Финансовая математика 2013 (1)

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Санкт-Петербургский филиал федерального государственного
автономного образовательного учреждения высшего профессионального
образования "Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Экономики
Программа дисциплины
«Финансовая математика»
Для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Курс III
Автор: Косенко А.В., [email protected]
Одобрена на заседании кафедры Финансовых рынков и финансового
менеджмента
Протокол № 1 «__» сентября 2013 г.
Утверждена заведующей кафедрой ФР и ФМ «__» сентября 2013 г.
Е.М. Рогова
/
/
Санкт – Петербург
2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими
вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные
требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных
занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную
дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100.62 «Экономика».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом НИУ-ВШЭ, утвержденным ученым советом НИУ
ВШЭ, протокол от 02.07.2010г. № 15.
http://www.hse.spb.ru/info/structure/standards-hse.phtml
 Образовательной программой по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки
бакалавра
 Рабочим учебным планом университета по направлению 080100.62 «Экономика»
подготовки бакалавра
2. Цели освоения дисциплины
Целью изучения дисциплины «Финансовая математика» является формирование у
студентов профессиональных компетенций в области финансовых расчетов.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
— знать основные методы процентных начислений и оценки доходности операций,
расчет аннуитетов, оценки эффективности и риска, агрегирования мер
эффективности и риска;
— уметь проводить финансовые расчеты, использовать электронные таблицы;
— обладать навыками решения задач, связанных финансовых рынках, таких как
оценка активов, измерение агрегированных показателей риска, оптимизация
портфеля; навыками моделирования в Эксель.
В результате освоения дисциплины у студента формируются следующие компетенции:
Компетенции
Способность собрать и
проанализировать исходные
данные, необходимые для
расчета экономических и
социально-экономических
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-1
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
Умение пользоваться
источниками финансовой
информации, в частности,
исторических данных по
ценам и ставкам,
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Лекционные занятия;
Выполнение лабораторных и
самостоятельных работ
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих
субъектов
Способность на основе
типовых методик и
действующей нормативноправовой базы рассчитать
экономические и социальноэкономические показатели,
характеризующие деятельность
хозяйствующих субъектов
ПК-2
Способность выбрать
инструментальные средства
для обработки экономических
данных в соответствии с
поставленной задачей,
проанализировать результаты
расчетов и обосновать
полученные выводы
ПК-5
Способность использовать для
решения аналитических и
исследовательских
задач современные
технические средства и
информационные технологии
ПК-10
макроэкономическим и
финансовым индикаторам;
нормативно-законодательной
документацией, методиками и
контрактной документацией.
Владение методами
финансовых расчетов, оценки
эффективности и доходности
инвестиций, агрегирования
показателей доходности и
риска, принятия решений в
условиях риска.
Умение пользоваться
методиками и производить
расчет требуемых
показателей.
Самостоятельно решает
поставленную задачу по
расчету платежей и денежных
потоков, выбору альтернатив
на основе оценок
эффективности и риска.
Грамотно выбирает
методику расчетов,
анализирует результаты и
обосновывает свои
рекомендации.
Владение средствами
организации, обработки и
анализа данных в Эксель.
Умение пользоваться
источниками финансовой
информации; базами данных.
Лекционные занятия;
Решение задач;
Выполнение лабораторных и
самостоятельных работ
Лекционные занятия;
Решение задач;
Выполнение лабораторных и
самостоятельных работ
Решение кейсов
Выполнение лабораторных и
самостоятельных заданий.
4. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу профессиональных дисциплин направления
080100.62 «Экономика». Данная дисциплина является факультативом.
.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 «Микроэкономика», «Теория вероятностей и математическая статистика»
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знать основные понятия теории вероятностей и математической статистики,
линейной регрессии, принятия решений в условиях многокритериальности,
основы дифференциального и интегрального исчисления, оптимизации;
 Владеть навыками решения задач в рамках перечисленных в предыдущем
пункте разделов;
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра

Уметь находить и читать финансовую информацию, пользоваться Эксель
для проведения расчетов.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Корпоративные риски», «Математические модели финансовых рынков»,
«Корпоративные финансы», «Управление инвестиционным портфелем»,
«Страхование», «Фондовый рынок»
5. Тематический план учебной дисциплины
Наименование разделов и тем
1
2
3
4
5
6
7
8
Аудиторные часы
Лекции Практ. всего
занятия
Самост.
работа
Всего
часов
Модель финансового рынка в
условиях определенности
Процентные начисления и
определение доходности
Аннуитеты
Оценка эффективности
Контрольная работа 1
Временная структура процентных
ставок
Основы принятия решений в
условиях неопределенности
Оптимизация портфеля
Стохастическое моделирование
Контрольная работа 2
2
2
4
4
9
4
4
4
6
9
6
4
12
8
2
6
16
8
4
8
9
9
4
6
4
2
2
4
4
8
10
2
4
2
4
2
4
8
2
8
14
4
11
2
2
Всего часов
30
32
62
82
144
6. Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Форма
контроля
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Итоговы Зачет
й
1
1 год
2 3
*
*
*
*
Параметры
4
Письменная работа 80 минут
Письменная работа 80 минут
Моделирование в Эксель
Письменная работа 120 минут
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
6.1 Критерии оценки знаний, навыков
Текущий контроль осуществляется в форме 2-х контрольных работ, оценивания
аудиторной работы студента, самостоятельных заданий.
Контрольные работы проводятся в письменной форме и требуют решения задач и
ответов на вопросы.
Самостоятельная работа студентов оценивается на основании выполнения письменных
домашних заданий.
Аудиторная работа студентов оценивается на основании выполнения заданий в ходе
практических занятий (преимущественно в форме компьютерных практикумов);
активности студента в ходе практических занятий; участия в обсуждении текущих
заданий и вопросов; ответов на вопросы преподавателя; решения задач у доски;
выполнение текущих домашних заданий (задания, выдаваемые на практических
занятиях); качества подготовки студента к практическим занятиям; посещаемости. Оценки
по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Итоговый контроль проводится в форме письменного теста, требующего решения задач и
ответов на тестовые вопросы.
6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на
практических/семинарских занятиях определяется перед промежуточным или итоговым
контролем Оауд. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за самостоятельную
работу (письменные домашние задания) определяется перед промежуточным или
итоговым контролем – Осам.
Текущий контроль включает 2 контрольные работы, оцениваемые также по 10бальной шкале. Результирующая оценка за текущий контроль Отекущий учитывает
результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = 0.5Окр1 +0.5Окр2.
Накопительная оценка формируется на основании оценок по текущему контролю,
аудиторной и самостоятельной работе:
Онак =(k2· Отекущий + k3·Осам + k4·Оауд)/(k2+ k3+ k4).
Итоговая оценка по дисциплине выставляется по результатам накопленной оценки и
оценки полученной на зачете:
Оитоговый = k1·Озачет + (1-k1) Онак.
где Озачет – оценка, полученная на зачете.
Применяются следующие значения весовых коэффициентов: k1 = 0,4; k2 = 0,4; k3= 0,1;
k4=0,1.
На зачете студент может получить дополнительный вопрос (дополнительную
практическую задачу, решить к пересдаче домашнее задание), ответ на который
оценивается в 1 балл.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Преподаватель вправе по результатам текущего контроля аттестовать отдельных
студентов без осуществления процедуры итогового контроля при условии, что по
текущему контролю накопительная оценка не ниже 8 баллов.
7. Содержание дисциплины
Тема 1. Модель финансового рынка в условиях определенности
Межвременной выбор потребителя при отсутствии финансового рынка. Выбор
потребителя при наличии реальных инвестиций. Линия инвестиционных возможностей.
Критерий оптимальности. Выбор при наличии финансового рынка. Роль финансового
рынка. Линия трансформации. Карта безразличия. Потребительский оптимум
индивидуума. Выбор при наличии реальных инвестиций и финансового рынка. Теорема
Фишера о разделении финансовых и инвестиционных решений. Критерий NPV и оптимум
инвестора. Равновесие на финансовом рынке. Равновесная процентная ставка. Факторы,
определяющие равновесную ставку процента
Литература:
1) Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. — СПб.: «Питер», 2000, гл.1
Тема 2. Процентные начисления и определение доходности
Временная ценность денег. Операции наращения и дисконтирования. Процентные
и дисконтные ставки. Методы начисления процентных ставок: простые и сложные
проценты. Правила расчета временной базы. Дисконтная ставка. Учет векселей.
Приведенная и будущая стоимости. Оценка времени операции. Начисление процентов
несколько раз в год. Непрерывные проценты.
Темп инфляции. Номинальные и реальные процентные ставки. Формула Фишера.
Понятие доходности. Доходность за период. Эффективная доходность.
Литература:
1) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: «Дело» РАНХиГС, 2011, гл.2-3
2) Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: ФиС, 1999. гл.2-3
Тема 3. Аннуитеты
Понятие аннуитета. Примеры аннуитетов. Приведенная и будущая стоимости
аннуитета. Вывод формул для приведенной и наращенной стоимостей единичного
аннуитета. Аннуитеты пренумерандо и постнумерандо (ординарные). Оценка времени
операции. Приближенная формула для оценки процентной ставки.
Теоретическая цена облигации. Облигации с амортизацией долга.
Бесконечный аннуитет. Оценка акций на основании модели дисконтирования
дивидендов. Модель Гордона: растущие с постоянным темпом роста дивиденды.
Двухстадийная модель роста дивидендов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
Расчет лизинговых платежей.
Расчет пенсионных планов и полисов по страхованию жизни.
Литература:
1) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: «Дело» РАНХиГС, 2011, гл.5-6, 16
2) Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: ФиС, 1999. гл.4
Тема 4. Оценка эффективности
Оценка эффективности инвестиций по историческим данным. Кумулятивная
доходность. Доходность портфеля с учетом притоков и оттоков. Средняя доходность.
Средняя арифметическая и средняя геометрическая доходность. Доходность портфеля
активов: средняя взвешенная доходность.
Доходность к погашению. Интерпретация доходности к погашению Оценка
облигации внутри купонного периода. Накопленный купонный доход. Чистая и грязная
котировки облигаций.
Оценка эффективности инвестиционных проектов. NPV и IRR. Сравнение, точка
перегиба. Множественность IRR. Проекты с неординарными денежными потоками. MIRR.
Оптимизация бюджета капвложений в форме задачи линейного программирования.
Литература:
1) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: «Дело» РАНХиГС, 2011, гл.10-12
2) Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс. Пер. с англ.
СПб.: Экономическая школа, 1997
Тема 5. Временная структура процентных ставок
Временная структура процентной ставки. Спот ставки. Построение кривой спот
ставок. Бутстраппинг. Форвардная ставка. Форвардные ставки, подразумеваемые кривой
спот ставок. Форвардная кривая. Кривая множителей дисконтирования. Оценка кривой
методом интерполяции. Оценка с помощью МНК. Модель Нельсона-Сигеля.
Литература:
1) Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. — СПб.: «Питер», 2000, гл.2
2) Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые
инструменты. 6-е издание. Вильямс, 2008. Гл.4
Тема 7. Основы принятия решений в условиях неопределенности
Принятие решений на основе математического ожидания и дисперсии.
Предпосылки использования дисперсии как меры риска, критика. Использование
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
моментов более высоких порядков. Коэффициент асимметрии и эксцесс. Функции
полезности, основанные на моментах распределения. Роль нормального распределения.
Теория полезности в условиях неопределенности. Матрицы результатов и лотерея.
Принцип Бернулли. Достаточные аксиомы. Существование кардиналистской функции
полезности. Виды отношений к риску. Нерасположенность к риску, нейтральность к риску
и расположенность к риску. Интенсивность не расположенности к риску. Коэффициенты
Эрроу-Пратта. Избранные функции полезности и их оценка. Стохастическое
доминирование. Стохастическое доминирование первого порядка. Стохастическое
доминирование второго порядка. Выбор в пространстве риск-доходность и следствие
нормальности распределения доходностей.
Литература:
1) Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. — СПб.: «Питер», 2000, гл.3
2) Шоломицкий А. Г. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М. : ГУВШЭ, 2005, гл. 2,3
Тема 8. Оптимизация портфеля
Модель Марковица. Оптимизация портфеля из двух активов. Значение
коэффициента корреляции. Эффективная граница. Постановка задачи квадратичного
программирования. Построение эффективной границы.
Корреляции. Факторные модели. Снижение размерности.
Литература:
1) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: «Дело» РАНХиГС, 2011, гл.8
2) Estrada J. Finance in a nutshell. FTPH, 2005
3) Goetzmann W.N. An Introduction to Investment Theory. Lecture notes at
http://viking.som.yale.edu/will/finman540/classnotes/notes.html
Тема 9. Стохастическое моделирование
Процессы поведения
Винеровский процесс. ГБД.
цен
финансовых
активов.
Случайное
блуждание.
Дискретизация процесса геометрического броуновского движения. Процессы
возврата к среднему. Авторегрессия. Метод Монте-Карло для моделирования поведения
цен.
Калибровка стохастических процессов поведения цен (ставок) по историческим
данным.
Оценка финансовых инструментов методом Монте-Карло.
Оценка риска методом стохастического моделирования (МК).
Литература:
1) Шоломицкий А. Г. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М. : ГУВШЭ, 2005, гл. 8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
2) Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие
инструменты. 6-е издание. Вильямс, 2008. Гл. 12
производные
финансовые
8. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
8.1 Тематика заданий текущего контроля и домашних заданий
Контрольная работа 1
1. Банк учитывает векселя Газпрома со сроком погашения до 3 месяцев по ставке 25%
годовых. Вексель с датой погашения 25 января предъявлен банку 1 ноября. Какую сумму
уплатит банк векселедержателю, если номинал векселя –100 тыс руб.?
2. Инвестор купил акцию компании “Супер+” за 45 руб и продал сразу после выплаты
дивидендов в размере 10 руб через 6 месяцев после покупки по цене 55 руб. Определите
эффективную посленалоговую доходность данной операции, если налог на дивиденды —
15%, на прирост курсовой стоимости — 25%.
3. Какой вариант вложения средств более выгоден: покупка бескупонной облигации с
погашением через 180 дней по цене 90% от номинала или кредит под хорошее
обеспечение на 270 дней по ставке 20% годовых? Примите решение, с учетом того, что
через полгода прогнозируется снижение процентных ставок по долговым инструмента до
14% годовых, а других вариантов инвестиций в течение ближайшего года у вас не будет.
(В году 360 дней.)
4. В начале года Вы вложили 30 тыс руб. в банк на полугодовой срочный вклад на
условиях: 18% годовых с начислением процентов каждый месяц и возможностью
пролонгирования вклада на следующие полгода по ставке, устанавливаемой банком. Через
полгода Вы продлили вклад еще на такой же срок, однако банк, ориентируясь на
сравнительно низкий темп инфляции, 1% в месяц с начала года, снизил ставку до 15%.
Какую реальную доходность Вы получите за год, если темп инфляции сохранится
неизменным до конца года.
6. Предположим, Вы купили 1000 акций по цене 50 руб. Среднегодовой темп роста цены
акции 15%, в конце каждого года выплачиваются дивиденды в размере 10 руб. на акцию.
Какова будет стоимость Вашего портфеля акций через 3 года, если дивиденды
реинвестируются в те же акции.
7. Вексель на сумму 400 тыс руб. предъявлен к учету банку за 3 месяца до погашения. По
какой ставке согласится банк учесть вексель, если на рынке доходность по векселям
данного типа составляет 30% годовых, а банк берет комиссию в размере 2% от номинала
векселя.
8. Бескупонная облигация была куплена за 210 дней до погашения, когда ее доходность к
погашению равнялась 18% годовых. За 115 дней до погашения она была продана по цене,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
которая обеспечивала доходность к погашению 14% годовых. Определите доходность
данной операции.
9. Акция была продана через 4 месяца после приобретения в 1,5 раза дороже цены
покупки. Какую посленалоговую доходность получил инвестор, если налог на рост
курсовой стоимости был уплачен по ставке 18%.
10. Определите доходность по бескупонной облигации, купленной инвестором по цене
85% от номинала. Срок до погашения облигации – 90 дней. Считайте, что в году 360
дней.
11. Определите последний купонный процент по облигации, если за 120 дней до
погашения цена облигации с учетом накопленного купонного дохода составляла 103% от
номинала, длительность последнего купонного периода – 180 дней, а доходность к
погашению – 20%.
12. По бессрочной облигации ежегодно выплачивается купонный процент в размере 100
руб. Какова доходность по данным облигациям, если текущая рыночная цена облигации
2000 руб.?
13. Вы купили акцию по цене 100 руб. и продали ее за 110 руб. через полгода сразу после
получения дивидендов в размере 10 руб. Определите реальную доходность для инвестора,
если темп инфляции равен 20% годовых.
15. На вашем счете в банке лежит 10 тыс руб. Какую сумму вам необходимо вносить на
счет ежемесячно, чтобы накопить через 2 года 100 тыс руб. Банк начисляет проценты на
вклады ежемесячно по ставке 12% годовых.
16. Инвестор купил акции компании Freeze Foods Corp. по цене $65 за штуку и продал их
через 6 месяцев по цене $85. Определите реальную годовую доходность операции, если
темп инфляции составляет 1% в месяц.
17. Облигации со сроком до погашения 3 года и номиналом 1000 руб. продаются на рынке
по цене 90% от номинала. Определите величину купонного платежа, если купон
выплачивается в конце каждого года, а процентная ставка составляет 20% годовых.
18. На Вашем счете в банке лежит 4 000 руб. Процентная ставка 18% годовых начисляется
раз в квартал. Через какое время вы накопите 10 000 руб?
19. В конце каждого месяца вы вносите на свой депозитный счет в банке 100 долл.
Сколько времени вам понадобиться, чтобы накопить 15 000 долл., если проценты по
ставке 6% начисляются раз в месяц?
20. Что выгоднее: 5 тыс руб через 5 лет или 10 тыс руб через 10 лет, если процентная
ставка составляет 10%? При какой ставке процента контракты будут для вас
равноценными?
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
21. Предприниматель берет в банке 100 тыс руб. в кредит на 4 года. Ссуда должна быть
погашена четырьмя равными взносами в конце каждого года. Рассчитайте величину
ежегодного взноса, если годовая ставка процента равна 10 %. Для каждого взноса укажите
сумму, приходящуюся на процентные платежи и величину погашаемого долга.
22. Какой банк предлагает более выгодные условия? Банк А начисляет 8,2% в конце года,
банк Б начисляет 8% один раз в квартал, банк В начисляет 7,8% каждый день. Какой банк
предлагает более выгодные условия (горизонт планирования составляет один год)?
Контрольная работа 2
1. Объясните, как соотносится теория ожидаемой полезности с критерием принятия
решений на основе мат. ожидания и дисперсии? В каких случаях эти подходы не будут
противоречить друг другу? Какой из подходов к принятию решений более обоснован в
ситуации, когда ничего не известно о форме вероятностного распределения
негарантированных результатов?
2. Функция полезности инвестора имеет следующий вид:
U ( x)  1  e x .
а) Является ли инвестор нерасположенным (расположенным) к риску?
б) На основе коэффициентов абсолютной и относительной нерасположенности к риску
проанализируйте как будет изменяться отношение к риску инвестора в зависимости
от его уровня благосостояния.
3. Ваше сегодняшнее имущество составляет 50, а вашей функцией полезности является
U ( x )  x . Какую сумму вы были бы готовы заплатить в качестве страховки от риска в
следующей игре:
 6, с вероятностью 1 / 3
~
x
.
 3, с вероятностью 2 / 3
4. Обсудите роль предположения о нормальности распределения доходностей активов при
оценке риска.
5. Пусть функция полезности инвестора имеет вид
U ( ER,  2 ( R))  ER  a 2 ( R)
где a  10 .
а) Какой из двух активов A и B с математическим ожиданием ERA  10% , ERB  20% и
стандартным отклонением  ( RA )  10% ,  ( RB )  20% предпочтет инвестор?
б) Обсудите недостатки выбора в условиях риска на основе критерия «математическое
ожидание – дисперсия».
в) Сравните приведенную выше функцию полезности с коэффициентом вариации
 ( R)
CV 
. Изобразите (примерно) на графике кривые безразличия в пространстве
ER
( ( R ), ER) для этих двух целевых функций.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
8. Рассчитайте СКО (  P ) портфеля, в состав которого входят по 1000 акций компаний А
и B, с ценой 60 и 120 руб соответственно. СКО доходностей составляют  A  25% и
 B  15% , корреляция доходностей по акциям равна  AB  0,5 .
6. Функция полезности инвестора задается выражением U (c0 , c1 )  c0 c11 , где   0,7 .
Начальные запасы в периоды 0 и 1 составляют c0  100 , c1  50 . Доходность вложений и
заимствования на финансовом рынке — 12%. Определите оптимальное потребление и
объем инвестиций (заимствований) на финансовом рынке.
7. На рынке торгуются однолетняя дисконтная облигация с ценой 95,24 руб и двухлетняя
купонная облигации с годовым купоном 5 руб и ценой 94,78 руб. Номинал облигаций
равен 100 рублей. Найдите
1) доходность к погашению облигаций;
2) одно- и двухлетние спот ставки;
3) однолетнюю подразумеваемую (спот ставками) форвардную ставку на период с
конца первого до конца второго года;
4) безарбитражную цену двухлетней облигации с 10%-ным годовым купоном и
номиналом 100 рублей.
8.3 Вопросы для подготовки к зачету
1. Межвременной выбор потребителя. Бюджетное ограничение и линия
трансформации. Значение рынка капитала для выбора оптимального плана
потребления. Математическое и графическое решения задачи оптимизации
потребительского плана.
2. Выбор при наличии реальных инвестиций. Обоснование критерия сегодняшней
приведенной стоимости. Математическое и графическое решения.
3. Теорема Фишера о разделении инвестиционных решений и решений о потреблении
4. Равновесная процентная ставка. Факторы, определяющие равновесную ставку
5. Операции наращения и дисконтирования. Приведенная и будущая стоимости
6. Простые и дисконтные ставки
7. Сравнение простой и сложной схем начисления процентов
8. Правила расчета временной базы
9. Учет векселей
10. Начисление процентов несколько раз в год. Непрерывные проценты.
11. Темп инфляции. Расчет темпа инфляции за период.
12. Номинальные и реальные процентные ставки. Формула Фишера.
13. Понятие доходности. Доходность за период.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
14. Эффективная доходность.
15. Приведенная и будущая стоимости аннуитета.
16. Вывод формул для приведенной и наращенной стоимостей единичного аннуитета.
17. Аннуитеты пренумерандо и постнумерандо (ординарные).
18. Оценка времени операции.
19. Приближенная формула для оценки процентной ставки.
20. Теоретическая цена облигации. Облигации с амортизацией долга.
21. Бесконечный аннуитет. Оценка акций на основании модели дисконтирования
дивидендов.
22. Аннуитет с постоянным темпом роста
23. Модель Гордона: растущие с постоянным темпом роста дивиденды. Двухстадийная
модель роста дивидендов.
24. Расчет лизинговых платежей.
25. Расчет пенсионных планов и полисов по страхованию жизни.
26. Принцип ожидаемой полезности
27. Отношение к риску
28. Выпуклость вверх функции полезности и нерасположенность к риску
29. Степень неприятия риска. Рисковая премия Марковица
30. Коэффициенты избегания риска Эрроу-Пратта
31. Эвристические меры риска. Дисперсия. Соотношение критерия ожидаемой
полезности и выбора на основе мат. ожидания и дисперсии. Значение нормального
распределения
32. Стохастическое доминирование I-го и II-го порядков
33. Доходность к погашению облигаций
34. Доходность портфеля с учетом притоков и оттоков.
35. Средняя доходность. Средняя арифметическая и средняя геометрическая
доходность. Доходность портфеля активов: средняя взвешенная доходность.
36. Доходность к погашению. Интерпретация доходности к погашению.
37. Накопленный купонный доход. Чистая и грязная котировки облигаций. Изменение
цены облигации во времени
38. Оценка эффективности инвестиционных проектов. NPV и IRR. Сравнение, точка
перегиба.
39. Множественность IRR. Проекты с неординарными денежными потоками.
Альтернативы IRR: PI, MIRR.
40. Оптимизация бюджета капвложений в форме задачи линейного программирования.
41. Кривая доходности и временная структура процента
42. Теории, объясняющие временную структуру процентных ставок
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
43. Оценка облигаций
44. Форвардная ставка процента
45. Оптимизация портфеля из двух активов
46. Коэффициенты корреляции
47. Эффективная граница. Постановка задачи квадратичного программирования.
Построение эффективной границы.
48. Корреляции. Факторные модели. Снижение размерности
49. Случайное блуждание. Винеровский процесс. ГБД.
50. Процессы возврата к среднему. Авторегрессия.
51. Калибровка стохастических процессов поведения цен (ставок) по историческим
данным.
52. Метод Монте-Карло для моделирования поведения цен.
9. Порядок формирования оценок по дисциплине
Аудиторная работа студентов оценивается на основании правильности решения
задач, активности студента во время практических занятий при коллективном обсуждении
выполняемого задания, участие в дискуссиях, ответы на вопросы преподавателя, решение
задач у доски. Самостоятельная работа студентов оценивается с учетом правильности и
регулярности выполнение текущих домашних заданий (задания, выдаваемые на
практических занятиях), выполнения письменного домашнего задания в рамках текущего
контроля. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на практических
занятиях (с учетом текущих домашних заданий) определяется перед промежуточным или
итоговым контролем Осеминары. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за
самостоятельную работу (письменное домашнее задание) определяется перед
промежуточным или итоговым контролем – Одз.
Текущий контроль включает также две контрольные работы. Работы оцениваются
по 10-бальной шкале. Вес работ одинаков. Результирующая оценка по каждой из
контрольных работ – Отекущий, Отекущий2 выставляются в рабочую ведомость.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме зачета выставляется по
следующей формуле, где Озачет – оценка за работу непосредственно на зачете:
Оитоговый = k1·Озачет + k2·Отекущий + k3·Отекущий2 + k4·Одз + k5·Осеминары
где k1 = 0,4; k2 = 0,15; k3= 0,15; k4=0,1, k5 = 0,2.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по
текущему контролю следующим образом:
Отекущий =(k2·Отекущий + k3·Отекущий2 + k4·Одз + k5·Осеминары)/(k2+ k3+ k4+ k5·).
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение курса
10.1 Базовый учебник
1) Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: «Дело» РАНХиГС, 2011
10.2 Основная литература
2) Бухвалов А.В., Бухвалова В.В., Идельсон А. Финансовые вычисления для
профессионалов. Настольная книга финансиста. СПб. : БХВ-Петербург, 2001
3) Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: ФиС, 1999.
4) Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. — СПб.: «Питер», 2000.
5) Халл, Дж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные
инструменты. 6-е издание. Вильямс, 2008.
финансовые
10.3 Дополнительная литература
3) Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс. Пер. с англ.
СПб.: Экономическая школа, 1997.
4) Бухвалов А.В., Дорофеев Е.А., Окулов В.Л. Лекции по избранным вопросам
классических финансовых моделей.– СПб: Изд. ВШМ, 2010.
5) Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М. Финансирование и инвестиции: сборник задач и
решений. СПб. : Питер, 2001.
6) Уланов В.А. Сборник задач по курсу финансовых вычислений. М.: ФиС, 2000.
7) Уотшем Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы,
ЮНИТИ, 1999.
8) Финансовая математика. Математическое моделирование финансовых операций./
Под ред. В.А. Половникова, А.И. Пилипенко. М.: Вузовский учебник, 2005.
9) Шведов А.С. О математических методах, используемых при работе с опционами.//
Экономический журнал ВШЭ, 3, 1998.— с. 385-409.
10) Шоломицкий А. Г. Выбор при неопределенности и моделирование риска. М. : ГУВШЭ, 2005
11) Estrada J. Finance in a nutshell. FTPH, 2005
10.4 Программные средства
При проведении практических занятий используются следующие программные
средства:

Авторские кейсы подготовленные в MS Excel,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Санкт-Петербург
Программа дисциплины «Финансовая математика»
для направления 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра

Эконометрический пакет Eviews 6.0.
11. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения лекций и практических занятий по дисциплине используется
мультимедийный проектор.