ОБЩАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1. Основные понятия

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1. Основные понятия
1.1.
Объект изучения. Допущения
Теория упругости является частью общей науки о прочности,
жесткости и устойчивости сооружений. Эти же вопросы рассматриваются в
сопротивлении материалов в основном для стержневых систем на основе
упрощающих допущений.
В теории упругости используются более общие гипотезы и для
разработки методов расчета применяется более строгий математический
аппарат. Это позволяет получать более точные решения по сравнению с
сопротивлением материалов, а также рассматривать задачи, которые не могут
быть решены методами сопротивления материалов (в частности, расчет
массивных тел, пластинок и оболочек).
Основные допущения в теории упругости принимаются такие же, как в
сопротивлении материалов.
Рассматривается идеально упругое тело, т.е. такое, которое полностью
восстанавливает первоначальную форму и размеры после снятия внешних
воздействий. Предполагается, что в первоначальном состоянии при
отсутствии нагрузок не возникает никаких напряжений. В идеально упругом
теле имеет место линейная зависимость между нагрузками и перемещениями
точек тела.
Тело считается сплошным, однородным и изотропным.
Сплошность предполагает отсутствие разрывов и пустот в процессе
деформирования. В частности, не учитывается атомарное строение вещества,
составляющего тело.
Однородность предполагает постоянство свойств материала во всех
частях объема тела.
5
В изотропном теле предполагается, что упругие свойства материала
одинаковы во всех направлениях.
В теории упругости принимается допущение о малости перемещений.
В соответствии с ним перемещения точек тела малы по сравнению с его
размерами, а деформации малы по сравнению с единицей.
Допущения о малости перемещений позволяют применить для
упругого тела принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции).
На основании этого принципа результат действия на тело суммы сил равен
сумме результатов действия каждой отдельной силы.
При
решении
задач
теории
упругости
используется
принцип
локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок (принцип Сен-Венана).
В соответствии с этим принципом результат действия самоуравновешенных
нагрузок, приложенных к малой области тела, быстро убывает по мере
удаления от этой области.
1.2.
Нагрузки
Все нагрузки, действующие на тело можно разделить на объемные и
поверхностные.
Объемные нагрузки действуют в каждой точке тела (силы тяжести,
силы инерции, силы магнитного притяжения). Эти силы измеряются
интенсивностью – силой, приходящейся на единицу объема. Ее удобно
представить в виде составляющих вдоль координатных осей: X , Y , Z .
Поверхностные нагрузки появляются в результате контакта с другими
телами – давление грунта на подпорную стенку, давление воды на плотину и
др.
Интенсивность
поверхностной
нагрузки
–
это
величина
силы,
приходящаяся на единицу площади поверхности. Положение площадки на
поверхности определяется нормалью  к ней.
6
Вопросы для самоконтроля
1. Чем отличается теория упругости от сопротивления материалов?
2. Каковы основные допущения теории упругости?
3. В чем суть допущения о малости перемещений?
4. В чем суть принципа суперпозиции?
5. Сформулируйте принцип Сен-Венана.
6. Какие нагрузки являются объемными? Поверхностными?
7. Чем
определяется
положение
площадки,
выделенной
на
поверхности или внутри тела?
2. Статические уравнения
2.1.
Напряжения
Рассмотрим некоторое тело, находящееся в равновесии под действием
заданных нагрузок (рис. 1, а). Применяя метод сечений, разрежем его
некоторой плоскостью и отбросим одну из частей (рис. 1, б). Тогда на каждой
элементарной площадке  A сечения появится внутренняя сила F ,
интенсивность которой
F
dA0  A
p  lim
является полным напряжением на площадке с нормалью  . Таким образом,
полным напряжением называется внутренняя сила, приходящаяся на единицу
площади сечения.
Составляющая полного напряжения вдоль нормали  к площадке
называется
нормальным
напряжением
 .
Составляющая
полного
напряжения в плоскости сечения называется касательным напряжением  
на площадке с нормалью  .
7
Рис. 1
С другой стороны, в декартовой системе координат полное напряжение
можно представить составляющими вдоль координатных осей x , y , z ,
которые обозначаются X , Y , Z .
Для площадок, параллельных координатным плоскостям, нормалями
являются оси координат. Например, для площадки, параллельной плоскости
yOz , нормалью является ось x и составляющие напряжения будут X x , Yx ,
Z x . При этом
X x направлено вдоль нормали к площадке, является
нормальным напряжением на площадке с нормалью x и дальше будет
обозначаться  x . Составляющие Yx и Z x лежат в плоскости площадки,
8
являются
составляющими
полного
касательного
x
напряжения
и
обозначаются соответственно  yx и  zx .
В дальнейшем будем называть их касательными напряжениями на
площадке с нормалью x , направленными соответственно вдоль осей y и z .
Аналогично на площадке с нормалью y будем иметь нормальное
напряжение  y и касательные  xy и  zy , а на площадке с нормалью z −
нормальное напряжение  z и касательные  xz и  yz .
Нормальные напряжения считаются положительным при растяжении.
Для определения знака касательного напряжения введем понятие знака
нормали. Внешнюю нормаль к площадке будем считать положительной, если
она направлена в сторону параллельной
ей
координатной
оси, и
отрицательной, если она направлена в обратную сторону. Тогда касательное
напряжение положительно, если на площадке с положительной внешней
нормалью оно направлено в строну параллельной ему координатной оси или
на площадке с отрицательной внешней нормалью направлено в сторону,
обратную параллельной ему координатной оси. Схематичной это правило
можно представить так: (знак  ) = (знак внешней нормали)  (знак
направления  ).
В силу принятых допущений напряжения являются непрерывными
функциями координат.
2.2.
Дифференциальные уравнения равновесия
Выделим
из
тела
элементарный
параллелепипед
с
гранями,
параллельными координатным плоскостям (рис. 2). Рассмотрим его
равновесие под действием составляющих напряжений на гранях и объемной
нагрузки, представленной составляющими ее интенсивности X , Y , Z .
9
Рис. 2
Проекция сил на ось x дает:


 x   x 



 x 
dx  dydz   x  dydz   xy  xy dy  dx  dz 
x
y






 xy dxdz   xz  xz dz  dxdy   xz dxdy 
z


 Xdxdydz  0.
Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая оставшиеся
слагаемые на dxdydz , приходим к уравнению
 x  xy  xz


 X  0.
x
y
z
Аналогично записываются условия  y  0 и  z  0 . В результате
приходим к системе трех уравнений:
10

 x  xy  xz


 X  0;
x
y
z


 yx  y  yz


 Y  0; 
x
y
z


 zx  zy  z


 Z  0. 

x
y
z
Они
являются дифференциальными
(1)
уравнениями равновесия и
называются также уравнениями Навье.
Уравнения Навье устанавливают соотношения между напряжениями и
объемной нагрузкой.
Далее рассмотрим условия равенства нулю моментов относительно
координатных осей.
Так,

dy
dy


 M oz    x  x dx  dydz   x dydz 
x
2
2








  yx  yx dx  dydzdx   xy  xy dy  dxdzdy 
x
y




 y 

dx
dx
  y 
dy  dxdz   y dxdz 
y
2
2



dy
dy


  xz  xz dz  dxdy    xz dxdy  
z
2
2





dx
dx
  yz  yz dz  dxdy    yz dxdy  
z
2
2


 Xdxdydz
dy
dx
 Ydxdydz  0.
2
2
Раскрывая скобки, приводим подобные. Часть оставшихся слагаемых
содержит произведения трех дифференциалов, т.е. имеют третий порядок
малости. Другая часть содержит произведения четырех дифференциалов, т.е.
имеет четвертый порядок малости. Пренебрегая слагаемыми четвертого
порядка малости, сокращаем оставшиеся на dxdydz . В результате получаем
11
 xy   yx .
Остальные условия (  M oy  0 и  M oz  0 ) приводят к аналогичным
соотношениям, т.е. имеем:
 xy   yx ;

 xz   zx ; 
(2)

 yz   zy . 
Полученные
равенства
представляют
собой
закон
парности
касательных напряжений.
Поскольку система координат может быть выбрана произвольным
образом, соотношения (2) могут быть отнесены к любым двум взаимно
перпендикулярным площадкам. В связи с этим закон парности касательных
напряжений формируется так: касательные напряжения на двух взаимно
перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии их
пересечения, равны.
2.3.
Напряжения на наклонных площадках. Условия на поверхности
Рассмотрим элементарный тетраэдр 0abc (рис. 3). На наклонной
площадке abc с нормалью  действуют напряжения, составляющие которых
X
Y ,
Z . На площадках, лежащих на координатных плоскостях,
напряжения представлены их нормальными и касательными составляющими.
Если площадь наклонной площадки abc составляет dA , то площади
остальных граней:
Aaob  l  dA ;
Acob  m  dA ;
Aaoc  n  dA ,
l  cos  ,x  ;
m  cos  , y  ;
n  cos  ,z  −
где
− направляющие косинусы внешней нормали  площадки abc .
12
Рис. 3
Спроектируем напряжения и объемную нагрузку тетраэдра на ось x :
 x  X dA   x  ldA   xy  mdA   xz  ndA  XdV  0
Учитывая,
что
объем
определяется
dV
произведением
трех
дифференциалов, отбрасываем последнее слагаемое, как величину третьего
порядка малости по сравнению с остальными слагаемыми, содержащими
площади dA . После сокращения на dA приходим к соотношению
X   x  l   xy  m   xz  n .
Присоединяя аналогичные соотношения, найденные из условий  y  0
и  z  0 , получаем выражения для напряжений на наклонной площадке:
X   x  l   xy  m   xz  n;

Y   yx  l   y  m   yz  n; 

Z   zx  l   zy  m   z  n. 
(3)
Если наклонная площадка находится на поверхности тела, то
составляющие напряжений X Y , Z представляют собой составляющие
интенсивности поверхностной нагрузки. В этом случае равенства (3)
устанавливают
соотношения
между
13
поверхностной
нагрузкой
и
напряжениями в точках на поверхности тела. Такие соотношения называют
условиями на поверхности или граничными условиями.
Уравнения (1) и (3) представляют собой полную систему статических
уравнений. Если тело находится в равновесии, то для всех его внутренних
точек выполняется уравнение Навье, а для всех наружных – условия
равновесия. И наоборот: если для всех внутренних точек выполняется
уравнение Навье, а для всех наружных – условия на поверхности, то тело
находится в равновесии.
2.4.
Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния
Возьмем в произвольной точке тела некоторую площадку с нормалью
 . Положение площадки определяется в декартовой системе координат
направляющими косинусами l , m , n нормали  .
Если заданы составляющие X
Y , Z
полного напряжения на
площадке, полное напряжение можно определить как геометрическую сумму
составляющих:
p  X2  Y2  Z2 .
Нормальное
напряжение
на
площадке
(4)
получим
спроектировав
составляющие X Y , Z на нормали к площадке:
  X  l  Y  m  Z  n .
Выразим нормальное напряжение через напряжения на площадках,
параллельных координатным плоскостям. Для этого в последнее выражение
подставим X Y , Z из (3):
   x  l   xy  m   xz  n   l   yx  l   y  m   yz  n   m 
  zx  l   zy  m   y  n   n
или
   x  l 2   y  m2   z  n2  2 xy  ml  2 yz  mn  2 zx  ln .
Касательное напряжение на рассматриваемой площадке
14
(5)
  p2  2 .
(6)
При повороте площадки нормальное и касательное напряжения
изменяются. Площадка, на которой касательное напряжение обращается в
ноль, называется главной. Полное напряжение на главной площадке
совпадает с нормалью и является нормальным напряжением. Такое
напряжение обозначается  и называется главным напряжением.
Спроектируем главное напряжение на оси координат:
  l  X   x  l   xy  m   xz  n ;
  m  Y   yx  l   y  m   yz  n ;
  n  Z   zx  l   zy  m   z  n .
Перенося все слагаемые в одну сторону, получаем уравнения
 x     l   xy  m   xz  n  0; 


 yx  l   y     m   yz  n  0;

 zx  l   zy  m   z     n  0. 
Для получения полной системы
(7)
уравнений к равенствам (7)
необходимо присоединить соотношение между направляющими косинусами:
l 2  m2  n 2  1,
(8)
действительное в декартовой системе координат.
Три
уравнения
(7)
являются
линейными
однородными
алгебраическими уравнениями относительно направляющих косинусов.
Поскольку l , m , n не могут одновременно обратиться в ноль, нулю должен
быть равен определитель этой системы:
 x     xy
Раскрывая
 yx

 zx
 zy
определитель,
y
 xz
    yz
приходим
относительно главных напряжений:
15
 0.
(9)
 z   
к
кубическому
уравнению
 3  S1   2  S2    S3  0 .
(10)
Коэффициентами этого уравнения являются величины
S1   x   y   z ;



2
2
2
S2   x y   y z   z x   xy   yz   zx ; 

S3   x y z  2 xy yz zx   x yz2   y zx2   z xy2 .
(11)
Решение уравнения (10) дает три действительных, вещественных
корня, являющихся главными напряжениями. Эти напряжения нумеруются в
порядке убывания
1   2   3 .
(12)
Можно показать, что три главные площадки, соответствующие
напряжениям  1 ,  2 ,  3 , перпендикулярны друг другу.
Величины главных напряжений, а следовательно, и коэффициенты S1 ,
S2 , S3 уравнения (10) не зависят от выбора системы координат. Поэтому S1 ,
S2 и S3 называют инвариантами напряженного состояния в точке тела.
Инварианты
можно
выразить,
в
частности,
и
через
главные
напряжения:
S1   1   2   3 ;


S2   1 2   2 3   3 1 ;

S3   1 2 3 .

(13)
В теории пластичности используются также другие инвариантные
величины. Так, величина
i 
1
3


  y    y   z    z   x   6  xy2   yz2   zx2
2
x
2
2

(14)
называется интенсивностью касательных напряжений в точке. Она
представляет собой октаэдрическое напряжение, т.е. касательное напряжение
на площадке, равнонаклоненной ко всем главным площадкам.
Вместо  i часто рассматривают эквивалентную ему величину
16
i 
1
2



  y    y   z    z   x   6  xy2   yz2   zx2 ,
2
x
2
2
(15)
называемую интенсивностью напряжений.
Здесь множитель
состоянии
1
подобран так, чтобы при линейном напряженном
2
интенсивность
напряжений
была
равна
растягивающему
напряжению  .
Вопросы для самоконтроля
1.
Что такое полное напряжение? Как оно обозначается на
площадке с нормалью  ?
2.
То же, нормальное напряжение?
3.
То же, касательное напряжение?
4.
Как обозначаются нормальные и касательные напряжения на
площадках, параллельных плоскостям декартовой системы
координат?
5.
Приведите правило знаков для нормальных напряжений.
6.
То же, для касательных напряжений.
7.
Между какими величинами устанавливают соотношения
уравнения Навье?
8.
Приведите закон парности касательных напряжений.
9.
Как обозначаются составляющие напряжений на наклонных
площадках?
10.
Какие соотношения устанавливают условия на поверхности?
11.
Что такое главная площадка? Главное напряжение?
12.
Что такое инварианты напряженного состояния в точке тела?
13.
Как обозначают главные напряжения?
14.
Что такое интенсивность напряжений?
17
3. Геометрические уравнения
3.1.
Перемещения и деформации
Перемещения, как и напряжения, являются непрерывными функциями
координат. Их представляют обычно составляющими: u − вдоль оси x , v −
вдоль оси y и w − вдоль оси z .
Рассмотрим деформации элемента в плоскости xOy (рис. 4).
Рис. 4
Относительная деформация в направлении оси
x
определяется
отношением абсолютного удлинения элемента к его первоначальной длине:
u


dx  u  dx  u   dx

a' d''  ad 
x

x 


ad
dx
u
dx
u

x

 .
dx
dx
Аналогично получают деформации в направлении других осей. Таким
образом, имеем выражения для линейных деформаций:
x 
U
,
x
y 
V
,
y
z 
W
z
Угол сдвига в плоскости xOy определяется суммарным углом поворота
его граней ab и ad :
18
 xy      tg  tg  .
(16)
В соответствии с рис. 4.
v
v
v
dx  v
dx
d' d''
x
x
tg 


 x .
a' d'' dx  u  u dx  u  u 
1 x
1   dx

x
 x 
v
В
силу
допущения
о
малости
деформаций
 x  1,
поэтому
окончательно получаем
tg 
v
.
x
(17)
tg  
u
.
y
(18)
Аналогично
Подставляя (17) и (18) в (16) и присоединяя аналогичные выражения
для плоскостей yOz и zOx , получаем три угловые деформации
 xy 
v u
 ,
x y
 yz 
w v
 ,
y z
 zx 
u w
.

z x
Таким образом, получены шесть уравнений, выражающих линейные и
угловые деформации через составляющие перемещений:
v u 
 ;
x y 

v
w u 
 y  ;  yz 
 ;
y
y z 

w
u w 
z 
;  zx 

.
z
z x 
x 
u
;
x
 xy 
(19)
Эти соотношения носят название формул Коши.
3.2.
Объемная деформация
Объем элементарного параллелепипеда в ненагруженном состоянии
dV  dxdydz .
19
В результате деформации его ребра получают удлинения и объем
изменяется:
dV1  1   x  dx 1   y  dy 1   z  dz  1   x  1   y  1   z  dxdydz .
Раскрывая скобки, отбрасываем слагаемые второго (  x   y ,  y   z ,
 z   x ) и третьего (  x   y   z ) порядков. В результате получаем
dV1  1   x   y   z  dxdydz .
Объемная деформация – это отношение приращения объема к
первоначальному объему:

dV1  dV 1   x   y   z  dxdydz  dxdydz

dV
dxdydz
Или
  x  y  z .
3.3.
(20)
Условия совместности деформаций (условия сплошности)
С помощью формул Коши деформации однозначно выражаются через
перемещения. Обратное действие связано с интегрированием, поэтому
перемещения не всегда могут быть однозначно выражены через деформации.
В связи с этим между деформациями должны
существовать
соотношения. Получим их, исключая перемещения из формул Коши.
Продифференцируем первую формулу (19) дважды по y , вторую
дважды по x и сложим их:
2
 2 x   y
3u
3v
 2  u v 
.





y 2
x 2 xy 2 x 2y xy  y x 
Выражение в скобках представляет собой угловую деформацию в
плоскости xOy . Выполняя аналогичные преобразования со вторым и третьим
и, далее, с первым и третьим выражениями (19) приходим к трем
соотношениям:
20
2
2
 2 x   y   xy
;
 2 
xy
x
y 2
2
 2 z   yz
;
 2 
yz
y
z 2
 2 y
(21)
 2 z  2 x  2 zx
.
 2 
zx
z
x 2
Далее продифференцируем каждую из трех последних формул (19) по
переменной, не входящей в индекс соответствующего угла сдвига:

xy

yz
 2v
 2u


;
z
xz yz
 2 w  2v


;
x
yx zx
 zx  2u
2w


.
y
zy xy
Почленно сложим первое и третье полученные соотношения и вычтем
второе:

 zx  yz
 2u


2
.
z
y
z
yz
xy
Продифференцировав полученное выражение по
x , преобразуем
правую часть:
   xy  zx  yz



x  z
y
z
С
помощью

 3u
 2  u 
 2 x
2
.
2
 2
zyz
yx  x 
yz

аналогичных
преобразований
получаем
соотношения, которые вместе с предыдущим образуют систему:
21
еще
два
   xy  zx  yz



x  z
y
z

 2 x
;
2
yz

 2 y
   yz  xy  zx 


;

2
y  x
z
y 
zx
(22)
   zx  yz  xy 
 2 z


;

2
z  y
x
z 
xy
Выражения (21) и (22) устанавливают связь между деформациями и
являются условиями совместности деформаций.
При удовлетворении условий (21), (22) тело, разбитое на отдельные
элементы, можно собрать после деформации в единое целое без пустот и
разрывов. В связи с этим условия совместности деформаций также называют
условиями сплошности или уравнениями Сен-Венана.
Вопросы для самоконтроля
1. Как обозначают составляющие перемещения точки тела?
2. Как обозначают линейные и угловые деформации?
3. Между какими величинами устанавливают соотношения формулы
Коши?
4. Что такое объемная деформация?
5. Что представляют собой уравнения Сен-Венана?
6. Между какими величинами устанавливают соотношения условия
сплошности?
4. Физические уравнения
4.1.
Обобщенный закон Гука
Физические уравнения теории упругости устанавливают соотношения
между деформациями и напряжениями. В сопротивлении материалов для
линейного напряженного состояния закон Гука имеет вид
22


E
.
Здесь E − модуль упругости – отражает упругие свойства материала.
К упругим характеристикам также относятся модуль сдвига G и
коэффициент поперечной деформации
 
'

или коэффициент Пуассона.
Между модулем сдвига, модулем упругости и коэффициентом
Пуассона существует соотношение
G
E
.
2 1   
(23)
При объемном напряженном состоянии продольная деформация,
например, в направлении оси x складывается из продольной деформации
вдоль оси x от напряжения  x и поперечных деформаций от напряжений  y
и z:
 x   xx   xy   xz .
Учитывая, что
 xx 
x
E
;
 xy    yy  
y
E
;
 xz   zz  
z
E
,
получаем
x 
1
 x   y   z  .

E
Записывая аналогичные соотношения для деформаций в направлении
осей y и z , присоединяем к ним выражения для угловых деформаций. В
результате приходим к шести уравнениям
23
x 
1
 x   y   z   ;
E
y 
1
 y    z   x   ;
E
z 
1
 z    x   y   ;
E
2 1   

 xy ;
E


2 1   

 yz 
 yz ; ,
E


2 1   
 zx 
 zx , 

E
 xy 
(24)
которые представляют собой обобщенный закон Гука в прямой форме.
4.2.
Обратная форма закона Гука
Можно получить закон Гука в ином виде. Для этого предварительно
преобразуем выражение объемной деформации (20), подставив в него
деформации из (24):
  x  y  z 

1
 x   y   z    y   z   x   z   x   y   
E
1
  1  2  x   y   z 






2








x
y
z
x
y
z

E
E
или

1  2
S1 ,
E
(25)
т.е. относительная объемная деформация  пропорциональна первому
инварианту напряженного состояния S1 .
Введя модуль объемного расширения
K
E
,
3 1  2 
(26)
получим
S1  3K .
(27)
Заменяя первый инвариант напряженного состояния S1 средним
напряжением в точке
0 
x  y z
3
24
1
 S1 ,
3
(28)
вместо уравнения (27) получим
 0  K .
(29)
Таким образом, среднее напряжение в точке пропорционально
объемной деформации.
Далее преобразуем первую формулу закона Гука (24):
x 
1
 x   x  x  y  z  
E
1
1    x   x   y   z  
E
1
 E  1 

1








.


x
x
E 
1  2 
E
1  2
Решаем полученное уравнение относительно  x :
x 
E
1   1  2 

E
x .
1 
Введем обозначения

E
1   1  2 

,
E
G.
2 1   
(30)
Коэффициенты  и  называют коэффициентами Ламе.
С учетом (30) получаем шесть формул обобщенного закона Гука в
обратной форме:
 x    2 x ;
 y    2 y ;
 z    2 z ;
 xy   xy ; 


 yz   yz ;

 zx   zx . 
Складывая почленно первые три формулы (31), получаем:
 x   y   z  3  2  x   y   z 
или
S1   3  2  .
25
(31)
Заменим первый инвариант напряженного состояния S1 средним
напряжением  0 из (28), а объемную деформацию  средней деформацией в
точке
0 
1
1
x  y  z    ,

3
3
(32)
приходим к еще одной форме закона Гука:
 0   3  2   0 .
(33)
Таким образом, среднее напряжение в точке пропорционально
среднему удлинению в этой точке.
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите упругие характеристики материала.
2. Что такое коэффициент Пуассона?
3. Приведите формулы обобщенного закона Гука в прямой форме.
4. Чем отличаются формулы обобщенного закона Гука в прямой и
обратной форме?
5. Решение общей задачи теории упругости
5.1.
Постановка задачи. Способы решения
Получены следующие три группы основных уравнений:
− статические уравнения: три уравнения равновесия Навье и условия
на поверхности;
− геометрические уравнения: шесть формул Коши и шесть условий
сплошности Сен-Венана;
− физические уравнения: шесть формул обобщенного закона Гука в
прямой или в обратной форме.
26
В уравнения входят 15 неизвестных: 6 составляющих напряжений (  x ,
 y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx ), 3 составляющие перемещения ( u , v , w ) и 6
компонентов деформаций (  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx ).
Для определения этих неизвестных имеется 15 уравнений: 3 условия
равновесия Навье, 6 формул Коши и 6 формул обобщенного закона Гука в
прямой или обратной форме.
Таким
образом,
решение
задачи
сводится
к
интегрированию
пятнадцати дифференциальных уравнений при выполнении граничных
условий (условий на поверхности) и условий сплошности Сен-Венана.
В зависимости от того, какие величины принимают в качестве
основных неизвестных, различают три способа решения задачи:
− решение в перемещениях;
− решение в напряжениях;
− смешанное решение.
5.2.
Решение в перемещениях
Для получения этого решения необходимо выразить в статических
уравнениях напряжения через перемещения.
Рассмотрим первое уравнение Навье. Подставим в него напряжения из
закона Гука (31) в обратной форме:



   2 x     xy     xz   X  0
x
y
z
Заменим далее деформации перемещениями с помощью формул Коши:

u 
  v u 
  u w 
   2          
 X 0
x 
x 
y  x y 
z  z x 
или

 2u
 2v
 2u
 2u
2w

 2 2  
 2  2 
 X  0.
x
x
xy
y
z
xz
27
Сгруппируем
слагаемые,
содержащие
вторые
производные
перемещений так:
  2 u  2u  2u 
  2u  2 v

2w 

  2  2  2   2 

  X  0.
x

x

y

z

x

x

y

x

z




Выражение
в
первых
скобках
(34)
представляет
собой
дифференциальный оператор Лапласа от функции u :
 2u 
2 
где
 2u  2u  2u


,
x 2 y 2 z 2
(35)
2
2
2


.
x 2 y 2 z 2
Обозначение  2u читается «набла два u ».
Выражение во вторых скобках (34) преобразуем следующим образом:
 2u  2 v
 2 w   u v w 



 

x 2 xy xz x  x y z 



x  y  z  
.

x
x
С учетом этого, а также обозначения (35), первое уравнение Навье
принимает такой вид:
   

  2u  X  0 .
x
Аналогичные преобразования выполняем с остальными уравнениями
Навье. Таким образом, получаем три уравнения:


  2u  X  0;
x



       2v  Y  0; 
y



2
       w  Z  0, 
z

   
называемые уравнениями Ламе.
28
(36)
Далее преобразуем условия на поверхности. В частности, подставим в
первое соотношение (3) для напряжения из закона Гука в обратной форме:
X     2 x   l   xy m   xz n
и, далее, деформации из формул Коши:
 v u 
u 

 w u 
X     2  l      m   
 n 

x

x

y

x
z 





 u
u
u 
u
u 
 u
  l    l  m  n     l  m  n  .
y
z 
x
x 
 x
 x
(37)
Представим направляющие косинусы нормали  к площадке как
отношения проекций нормали к ее длине:
l
dx
;
d
m
dy
;
d
n
dz
.
d
Тогда выражение в первых скобках (37) примет такой вид:
u
u
u
u x u y u z u
.
l  m n



x
y
z
x d y d z d 
Выполняя аналогичные преобразования над остальными условиями из
(3), приходим окончательно к такому виду условий на поверхности в
перемещениях:
u
v
w  
 u
  l  m
n ;


x

x

x

 

 u
v
v
w  
Y   m  
  l  m
n  ;

y
y  
 y

w
v
w  
 u
Z   n  
  l  m
n .

z
z  
 z
X   l  
(38)
Таким образом, решение задачи в перемещениях сводится к
интегрированию трех уравнений Ламе (36) при удовлетворении условий на
поверхности (38). По найденным перемещениям u , v , w из формул Коши
находят деформации и, далее из формул закона Гука (31) напряжения.
29
5.3.
Решение в напряжениях при постоянстве объемных сил
Так как три уравнения равновесия Навье (1) содержат шесть
неизвестных составляющих напряжений (  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx ), их
недостаточно для решения задачи. В связи с этим дополнительно необходимо
рассматривать условия сплошности Сен-Венана (21), (22).
Выражая в этих уравнениях деформации  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx через
напряжения из закона Гука (24), после преобразований получаем:
 2 S1
1      x  2  0;
x
2
 2 S1
1      y  2  0;
y
2
1     2 z 
 2 S1
 0;
z 2

 2 S1
 0; 
1      xy 
xy


 2 S1

2
 0; 
1      yz 
yz


2

S
1     2 zx  1  0. 
yz

2
(39)
Эти уравнения называются уравнениями Бельтрами-Митчела.
Здесь:
2
2
2
  2  2  2 − дифференциальный оператор Лапласа,
x
y
z
2
S1   x   y   z − первый инвариант напряженного состояния.
Напомним, что при получении уравнений (39) предполагалось, что
объемные силы постоянны:
X  const , Y  const , Z  const .
Для решения задачи в напряжениях необходимо проинтегрировать три
уравнения Навье (1) вместе с шестью уравнениями Бельтрами-Митчела (39)
при удовлетворении условий на поверхности (3). После этого по формулам
закона Гука (24) получают деформации и, далее, по формулам Коши (19) –
перемещения.
30
5.4.
Типы граничных условий. Методы решения общей задачи теории
упругости
Для решения задачи теории упругости во всех случаях должны
учитываться условия на поверхности (граничные условия). Для этого должно
быть задано уравнение поверхности тела и силы или перемещения ее точек.
Различают два типа граничных условий: кинематические, когда
задаются значения перемещений точек поверхности, и статические, если
задаются значения напряжений на поверхности.
Возможны также смешанные граничные условия, когда на части
поверхности задаются перемещения, а на части – напряжения.
Различают три основных математических метода решения задачи
теории упругости:
− прямой
метод,
который
заключается
в
непосредственном
интегрировании основных уравнений при выполнении граничных
условий;
− обратный метод, если задаются функциями напряжений или
перемещений, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям
задачи, а затем устанавливают, каким граничным условиям эти
функции соответствуют;
− полуобратный метод Сен-Венана, когда задаются частью функций
перемещений или напряжений и из уравнений задачи устанавливают,
каким условиям должны удовлетворять остальные функции. При
этом дифференциальные уравнения существенно упрощаются.
Вопросы для самоконтроля
1. Приведите основные уравнения теории упругости.
2. Сколько и какие неизвестные входят в уравнения теории упругости?
3. К чему сводится решение общей задачи теории упругости?
4. Приведите способы решения задачи.
31
5. Как преобразуются уравнения Навье и условия на поверхности для
решения в перемещениях?
6. К чему сводится решение задачи в перемещениях?
7. Как
преобразуются
условия
сплошности
для
решения
напряжениях?
8. Как решается задача в напряжениях?
9. Приведите типы граничных условий задачи?
10.Приведите основные методы математического решения задачи.
32
в