 0, 775
10,305
( x 35, 75) Y x 0, 721x 10, 002;
11, 065
X y 35, 75 0, 775
11, 065
( y 35,90) X y 0,832 y 5,884.
10, 065
Таблица 3.
u
v
-3
-2
-15
5
-14
7
-2
-10
-1
-
1
-
2
-
V= nuv v -10
uV
0
1
U = nuv u
2
vU
-29
-
-
-
-
58
-14
-
0
-1
30
-40
-23
20
23
-20
-23
-30
0
2
30
47
2
0
0
0
-10
0
20
10
11
20
10
11
20
6
0
7
9
7
10
14
6
-34
68
-13
13
29
34
0
-63
-28
-
0
12
6
22
6
13
3
22
26
vU =
12
34
63
24
10) Построим графики этих уравнений на одном рисунке.
uV = 169
161
а) Для построения прямой Y x 0,721 x 10,002 выберем два значения x, достаточно удалённые друг от друга, но лежащие в области изменения параметра X, например, x1 = 10 и x2 = 60.
Подставим их поочерёдно в уравнение, получим:
Y x1 0,721 10 10,002 17,212 17,2;
Y x 2 0,721 60 10,002 53,262 53,3.
Точки М1(x1;y1) = М1(10;17,2) и М2 (x2;y2) = М2 (60;53,3) наносим на диаграмму рассеяния
и, соединив их, получаем график прямой линии регрессии Y x 0, 721x 10, 002 (рис. 1).
б) Строим прямую X y 0,832 y 5,884 ; выбираем значения y: y1 = 15 и y2 = 55. Подставим
поочерёдно в уравнение, получаем:
X y1 0,832 15 5,884 18,364 18,4;
X y2 0,832 55 5,884 51,644 51,6.
Точки N1 (x1; y1) = N1 (18,4; 15) и N2 (x2; y2) = N2 (51,6; 55) так же наносим на диаграмму
рассеяния и, соединив их, получаем график второй прямой линии регрессии X y 0,832 y 5,884
(рис.1).
Рис.1 Диаграмма рассеяния и прямые линии регрессии, описывающие связь между объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y.
Ответ:
1) Предполагая, что связь между признаками X и Y является линейной, получили выборочные уравнения прямых линий регрессий в виде: Y x 0,721 x 10,002 ; X y 0,832 y 5,884 .
162
2) Диаграмма рассеяния и графики прямых линий регрессии представлены на рис.
3) Выборочный коэффициент корреляции rВ = + 0,78. Он показывает, что связь между
объёмом основных фондов X предприятия и стоимостью готовой продукции Y является высокой.
3.4. IV семестр
Пример_10. (об оптимальном использовании ресурсов).
Для производства двух видов изделий A и D предприятие использует три типа сырья.
Нормы расхода сырья каждого типа на изготовление единицы продукции данного вида приведены
в таблице. Здесь же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного типа, которое может быть использовано предприятием. Требуется составить
такой план выпуска изделий, при котором прибыль предприятия от реализации всех изделий является максимальной.
Таблица
Тип сырья
Нормы расхода сырья
на одно изделие (кг)
A
D
Общее количество
сырья (кг)
I
12
4
300
II
4
4
120
III
Прибыль от реализации
одного изделия (ден. ед.)
3
12
252
30
40
Решение: 1. Математическая постановка задачи.
Пусть x1 — количество изделий вида A, x2 — количество изделий вида D, спланированных к
выпуску. В этом случае сырья первого типа потребуется затратить: на все изделия вида A в количестве a1x1 = 12x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d1x2 = 4x2 (кг).
Значит, общие затраты сырья первого типа на производство всех запланированных изделий вида A и D составят a1x1 + d1x2 = 12x1 + 4x2 (кг). Сырья второго типа потребуется затратить: на все
изделия вида A в количестве a2x1 = 4x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d2x2 = 4x2 (кг).
Итак, общие затраты сырья второго типа на производство всех запланированных изделий вида
A и D составят а2x1 + d2x2 = 4x1 + 4x2 (кг). Сырья третьего типа потребуется затратить: на все изделия вида A в количестве а3x1 = 3x1 (кг); на все изделия вида D в количестве d3x2 = 12x2 (кг).
Тогда общие затраты сырья третьего типа на производство всех запланированных изделий вида
A и D составят а3x1 + d3x2 = 3x1 + 12x2 (кг). При этом после реализации всех изделий будет получена прибыль F = c1x1 + c2x2 = 30x1 + 40x2 (ден. ед.).
Учтём, что затраты сырья не могут превышать их первоначальных запасов, а количество произведённых изделий не бывает отрицательным; тогда ограничения будут иметь вид:
163
12 x 1 4 x 2 300,
4 x 4 x 120,
1
2
3 x 1 12 x 2 252,
x 1 0, x 2 0.
Общая прибыль от реализации изделий, т.е. целевая функция, имеет вид:
F = 30x1 + 40x2 max.
2. Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию.
Определим многоугольник решений.
Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных
знаки неравенства заменим знаками точного равенства и построим соответствующие прямые
(рис. 1.):
12x1 + 4x2 = 300
(I)
4x1 + 4x2 = 120
(II)
3x1 + 12x2 = 252 (III)
x1 = 0
(IV)
x2 = 0
(V)
x2
IV
I
II
B
A
с
O
III
C
F=0 D
V
Fmax
x1
Рис. 1.
Пересечение найденных полуплоскостей определяет многоугольник решений задачи. На рис. 1 это
многоугольник OABCD. Строим вектор c (30; 40) и линию уровня F = 0. Перемещая линию уровня в
направлении вектора c , видим, что последней общей точкой является точка B. Найдем ее координаты
как точки пересечения прямых II и III:
164
4 x1 4 x 2 120,
3 x1 12 x 2 252.
Решая систему, получим x1* 12, x 2* 18 .
Следовательно, если предприятие изготовит 12 изделий вида A и 18 изделий вида D, то оно
получит максимальную прибыль, равную Fmax = 3012 + 4018 = 1080 (ден. ед.).
Пример_11. Используя симплекс-метод решить следующую задачу ЛП:
F x1 2 x2 max
2 x1 x2 2
x 2 x 2
1
2
x
x
2
1 2
x1 , x2 0
Запишем задачу в канонической форме за счёт введения дополнительных неотрицательных
переменных: x3 , x4 , x5 .
F x1 2 x2 max
2 x1 x2 x3 2
x1 2 x2 x4 2
x x x 2
1 2 5
В данном случае опорное решение (допустимая угловая точка) очевидно: x1 x2 0 ;
x3 x4 x5 2 . Поэтому сразу переходим к симплекс-таблицам.
Базис
Значение
x1
x2
x3
x4
x5
x3
2
2
-1
1
-
-
x4
2
-1
2
-
1
-
x5
2
1
1
-
-
1
F
0
1
2
-
-
-
Выбираем наибольший положительный коэффициент в целевой функции, выраженной
через свободные переменные (х1, х2). В данной задаче этот коэффициент имеет значение «2». Тем
самым определён ведущий столбец и переменная, которая будет введена в базис (х2). Далее
согласно алгоритму симплекс-метода находим минимум неотрицательных отношений чисел в
2 2
столбце «значение» к числам в столбце «х2». В этой задаче: min ; 1.
2 1
Таким образом, определена ведущая строка и переменная выводимая из базиса (в данной
задаче это х4). Ведущий элемент в таблице выделен в кружке. Далее все элементы второй строки
делятся на ведущий элемент (на «2»). Новая таблица будет записываться следующим образом:
Базис
Значение
x1
x2
x3
x4
x5
x3
3
3/2
-
1
1/2
-
165
х2
1
-1/2
1
-
1/2
-
x5
1
3/2
-
-
-1/2
1
F
2
2
-
-
-1
-
На новом этапе вычислений базисные переменные х3, х2, х5 принимают
значения: x3 3, x2 1, x5 1 . Целевая функция z выражена через свободные переменные х1, х4.
Имеется только один положительный коэффициент в целевой функции «2». Находим минимум
отношения: min 3: 3 / 2; 1: 3 / 2 2 / 3.
Ведущий элемент указан в кружке. Новая таблица имеет вид.
Базис
Значение
x1
x2
x3
x4
x5
x3
2
-
-
1
1
-1
х2
4/3
-
1
-
1/3
1/3
х1
2/3
1
-
-
-1/3
2/3
F
10/3
-
-
-
-1/3
-4/3
Поскольку все коэффициенты при целевой функции неположительны, то оптимальное решение
получено: x1 2 / 3, x2 4 / 3 , Fmax 10 / 3 .
Пример_12. Решить транспортную задачу.
У трех поставщиков имеется однородный груз в количествах 70, 60 и 100 единиц. Этот груз
необходимо доставить четырем потребителям, каждый из которых должен получить соответственно 80,100, 20 и 30 единиц. Стоимости доставки единицы груза (тарифы) от каждого поставщика A i (i =1, 2, 3) всем потребителям B j (j = 1, 2, 3, 4) заданы матрицей C=( cij ):
4 8 10 9
C 7 2 6 5 . Составить план перевозок однородного груза с минимальными транспорт 5 1 3 10
ными затратами.
Решение. 1. Проверяем необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:
3
ai 40 80 80 200,
i 1
4
b
j 1
j
70 20 60 60 210.
Суммарная потребность в грузе равна запасам поставщиков. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой и может быть разрешена. Все исходные данные заносим в таблицу 1.
Поставщики
A1
Потребители
B3
B2
B1
4
70
8
Таблица 1
Запасы
ai
B4
10
9
70
166
A2
7
6
20
5
A3
Потребности
bj
2
10
80
1
5
30
3
100
0
100
20
10
30
60
100
230=230
2. Построение первого опорного плана методом минимальной стоимости.
Среди тарифов минимальным является c 32 =1. В клетку А 3 В 2 направляем максимально возможный груз, равный min(100,100)=100. Тогда x 32 = 100. От поставщика А 3 весь груз вывезен и
потребность второго заказчика реализована. Строка А 3 и столбец В 2 выходят из рассмотрения.
Среди оставшихся тарифов минимальный элемент - c 11 = 4. В клетку A 1 B 1 направляем груз
min(70,80) =70. При этом строка A 1 выходит из рассмотрения, а потребителю B 1 еще требуется
10ед. Продолжая рассуждения аналогичным образом, получаем первый опорный план, который
является допустимым, так как все грузы со складов вывезены, и потребности всех магазинов удовлетворены.
3. Проверка вырожденности плана.
Число базисных переменных в невырожденном плане должно быть m+n-1 = 3+4-1 = 6. Первый опорный план является вырожденным, так как число занятых клеток равно 5. Для продолжения решения задачи опорный план необходимо дополнить введением фиктивной перевозки, т. е.
занять нулём одну из свободных клеток. Направляем нуль в клетку A 3 B 3 , так как данная клетка
не образует с другими занятыми клетками таблицы замкнутого прямоугольного контура.
4. Расчет значения целевой функции.
F(X 1 ) = 4 70 7 10 6 20 5 30 1100 =720 (тыс. руб.).
5. Нахождение оптимального плана транспортной задачи.
Построенный исходный опорный план доводим до оптимального методом потенциалов.
Для каждой заполненной клетки, т. е. для каждой базисной переменной строится соотношение: u i +v j =c ij . Получаем систему с числом уравнений, равным количеству базисных переменных. Из этой системы определяем неизвестные потенциалы u i и v j :
u 1 +v 1 =c 11 =4, u 2 +v 1 =c 21 =7, u 2 +v 3 =c 23 =6, u 2 +v 4 =c 24 = 5, u 3 +v 2 =c 32 =1, u 3 +v 3 =c 33 = 3.
Получили шесть уравнений с семью неизвестными. Полагая u 2 =0, находим остальные неизвестные: u 1 =-3, u 2 =0, u 3 =-3; v 1 =7, v 2 =4, v 3 =6, v 4 =5. Находим косвенные тарифы для незаполненных клеток и проверяем условия оптимальности: c 12 = u 1 +v 2 = 1<c 12 =8, 12 =-7;
с 13 = u 1 +v 3 =3 <c 13 =10, 13 =-7; с 14 = u 1 +v 4 =2 <c 14 =9, 14 =-7; с 22 = u 2 +v 2 =4>c 22 =2,
с 31 =u 3 +v 1 =4<c 31 =5, 31 =-1, с 34 =u 3 +v 4 =2 <c 34 =10, 33 =-8>0.
22 =2>0;
167
Первый опорный план является не оптимальным, так как 22 =2>0. Для улучшения плана
клетку A 2 B 2 необходимо загрузить, т.е. переменную x 22 ввести в состав базисных и построить
для неё цикл пересчета поставок (таблица 1).
168
Поставщики
A1
A2
B1
B4
4
8
10
9
7
2
6
5
70
10
20
5
A3
Потребности
bj
Потребители
B3
B2
Таблица 2
Запасы
ai
80
30
1
3
80
20
100
20
10
30
70
60
100
230=230
План транспортной задачи, приведенный в таблице 2 невырожденный, число занятых клеток
равно шести. Значение целевой функции равно:
F(X 2 )= 4 70 7 10 2 20 5 30 1 80 3 20 =680(тыс. руб.).
Новый план проверяем на оптимальность. Для этого строим систему потенциалов по методике, указанной на предыдущем шаге.
u 1 +v 1 =c 11 =4, u 2 +v 1 =c 21 =7, u 2 +v 2 =c 22 =2, u 2 +v 4 =c 24 = 5, u 3 +v 2 =c 32 =1, u 3 +v 3 =c 33 = 3.
Получили шесть уравнений с семью неизвестными. Полагая u 2 =0, находим остальные неизвестные: u 1 =-3, u 2 =0, u 3 =-1; v 1 =7, v 2 =2, v 3 =4, v 4 =5.
Находим косвенные тарифы для незаполненных клеток и проверяем условия оптимальности:
c 12 = u 1 +v 2 = -1<c 12 =8, 12 =-9; с 13 = u 1 +v 3 =1 <c 13 =10, 13 =-9; с 14 = u 1 +v 4 =2 <c 14 =9, 14 =-7;
с 23 = u 2 +v 3 =4<c 23 =6, 23 =-2; с 31 =u 3 +v 1 =6>c 31 =5, 31 =1>0, с 34 =u 3 +v 4 =4 <c 34 =10, 33 =-6.
Второй опорный план является не оптимальным, так как 31 =1>0. Для улучшения плана
клетку A 3 B 1 необходимо загрузить, т.е. переменную x 31 ввести в состав базисных и построить для
неё цикл пересчета поставок (таблица 2).
Поставщики
A1
Потребители
B3
B2
B1
4
B4
8
10
2
6
9
70
A2
7
A3
5
Потребности
bj
Таблица 3
Запасы
ai
30
5
30
1
3
10
70
20
80
100
20
10
30
70
60
100
230=230
План транспортной задачи, приведенный в таблице 3 невырожденный.
Значение целевой функции равно: F(X 3 )= 4 70 2 30 5 30 5 10 1 70 3 20 =670(тыс. руб.).
Новый план проверяем на оптимальность.
169
u 1 +v 1 =c 11 =4, u 2 +v 2 =c 22 =2, u 2 +v 4 =c 24 =5, u 3 +v 1 =c 31 =5, u 3 +v 2 =c 32 = 1, u 3 +v 3 =c 33 = 3.
Полагая u 3 =0, находим остальные неизвестные: u 1 =-1, u 2 =1, u 3 =0; v 1 =5, v 2 =1, v 3 =3, v 4 =4.
Находим косвенные тарифы для незаполненных клеток и проверяем условия оптимальности:
c 12 = u 1 +v 2 = 0<c 12 =8, 12 =-8; с 13 = u 1 +v 3 =2 <c 13 =10, 13 =-8; с 14 = u 1 +v 4 =3 <c 14 =9, 14 =-6;
с 21 = u 2 +v 1 =6<c 23 =7, 23 =-1; с 23 =u 2 +v 3 =4<c 23 =6, 23 =-2, с 34 =u 3 +v 4 =4 <c 34 =10, 33 =-6.
Проверка плана на оптимальность показывает, что третий опорный план является оптимальным, поскольку все оценки свободных клеток ij 0 . Оптимальный план имеет вид:
70 0 0 0
X = 0 30 0 30 . Целевая функция равна: F(X)=670(тыс. руб.). Оптимальный план является
10 70 20 0
невырожденным.
3.4. V семестр
Пример_1. (Задача о назначениях) Требуется назначить 7 претендентов на 7 должностей, с максимальным результатом.
7
1
13
1
13
9
9
10
14
15
14
8
4
3
14 3 7 1 6
3 11 12 3 6
14 8 8 12 3
9 7 10 3 15
2 10 1 13 2
14 4 2 1 1
12 13 7 1 10
Преобразуем матрицу, чтобы решать задачу на минимум. Найдем максимальный элемент в каждой строке и отнимем от этого числа каждый элемент этой строки. Получаем:
7 4 0 11 7 13 8
13 0 11 3 2 11 8
2 0 1 7 7 3 12
14 1 6 8 5 12 0
0 5 11 3 12 0 11
5 10 0 10 12 13 13
4 10 1 0 6 12 3
В пятом столбце нет 0. Вычтем от всего этого столбца минимальный элемент этого столбца, т.е. 2.
Попробуем произвести назначения, выбирая один 0 в каждой строке и столбце. Выделим их *.
7 4 0 11 5 13 8 *
13 0 11 3 0* 11 8
2 0* 1 7 5 3 12
14 1 6 8 3 12 0*
0 5 11 3 10 0* 11
5 10 0* 10 10 13 13 *
4 10 1 0* 4 12 3
*
170
В первой строке нет 0*. Расставим метки, начиная с этой строки. Пометки обозначены на предыдущей таблице знаком * на полях. Первая строка пометит 3 столбец, который пометит 6-ю строку.
Больше пометить ничего нельзя. Отмечен один столбец, в котором уже есть 0*. Следовательно,
надо получить новые нули. В отмеченных строках без отмеченного столбца минимальный элемент
равен 4. отнимем 4 от отмеченных строк (1 и 6) и прибавим к отмеченному столбцу (3). Произведем переназначение нулей. Получаем:
3 0* 0 7 1 9 4
13 0 15 3 0* 11 8
2 0 5 7 5 3 12
14 1 10 8 3 12 0*
0 5 15 3 10 0* 11
1 6 0* 6 6 9 9
4 10 5 0* 4 12 3
* *
*
*
*
В третьей строке нет 0*. Расставим метки. Третья строка помечает 2-й столбец, 2-й столбец помечает 1-ю строку, 1-я строка помечает 3-й столбец, 3-й столбец помечает 6-ю строку. Больше меток
нет. Отмечены только столбцы с 0*. Следовательно, надо получить новые нули. В отмеченных
строках без отмеченного столбца минимальный элемент равен 1. Вычтем 1 из отмеченных строк
(1,3 и 6) и прибавим к отмеченным столбцам (2 и 3). Произведем переназначение нулей. Получим:
2 0 0* 6 0 8 3
13 1 16 3 0* 11 8
1 0* 5 6 4 2 11
14 2 11 8 3 12 0*
0 6 16 3 10 0* 11
0* 6 0 5 5 8 8
4 11 6 0* 4 12 3
Все строки и столбцы содержат по одному 0*. Назначения проведены. По исходной матрице определяем максимальную сумму, которая равна 91.
Пример_2. (Задача коммивояжера) Коммивояжер должен объездить 6 городов. Для того
чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно
по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат. Исходный город A. Затраты на перемещение между городами заданы следующей матрицей:
A
B
C
D
E
F
A
∞
7
20
21
12
23
Решение задачи.
B
26
∞
13
16
46
5
C
42
16
∞
25
27
5
D
15
1
35
∞
48
9
E
29
30
5
18
∞
5
F
25
25
0
18
5
∞
171
Для удобства изложения везде ниже в платежной матрице заменим имена городов (A, B, …,
F) номерами соответствующих строк и столбцов (1, 2, …, 6).
Найдем нижнюю границу длин множества всех маршрутов. Вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки, далее вычтем из каждого столбца число, равное
минимальному элементу этого столбца, и таким образом приведем матрицу по строкам и столбцам. Минимумы по строкам: r1=15, r2=1, r3=0, r4=16, r5=5, r6=5.
После их вычитания по строкам получим:
1
2
3
4
5
6
1
∞
6
20
5
7
18
2
11
∞
13
0
41
0
3
27
15
∞
9
22
0
4
0
0
35
∞
43
4
5
14
29
5
2
∞
0
6
10
24
0
2
0
∞
Минимумы по столбцам: h1=5, h2=h3=h4=h5=h6. После их вычитания по столбцам получим
приведенную матрицу:
1
∞
1
15
0
2
13
1
2
3
4
5
6
2
11
∞
13
0
41
0
3
27
15
∞
9
22
0
4
0
0
35
∞
43
4
5
14
29
5
2
∞
0
6
10
24
0
2
0
∞
Найдем нижнюю границу φ(Z) = 15+1+0+16+5+5+5 = 47.
Для выделения претендентов на включение во множество дуг, по которым производится
ветвление, найдем степени Θij нулевых элементов этой матрицы (суммы минимумов по строке и
столбцу). Θ14 = 10 + 0, Θ24 = 1 + 0, Θ36 = 5+0, Θ41 = 0 + 1, Θ42 = 0 + 0, Θ56 = 2 + 0, Θ62 = 0 + 0, Θ63 = 0 +
9, Θ65 = 0 + 2. Наибольшая степень Θ14 = 10. Ветвление проводим по дуге (1, 4). Нижняя граница
1
1
для множества Z14 остается равной 47. Для всех маршрутов множества Z14 из города A мы не
перемещаемся в город D. В матрице это обозначается выставлением в ячейку (1, 4) знака ∞. В этом
случае выход из города A добавляет к оценке нижней границы по крайней мере наименьший эле1
1
мент первой строки. φ( Z 14 ) = 47 + 10. В матрице, соответствующей Z 14 полагаем c14= ∞.
1
2
3
4
5
6
1
∞
1
15
0
2
13
2
11
∞
13
0
41
0
3
27
15
∞
9
22
0
4
∞
0
35
∞
43
4
5
14
29
5
2
∞
0
6
10
24
0
2
0
∞
172
После проведения процедуры приведения с r1=10 получим новую нижнюю границу 57 + 10
= 67. В матрице, соответствующей
Z141 , вычеркиваем первую строку и четвертый столбец и поло-
жим c41= ∞, чтобы предотвратить появления цикла 1→ 4 → 1. Получим новую платежную матрицу {c1ij}:
1
1
15
∞
2
13
2
3
4
5
6
2
∞
13
0
41
0
3
15
∞
9
22
0
5
29
5
2
∞
0
6
24
0
2
0
∞
Для приведения надо вычесть минимум по первому столбцу: h1=1. При этом нижняя граница
станет
1
равной
47+1
=
48.
Сравнивая
1
φ ( Z 14 ) = 67 и φ ( Z14 ) = 48 < 67 выделяем подмножество маршрутов
нижние
границы
Z141 , которое с большей ве-
роятностью содержит маршрут минимальной длины.
47
Z
68
48
(1,4)
(1,4)
Рис. 1 Ветвление на первом шаге
Приведенная платежная матрица для
Z141
1
2
2
0
∞
3
14
13
4
∞
0
5
1
41
6
12
0
Далее продолжаем процесс ветвления. Найдем
3
5
6
15
29
24
∞
5
0
9
2
2
22
∞
0
0
0
∞
степени Θij нулевых элементов этой матри-
цы Θ21 =16, Θ36 = 5, Θ42 = 2, Θ56 = 2, Θ62 = 0, Θ63 =9, Θ65 = 2. Наибольшая степень Θ21. Затем множество
Z141 разбивается дуге (2, 1) на два новых Z 212 и Z 212 . В матрице для Z 212 вычеркиваем строку
2 и столбец 1. дуги (1, 4) и (2, 1) образуют связный путь (2, 1, 4), положим c42= ∞, чтобы предотвратить появления цикла 2→1→ 4 → 2.
3
4
5
6
2
13
∞
41
0
3
∞
9
22
0
5
5
2
∞
0
6
0
2
0
∞
173
Для приведения надо вычесть минимум по строке 4: r4=2. При этом нижняя граница станет
2
равной 48+2 = 50. Нижняя граница для Z 21 , полученная как на предыдущем шаге ветвления, равна
2
2
48 + 16 = 64. Сравнивая нижние границы φ ( Z 21 ) = 64 и φ ( Z 21 ) = 50 < 64 выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов
Z 212 .
48
(1,4)
50
64
(2,1)
(2,1)
Рис. 2 Ветвление на втором шаге
Приведенная платежная матрица для
Z 212
2
13
∞
41
0
3
4
5
6
3
∞
7
22
0
5
5
0
∞
0
6
0
0
0
∞
Степени Θij нулевых элементов этой матрицы Θ36 = 5, Θ45 = 0, Θ56 = 22, Θ62 = 13, Θ63 =7, Θ65
= 0. Наибольшая степень Θ56. Затем множество
Z 212 разбивается дуге (2, 1) на два новых Z 563 и
Z 563 . Нижняя граница для Z 563 равна 50 + 22 = 72. В матрице для Z 563 вычеркиваем строку 5 и
столбец 6 и полагаем c65= ∞. Получим матрицу:
2
13
∞
0
3
4
6
3
∞
7
0
5
5
0
∞
Для приведения надо вычесть минимум по строке 3: r3=5. При этом нижняя граница станет
3
равной 50+5 = 55. Выбираем для дальнейшего разбиения подмножество маршрутов Z 56 .
50
(2, 1)
72
55
(5,6)
Рис. 3 Ветвление на третьем шаге
(5, 6)
174
3
Приведенная платежная матрица для Z 56
2
8
∞
0
3
4
6
3
∞
7
0
5
0
0
∞
Степени Θij нулевых элементов этой матрицы Θ35 = 8, Θ45 = 7, Θ62 = 8, Θ63 =7. Выбираем Θ35
4
4
3
4
4
= 8. Разбиваем Z 56 на Z 35 и Z 35 . Нижняя граница для Z 35 равна 55+8=64. В матрице для Z 35
вычеркиваем строку 3 и столбец 5 и полагаем c63= ∞. Получим:
2
∞
0
4
6
3
7
∞
Для приведения надо вычесть минимум по строке 4: r4=7. При этом нижняя граница станет
равной 55+7 = 62. После приведения получим:
2
3
4
∞
0
6
0
∞
Из матрицы 22 получаем два перехода с нулевой длинной: (4, 3) и (6, 2).
55
(5, 6)
63
62
(3,5)
Рис. 4 Ветвление на четвертом шаге
(3, 5)
175
47
Z
67
48
(1, 4)
(1,4)
50
64
(2, 1)
(2, 1)
55
(5, 6)
(5, 6)
72
62
(3, 5)
(3, 5)
63
(4, 3)
(6, 2)
62+0+0=62
Рис. 5 Дерево ветвления с оценками
Полученный маршрут коммивояжера z0 = (1, 4, 3, 5, 6, 2, 1) или (A-D-C-E-F-B-A).
Пример_3. (Задача о кратчайшем пути в графе) Пусть для заданного связного графа
необходимо найти путь минимальной длины, соединяющий две заданные вершины этого графа.
Такая задача может возникнуть в различных ситуациях. Например, если мы захотим перевезти груз,
то ребра графа - это дороги, а вершины графа - города, стоящие на перекрестках путей. Длины ребер определяются условиями задачи. Если мы хотим найти самый дешевый путь, то за длину ребра нужно взять стоимость перевозки груза по этому ребру. Если мы хотим найти самый быстрый
путь, то в качестве длины надо взять время проезда. Если самый короткий - расстояния между соответствующими городами. Рассмотрим алгоритм, позволяющий определить такие кратчайшие
пути из фиксированной вершины графа во все остальные его вершины.
Нахождение длин кратчайших путей, выходящих из вершины А, будем производить, используя
алгоритм расстановки меток. В процессе работы алгоритма каждой вершине будет приписано
некоторое число, в дальнейшем эти числа мы будем называть метками. Если какой-то вершине
приписана метка, равная d, то это значит, что существует путь из вершины А в эту вершину длиной d. Если найден более короткий путь, то значение метки заменяется на меньшее. Метки могут
быть временными или постоянными. Постоянные метки будем отмечать значком *, не отмеченные
176
таким значком -временные. Метка становится постоянной в том случае, если она соответствует самому короткому пути из вершины А в данную вершину. Задача решена, если все метки стали постоянными.
Итак, выпишем шаги нашего алгоритма.
Шаг 1. Каждой вершине i приписываем некоторое число li, равное длине самого короткого,
известного на данный момент пути из вершины А в данную вершину. Вначале это lA = 0, а
l2 l3 lB . Не ограничивая общности можно считать, что вершине А соответствует вер-
шина с номером 1, а вершине В - вершина с самым большим номером. На данном этапе все метки
временные.
Шаг 2. Среди временных меток ищем минимальную. Например, это вершина i. Просматриваем
все ребра, выходящие из вершины i, и проверяем выполнение неравенства
li aij l j
Для тех вершин j, для которых оно справедливо, заменяем метку lj . на li aij , эта величина соответствует пути из А в вершину i длиной lj , а затем по ребру aij вершину j. Метка li становится
постоянной.
Задача решена, если все метки постоянные. Если же среди меток есть временные, то повторяем шаг 2.
Длина кратчайшего пути из А в В равна lВ*. При этом в процессе выполнения алгоритма определены кратчайшие пути из вершины А во все другие вершины.
Шаг 3. Для отыскания самих путей надо, начиная с вершины В, для каждой вершины j отметить
таое ребро aij , для которого li aij l j . При этом в каждую вершину, кроме начальной входит
по крайней мере одно ребро.
Рассмотрим граф, имеющий девять вершин и 12 ребер. В нем выделены вершины А и В, необходимо найти кратчайший путь из А в В.
Решение:
Пример_4. Комплекс работ представлен в виде графа. Определены 9 работ и 12 ограничений
на порядок выполнения работ. Работы соответствуют вершинам нашего графа, а ограничения его
дугам. Например, работу 5 нельзя начать, пока не закончатся работы 2 и 4, так как в вершину 5
177
входят ребра из 2-й и 4-й вершины. В свою очередь, до завершения работы 5 нельзя начинать работы 6 и 8.
Мы хотим составить график выполнения всего комплекса работ за минимальное время.
Найдем самые ранние сроки начала каждой работы. Так как работы занумерованы так, что
номер предшественника всегда меньше номера самой работы, то определять самые ранние сроки
будем в порядке увеличения номеров работ.
Работу 1 начнем в момент 0 и закончим в момент 3. Работу 2 можно начать после окончания
работы 1. Поэтому самое раннее начало работы 2 равно времени самого раннего окончания работы
1, то есть 3. Так как время выполнения равно 2, то самое раннее окончание работы 2 равно 5. Для
работы 3 самые ранние сроки выполнения 5 – 10. Работу 4 можно начать после выполнения работы
1. Поэтому самые ранние сроки ее выполнения 3 – 4. У работы 5 два предшественника. Из моментов их окончания надо взять максимум. Самые ранние сроки выполнения 5 – 9. У работы 6 самые
ранние сроки 10 – 14. Аналогично для работы 7: 4 – 6, работы 8: 9 – 12, работы 9: 14 – 18.
Для отыскания самого раннего срока начала некоторой работы надо найти всех ее предшественников и определить максимум из самых ранних сроков окончания этих работ. Для отыскания
самого раннего срока окончания работы надо к сроку самого раннего ее начала прибавить время ее
выполнения.
Мы нашли самые ранние сроки выполнения каждой работы и тем самым минимальное время
выполнения всего комплекса. В данном случае комплекс из 9 работ можно выполнить за 20 единиц
времени. Выпишем график выполнения в виде строки:
0-3, 3-5, 5-10, 3-4, 5-9, 10-14, 4-6, 9-12, 14-18.
Здесь первый интервал задает самые ранние сроки выполнения 1-й работы, второй интервал
– 2-й работы и т. д.
Подсчитаем самые поздние сроки выполнения каждой работы при условии, что мы
должны уложиться в самый ранний срок выполнения всего комплекса работ.
Работу 9 необходимо закончить к 18. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 18.
Самый поздний срок начала равен 18 – 4 = 14.
178
Самый поздний срок окончания любой работы определяется самыми поздними сроками начала
ожидающих ее работ и равен минимальному из этих сроков. Самый поздний срок начала работы равен самому позднему сроку ее окончания минус время ее выполнения.
Работу 8 необходимо закончить к 14. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 14.
Самый поздний срок начала равен 14 – 3=11.
Работу 7 необходимо закончить к 11. Поэтому самый поздний срок окончания равен 11. Самый поздний срок начала равен 11 – 2 = 9.
Работу 6 необходимо закончить к 14. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 14.
Самый поздний срок начала равен 14 – 4 =10.
Работу 5 необходимо закончить к 10. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 10.
Самый поздний срок начала равен 10 – 4 = 6.
Работу 4 необходимо закончить к 6. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 6. Самый поздний срок начала равен 6 – 1 = 5.
Работу 3 необходимо закончить к 10. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 10.
Самый поздний срок начала равен 10 – 5 = 5.
Работу 2 необходимо закончить к 5. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 5. Самый поздний срок начала равен 5 – 2 = 3.
Работу 1 необходимо закончить к 3. Поэтому самый поздний срок ее окончания равен 3.
Самый поздний срок начала равен 3 – 3 = 0.
Выпишем результаты в виде строки:
0 - 3, 3 - 5, 5 - 10, 5 - 6, 6 - 10, 10 - 14, 9 - 11, 11 - 14, 14- 18.
Аналогично с предыдущим, здесь последовательно указаны сроки самого позднего начала и
окончания каждой работы.
Важной характеристикой комплекса работ являются резервы, то есть время, на которое без больших неприятных последствий можно задержать ту или иную работу.
Полный резерв Ri - время на которое можно задержать выполнение работы № i
без изменения времени окончания всего комплекса работ Ri Ti пн Ti рн .
Найдем полные резервы работ в примере:
У работы 1 самые ранние сроки выполнения совпадают с самыми поздними. Полный резерв этой
работы равен 0. У работы 2 самые ранние сроки совпадают с самыми поздними. Полный резерв
этой работы равен 0. У работы 3 самые ранние сроки совпадают с самыми поздними. Полный резерв этой работы равен 0. У работы 4 самые ранние сроки 3 – 4, а самые поздние 5 – 6. Поэтому полный резерв этой работы равен 2. У работы 5 самые ранние сроки 5 – 9, а самые поздние 6 – 10. Поэтому полный резерв этой работы равен 1. У работы 6 самые ранние сроки совпадают с самыми
179
поздними. Полный резерв этой работы равен 0. У работы 7 самые ранние сроки 4 – 6, а самые поздние 9 – 11. Поэтому полный резерв этой работы равен 5. У работы 8 самые ранние сроки 9 – 12, а
самые поздние 11 – 14. Поэтому полный резерв этой работы равен 3. У работы 9 самые ранние сроки совпадают с самыми поздними. Полный резерв этой работы равен 0.
Запишем полные резервы вершин: 0, 0, 0, 2, 1, 0, 5, 3, 0.
Работы, полный резерв которых равен нулю, называются критическими. Последовательность этих работ образует один или несколько критических путей, то есть последовательностей вершин, соединяющих начало комплекса с его окончанием.
В рассматриваемом примере критический путь такой: 1-2-3-6-9.
Иногда в графе может быть несколько критических путей, но каждая работа, у которой
полный резерв равен нулю, обязательно входит хотя бы в один из критических путей.
Пример_5. Найти решение матричной игры геометрическим способом.
Стратегии B1 B2 B3
A1
2 5 3.
A2
6 1 1
Решение. На графике построим отрезки s1=2p1+6p2; s2=5p1-p2; s3=3p1+p2.
7
7
6
6
S2
S1
5
5
4
4
3
3
C
2
S3
D
2
1
1
0
0
P1
-1
0
-1
-2
1
A
2
-1
-2
Нижняя огибающая выделена жирным шрифтом. Необходимо определить значение p1, при
котором нижняя огибающая принимает своё наибольшее значение. В этом состоит геометрическая
180
реализация принципа максимина (см. п.6 этой главы).
Из диаграммы видно, что точка D является искомой. Для определения р1 решаем систему:
s1=s3
p1+p2=1.
После исключения р2, получаем уравнение:
2p1+6(1-p1)=3p1+1-p1
p1=5/6, p2=1/6.
Таким образом, игрок А с вероятностью 5/6 должен применять свою первую стратегию, и лишь с
вероятностью 1/6 – вторую. Найдём решение игры для игрока В. Поскольку точка D получается
при пересечении s1 и s3, следовательно, q2=0. Для определения q1, q3 составляем и решаем систему
линейных уравнений:
2q1+3q3=6q1+q3,
q1+q3=1.
Исключаем из системы q3, получаем:
2q1+3(1-q1)=6q1+1-q1
q1=2/6,q3=4/6.
Таким образом, решение матричной игры даётся двумя векторами:
А: PТ=(5/6, 1/6), B: QT=(2/6,0,4/6).
Пример_6. Предположим, что процесс производства описывается с помощью функции выпуска Y 0.5K 1 / 3 L2 / 3 . Оценим основные характеристики этой функции для способа производства,
при котором К=400, а L=200.
Решение.
1) Предельные производительности факторов.
Для расчета этих величин определим частные производные функции по каждому из факторов:
M K 0.5 1 / 3 400 2 / 3 200 2 / 3 0.1
M L 0.5 2 / 3 4001 / 3 200 1 / 3 0.4 .
Таким образом, предельная производительность фактора труд в четыре раза превышает аналогичную величину для фактора капитал.
2) Эластичность производства.
Эластичность производства определяется суммой эластичностей выпуска по каждому фактору, то
есть
E EK EL 1 / 3 2 / 3 1.
3) Предельная норма замещения ресурсов.
181
Выше в тексте эта величина обозначалась MRTS LK и равнялась L / K . Таким образом, в
нашем примере
MRTS LK =-0,4/0,1=-4,
то есть для замещения единицы труда в этой точке необходимы четыре единицы ресурсов капитала.
4) Уравнение изокванты.
Для определения формы изокванты необходимо зафиксировать значение объема выпуска (Y).
Пусть, например, Y=500. Для удобства примем L функцией К, тогда уравнение изокванты примет
500
вид L
1/ 3
0 .5 K
3/ 2
.
Пример_7. Дано: Функция полезности: U y1 y2 , цены на блага: Р1=8, Р2=16, доходы
потребителя: М=600.
Требуется:
1. Сформулировать модель поведения потребителя
2. Найти решение данной модели, то есть построить функцию спроса на блага
y1 y p1 , p2 , m
y2 y p1 , p2 , m
3. Вычислить оптимальные значения спроса на блага y1, y2 для исходных данных
4. Определить реакцию потребителя на изменение дохода, если М=200
Решение:
1. Модель поведения потребителя должна учитывать предпочтения потребителя и бюджетные
ограничения. Формально модель поведения потребителя на рынке является обычной задачей
отыскания условного максимума. Требуется найти такой вектор благ Y, который бы максимизировал функцию полезности и удовлетворял бы бюджетным ограничениям.
n
maxU Y п ри yp M , y 0
(1)
i 1
Так как целевая функция положительна и непрерывна, а допустимое множество замкнуто, то решение существует, так как условная функция строго вогнута, а допустимое множество наборов
выпукло, следовательно решение единственно.
Решение находим методом Лагранжа. Строим функцию Лагранжа:
2
L y , U y Pi yi M
i 1
182
'
y 21/ 2
L
y1
1/ 2 8
2
y
1
y11/ 2
'
L y2 1/ 2 16
2 y2
'
L 600 8 y 16 y
1
2
(2)
Таким образом, оптимальный набор y * ( y1* , y2* ) задачи (1) должен являться решением системы
уравнений (2)
Итак:
U
Pi - в точке оптимального выбора цены пропорциональны предельным полезноy1
стям благ.
U U
:
Pi : Pj отношение предельных полезностей благ равно отношению цен.
yi y j
U
U
: Pi
: Pj -предельная полезность, приходящаяся на денежную единицу,
yi
y j
должна быть одинаковой для всех благ. Как мы уже знаем, при любых положительных ценах и доходе решение задачи поведения потребителя существует и единственно. Выбор потребителя зависит от конкретных значений переменных Р и М, то есть является функцией спроса Y=Y(P,M) или
Y=(y1(P,M) , y2(P,M)) - в нашем случае. Надо учитывать, что при пропорциональном изменении
цен и дохода спрос не изменится, то есть для любого положительного числа
Y Y ( p, M ) Y ( p, M ) Y ( p, M )
то есть функция спроса является однородной в нулевой степени однородности. Итак, в общем виде функция спроса в нашей задачи есть U y11/ 2 y21/ 2 . Так как функция полезности определяется с
точностью до положительных монотонных преобразований, то мы имеем право записать:
U
1
1
ln y1 ln y 2
2
2
Используя вывод №2 можно сказать:
1 1
P1 : P2
:
2 y1 2 y 2
P y P y M
1 1 2 2
y 2 P1
y1 P2
P y P y M
1 1 2 2
P1 y1
y2 P
2
Py P P1 y1 M
2
1
P2
P1 y1
Y2
P2
2 P y M
1 1
y2
y
1
y1
y
2
P1 M
P2 2 P1
M
2 P1
M
2 P1
M
2 P2
183
Таким образом оптимальный спрос на первое благо равен y1* M 2 P ,
1
а на второе благо - y2* M 2 P , то есть можно сказать, что функция спроса будет
2
M M
,
при оптимальном выборе потребителя.
Y
2 P1 2 P2
Ну а теперь вычислим оптимальные значения спроса на блага y1, y2, для исходных данных.
Так как М=600, р1=8, р2=16, то имеем:
y1*
600
600
37.5; y2*
18.75
28
2 16
Какова же будет реакция потребителя на изменение дохода?
Итак, если изменения в размере дохода незначительны, то закономерности изменения спроса изучаются при помощи частных производных от функции спроса по доходу. Решение системы (2)
можно рассматривать как неявную функцию от М.
Итак, мы должны определить
y1 y 2
;
; U y11/ 2 y 21/ 2
M M
Для этого построим матрицу Гессе, «окаймленную» ценами:
U 11 U 12
U 21 U 22
P2
P1
P1
U
P2 где U ij
yi y j
0
Итак:
y 21/ 2
y 21/ 2
U
2U
2U
1
1.
1/ 2 ; U 11
2
3/ 2 ; U 12
1/ 2
y1
y1y 2
2 y1
y1
4 y1
4 y1 y 2
18.75 1/ 2
1
U 11
3/ 2 0.0047; U 12
1/ 2 0.0094
4 37.5
418.75 37.5
37,5 0, 0188;U 0.0094
y1/2
y1/2
U
2U
2.
11/2 ;U 22 2 13/2 ;U 21 U12 ;U 22
21
3/2
y2 2 y2
y2
4 y2
4 18, 75
1/2
Итак, определитель системы
U 11 U 12
U 21 U 22
P2
P1
y1
0, 0047 0, 0094 8
P1 M 0
y
0, 0094 0, 0188 16
P2 2 M 0 равен
8
16
0
0 1
M
1, 2032 1, 2032 1, 2032 1, 2032 4,8128
y1
y
3,1 ; 2 3,2 , где 3,1 и 3,2 - алгебраические дополнения соответствующих элеM
M
ментов.
184
3,1 ( 1) 31
3,2 ( 1) 3 2
0.0094
0.0188
8
0.1504 0.1504 0.3008
16
0.0047
8
0.0094
16
0.0752 0.0752 0.1504
y1
y 2
0.3008
0.1504
0.0625;
0.03125
M
4.8128
M
4.8128
Итак, вектор
y
y 2
y1
M M , M отражает реакцию потребителя, изменение его спроса при уве-
личении дохода. Так как
y1
y2
и
положительны, то с ростом дохода количество закупаемого тоM
M
вара первого второго типа увеличится. Найдем прирост закупок:
y1
M 0.0625 200 12.5
M
y
y 2 2 M 0.03125 200 6.25
M
y1
Теперь проверим бюджетные ограничения:
y1p1+y2p2=M
y
1
y1 p1 y 2 y 2 p2 M M
37.5 12.5 8 18.75 6.25 16 600 200
400 400 600 200 800
Итак, при приросте бюджета в 200 продажи первого типа товаров увеличится на
12,5, а второго - на 6,25 и составит для первого - 50, для второго - 25.
Пример_7. В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса
и предложения имеют вид: q ( p )
p7
; s( p) p 1.
p 1
Найти:
1. Равновесную цену p0.
2. Эластичность спроса и предложения для этой цены.
3. Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
Решение:
1) Определим равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению, т.е. решим
уравнение q(p)=s(p).
185
p7
(p 1) 6
p 1;
p 1;
p 1
p 1
6
1
p 1, домножим обе части равенства на (p 1),
p 1
p 1 3,
(p 1) 2 ( p 1) 6 0, применим теорему Виета
, p 0 2.
p 1 -2.
Таким образом, равновесная цена p0=2. [отрицательный корень p=-3 отбрасываем, как не
имеющий экономического смысла].
График зависимостей спроса и предложения от цены.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
s(p)
q(p)
0
2
4
6
P 8
Зависимости спроса и предложения от цены.
2) Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.
2.1.
Находим производные q ( p) и s ( p).
6
6
p 7
6( p 1) 1 6( p 1) 2
q ( p)
.
1
p 1
( p 1) 2
P 1
s ( p ) ( p 1) 1.
2.2.
2.3.
Получим общие выражения для эластичности спроса и предложения.
E p (q)
p
p
6
q ( p) p 7
q
( p 1) 2
p 1
E p ( s)
p
p
p
s ( p )
1
.
s
p 1
p 1
6 p( p 1)
6p
.
2
( p 7)( p 1)
( p 7)( p 1)
Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене:
E 2 (q)
62
4
0,44 ;
(2 7)( 2 1)
9
E 2 ( s)
2
2
0,67.
2 1 3
Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается
на 0,44%, а предложение возрастает на 0,67%.
186
3) Находим общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене и подставим в него
численные значения p0 и E2(s):
E p ( R) 1 E p (q); E 2 ( R) 1 E 2 (q) 1 0,44 0,56.
Это означает, что при увеличении цены на 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,56%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от её равновесного значения
доход увеличится на 5 0,56% 2,8%.
Ответ: 1) p0=2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается
на 0,44%, а предложение возрастает на 0,67%; 3) при увеличении цены на 5% от её равновесного значения доход увеличится на 2,8%.
Пример_8. Пусть дана леонтьевская балансовая модель «затраты – выпуск» X = AX +Y.
Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где
0,1 0 0,6
100
A = 0 0,7 0,2 ; X = 200 ;
0,7 0,1 0,1
150
Решение. Имеем: Y = (E – A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.
0 - 0,6
0,9
E - A = 0 0,3 - 0,2 , значит,
-0,7 - 0,1 0,9
0 - 0,6
0,9
Y= 0
0,3 - 0,2 .
-0,7 - 0,1 0,9
Пример_9. Пусть дана леонтьевская балансовая модель «затраты-выпуск». Определить,
будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где
0,125 0,125
300
A=
; Y=
.
1,125 0,125
400
Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:
0,125 -
0,125
1,125
0,125 -
0 , или
(0,125 -)2 - 0,140625 = 0 0,125 - = 0,375.
Следовательно, 1 = 0,5; 2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица
технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X
имеем формулу X = (E – A) 1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы
187
0,875 - 0,125
E – A=
.
-1,125 0,875
Обозначим B = E – A, тогда B-1 =
1 A 11 A 21
1 0,875 0,125
=
.
det B A 12 A 22 5,4 1,125 0,875
Следовательно,
X=
1 0,875
5,4 1,125
0,125 300
1 0,875 300 0,125 400
1 312,5 57,9
.
0,875 400 5,4 1125
,
300 0,125 400 5,4 687,5 127,3
Пример_10. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины
имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов: BA (2; 3; 4), BD (1; 4; 3), BC (4; 1; 2)
Объем пирамиды
2 3 4
1
1
1
V 1 4 3 (2(8 3) 3(2 12) 4(1 16)) (22 30 68) 20(ед3 )
6
6
6
4 1 2
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
i
j k
BD BC 1 4 3 i (8 3) j (2 12) k (1 16) 11i 10 j 17 k .
4 1 2
BD BC 112 102 17 2 121 100 289 510 . Sосн =
Т.к. V =
S осн h
;
3
h
510 / 2 (ед2)
3V
120
4 510
. (ед)
S осн
17
510
Пример_11. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
OP (4; 3;12); OP 16 9 144 169 13; N (
4
3 12
; ; )
13 13 13
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
4
3
12
( x 4) ( y 3) ( z 12) 0 . Окончательно получаем: 4 x 3 y 12 z 169 0.
13
13
13
Пример_12. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости
n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендику-
188
лярная искомой имеет вектор нормали n2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то
i j k
3 5
1 5
1 3
n1 AB n2 1 3 5 i
j
k
11i 7 j 2k .
1 2
1 2
1 1
1 1 2
Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее
координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.
Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример_13. Даны координаты вершин пирамиды А1(1;0;3), A2(2;-1;3), A3(2;1;1), A4(1;2;5).
1) Найти длину ребра А1А2.
A1 A2 {2 1; 1 0;3 3} {1; 1;0};
A1 A2 1 1 0 2(ед).
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
A1 A4 {1 1; 2 0;5 3} {0; 2; 2}
A1 A4 2 2(ед)
A1 A2 A1 A4 (1; 1;0)(0; 2; 2) 2
A1 A2 A1 A4 A1 A 2 A1 A4 cos 2 2 2 cos 4 cos
cos
A1 A2 A1 A4
A1 A2 A1 A4
2
1
;
4
2
1200
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное произведение векторов
A1 A3 и A1 A2 . A1 A3 = (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
i
j k
N 1 1 2 i (0 2) j (0 2) k (1 1) 2i 2 j 2k ; N (2; 2; 2); N 2 3
1 1 0
Найдем угол между вектором нормали и вектором A1 A4 .
N A1 A4 N A1 A4 cos 2 3 2 2 cos , N A1 A4 -4 – 4 = -8.
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 900 - .
sin cos
8
4 6
2
6
6
.
3
arcsin
4) Найти площадь грани А1А2А3.
6
3
189
S
1
1
A1 A2 A1 A3 N 3(ед 2 )
2
2
5) Найти объем пирамиды.
V
1
(( A1 A2 A1 A3 ) A1 A4 )
6
1
N A1 A4
6
4
(ед3).
3
6) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
x 1
y0
z 3
x 1
y
2 1 1 0 3 3 1
2 1 1 0 1 3
1
1
1
z 3
0 ( x 1) 2 y(2) ( z 3)(1 1) 2 x 2 2 y 2 z 6 0
2
2x + 2y + 2z – 8 = 0, x + y + z – 4 = 0.
Пример_14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно
вектору n (3, -1).
Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С
подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.
Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Пример_15. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
12
5
х
у 1
65
65
уравнение этой прямой в отрезках:
х
y
1
(65 / 12) (13)
уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
y
12
65 12
x
x 13.
5
5
5
нормальное уравнение прямой:
1
12 2 (5) 2
1
13
12
5
х у 5 0;
13
13
cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например,
прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
Пример_16. Найти уравнение прямой с направляющим вектором а (1, -1) и проходящей
через точку А(1, 2).
Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,
коэффициенты должны удовлетворять условиям:
1A + (-1)B = 0, т.е. А = В.
Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C/A = 0.
190
при х = 1, у = 2 получаем С/A = -3, т.е. искомое уравнение: х + у - 3 = 0
Пример_17. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.
Находим уравнение стороны АВ:
x 0 y 1
;
6 0 5 1
x y 1
2
; 4x = 6y – 6; 2x – 3y + 3 = 0; y x 1.
6
4
3
Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
k=
3
3
. Тогда y = x b . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют
2
2
3
3
данному уравнению: 1 12 b, откуда b = 17. Итого: y x 17 .
2
2
Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.
Пример_18. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в
виде: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.
Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести
к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:
x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0
x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0
(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16
Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
Пример_19. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы
совпадают с фокусами эллипса с уравнением
x2 y2
1.
25 9
Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16. Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, e = c/a = 2; c = 2a;
c2 = 4a2;
a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12.
Итого:
x2 y2
1 – искомое уравнение гиперболы.
4 12
Пример_20. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.
Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:
x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).
Пример_21. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2 x y 3 z 1 0
5 x 4 y z 7 0
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это
значение в заданную систему уравнений.
191
y 3z 1
y 3z 1
y 3z 1 y 2
, т.е. А(0, 2, 1).
4 y z 7 0 12 z 4 z 7 0 z 1
z 1
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
m
B1
C1
B2
C2
1
3
4
1
11; n
A1
C1
A2
C2
Тогда канонические уравнения прямой:
2
3
5 1
17;
p
A1
B1
A2
B2
2 1
5
4
13.
x
y 2 z 1
.
11
17
13
Итоговый тест № 1 по дисциплине (80 минут)
1. Найти модуль вектора c 2a 3b , где a ( 0 ;3;2 ), b ( 1;2;0 ) :
d) 13
7
a)
e) 4
b) 25
c) 5
2. Записать уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку с
координатами (2;0):
a) x = 2
d) x = 0
b) y = 2
e) x - y = 2
c) x + y = 2
3. Уравнение второго порядка x 4 y
2
2
4 определяет на плоскости:
a) окружность
d) прямую
b) гиперболу
e) эллипс
c) параболу
4.
Определитель третьего порядка можно вычислить:
a) по правилу “треугольника”
b) по методу Сарруса
c) как произведение элементов главной
диагонали
d) как сумму произведений элементов любой
его строки (столбца) на их алгебраические
дополнения.
e) методами, указанными в вариантах а), b), d)
5. Что является результатом вычисления определителя квадратной матрицы:
a) матрица
d) скаляр
192
b) вектор
e) сумма элементов главной диагонали
c) линейное уравнение
6. Определите размерность матрицы С, равной произведению матрицы Am n на матрицу Bn p
a) не определено
d) ( n х m )
b) ( m х n )
e) ( m х p )
c) ( n х p )
7. Произведение невырожденной матрицы А на обратную к ней матрицу А-1 равно:
a) единичной матрице
d) нулевой матрице
b) квадратной матрице
e) матрице, все элементы которой равны 1
c) транспонированной матрице
2 5 4
2 :
1 3 5
8. Вычислить определитель 0
0
a) 2
d) -1
b) -22
e) 1
c) -2
9. Метод Гаусса используется для…
a) решения квадратных уравнений.
b) вычисления определителей.
c) решения определённой системы
линейных уравнений.
d) решения неопределённой системы
линейных уравнений.
e) решения любой системы линейных
уравнений.
10. Применяя метод Крамера или матричный метод, …
a) находим решение любой системы
линейных уравнений.
b) находим решение определённой системы
линейных уравнений.
c) находим решение неопределённой
системы линейных уравнений.
d) находим решение совместной системы
линейных уравнений.
e) находим решение несовместной системы
линейных уравнений.
193
11. Решить графо - аналитическим методом задачу линейного программирования:
x 1 x 2 1
F x 1 3x 2 max при ограничениях -
x 1 , x 2 0
a) max F = 1
d) max F = 3
b) max F = 2
e) функция цели не ограничена
c) max F = 5
12. Симплексный метод используется для решения…
a) системы n линейных уравнений с n
переменными.
b) задачи об экстремуме функций
d) только транспортной задачи.
e) любой задачи линейного
программирования.
нескольких переменных
c) только производственной задачи.
13. Для построения опорного плана транспортной задачи применяют:
a) метод “северо - восточного угла”
d) метод минимального тарифа
b) метод подбора
e) любой из c) и d)
c) метод “северо - западного угла угла”
14. Как производится проверка на оптимальность опорного плана перевозок в транспортной
задаче
a) матричным способом
d) методом “северо - западного угла”
b) методом потенциалов
e) любым из перечисленных
c) методом минимального тарифа
15. Функция у = f(x) на отрезке [a;b] монотонно возрастает, если:
a) на заданном интервале большему
значению аргумента соответствует
большее значение функции
b) на заданном интервале большему
значению аргумента соответствует
меньшее значение функции
c) функция на этом интервале положительна
d) f ( x ) 0 при x ( a ; b )
e) при выполнении условий a) или d)
194
16. Указать первый замечательный предел.
a) lim sin x .
d) lim
x
x 1
sin x
1.
x0 x
1
e) lim
1 e .
n
n
n
b) lim
c) lim
x
sin x
1.
x
sin kx
1.
kx
x
2
17. Вычислить предел lim 1 :
x
x
a) 1
d) 2
b) 0
e)
c) e
2
2 3x 4 x 2
:
18. Вычислить предел lim
x
2x 2 5
a) 1
d) 2
b)
e) не существует
c) -0,4
19. Производная функции y sin 3 5 x равна:
a) y 5 cos3 5x
d) y 15 sin 2 5 x
b) y 3 sin 2 5 x
e) y 15 cos3 5x sin 5x
c) y 15 sin 2 5 x cos 5 x
20. Производная произведения двух функций вычисляется по формуле:
a) (uv ) u v
b) (uv) u v u v
c) (uv) u v u v
d) (uv)
u v u v
v2
e) (uv) u v
195
21. Точками экстремума функции y
a) y min (1)
x3
x являются:
3
2
3
d) a) и b)
e) функция экстремумов не имеет
2
b) y max (1)
3
c) ymin (0) 0
22. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если
для всех значений x из этого промежутка выполняется равенство:
a) F ( x) f ( x) C
d) f ( x) F ( x)
b) F ( x) f ( x)
e) F ( x) f ( x) 0
c) f ( x) F ( x) C
23. Формула интегрирования по частям имеет вид:
a) udv uv vdu
d) udv udv vdu
b) udv uv vdu
e) udv uv
c) udv vdu uv
24. Формула Ньютона- Лейбница имеет вид:
b
b
a)
f ( x)dx F (a) F (b)
d)
a
a
b
b)
f ( x)dx F (b) F (a)
a
f ( x)dx
b
e)
f ( x)dx
a
F (a) F (b)
F (a)
F (a) F (b)
F (b)
b
c)
f ( x)dx F (a) F (b)
a
x 4dx
25. При вычислении интеграла 5
подстановкой t x 5 7 получаем:
x 7
a) dt dx
d) dt ( x5 7)dx
b) dt 5 x 4 dx
c) dt x5dx
e) dt
1
dx
196
26. Чему равен определённый интеграл, у которого нижний и верхний пределы равны?
a) не существует
d)
b) 1
e) 0
c) -1
27. Что является необходимым условием наличия экстремума функции двух переменных
z z ( x; y ) ?
z
0.
a)
x
b)
z
0.
y
c)
z
0 и
x
2z
2z
2z
d)
0,
0,
0.
x 2
y 2
xy
e) любой из предложенных вариантов
z
0.
y
28. Что называют решением дифференциального уравнения?
a) любая функция y (x) одного аргумента x,
которая будучи подставлена в уравнение
вместе со своими производными, обращает
d) множество значений x, обращающих
уравнение в тождество
e) любой из предложенных вариантов
его в тождество
b) функция, удовлетворяющая начальным
данным
c) любая пара чисел x и y, удовлетворяющих
уравнению
29. Дифференциальное уравнение вида y p( x) y f ( x) называется:
a) дифференциальным уравнением первого
d) линейным неоднородным
порядка
дифференциальным уравнением первого
b) дифференциальным уравнением с
порядка
разделяющимися переменными
c) уравнением в полных дифференциалах
e) дифференциальным уравнением второго порядка
30. Общим решением дифференциального уравнения y x 2 является:
a) y 2 x C
b) y
x3
3
c) y 2 x
x2
C
d) y
2
x3
C
e) y
3
197
/ y
y
31. Решить задачу Коши
x :
y(1) 1
a) y x 2
d) y x
b) y x 2 C
e) y x C
c) y 2 x
32. Необходимый признак Коши сходимости числового ряда:
a) lim a n 1
d) lim a n 1
b) lim a n 0
e)
n
n
n
lim a n 1
n
c) lim a n 1
n
33. При каком значении р числовой ряд
1
n
n 1
p
сходится:
a) p>1
d) p<0
b) p<1
e) p 1
c) p=0
34. Найти сумму степенного ряда
x
n
при x (1;1) :
n 1
a)
1
1 x
b) 2х
c)
d)
e) 0
x
1 x
35. Для каких двух событий A и B справедливо равенство p(А*В)=p(А)*p(В)?
a) для несовместных событий
d) для зависимых событий
b) для равновероятных событий
e) для независимых событий
c) для любых событий
36. Вероятность как функция случайного события имеет область значений…
a) [0;1]
d) [0;]
b) [-1;1]
e) [-;+]
c) [0;2]
198
37. Какая из формул соответствует теореме умножения вероятностей зависимых событий?
a) p(А*В)=p(А)*p(В|А)
d) p(А+В)=p(А)+ p(В)
b) p(А*В)=p(А)*p(ВА)
e) p(АВ)=p(А)*p(В)
c) p(А*В)=p(А)+p(В|А)
38. Как для непрерывной случайной величины называется функция, являющаяся производной
функции распределения вероятностей этой случайной величины?
a) нормальная функция распределения
d) плотность распределения случайной
b) функция Лапласа
c) центральный момент первого порядка
величины
e) дисперсия
39. Для каких двух событий вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей этих
событий, т.е. p(A+B)=p(A)+p(B)?
a) для равновероятных событий
d) для зависимых событий
b) для совместных событий
e) для независимых событий
c) для несовместных событий
40. Каким из свойств обладает плотность распределения любой случайной величины?
a) постоянная функция
d) всегда равна 1
b) неположительная функция
e) неотрицательная функция
c) для несовместных событий
41. Из корзины с шестью шарами (4 – белых, 2 – черных) случайным образом извлекается один
шар. Какова вероятность того, что он белый?
a) 1/3
d) 1/2
b) 2/3
e) 3/2
c) 5/6
42. Что является предметом изучения в математической статистике?
a) анализ зависимостей среднего значения
d) методы регистрации, описания и анализа
случайных величин от различных факторов
экспериментальных данных в массовых
b) закономерности в случайных явлениях
случайных явлениях
c) анализ вероятности случайных событий
a) изучение средних значений
случайных величин
199
b)
43. Значение коэффициента линейной корреляции равное 1,01 определяет…
a) функциональную зависимость
d) независимость факторов
b) прямую связь
e) такое значение невозможно
c) обратную связь
Итоговый тест № 2 по дисциплине (80 минут)
0
1. Определитель
3 2 1 равен…
2
1) –1
1 0
1 1
3) –5
2) 1
4) 5
2
1
1 1
и B
, то матрица С = 2А + В имеет вид…
4 5
0 2
3
3
1
1
1 3
1
0
1)
2)
3)
4)
8
8
8
8
4
3
8
8
2. Если A
x 2 y 3
, тогда x0–y0 равно…
3x 2 y 5
3. Если (x0,y0) – решение системы линейных уравнений
1) –0,5
2) 7,5
4) –7,5
3) 0,5
4. Прямая проходит через точки О(0;0) и В(5;–15). Тогда ее угловой коэффициент равен…
1) –3
2) –5
3) 3
4) 5
x2 y2
1 , то длина ее действительной полуоси равна…
5. Если уравнение гиперболы имеет вид
4
9
1) 3
2) 2
3) 4
4) 9
6. Нормальный вектор плоскости x 2 y z 15 0 имеет координаты…
1) (1;2;1)
2) (2;1;–15)
2
2) sin x 1
3) (1;2;–15)
4) (1;1;–15)
2
7. Производная функции y cos x 1 имеет вид…
2
1) 2 x sin x 1
2
3) x sin x 1
2
4) 2 x sin x 1
200
8. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a;b] одновременно выполняются
условия y 0, y' 0, y" 0 .
1
)
2)
3)
4)
9. Частная производная функции z x 4 cos y по переменной y в точке M 1; равна…
2
1) 1
2) –1
3) 0
4) 4
10. Множество первообразных функции f ( x ) e
1) 6e
6x2
C
2)
1 6x2
e
C
6
6x2
3) e
имеет вид…
6x2
C
4) 6e
6x2
C
11. Площадь фигуры, изображенной на рисунке,
определяется интегралом…
x
0
1)
2
1 dx
1
1,5 x
2
2)
2
dx
x
0
3)
2
0,5 dx
1
0
1 x
0
4)
2
dx
1
12. Дан радиус-вектор движущейся в пространстве точки R(t ) 3t i t j (t 1) k , то2
3
гда вектор ускорения точки в момент времени t=1 имеет вид…
1) 6i 6k
2) 6i j 6k
3) 6i 6k
4) 6i j 6k
2
13. Градиент скалярного поля u x xz yz в точке А(0;1;1) имеет вид…
1) i j 2k
2) i j k
3) i j k
4) i j 2k
201
2
14. Производная скалярного поля u x 2 yx 4 y в точке C(–1;–1) в направлении единичного
вектора e (1;0) равна…
1) –6
2) –10
3) –4
4) 1
15. На числовой оси дана точка x 5,6 . Тогда ее «-погрешностью» может являться интервал …
1) (5,2 ; 5,6)
2) (5,4 ; 5,8)
3) (5,6 ; 5,9)
4) (5,4 ; 5,9)
16. Мера множества, изображенного на рисунке,
равна…
2)
1) 4
17. Образом отрезка [0;1] при отображении
2) [0;3]
1) [2;3]
3) 3
4) 2
f 3x 2 является…
3) [2;5]
4) (2;5)
18. Если z1 1 i , z 2 2 i , то z1 z 2 равно…
2) 3 i
3) 1 i
1) 3 3i
4) 2 3i
19. На рисунке представлена геометрическая иллюстрация комплексного числа z x iy .
Тогда тригонометрическая форма записи этого числа имеет вид…
i sin
4
4
3) 2 cos i sin
4
4
i sin
4
4
4) 4 2 cos i sin
4
4
1) 2 2 cos
2) 4 cos
20. Если f ( z ) 4z 2 4i , тогда значение производной этой функции в точке z 0 2 2i равно…
1) 2–16i
2) 2–2i
3) 16–2i
4) 16–16i
21. Гармонические колебания с амплитудой А, частотой ω и начальной фазой φ определяются
уравнением…
1) f ( x) A sin x
3) f ( x)
A
x
2) f ( x) Ax
2
4) f ( x) A x
202
22. Функция f (x) при x [0;2] и ее периодическое продолжение заданы на рисунке.
Тогда ряд Фурье для этой функции
имеет вид…
a0
an cos nx bn sin nx
2 n 1
a0
3)
bn sin nx
2 n 1
1)
2)
bn sin nx
n 1
a0
4)
an cos nx
2 n 1
23. Дана функция f ( x ) 3 x , x [ ; ] . Тогда коэффициент а4 разложения f (x) в ряд Фурье равен…
1)
3
2)
3
2
3) 0
24. Общий член последовательности 1,
n
2n 1
n
n
3) an (1)
2n 1
1) an (1)
n 1
4) π
2 3 4
, , , ... имеет вид…
3 5 7
n
2) an
2n 1
n
4) an
2n 1
25. Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов
А)
3
4n
и
B)
n 1
n 1
5
n2
1) А – сходится, В – расходится
2) А – расходится, В – сходится
3) А и В расходятся
4) А и В сходятся
26. Если f ( x ) 2 x 1, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням (x–1) равен…
3
1) 0,25
2) 2
27. Дифференциальное уравнение y '
3) 1
3
y x является…
x
1) линейным неоднородным дифференциальным уравнением
2) уравнением Бернулли
3) однородным дифференциальным уравнением
4) дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
4) 0
203
28. Дано дифференциальное уравнение y ' 3k 1x , тогда функция y
2
2 3
x является его ре3
шением при k равном…
1) 0
2) 1
3) 2
4) 3
29. Дано линейное однородное дифференциальное уравнение y"4 y'3 y 0 , тогда его общее
решение имеет вид…
1) C1e
x
C2 e3 x
2) C1e C2 e
x
3 x
3) C1e
x
C2 e 3 x
4) C1e C2 e
x
3x
30. Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани выпадет не
более пяти очков, равна…
1)
1
6
2)
2
3
3)
5
6
4) 1
31. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
X
p
1 0
3
0,1 0,3 0,6
Тогда математическое ожидание случайной величины Y=3X равно…
1) 5,7
2) 6
3) 5,1
4) 4,7
32. График функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Тогда математическое ожидание Х равно…
1) 7
2) 8
3) 4
4) 3
33. По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
Тогда значение а равно…
1) 16
2) 66
3) 15
4) 17
204
34. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 11, 14, 14. Тогда несмещенная оценка дисперсии измерений равна…
1) 13
2) 2
3) 6
4) 3
35. При построении уравнения парной регрессии y x были получены следующие результаты: rB 0,5, σ x 2,5, σ y 1,2 . Тогда коэффициент регрессии β равен…
1) 0,3
2) 1,2
3) 0,6
4) 0,24
36. Положительный корень уравнения x 12 x 23 x 36 0 равен…
3
1) 9
2
2) 1
3) 4
4) 3
37. Действительный корень уравнения 3e x 3 0 принадлежит интервалу…
x
1 1
;
2 2
1)
1 3
2 2
2) ;
3 5
2 2
3) ;
1
3
;
2
2
4)
38. Дано дифференциальное уравнение ( x 1) y ' y при y(0) 0 . Тогда интегральная кривая,
которая определяет решение этого уравнения, имеет вид…
1) B
2) A
3) D
4) C
205
Раздел 4. Словарь основных терминов (глоссарий)
Алгебраическое дополнение — для квадратной мат рицы A — это минор M
( с м . м и н о р ) , в з я т ы й с о з н а к о м ( 1)i j .
Алгоритм — точное формальное предписание, однозначно определяющее с од е р ж а н и е и п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь о п е р а ц и й , п е р е в о д я щ и х з а д а н н ую с о в о к уп н о с т ь и с х о д н ы х д а н н ы х в и с к о м ы й р е з ул ь т а т .
Аппликата — третья из декартовых координат точки в трехмерном пр остранстве.
Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой ка жд о е п о с л е д ую щ е е ч и с л о п о л уч а е т с я и з п р е д ы д ущ е г о п р и б а в л е н и е м н е к о торого постоянного числа.
Асимптота — такая прямая, что расстояние от точки на данной кривой до
э т о й п р я м о й с т р е м и т с я к н ул ю п р и н е о г р а н и ч е н н о м у д а л е н и и т о ч к и о т
начала координат.
Базис — система линейно независимых векторов, линейными комбинациями
которых можно представить любой вектор пространства.
Базис векторного пространства — система линейно независимых векторов,
линейными комбинациями которых можно представить любой вектор
этого пространства.
Базис ортонормированный — базис векторного простран ства, образованный
единичными попарно ортогональными вект орами.
В е р о я т н о с т ь с о б ы т и я — ч и с л о , з а к л ю ч е н н о е м е ж д у н ул е м и е д и н и ц е й , х а р а к т е р и з ую щ е е м е р у в о з м о ж н о с т и н а с т уп л е н и я с л уч а й н о г о с о б ы т и я в р е з ул ь т а т е и с п ы т а н и й п р и з а д а н н о й с о в о к уп н о с т и ус л о в и й .
В е р т и к а л ь — п р я м а я в п р о с т р а н с т в е , п е р п е н д и к ул я р н а я к г о р и з о н т а л ь н о й
п л о с к о с т и и л и п р я м а я н а п л о с к о с т и , п е р п е н д и к ул я р н а я к о с и а б с ц и с с .
В е т в ь к р и в о й — с в я з н а я ч а с т ь к р и в о й , н е с о д е р ж а щ а я с я в д р уг о й е ё с в я з н о й
части.
Взаимодействие динамическое — взаимодействие или взаимосвязь элементов кибернетической системы во времени.
В ы б о р к а — с о в о к у п н о с т ь с л уч а й н о о т о б р а н н ы х и з г е н е р а л ь н о й с о в о к у п н о сти объектов, которая подвергается статистич ескому изучению.
206
Выпуклое множество — множество точек векторного пространства, обл адающее тем свойством, что соединяющий любые две его точки прямол инейный отрезок целиком пр инадлежит этому множеству.
В ы р о ж д е н н а я м а т р и ц а — м а т р и ц а , о п р е д е л и т е л ь к о т о р о й р а в е н н ул ю .
Г е н е р а л ь н а я с о в о к у п н о с т ь — в с я с о в о к уп н о с т ь о б с л е д уе м ы х о б ъ е к т о в .
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое
п о с л е д ую щ е е ч и с л о п о л уч а е т с я и з п р е д ы д ущ е г о ум н о ж е н и е м н а н е к о т о рое постоянное число.
Г е о м е т р и ч е с к о е м е с т о т о ч е к — м н о ж е с т в о т о ч е к ( о б р а з ую щ и х к р и в у ю и л и
поверхность), выделяемых из всех точек п ространства каким-либо геометрическим требованием или свойством.
Геометрия — часть математики, изучающая пространственные отношения и
формы тел, а также их обобщения.
Геометрия аналитическая — раздел геометрии, в котором ге ометрические
о б ъ е к т ы и з уч а ю т с я с р е д с т в а м и а л г е б р ы н а о с н о в е м е т о д а к о о р д и н а т .
Г и п е р б о л а — п л о с к а я к р и в а я в т о р о г о п о р я д к а , п о л уч а ю щ а я с я п р и п е р е с е ч е н и и к р уг о в о г о к о н ус а п л о с к о с т ь ю , н е п р о х о д я щ е й ч е р е з е г о в е р ш и н у и
параллельной двум его образ ующим.
Гистограмма — графическое представление э кспериментальных данных, при
к о т о р о м н а о с и а б с ц и с с о т м е ч а ю т с я т о ч к и , с о о т в е т с т в ую щ и е з н а ч е н и я м
измеряемой величины и на частичных интервалах параллельно оси орд ин а т с т р о я т с я п р я м о уг о л ь н и к и с п л о щ а д я м и , п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и ч и с л у
наблюдений, в которых измеряе мая величина попадала в соответствующий интервал.
Г р а ф — ф и г ур а , с о с т о я щ а я и з т о ч е к ( в е р ш и н ) и с о е д и н я ю щ и х и х л и н и й ( р ё бер).
Граф конечный — граф, множество рёбер которого – конечно.
Граф связный — граф, любая пара вершин которого соединена хотя бы о дн и м п ут ё м .
Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е — о т ы с к а н и е м а т е м а т и ч е с к о г о о б ъ е к т а , уд о в л е т в о р я ю щ е г о ус л о в и я м п о с т а в л е н н о й з а д а ч и , в ы р а ж е н н о е в г р а ф и ч е с к о й ф о р м е .
Графическое решение — решение задачи с помощью графич еских методов.
Д в е о с н о в н ы е з а д а ч и к о р р е л я ц и о н н о г о а н а л и з а — 1 ) ус т а н о в и т ь ф о р м у
к о р р е л я ц и о н н о й с в я з и ; 2 ) о ц е н и т ь т е с н о т у ( с и л у) к о р р е л я ц и о н н о й с в я з и .
207
Д в о й с т в е н н о с т ь — с в о й с т в о в з а и м о з а м е н я е м о с т и д в ух г р уп п п о н я т и й в м а тематических теориях; выражающееся в том, что при замене каждого п он я т и я н а с о о т в е т с т в ую щ е е е м у п о н я т и е д р уг о й г р уп п ы и з в е р н ы х т е о р е м
п о л уч а ю т с я д в о й с т в е н н ы е и м , т а к ж е в е р н ы е т е о р е м ы .
Действит ельные (вещест венные) числа — числа, представимые всевозмо жными десятичными дробями.
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, кр ом е , б ы т ь м о ж е т , э л е м е н т о в г л а в н о й д и а г о н а л и , р а в н ы н ул ю .
Директриса — прямая, обладающая тем свойством, что отношение рассто яния от любой точки кривой до фокуса к расстоянию от той же точки до
э т о й п р я м о й е с т ь в е л и ч и н а п о с т о я н н а я , р а в н а я э к с ц е н т р и с и т е т у.
Д и с к р е т н ы е с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы — с л уч а й н ы е в е л и ч и н ы , к о т о р ы е п р и н и мают отдельные, изолированные возможные значения с определенными
вероятностями.
Д и с п е р с и я — х а р а к т е р и с т и к а с л уч а й н о й в е л и ч и н ы , о п р е д е л я е м а я к а к м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е к в а д р а т а о т к л о н е н и я с л уч а й н о й в е л и ч и н ы о т е е
математического ожидания.
Длина — числовая характеристика протяжённости линии в пр остранстве; для
отрезка прямой совпадает с расстоянием м ежду его концами.
Длина вектора — положительное значение квадратного корня из скалярного
произведения вектора на себя.
Длина пути — сумма продолжительностей лежащих на нем р абот.
Доверительная вероятность — вероятность, оценивающая достоверность
х а р а к т е р и с т и к , п о л уч е н н ы х н а о с н о в е в ы б о р о ч н ы х н а б л ю д е н и й .
Доверительный
интервал
—
интервал,
который
с
задаваемой
наперед
надежностью покрывает оцениваемый параметр.
Д о к а з а т е л ь с т в о — с п о с о б о б о с н о в а н и я и с т и н н о с т и т о г о и л и и н о г о с уж д е ния.
Достоверное событие — событие, которое обязательно происходит при ка ждом испытании; вероятность этого события равна единице.
Единичная матрица — диагональная матрица, все элементы главной диаг онали которой ра вны единице; обозначается обычно E или I.
Е д и н с т в е н н о с т ь — с ущ е с т в о в а н и е н е б о л е е о д н о г о м а т е м а т и ч е с к о г о о б ъ е к т а
с заданными свойствами.
208
Зависимые события — события, для которых ве роятность одного из них м ен я е т с я в з а в и с и м о с т и о т т о г о , п р о и з о ш л о д р уг о е и л и н е т .
Закон распределения случайной величины — соответствие между возмо жн ы м и з н а ч е н и я м и с л уч а й н о й в е л и ч и н ы и и х в е р о я т н о с т я м и .
Инт ер вальн ая оценк а — ст ати сти ческ ая оц енк а, которая оп ределяет ся дв умя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый пар аметр.
Иррациональные числа — числа, не представимые обыкновенными дроб ями.
Испытание — изучение какого -либо явления в порядке набл юдения.
К а с а т е л ь н а я — п р е д е л ь н о е п о л о ж е н и е с е к ущ е й , п р о х о д я щ е й ч е р е з д а н н ую
т о ч к у к р и в о й и д р у г ую , с т р е м я щ ую с я к н е й , т о ч к у к р и в о й .
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу стол бцов.
К и б е р н е т и к а — н а ук а о б уп р а в л е н и и с л о ж н ы м и д и н а м и ч е с к и м и с и с т е м а м и .
Коллинеарность — свойство векторов, заключающееся в том, что они лежат
на параллельных прямых или на одной прямой. Компоненты коллинеа рных векторов пропорци ональны.
К о м б и н а т о р и к а — р а з д е л м а т е м а т и к и , и з уч а ю щ и й с о с т а в л е н и е р а з л и ч н ы х
комбинаций из заданных объектов.
Коммутативность — свойство алгебраических операций сложения (+) и
умножения () чисел, выражаемое тождествами: a+b=b+с, a b=ba; выч и т а н и е и д е л е н и е ч и с е л н е к о м м ут а т и в н ы .
К о м п л е к с н о е ч и с л о — ч и с л о , в к л ю ч а ю щ е е д е й с т в и т е л ь н ую и м н и м ую ч а с т и .
Конечная десятичная дробь — дробь, знаменатель которой есть целая п оложительная степень числа 10.
Координаты декартовы — прямолинейные координаты, у кот орых все оси
взаимно
п е р п е н д и к ул я р н ы ;
для
нахождения
к оординат
произвольной
т о ч к и M и з н е ё о п ус к а ю т с я п е р п е н д и к ул я р ы н а с о о т в е т с т в ую щ и е о с и ;
к о о р д и н а т а м и т о ч к и M я в л я ю т с я ч и с л а , х а р а к т е р и з ую щ и е п о л о ж е н и я о с н о в а н и й п е р п е н д и к ул я р о в н а э т и х о с я х .
К о р р е л я ц и о н н а я з а в и с и м о с т ь — ф ун к ц и о н а л ь н а я з а в и с и м о с т ь ус л о в н о г о
с р е д н е г о п е р в о й с л уч а й н о й в е л и ч и н ы о т з н а ч е н и я в т о р о й с л уч а й н о й в е личины.
209
Коэффициент угловой — тангенс угла между данной прямой и осью аб сцисс.
Кривая второго порядка — плоская линия, декартовы коорд инаты которой
удовлетворяют
алгебраическому
уравнению
второй
степени
a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 0 , г д е н е в с е a р а в н ы н ул ю о д н о в р е ij
менно для i, j = 1,2.
К р и т е р и й — п р а в и л о и л и ус л о в и е д л я п р о в е р к и в ы п о л н е н и я и л и н е в ы п о л н е ния данного утверждения.
Линейная зависимость — зависимость между элементами векторного пр остранства, заключающаяся в том, что некоторая линейная комбинация
э т и х э л е м е н т о в р а в н а н ул ю , х о т я н е в с е к о э ф ф и ц и е н т ы р а в н ы н ул ю .
Линейно независимые решения — решения, никакая линейная комбинация
к о т о р ы х н е р а в н я е т с я н ул ю т о ж д е с т в е н н о .
Линейное программирование — теория и методы отыскания такого решения
с и с т е м ы л и н е й н ы х ур а в н е н и й и н е р а в е н с т в , к о т о р о е д а е т э к с т р е м а л ь н о е
з н а ч е н и е л и н е й н о й ф о р м е , в ы р а ж а ю щ е й ц е л е в ую ус т а н о в к у з а д а ч и .
Л и н е й н ы е у р а в н е н и я — ур а в н е н и я в и д а A x = b , г д е A — л и н е й н ы й о п е р а т о р ,
x — неизвестная переменная, b — константа (в широком смысле).
Л о г а р и ф м ч и с л а — п о к а з а т е л ь с т е п е н и , в к о т о р ую в о з в о д и т с я о с н о в а н и е д л я
п о л уч е н и я д а н н о г о ч и с л а .
М а к с и м у м — з н а ч е н и е ф ун к ц и и , к о т о р о е н е м е н ь ш е л ю б о г о и з е ё з н а ч е н и й в
н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и а р г ум е н т а .
Маршрут — последовательность рёбер графа, соединяющая его вершины.
М а т е м а т и к а — н а ук а о к о л и ч е с т в е н н ы х о т н о ш е н и я х и п р о с т р а н с т в е н н ы х
формах действительного мира.
Математическая модель — приближенное описание какого -либо класса явлений, выраженное с помощью математич еской символики.
Математическая статистика — раздел математики, посвященный мат ематическим методам систематизации, обработки и исследования статистич ес к и х д а н н ы х д л я н а уч н ы х и п р а к т и ч е с к и х в ы в о д о в .
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е — с р е д н е е з н а ч е н и е с л уч а й н о й в е л и ч и н ы , о п р е д е л я е м о е к а к с ум м а п р о и з в е д е н и й с л уч а й н о й в е л и ч и н ы н а и х в е р о я т н о сти (дискретное распределение случайной величины) или интеграл от
210
п р о и з в е д е н и я с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы н а ф ун к ц и ю п л о т н о с т и в е р о я т н о с т и
( н е п р е р ы в н о е р а с п р е д е л е н и е с л уч а й н о й в е л и ч и н ы ) .
М а т р и ц а — п р я м о уг о л ь н а я т а б л и ц а , с о с т о я щ а я и з э л е м е н т о в , р а с с т а в л е н н ы х
в m с т р о к и n с т о л б ц о в . О б о з н а ч а е т с я д в о й н ы м и л и н е й к а м и , к р уг л ы м и
или квадратными скобками, охватывающими таблицу сл ева и справа.
Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца и имеющая ра змер m 1.
Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки и имею щая размер 1
n.
М е т о д — с о в о к уп н о с т ь п р и е м о в и л и о п е р а ц и й д л я п о л уч е н и я и с к о м о г о р е з ул ь т а т а .
Метод Гаусса — метод последовательного исключения пер еменных.
М и н и м у м — з н а ч е н и е ф ун к ц и и , к о т о р о е н е п р е в о с х о д и т л ю б о е е ё з н а ч е н и е в
н е к о т о р о й о к р е с т н о с т и а р г ум е н т а .
Минор — определитель матрицы, составленный с сохранением порядка из
элементов, стоящих на пересечениях заданных k разных строк и k ра зных столбцов данной матрицы.
М н и м а я е д и н и ц а — ч и с л о , к в а д р а т к о т о р о г о р а в е н м и н ус е д и н и ц е .
М н о ж е с т в о — с о в о к уп н о с т ь о б ъ е к т о в , о б ъ е д и н е н н ы х о б щ и м д л я н и х п р и з н а ком.
Н а и б о л ь ш и й о б щ и й д е л и т е л ь — н а и б о л ь ш е е н а т ур а л ь н о е ч и с л о , н а к о т о р о е
делится без остатка каждое из данных чисел.
Н а и м е н ь ш е е о б щ е е к р а т н о е — н а и м е н ь ш е е н а т ур а л ь н о е ч и с л о , к о т о р о е д е лится без остатка на каждое из данных чисел.
Натуральные числа — целые положительные.
Н е в о з м о ж н о е с о б ы т и е — с о б ы т и е , к о т о р о е п р и з а д а н н о й с о в о к уп н о с т и у с л о в и й п р о и з о й т и н е м о ж е т ; е г о в е р о я т н о с т ь р а в н а н ул ю .
Невырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой о тл и ч е н о т н ул я .
Независимые испытания — испытания, для которых вероя тность того или
иного исхода каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы
и м е л и д р уг и е и с п ы т а н и я .
Независимые события — события, для которых появление л юбого их них не
изменяет вероятности по явления другого.
211
Н е о д н о р о д н о с т ь — о т с ут с т в и е у с и с т е м ы ур а в н е н и й и л и ур а в н е н и я с в о й с т в а
однородности.
Неособенная матрица — см. невырожденная матрица.
Н е п р е р ы в н ы е с л у ч а й н ы е в е л и ч и н ы — с л уч а й н ы е в е л и ч и н ы , к о т о р ы е м о г ут
принимать все значения из некоторого к онечного или бесконечного пром е ж ут к а .
Н е с о в м е с т н о с т ь — с в о й с т в о с и с т е м ы ур а в н е н и й и л и н е р а в е н с т в , з а к л ю ч а ю щ е е с я в о т с ут с т в и и р е ш е н и я , уд о в л е т в о р я ю щ е г о в с е м с о с т а в л я ю щ и м с и стемы.
Н е с о в м е с т н ы е с о б ы т и я — с о б ы т и я , к о т о р ы е н е м о г у т о с ущ е с т в и т ь с я в о д ном и том же испытании.
Н о р м а л ь — п е р п е н д и к ул я р к к а с а т е л ь н о й п л о с к о с т и и л и к к а с а т е л ь н о й в
данной точке.
О б р а т н а я м а т р и ц а — м а т р и ц а , к о т о р а я , б уд уч и ум н о ж е н а с п р а в а и л и с л е в а
н а д а н н ую , д а е т е д и н и ч н ую м а т р и ц у .
О б щ е е р е ш е н и е — р е ш е н и е с и с т е м ы л и н е й н ы х а л г е б р а и ч е с к и х ур а в н е н и й ,
зависящее от нескольких параметров, из которого при частных значен ия х э т и х п а р а м е т р о в м о ж н о п о л уч и т ь л ю б о е р е ш е н и е .
О б ы к н о в е н н а я д р о б ь — о т н о ш е н и е д в ух ц е л ы х ч и с е л .
О г р а н и ч е н и е — р а в е н с т в о и л и н е р а в е н с т в о , к о т о р о м у д о л ж н ы уд о в л е т в о р я т ь
переменные в задаче.
О д н о р о д н о с т ь — с в о й с т в о с и с т е м а л г е б р а и ч е с к и х ур а в н е н и й , з а к л ю ч а ю щ е е с я в т о м , ч т о ум н о ж е н и е р е ш е н и я н а п о с т о я н н о е ч и с л о с н о в а д а е т р е ш е ние.
О п р е д е л и т е л ь — с ум м а в с е х в о з м о ж н ы х д л я д а н н о й к в а д р а т н о й м а т р и ц ы
п р о и з в е д е н и й ч л е н о в о п р е д е л и т е л я , в з я т ы х с с о о т в е т с т в ую щ и м и з н а к а ми; обозначается в виде таблицы элементов данной матрицы, ограниче нной по бокам простыми вертикальными че ртами.
Оптимальность — качество, определяющее процесс (алгоритм, метод реш ен и я и т . д . ) , л уч ш е уд о в л е т в о р я ю щ и й т р е б о в а н и я м з а д а н н о г о к р и т е р и я ,
ч е м д р уг и е п р о ц е с с ы и з з а д а н н о й с о в о к уп н о с т и .
Оптимизация — процесс (алгоритм, метод решения и т.д.) достижения
н а и л уч ш и х п о к а з а т е л е й , уд о в л е т в о р я ю щ и х т р е б о в а н и я м з а д а н н о г о к р и терия.
Особенная матрица — см. вырожденная матрица.
212
П а р а б о л а — п л о с к а я к р и в а я в т о р о г о п о р я д к а , п о л уч а ю щ а я с я п р и п е р е с е ч е н и и к р уг о в о г о к о н ус а п л о с к о с т ь ю , н е п р о х о д я щ е й ч е р е з е г о в е р ш и н у и
п а р а л л е л ь н о й о д н о й и з е г о о б р а з ую щ и х . К а н о н и ч е с к а я ф о р м а ур а в н е н и я
параболы в прямоугольных декартовых координатах:
y 2 2 px , г д е p —
параметр; парабола с осью, параллельной оси ординат, опред еляется
2
к в а д р а т н ы м т р е х ч л е н о м y ax bx c (a 0) , г д е a , b , c с ут ь ч и с л о в ы е к о -
эффициенты.
П е р е с т а н о в к и — г р уп п и р о в к и и з д а н н ы х э л е м е н т о в , о т л и ч а ю щ и е с я д р у г о т
д р уг а и х п о р я д к о м .
Перпендикуляр к плоскости — прямая, пересекающая под прямым углом
л ю б ую п р я м ую , л е ж а щ ую в д а н н о й п л о с к о с т и и п р о х о д я щ ую ч е р е з т о ч к у
пересечения.
П е р п е н д и к у л я р к п р я м о й — п р я м а я , п е р е с е к а ю щ а я п о д п р я м ы м уг л о м д а н н ую п р я м ую .
П е р п е н д и к у л я р н о с т ь — в з а и м н о е с в о й с т в о д в ух п р я м ы х , п р я м о й и п л о с к о с т и и л и д в ух п л о с к о с т е й , к о т о р ы е п е р е с е к а ю т с я д р уг с д р уг о м и о б р а з у ю т в т о ч к е п е р е с е ч е н и я п р я м о й уг о л ( д в е п л о с к о с т и в э т о м с л уч а е о б р а з ую т п о л и н и и п е р е с е ч е н и я д в уг р а н н ы й п р я м о й уг о л ) .
Плоскость — один из основных объектов геометрии, определяемый аксиом атически своими отношениями с прямой и точкой. В трёхмерном евклид овом пространстве это множество точек, декартовы координаты которых
у д о в л е т в о р я ю т ур а в н е н и ю Ax By Cz D 0 , г д е A , B , C н е р а в н ы н у л ю
одновременно.
Прикладная математика — совокупность математических идей и мет одов,
н е п о с р е д с т в е н н о и с п о л ь з уе м ы х в д р у г и х н а ук а х и в т е х н и к е .
Произведение событий — событие, состоящее в совместном появлении всех
этих событий.
П р о п о р ц и я — р а в е н с т в о д в ух о т н о ш е н и й .
Процент — сотая часть числа.
П у т ь — ( с м . М а р ш р ут ) н е п р е р ы в н а я т е х н о л о г и ч е с к а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь
работ от исходного события до завершающего.
П у т ь к р и т и ч е с к и й — п ут ь с м а к с и м а л ь н о й с ум м а р н о й п р о д о л ж и т е л ь н о с т ь ю
лежащих на нём работ.
213
Работа — протяженный во времени процесс, сопровождающийся затратами
р е с ур с о в .
Работа фиктивная — логическая связь между работами или с обытиями, не
т р е б ую щ а я з а т р а т р е с ур с о в .
Равновозможные события — события, для которых есть осн ования считать,
ч т о н и о д н о и з н и х н е я в л я е т с я б о л е е в о з м о ж н ы м , ч е м д р уг о е .
Р а в н о с и л ь н о с т ь — с в о й с т в о д в ух и л и н е с к о л ь к и х у р а в н е н и й с о д н и м н е и з в е с т н ы м ( и л и с и с т е м n ур а в н е н и й с m н е и з в е с т н ы м и ) , з а к л ю ч а ю щ е е с я в
том, что они имеют о дно и то же множество корней (решений).
Р а в н о с и л ь н ы е у р а в н е н и я — ур а в н е н и я , с о в о к уп н о с т и р е ш е н и й к о т о р ы х
совпадают.
Р а з м е щ е н и я — г р уп п и р о в к и и з д а н н о г о ч и с л а э л е м е н т о в п о з а д а н н о м у
м е н ь ш е м у ч и с л у в к а ж д о й г р уп п е , о т л и ч а ю щ и е с я д р уг о т д р уг а х о т я б ы
одним элементом.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матр ицы, отличных
о т н ул я .
Рациональные числа — числа, представимые обыкновенными дробям и.
Репрезентативная выборка — выборка, правильно представляющая все пр оп о р ц и и г е н е р а л ь н о й с о в о к уп н о с т и .
Р е ш е н и е — м а т е м а т и ч е с к и й о б ъ е к т , уд о в л е т в о р я ю щ и й ус л о в и я м п о с т а в л е н ной задачи.
Сетевая модель — план выполнения комплекса взаимосвяза нных операций.
Сетевое планирование и управление (СПУ) — эффективный способ упра вления сложными динамическими процессами.
С е т е в о й г р а ф и к — о р и е н т и р о в а н н ы й г р а ф б е з к о н т у р о в , д уг и к о т о р о г о и м е ют одну или несколько числовых характеристик (наглядное отобр ажение
плана работ).
Симплекс-метод — многошаговый метод решения задач линейного програ ммирования, при котором на каждом шаге пр оисходит переход к соседней
в е р ш и н е м н о ж е с т в а д о п ус т и м ы х п л а н о в .
Симплекс-таблица — форма записи задачи линейного програ ммирования в
виде
п р я м о уг о л ь н о й
метода.
таблицы,
облегчающая
применение
симплекс -
214
Симплекс-шаг — этап симплекс -метода, когда на найденном решении задачи
л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я ц е л е в а я ф ун к ц и я п р о в е р я е т с я н а о п т и мальность.
Система — комплекс взаимосвязанных и динамически взаим одействующих
элементов.
С и с т е м а м е т о д о в С П У — с и с т е м а уп р а в л е н и я к р уп н ы м и к о м п л е к с а м и , с о с т о я щ и м и и з в з а и м о с в я з а н н ы х с т р у к т ур н ы х э л е м е н т о в .
С и с т е м а у р а в н е н и й — м н о ж е с т в о у р а в н е н и й , д л я к о т о р ы х т р е б уе т с я н а й т и
р е ш е н и я , уд о в л е т в о р я ю щ и е о д н о в р е м е н н о в с е м ур а в н е н и я м с и с т е м ы .
С л у ч а й н а я в е л и ч и н а — в е л и ч и н а , к о т о р а я в р е з ул ь т а т е и с п ы т а н и я м о ж е т
принять то или иное числовое значение, зар анее неизвестно, какое
именно.
Случайное событие — событие, которое может произойти или не произойти
в р е з ул ь т а т е и с п ы т а н и я .
С о б ы т и е — в с я к и й р е з ул ь т а т и л и и с х о д и с п ы т а н и я .
С о б ы т и е — с о с т о я н и е , м о м е н т д о с т и ж е н и я п р о м е ж ут о ч н о й и л и к о н е ч н о й ц е ли разработки.
Событие, противоположное событию A — событие, которое происходит т огда и только тогда, когда не происходит с обытие A.
С о в м е с т н о с т ь — с в о й с т в о с и с т е м ы ур а в н е н и й ( н е р а в е н с т в ) и м е т ь х о т я б ы
о д н о о б щ е е д л я в с е х ур а в н е н и й ( н е р а в е н с т в ) р е ш е н и е .
С о в м е с т н ы е с о б ы т и я — с о б ы т и я , к о т о р ы е м о г ут п р о и з о й т и в м е с т е в о д н о м
и том же испытании.
Сочетания — группировки из данного числа элементов по заданному м еньш е м у ч и с л у в к а ж д о й г р уп п е , о т л и ч а ю щ и е с я д р уг о т д р уг а х о т я б ы о д ним элементом.
С р е д н е е к в а д р а т и ч е с к о е о т к л о н е н и е — х а р а к т е р и с т и к а с л уч а й н о й в е л и ч и н ы , к о т о р а я п о к а з ы в а е т с р е д н ю ю в е л и ч и н у р а з б р о с а с л уч а й н о й в е л и ч и н ы
относительно ее математического ожидан ия; определяется как корень
квадратный из дисперсии.
С т о л б е ц — э л е м е н т ы м а т р и ц ы , р а с п о л о ж е н н ы е о д и н п о д д р уг и м ; п р и н ум е р а ц и и э л е м е н т о в м а т р и ц ы д в ум я и н д е к с а м и в т о р о й и н д е к с о б о з н а ч а е т
номер столбца.
215
Строка — элементы матрицы, расположенные по горизонтали; при нумерац и и э л е м е н т о в м а т р и ц ы д в ум я и н д е к с а м и п е р в ы й и н д е к с о б о з н а ч а е т н о мер строки.
Сумма событий — событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих
событий.
С ш и в к а г р а ф и к а — с о с т а в л е н и е п е р в о н а ч а л ь н о г о с е т е в о г о г р а ф и к а б е з уч ё та продолжительностей работ.
Т е о р и я в е р о я т н о с т е й — м а т е м а т и ч е с к а я н а ук а , и з уч а ю щ а я з а к о н о м е р н о с т и в
с л уч а й н ы х я в л е н и я х .
Точечная оценка — статистическая оценка, которая определ яется одним
числом.
Транспонированная матрица — матрица, у которой взаимно переставлены
местами столбцы и строки. Обозначение AT.
Транспортная задача — одна из важнейших задач линейного программир ов а н и я — о п р е д е л е н и е п л а н а п е р е в о з о к и з п ун к т о в п р о и з в о д с т в а в п ун к т ы
п о т р е б л е н и я п р и з а д а н н ы х ус л о в и я х с л и н е й н ы м и о г р а н и ч е н и я м и .
Угловая точка выпуклого множе ства — точка вып уклого множества наз ыв а е т с я уг л о в о й , е с л и ч е р е з н е е н е л ь з я п р о в е с т и н и о д н о г о о т р е з к а , с о стоящего только из точек данного множества и для которого она была бы
в н ут р е н н е й .
Упорядочение графика — построение сетевого графика в масштабе врем ени.
У п р а в л е н и е — ц е л е н а п р а в л е н н о е в о з д е й с т в и е н а к и б е р н е т и ч е с к ую с и с т е м у.
Ур авн ени е — з апи сь в ф орме равенст ва з адачи об отыск ании зн ачений арг ум е н т о в , п р и к о т о р ы х з н а ч е н и я д в ух д а н н ы х ф ун к ц и й р а в н ы .
У р а в н е н и е п р я м о й — к о о р д и н а т н о е ур а в н е н и е п р я м о й н а п л о с к о с т и ; о б щ и й
в и д е г о в п р я м о уг о л ь н ы х д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х A x + B y + C = 0 , г д е
п о с т о я н н ы е к о э ф ф и ц и е н т ы A и B н е м о г ут о д н о в р е м е н н о б ы т ь р а в н ы м и
н ул ю .
У с л о в н а я в е р о я т н о с т ь — в е р о я т н о с т ь с о б ы т и я A , в ы ч и с л е н н а я п р и ус л о в и и
о с ущ е с т в л е н и я д р у г о г о с о б ы т и я B .
Ф а к т о р и а л ч и с л а — ф ун к ц и я ц е л ы х н е о т р и ц а т е л ь н ы х ч и с е л , р а в н а я п р о и з ведению всех целых чисел от 1 до данного числа.
Фокус кривой — точка, лежащая в плоскости кривой второго порядка и о бладающая тем свойством, что отношение ра сстояний от любой точки
216
к р и в о й д о ф о к ус а и д о с о о т в е т с т в ую щ е й д и р е к т р и с ы е с т ь п о с т о я н н а я в е личина, равная эксцентриситету этой кривой.
Форма линейная — однородный многочлен первой степени относительно
д а н н о й с о в о к уп н о с т и п е р е м е н н ы х .
Ф у н к ц и я — п р а в и л о п е р е х о д а о д н о г о ч и с л о в о г о м н о ж е с т в а в д р уг о е .
Ф у н к ц и я п л о т н о с т и в е р о я т н о с т и — п р о и з в о д н а я о т ф ун к ц и и р а с п р е д е л е ния.
Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я — ф ун к ц и я , о п р е д е л я ю щ а я д л я к а ж д о г о з н а ч е н и я x
в е р о я т н о с т ь т о г о , ч т о с л уч а й н а я в е л и ч и н а X п р и м е т з н а ч е н и е , н е п р е вышающее x.
Ц е л е в а я ф у н к ц и я — ф ун к ц и я о с н о в н ы х и с к о м ы х п е р е м е н н ы х з а д а ч и л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я , э к с т р е м а л ь н ы е з н а ч е н и я к о т о р о й и щ ут с я в р а с сматриваемой задаче.
Ц е п ь — м а р ш р ут , в к о т о р о м к а ж д о е р е б р о г р а ф а в с т р е ч а е т с я н е б о л е е о д н о г о
раза.
Цикл — цепь, начальная и конечная вершины которой совпа дают.
Частное решение — решение, получающееся из общего решения при ко нкретных значениях параметров.
Чи сленное р ешен и е — решени е мат емати ческой з адачи, п ол ученн ое одни м
из численных методов.
Э л е м е н т а р н о е с о б ы т и е — в о з м о ж н ы й и с х о д и с п ы т а н и я , к о т о р ы й в ус л о в и я х
з а д а ч и н е л ь з я п р е д с т а в и т ь к а к о б ъ е д и н е н и е д р уг и х в о з м о ж н ы х и с х о д о в .
Э л л и п с — п л о с к а я к р и в а я в т о р о г о п о р я д к а , п о л уч а ю щ а я с я п р и п е р е с е ч е н и и
к р уг о в о г о к о н ус а п л о с к о с т ь ю , н е п р о х о д я щ е й ч е р е з е г о в е р ш и н у и п е р е секающей все его образующие.
217
РАЗДЕЛ 5. Методические указания для выполнения контрольных работ
При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться следующих правил.
1.
Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета,
кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.
2.
На обложке тетради ясно написать фамилию, инициалы, учебный шифр, номер
контрольной работы, название дисциплины. В конце работы указать использованную
литературу, дату выполнения и расписаться.
3.
В работу включить все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту.
4.
Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера
задач.
5.
Перед решением каждой задачи записать полностью ее условие.
6.
Решения задач излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу
решения и делая необходимые чертежи.
7.
После получения прорецензированной работы, исправить все отмеченные рецензентом
ошибки и недочеты, и выполнить все рекомендации рецензента.
Если работа возвращена на доработку, то нужно выполнить указания рецензента в той же тетради
в короткий срок и сдать работу на повторную проверку.
В связи с этим рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых листов.
По каждой работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется зачет по контрольной работе.
Студенту, не выполнившему контрольную работу до начала экзаменационной сессии, может быть
предложена аудиторная контрольная работа.
Без зачтенных контрольных работ студент к экзамену (зачету) не допускается.
Раздел 6. Данные о мультимедийных лекциях
(по плану не предусмотрены)
