Логические задачи. Лжецы и рыцари

лжецы и рыцари
За круглым столом сидят только рыцари и лжецы. Каждый из них сделал два заявления:
1. «Справа от меня сидит лжец».
2. «Слева от меня сидит лжец».
Могло ли за столом быть 2003 человека? (Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят
правду)
(Юрасов Дима)
Ответ. Нет.
Решение.
Т.к. все сидевшие за столом сказали, что оба их соседа лжецы, то у каждого лжеца оба
соседа – рыцари, а у каждого рыцаря – лжецы. Значит, за столом они сидят следующим
Р Л
образом:
Р
………
Значит, всего за столом сидит четное число людей,
иначе либо 2 рыцаря будут сидеть рядом, либо 2 лжеца, чего быть не может.
Л
Р
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В каждой клетке доски 2  5 стоят рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а
лжецы всегда лгут). Каждый из них утверждает, что среди его соседей ровно один рыцарь.
Сколько рыцарей может быть на доске? Соседними считаются клетки, имеющие общую
сторону.(?)
Ответ. 0 или 6.
Решение.
Существуют только два способа расстановки
л
л
л
л
л
л
л
л
л
л
р
р
л
л
р
р
л
л
р
р
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В конференции по вопросам белой и черной магии участвовало 100 фей и ведьм. Каждой
участнице был задан вопрос: «Если не считать Вас, то кого больше среди остальных
участниц – фей или ведьм?». Когда опросили 51 участницу, и все ответили, что ведьм
больше, опрос прервали. Ведьмы всегда лгут, а феи всегда говорят правду. Сколько фей
среди участниц?
(?)
Ответ: 50 фей.
Решение:
Все феи должны ответить одинаково, и все ведьмы – тоже. Если больше фей, то феи так и
скажут, но среди 51 опрошенных обязана найтись фея; противоречие. Если же больше
ведьм, то все они соврут, то есть скажут, что больше фей, и среди 51 опрошенных хотя бы
одна – ведьма.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Как-то встретились мудрец, хитрец и лжец. (Известно, что мудрец всегда говорит правду,
лжец – лжет, а хитрец, если ему сказали правду, говорит правду, если ложь – лжет, а если
он говорит первый, то он лжет.) Между ними состоялся разговор:
Л
Л
Р
лжецы и рыцари
Первый сказал второму: «Ты – хитрец».
Второй ему ответил: «Ты лжешь, это ты – хитрец».
На что третий возразил: «Вы оба лжете, хитрец – это я!».
Определите, кто из них мудрец, хитрец и лжец.
(?)
Ответ. Первый – хитрец, Второй – мудрец, Третий – лжец.
Решение.
Рассмотрим все возможные варианты для Первого.
1) Если Первый – лжец, то из первого высказывания следует, что Второй может быть
только мудрецом, но тогда из второго утверждения следует, что Первый – хитрец.
Противоречие.
2) Если Первый - мудрец, то Второй – хитрец. А так как Второму сказали правду, то он
должен сказать
тоже правду. Но в данном случае его высказывание ложно.
Противоречие.
3) Остается случай, когда Первый – хитрец. В этом случае второе утверждение истинно,
т.е. Второй – мудрец. Тогда Третий – лжец. Этот случай удовлетворяет условию задачи.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На острове живут только лжецы и рыцари. Лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят
правду. Встретились три островитянина: Ах, Ох и Ух. Ах сказал: «Мы все - лжецы». Ох
ответил: «Ровно один из нас - рыцарь». Ух промолчал. Определите, кто есть кто.
(«Математика: Интеллектуальные марафоны, турниры, бои 5-11 классы: Книга для
учителя. Авторский коллектив: Блинков А.Д., Семенов А.В. и др.»)
Ответ. Ах – лжец, Ох – рыцарь, Ух – лжец.
Решение.
Из высказывания Аха следует, что он не может быть рыцарем (т.к. тогда он лжет), значит,
Ах – лжец. Следовательно, его высказывание неверно, и среди троих есть хотя бы один
рыцарь. Если Ох солгал, то он лжец, но тогда рыцарь действительно один: Ух, получается,
что лжец Ох говорит правду, противоречие. Значит, Ох не может лгать, т.е. Ох – рыцарь.
А т.к. по его высказыванию рыцарь только один, то Ух – лжец.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Комиссия по переписи населения приехала на остров, на котором проживало 100 человек:
рыцари, которые всегда говорят правду, лжецы, которые всегда лгут и мудрецы, которые
отвечают правдиво только на два вопроса. Чтобы определить количество рыцарей, лжецов
и мудрецов на острове, комиссия изготовила анкету из трех вопросов:
1. Являетесь ли вы лжецом или рыцарем?
2. Являетесь ли вы лжецом или мудрецом?
3. Являетесь ли вы мудрецом или рыцарем?
В результате опроса всех жителей общее число положительных ответов составило 190,
причем число ложных положительных ответов на первый вопрос равнялось числу ложных
отрицательных ответов на этот же вопрос. Озадаченная комиссия вычеркнула из анкеты
третий вопрос и повторила опрос жителей. Число положительных ответов теперь
равнялось 80. Помогите комиссии определить, сколько на острове лжецов, рыцарей и
мудрецов.
(Устинов А.В.)
Ответ. Рыцарей 50, мудрецов 30, лжецов 20.
Решение.
Имеет место равенство:
Р  Л  М  100 .
(1)
После результатов первого опроса:
2 Р  Л  М 1  3М 2  190
(2)
лжецы и рыцари
2 Р - каждый рыцарь дал два положительных ответа,
Л - каждый лжец дал один положительный ответ (причем на третий вопрос),
М 1 - мудрецы, давшие ложный ответ на вопросы №2 и №3 (каждый из таких мудрецов
дал ровно один положительный ответ),
3М 2 - мудрецы, давшие ложный ответ на вопрос №1 (этот ответ положителен). Каждый
из таких мудрецов дал ровно 3 положительных ответа.
При этом
Л  М2.
(3)
Только лжецы давали ложный отрицательный ответ на вопрос №1, только мудрецы М 2
дали ложный положительный ответ на вопрос №1.
После второго опроса:
(4)
Р  М  80 .
Из (1), (2), (3) и (4) получаем, что лжецов на острове 20, рыцарей – 50, мудрецов – 30.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В зоомагазине на жердочке сидят три попугая – правдивый (всегда говорит правду),
хитрец (может сказать правду, а может солгать) и лжец (всегда лжет). Причем сидят они
именно в таком порядке. Хозяин хочет выяснить, в каком порядке они сидят, и задает
каждому по очереди вопрос: «Кто сидит в центре?» Что должен ответить хитрец, чтобы
его нельзя было вычислить?
(ПермьТЮМ)
Ответ. «Правдивый»
Решение.
Если сидящий в центре скажет что-то другое, кроме как «правдивый», то лжец может
сказать «правдивый». Отсюда сразу будет следовать, что ни центральный, ни сидящий на
месте лжеца попугай не могут быть правдивыми. Значит правдивый попугай сидит
первым, и говорит, что в центре хитрец. Если же хитрец скажет «правдивый», то вне
зависимости от того, что скажет лжец, возможны несколько вариантов расположения
попугаев. Если ответы – ХПП, то расположение либо ПХЛ, либо ЛПХ. Если ответы –
ХПЛ, то расположение либо ПХЛ, либо ХПЛ, либо ЛПХ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На острове живут только рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (которые
всегда лгут).
Трое из них сделали по два заявления.
Первый сказал: «На острове живет не более трех человек»
«Все жители острова - лжецы».
Второй сказал: «На острове живет не более 4 человек»
«Не все жители острова - лжецы».
Третий сказал: «На острове живет 5 человек»
«На острове не менее 3 лжецов».
Сколько человек живет на острове и сколько среди них лжецов?
(МО)
Ответ. На острове живет 4 человека, среди них 2 лжеца.
Решение.
Предположим, что первый житель – рыцарь. Значит, он всегда говорит правду,
следовательно все жители острова – лжецы, т.е. он сам – тоже лжец. Противоречие.
лжецы и рыцари
Следовательно, первый житель – лжец. Из сделанных им заявлений ясно, что на острове
живет больше 3 человек и среди них есть рыцари.
Т.к. на острове точно есть рыцари, то второе утверждение второго жителя – правда, а,
значит, второй житель – рыцарь, и на острове живет ровно 4 человека. Получаем, что
третий житель – лжец, значит на острове меньше трех лжецов. Но т.к. уже известно, что
первый и третий жители – лжецы, то лжецов ровно два.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------На острове Контрастов живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы
всегда лгут. Некоторые жители заявили, что на острове четное число рыцарей, а
остальные заявили, что на острове нечетное число лжецов. Может ли число жителей
острова быть нечетным?(Мат.праздник, Москва)
Ответ. Нет.
Решение.
Предположим. что число жителей острова – нечетное. Тогда возможно два случая:
1) рыцарей – четное число, лжецов – нечетное,
2) рыцарей – нечетное число, лжецов – четное.
Разберем первый случай. В этом случае оба высказывания жителей правдивы, а т.к.
каждый житель что-то заявлял, то получается, что все лжецы сказали правду, чего быть не
может.
Во втором случае оба высказывания жителей лживы, получается, что все рыцари солгали,
чего быть не может.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы и правдолюбцы. Каждый
лжец, отвечая на вопрос: «Сколько...?» называет число на 2 больше, или на 2 меньше, чем
правильный ответ, а каждый правдолюбец отвечает верно. Путешественник встретил двух
жителей острова и спросил у каждого, сколько лжецов и правдолюбцев проживают на
острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 лжец и 1002 правдолюбца», а
второй: «Если не считать меня, то 1000 лжецов и 999 правдолюбцев». Сколько лжецов и
правдолюбцев на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?
(МО)
Ответ. Первый – лжец, второй – правдолюбец. На острове 1000 лжецов и 1000
правдолюбцев.
Решение.
Ответы первого и второго различны, поэтому вариант, когда оба правдолюбцы, не
походит. Так же невозможен вариант, когда оба лжецы, т.к. числа 1001 и 1000 отличаются
на 1, а ответы лжецов по поводу количества лжецов должны либо совпадать, либо
отличаться на 4.
Случай, когда первый – правдолюбец, а второй – лжец также невозможен, т.к. в этом
случае на острове проживает 1003 правдолюбца и, значит, лжец не мог дать ответ 999.
Остается вариант, когда первый – лжец, второй – правдолюбец. Из ответа второго
получаем 1000 лжецов и 1000 правдолюбцев, что соответствует ответу первого.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только
правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за
круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего
левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же
фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так
они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно,
лжецы и рыцари
говорят. Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом
сидело девять жителей Пустоземья. (?)
Ответ. Все были хоббитами.
Решение.
Рассмотрим того, про кого сказали, что он - хоббит, и для удобства назовём его Боб. Боб
не согласился с тем, что он хоббит, следующий не согласился с ним, а значит, подтвердил,
что Боб хоббит, и так далее - все говорящие через раз подтверждали или отрицали, что
Боб хоббит. Если пирующих было 9 (нечётное число), то на следующем круге каждый
говорил противоположное к тому, что сказал на предыдущем, так что все они хоббиты, а
первый хоббит про Боба сказал сначала правду, что вполне возможно.