№ I

АННОТИРОВАННЫЙ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ
О РЕЗУЛЬТАТАХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ, ВЫПОЛНЕННЫХ
НА ЭТАПЕ № I
«Анализ поставленных задач, поисковые исследования и формулировка
гипотез»
Соглашение от 6 августа 2012 г №8212.
Тема: «Тонкий анализ на неголономных пространствах и задачи геометрической
теории управления»
Исполнитель: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт
математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (ИМ
СОРАН)
Ключевые слова: гипоэллиптический оператор, субриманов инвариант, пространство
Карно-Каратеодори, нильпотентная аппроксимация, формула площади, ACL-свойство,
аппроксимативная дифференцируемость
1.
Цель проекта
1.1. Проект направлен на решение трудных актуальных задач геометрического
анализа. Предполагается решить ряд ключевых проблем: геометрии пространств Карно–
Каратеодори; геометрической теории управления на субримановых и сублоренцевых
структурах; метрического и квазиконформного анализа, а также дифференциальной
геометрии на субримановых пространствах; уравнений математической физики, в
частности, уравнений субэллиптического типа.
1.2. Цели проекта состоят в развитие современных методов математики, получение
новых научных результатов мирового уровня, подготовка и закрепление в сфере науки и
образования научных и научно-педагогических кадров, формирование эффективных и
жизнеспособных научных коллективов, создание условий для эффективного
воспроизводства научных и научно-педагогических кадров и закрепления молодежи в
сфере науки, образования и высоких технологий, сохранения преемственности поколений
в науке и образовании. Основой для достижения поставленных целей является решение
актуальных и трудных теоретических задач, имеющих принципиальное значение для
дальнейшего развития ряда направлений современного анализа и геометрии: задачи о
перетекании тепла через сингулярное множество, нахождение асимптотик и ядер
фундаментальных решений для уравнения теплопроводности, развитие теории
максимальных поверхностей на субримановых и сублоренцевых структурах, задач
геометрической теории управления на субримановых и сублоренцевах структурах, анализ
на пространствах Карно-Каратеодори в задачах оптимального управления, развитие
квазиконформного анализа на субримановых пространствах, а также построение метода
конечных элементов для внешнего дифференциального исчисления.
2.
Основные результаты проекта
2.1. Краткое описание основных полученных результатов (основные теоретические
и экспериментальные результаты, фактические данные, обнаруженные взаимосвязи и
закономерности, характеристики созданной научной продукции)/ Указание основных
характеристик созданной научной продукции (при наличии научной продукции).
1.1. Получен аналог теоремы аппроксимативной дифференцируемости на эквирегулярных
пространствах Карно–Каратеодори минимальной гладкости. Результаты и методы,
полученные в ходе работы дают повод ожидать, что и геометрические свойства системы с
С1-гладкими векторными полями окажутся аналогичными или схожими с известными
свойствами в случае С∞-гладких векторных полей (например, Ball-Box теорема).
1.2. Исследованы свойства нильпотентных аппроксимаций для нерегулярных весовых
пространств Карно-Каратеодори и соответствующих им однородных квазиметрик.
1.3. Исследованы более общие, чем ранее, классы отображений пространств КарноКаратеодори. Получена формула площади в явном виде, т. е. с явным аналитическим
определением субриманова якобиана. Для ряда случаев якобиан выражен через
аппроксимативный дифференциал отображения.
1.4. Частично решена задача исследования множеств причинного и хронологического
будущего на группах Энгеля.
1.5. Решена задача о соединимости двух произвольных точек на пространстве КарноКаратеодоре с С1-гладкими векторными полями горизонтальной кривой. Решение этой
задачи вытекает локальная управляемость линейной системы дифференциальных
уравнений, где векторные поля в правой части принодлежат классу С и удовлетворяют
некоторому специальному алгебраическому условию.
1.6. Получено частичное описание изометрий на модельном примере однородных
субримановых многообразий – двухступенчатых группах Карно.
1.7. Удалось установить, что условие квазиконформности является достаточным для того,
чтобы гомеоморфизм пространств Карно—Каратеодори индуцировал изоморфизм
пространств
.
1.8. Исследованы необходимые и достаточные условия, при которых измеримые
отображения порождают ограниченные операторы весовых пространств Соболева. Для
получения результата было сделано дополнительное предположение, что отображение
принадлежит классу
.
2.2. Описание новизны научных результатов.
1.1. Результаты о дифференцируемости отображений пространств Карно-Каратеодори
обобщают результаты Уитни в евклидовых пространствах и Водопьянова на группах
Карно.
1.2. Результаты по теории нерегулярных пространств Карно-Каратеодори являются
новыми, в частности, для квазиметрик рассматриваемые задачи решены впервые.
1.3. Формула площади и определение якобиана является новым, он является расширением
предыдущих результатов участника НИР (Карманова, 2008).
1.4. Исследованные задачи на группах Энгеля ранее не изучались. Мы ожидаем, что они
помогут перейти от простых модельных примеров, где не встречаются сложности
связанные с абнормальными кривыми, к общему случаю.
1.5. Глубокое обобщение классической теоремы Рашевского-Чоу.
1.6. На данный момент субримановы изометрии описаны только на группах Гейзенберга,
группах джетов Jk( , ) и на группе движений плоскости (группе поворотов-сдвигов). Это
все примеры нежестких пространств. В рамках проекта мы изучаем группу изометрий в
неисследованном
ранее
случае
однородных
субримановых
многообразий:
двухступенчатых групп Карно.
1.7. В существующей литературе доказана необходимость условия квазиконформности
для того, чтобы гомеоморфизм пространств достаточно общего вида индуцировал
изоморфизм пространств BMO. Новизна полученного результата, ранее не
встречавшегося в литературе, заключается в том, что установлена достаточность условия
квазиконформности. Причем результат сформулирован для пространств Карно—
Каратеодори, имеющих достаточно общую природу.
1.8. Задача об описании оператора композиции весовых пространств Соболева на группах
Карно исследуется впервые.
2.3. Сопоставление с результатами аналогичных работ мирового уровня.
1.1 Результаты о дифференцируемости отображений пространств Карно-Каратеодори
носят пионерский характер и их аналогами, полученными за рубежом, являются лишь
теоремы о дифференцируемости липшицовых отображений групп Карно (частный случай
пространств Карно-Каратеодори) (см. работы Pansu (1989) и Magnani (2001)).
1.2. Полученные нами результаты по геометрии нерегулярных пространств КарноКаратеодори относятся к широко изучаемому в мировом научном сообществе
направлению. Развитые в ходе работы методы позволяют привести новые, более простые
доказательства известных классических теорем, опубликованных в работах Bellaiche
(1996), Gromov (1996).
1.3. Результат носит принципиально новый характер сравнительно с другими работами
Кармановой, Водопьянова, Magnani, Pauls: уменьшена гладкость отображения, образ и
прообраз не обязательно имеют групповую структуру, якобиан определен аналитически
(т. е., его можно вычислить через значения субриманова дифференциала).
1.4. В задачах геометрической теории управления исследовались модельные примеры:
группа Гейзенберга (Grochowski, 2006), двухступенчатые группы H-типа (Королько,
2011), были приведены примеры, когда абнормальные геодезические лежат на границе
хронологического будущего, что показывает, что это множество в общем случае ни
открыто и ни замкнуто.
1.5. Аналоги теорем Рашевского-Чоу, известные в настоящее время, получены недавно
итальянскими математиками (Brandolini, Bramanti, Pedroni, Morbidelli) другими методами
в предположении, что горизонтальные векторные поля достаточно гладкие. Последнее
условие значительно более сильное, чем условие, полученное в рамках настоящего
проекта.
1.6. Работа по описанию субримановых изометрий продолжает исследования Koranya и
Reimann (1994), Warhurst (2002), Исангулова (2010).
1.7. Результаты являются закономерным продолжением исследований Reimann (1974),
Astala (1986), Водопьянова и Грешнова (1998).
1.8. Проблематика этого направления возникла в работах Водопьянова (1987). В решении
поставленной задачи существенно используются методы, разработанные в работах
Водопьянова и Ухлова (2002). Полученные результаты можно применить к задачам
теории вырождающихся уравнений с частными производными Cavalheiro (2008), Krylov
(1999).
3.
Назначение и область применения результатов проекта
3.1. Описание областей применения полученных результатов (области науки и
техники; отрасли промышленности и социальной сферы, в которых могут или уже
используются полученные результаты или созданная на их основе инновационная
продукция).
Научные результаты проекта имеют теоретическое значение. Они могут
применяться как в областях математики, на развитие которых направлен проект
(математический анализ, дифференциальная геометрия, уравнения в частных
производных, теория оптимального управления), так и в смежных разделах.
Также результаты могут быть включены в образовательный процесс, например, в
курсы лекций или специальные курсы по геометрической теории, метрическому и
квазиконформному анализу, дифференциальной геометрии и уравнениям математической
физики.
Более того, из-за различных существующих приложений исследуемой и
развиваемой теории, а также в силу того, что находятся различные интерпретации ее
методов, подходов и результатов во многих областях науки (физика, задачи оптимального
управления, нейробиология, робототехника и др.) результаты проекта могут быть
полезными при выборе профессии для молодежи.
Все полученные результаты научной деятельности своевременно представляются в
соответствующей научной документации, а именно: статьи в реферируемых научных
отечественных и зарубежных изданиях, материалах конференций, стендовых и устных
научных докладах на симпозиумах и конференциях, монографиях, брошюрах,
методических пособиях, и др. Данная документация востребована научными, научноисследовательскими, научно-образовательными, образовательными учреждениями,
центрами повышения квалификациями.
Результаты НИР также внедряются в образовательный процесс: на их основе
разрабатываются новые специальные курсы лекций и перерабатываются основные
образовательные курсы для студентов, магистрантов и аспирантов математических
специальностей. Площадкой внедрения в данном случае служат Новосибирский
государственный университет. Такое непосредственное внедрение части результатов НИР
в образовательный процесс ведет к повышению качества образования на указанной
площадке внедрения, что выражается в актуализации знаний, получаемых студентами,
магистрантами и аспирантами.
4.
Перспективы развития исследований
1) Информация о том, насколько участие в ФЦП способствовало формированию
новых исследовательских партнерств. Участвует ли научный коллектив в проектах по 7-й
рамочной Программе Евросоюза (с указанием названия проектов и перечня партнеров по
ним).
Участие ФЦП способствовало формированию партнерств с Ecole Polytechnique (Palaiseau
Cedex, France) У. Боскаин, Д. Барилари, Warzaw University (Warsaw, Poland), А.
Каламайска, Институт систем информатики (Переславль-Залесский, Россия) Ю.Л. Сачков.
2) Грант Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных
школ на 2012-2013 годы (НШ-921.2012.1), "Геометрический анализ на метрических
структурах", руководители: Решетняк Ю.Г. и Водопьянов С.К.
3) Courant Institute (New-York, USA), М.Громов, Дж. Чигер, Б. Клянер, University of
Pittsburgh (Pittsburg, USA), П. Хайлаш, Х. Манфреди, University of Urbana-Champagn
(Urbana-Champagn, USA), Дж. Тайсон, University of Syracuse (Syracuse, USA), Т. Иванец,
Я. Оннинен, Е. Полецкий, Scuola Normale Superiore (Pisa, Italy), Л. Амброзио, В. Маньяни,
International School for Advanced Studies (Trieste, Italy), А. Аграчев, Ecole Polytechnique
(Palaiseau Cedex, France), У. Боскаин, Д. Барилари, Institute of Mathematics (Warsaw,
Poland), Б. Бояский, Warzaw University (Warsaw, Poland), А. Каламайска, University of
Javaskula (Javaskula, Finland), П. Коскелла, Институт прикладной математики и механики
(Донецк, Украина), В. Гутлянский, В. Рязанов, Bergen University (Bergen, Norway)
А.Васильев, И.Маркина. Со всеми вышеперечисленными научными центрами у
участников проекта существуют долговременные научные контакты.
5.
Опыт закрепления молодых исследователей – участников проекта
(этапа проекта) в области науки, образования и высоких технологий
Закреплены следующие специалисты:
Моховиков Алексей Юрьевич, 06.09.1989 года рождения, зачислен в очную
аспирантуру ИМ СО РАН.
Исангулова Дарья Васильевна, 10.05.1979 года рождения, принята на работу по
совместительству на кафедру математического анализа ММФ НГУ на должность
ассистента.
Селиванова Светлана Викторовна, 19.11.1984 года рождения, принята на работу по
совместительству на кафедру математического анализа ММФ НГУ на должность
ассистента.
Трямкин Максим Владимирович, 15.01.1989 года рождения, принят на работу по
совместительству на кафедру высшей математики ФФ НГУ на должность ассистента.
Евсеев Никита Александрович, 27.04.1985 года рождения, принят на работу по
совместительству на кафедру высшей математики ФФ НГУ на должность ассистента.
Директор ИМ СО РАН
Гончаров С.С.
Руководитель Проекта
Водопьянов С.К.