утверждаю - Марийский государственный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Марийский государственный университет»
Физико-математический факультет
Кафедра теоретической и прикладной физики
УТВЕРЖДАЮ
Декан физико-математического
факультета
«24» ноября 2009 г.
/Попов Н.И./
(подпись/Ф.И.О)
У Ч Е Б Н О -М Е ТОДИ Ч Е С К И Й К ОМ П Л Е К С П О Д И СЦ И ПЛ ИН Е
ДС.В.05 Основы компьютерного моделирования в физике (Ч. 1)
(индекс по ГОС/наименование дисциплины)
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ/НАПРАВЛЕНИЕ
010701 – Физика
(код и наименование специальности/направления в соответствии с лицензией)
Составитель
Косов Александр Александрович, д-м физ.-мат. наук, проф.
(должность, Ф.И.О., ученая степень, звание автора программы)
Йошкар-Ола
2009
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры
теоретической и прикладной физики
(название кафедры)
Протокол № 4 от
«20» ноября 2009 г.
Зав. кафедрой
УТВЕРЖДЕНО
на заседании УМК
Протокол № 1 (ВЗ) от
«23» ноября 2009 г.
Председатель УМК
/Косов А.А./
(подпись/Ф.И.О)
/Косов А.А./
(подпись/Ф.И.О)
2
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА
I Рабочая программа учебной дисциплины ......................................................................... 4
II Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины .............................. 50
III Учебно-методические материалы .................................................................................. 51
IV Материалы текущего контроля, промежуточной аттестации и итогового контроля
знаний ................................................................................................................................................ 51
V Словарь терминов и персоналий ..................................................................................... 60
VI Программа государственного экзамена, итогового междисциплинарного экзамена. –
VII Программное и методическое обеспечение практики ................................................. –
3
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУВПО «Марийский государственный университет»
Физико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Декан физико-математического факультета
/Попов Н.И./
(подпись/Ф.И.О.)
«24» ноября 2009 г.
I РА Б О Ч А Я П РОГ РА М М А
Учебная дисциплина
Основы компьютерного моделирования в физике (Ч. 1)
(/наименование дисциплины)
ДС.В.05
(индекс по ГОС)
Специальность
010701 – Физика
(код и наименование в соответствии с лицензией)
Кафедра
теоретической и прикладной физики
(название)
Курс
3
семестр
форма обучения
6
Лекции
очная
38
(кол-во часов)
Практические занятия
–
(кол-во часов)
Лабораторные занятия
38
Самостоятельная работа
46
(кол-во часов)
(кол-во часов)
Курсовая работа (проект)
–
(семестр)
Зачет
–
Экзамен
6
(семестр)
(семестр)
Программа разработана Косовым Александром Александровичем, д-м физ.-мат. наук, проф.
(должность, Ф.И.О., ученая степень, звание автора программы)
Йошкар-Ола
2009
4
Рекомендована к утверждению
решением учебно-методической
комиссии (учебно-методического
совета) физико-математического
факультета
Рассмотрена и одобрена на
заседании кафедры
теоретической и прикладной
физики
(название кафедры)
(название факультета / института, специальности)
протокол заседания № 1
от
протокол заседания № 4 от
«11» сентября 2009 г.
«20» ноября 2009 г.
/Косов А.А.
Косов А.А.
(подпись, Ф.И.О. председателя)
(подпись, Ф.И.О., зав. кафедрой)
СОГЛАСОВАНО с выпускающей кафедрой
общей физики
(название кафедры)
протокол заседания № 1
от «31» августа 2009 г.
Леухин А.В.
(Ф.И.О. зав. кафедрой, подпись)
Сведения о переутверждении рабочей программы учебной дисциплины
на очередной учебный год и регистрация изменений
Учебный
год
Решение кафедры
Автор изменения
(№ протокола, дата заседания
кафедры, Ф.И.О., подпись
зав. кафедрой)
(Ф.И.О., подпись)
5
Номер
изменения
1 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1.1 Требования государственного образовательного стандарта к содержанию
данной дисциплины
Дисциплина специализации по выбору
Основы компьютерного моделирования в физике (Ч. 1)
1
ДС.В.05
1.2 Цели, учебные задачи дисциплины, место и роль учебной дисциплины в подготовке специалиста
Дисциплина базируется на знаниях полученных студентами в ходе изучения общепрофессиональных дисциплин: информатика, основы информационных технологий, языки программирования и методы трансляции, системное и прикладное программное обеспечение,
базы данных и экспертные системы.
Научными основами дисциплины являются информатика, теории информации, общая теория
систем, основы системного анализа.
Целью дисциплины является изучение основ теории моделирования и приобретение навыков
построения математических моделей различных классов, проведение экспериментов с моделями на компьютере.
Учебный курс дисциплины ориентирован на то, чтобы в результате его освоения студенты
имели представление:




видах моделирования в естественных и технических науках;
подходах классификации математических моделей;
простых, сложных и больших системах;
системном подходе в научных исследованиях,
знали:



классы и схемы математических моделей;
этапы компьютерного моделирования;
инструментальные средства имитационного моделирования,
умели:






формулировать цели моделирования;
создать информационную и математическую модель;
анализировать модели;
составить план целевого эксперимента;
организовать эксперимент и интерпретировать его результаты;
формулировать выводы.
Профессиональная деятельность специалиста по специальности «Физика», изучающего курс Основы компьютерного моделирования направлена на возможность освоения новых
теорий и моделей; исследований и оценку состояния и обработки полученных результатов
научных исследований на современном уровне и их анализ.
6
Студенты, окончившие курс «Основы компьютерного моделирования», должны быть
подготовлены к решению следующих задач:
 научные исследования поставленных проблем;
 формулировка новых задач, возникающих в ходе научных исследований;
 разработка новых методов исследований;
 выбор необходимых методов исследования;
 освоение новых методов научных исследований;
 освоение новых теорий и моделей;
 обработка полученных результатов научных исследований на современном уровне
и их анализ;
 работа с научной литературой с использованием новых информационных технологий, слежение за научной периодикой.
1.3 Виды учебной деятельности студентов
Лекции и лабораторные занятия. В качестве внеаудиторной самостоятельной работы:
работа с научной литературой с использованием новых информационных технологий, слежение за научной периодикой.
Самостоятельная работа также включает в себя:
 изучение теоретического материала;
 переработку материала лекций;
 подготовку к практическим занятиям;
 индивидуальную работу в компьютерном классе
1.4 Контроль знаний студентов
6 семестр – экзамен.
1.5 Другие пояснения автора
Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком
уравнений и математических символов. Толчок развитию математического моделирования
дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет
назад. Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной
поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические
решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через
исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных методов. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и,
как правило, сложнее численных.
Однако, понятия "аналитическое решение" и "компьютерное решение" отнюдь не противостоят друг другу, так как
а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для
численных расчетов, но и для аналитических преобразований;
б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь
сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ей
процесса. Эту формулу (систему формул) нужно протабулировать, представить графически,
проиллюстрировать в динамике, иногда озвучить, т.е. проделать "визуализацию абстракции".
При этом компьютер - незаменимое техническое средство.
В настоящее время моделирование составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно приближается к традиционным
экспериментальным и теоретическим методам научного познания.
7
Цель курса - расширить представления студентов о моделировании как методе научного познания, о использовании компьютера как инструмента научно-исследовательской деятельности.
Процесс моделирования требует проведения математических вычислений, которые в подавляющем большинстве случаев являются весьма сложными. Для разработки программ, позволяющих моделировать тот или иной процесс, от обучающихся потребуется не только знание
конкретных языков программирования, но и владение методами вычислительной математики. При изучении данного курса представляется целесообразным использовать пакеты прикладных программ для математических и научных расчетов, ориентированные на широкий
круг пользователей.
2 СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Изучение курса начинается с метода проектов. Метод проектов возник в начале XX
века в США. Его называли также методом проблем, и связывался он с идеями гуманистического направления в философии и образовании, разработанными американским философом и
педагогом Дж.Дьюи, а также его учеником В.Х.Клипатриком. Дж.Дьюи предлагал строить
обучение на активной основе, через целесообразную деятельность обучающегося, сообразуясь с его личным интересом именно в этом знании. Со временем реализация метода проектов
претерпела некоторую эволюцию. Родившись из идеи свободного воспитания, она становится в настоящее время интегрированным компонентом вполне разработанной и структурированной системы образования.
Метод проектов и обучение в сотрудничестве находят все большее распространение в системах образования разных стран мира. В последнее время этому методу уделяется пристальное
внимание и в России. Причинами этого являются:




необходимость не столько передавать обучаемым сумму тех или иных знаний, сколько научить приобретать эти знания самостоятельно, уметь пользоваться приобретенными знаниями для решения новых познавательных и практических задач;
актуальность приобретения коммуникативных навыков и умений, т.е. умений работать в разнообразных группах, выполняя разные социальные роли (лидера, исполнителя, посредника и пр.);
актуальность широких человеческих контактов, знакомства с разными культурами,
точками зрения на одну проблему;
значимость для развития человека умения пользоваться исследовательскими методами: собирать информацию, факты, уметь анализировать их с разных точек зрения, выдвигать гипотезы, делать выводы и заключения.
Если обучаемый приобретает указанные выше навыки и умения, он оказывается более
приспособленным к жизни, умеющим адаптироваться к изменяющимся условиям, ориентироваться в разнообразных ситуациях, работать совместно в различных коллективах.
Метод проектов всегда предусматривает решение какой-то проблемы. А решение проблемы предусматривает, с одной стороны, использование совокупности разнообразных методов и средств обучения, а с другой - необходимость интегрирования знаний и умений из
различных сфер науки, техники, технологии, творческих областей.
Учебный проект определяется как определенным образом организованная целенаправленная деятельность. Результатом проектной деятельности обучаемых является новое знание.
8
Е.С. Полат определяет основные требования к использованию метода проектов:
1. Наличие значимой в исследовательском плане проблемы/задачи, требующей интегрированного знания, исследовательского поиска для ее решения (например, исследование демографической проблемы в разных регионах мира; создание серии репортажей
из разных концов земного шара по одной проблеме; проблема влияния кислотных дождей на окружающую среду и т.д.).
2. Практическая, теоретическая, познавательная значимость предполагаемых результатов (например, доклад в соответствующие службы о демографическом состоянии
данного региона, факторах, влияющих на это состояние, тенденциях, прослеживающихся в развитии данной проблемы; совместный с партнером по проекту выпуск газеты, альманаха с репортажами с места событий; охрана леса.
3. Самостоятельная (индивидуальная, парная, групповая) деятельность учащихся.
4. Структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов).
5. Использование исследовательских методов, предусматривающих определенную последовательность действий:
o определение проблемы и вытекающих из нее задач исследования (использование в ходе совместного исследования метода "мозговой атаки", "круглого стола");
o выдвижение гипотезы их решения;
o обсуждение способов оформления конечных результатов (презентаций, защиты, творческих отчетов, просмотров и пр.);
o сбор, систематизация и анализ полученных данных;
o подведение итогов, оформление результатов, их презентация;
o выводы, выдвижение новых проблем исследования.
Проектирование учебной деятельности на основе метода проектов состоит из нескольких
этапов, на каждом из которых происходит последовательное уточнение проекта:









цели и задачи проекта, анализ ситуации, выяснение проблемы;
идея проекта, этап генерации идей и методов решения задач, творческий акт к поиску
идей решения;
организационный этап проекта, определение участников проекта, время, место и роли
участников, терминология, понятийный аппарат (для нахождения общего языка);
таблица ответственности, план-график, ответственные и их взаимодействие;
диаграмма супермаркета, проект - это "супермаркет": помещения, комнаты с оборудованием, ресурсы;
характеристика ключевых ситуаций, проектирование и прогнозирование ситуаций;
диалог, принципы взаимодействия человека с программой или людей между собой;
моделирование вариантов ожидаемых результатов;
инструкция, документация по проекту, формальности: авторские права, издание, лицензирование, идея проекта, концепция, педагогика, описание: композиция, действующие лица, состояния, диалоги, инструкции для координатора проекта, для учителяпредметника, приложения.
Рассмотрим содержание проектной организации занятий на примере одной из тем курса
компьютерного моделирования. Одним из важных разделов компьютерного моделирования
являются компьютерные игры. Многими педагогами различных дисциплин широко используются существующие игровые программы в обучении, однако, для многих педагогических
целей больший интерес может представить технология моделирования компьютерных игр.
9
Особенно значительные возможности в обучении предоставляют компьютерные модели карточных и шахматных игр.
Главной целью моделирования шахматных и карточных игр является изучение вероятностных процессов на практике, приобретение навыков разработки оптимальных игровых
стратегий. Основными этапами обучения в рамках компьютерного моделирования игр являются следующие работы:




создание компьютерной модели;
разработка машинного алгоритма игры;
моделирование стратегии игры игроков и компьютерной модели;
решение задач, связанных с моделированием игры.
Примерами моделей шахматных игр могут служить различные шахматные этюды, различные варианты "шашек", "уголков", "шахмат", а также другие логические игры, использующие клеточные поля, например, крестики-нолики и т.п.
Карточных игр существует множество. Здесь имеется большой простор для компьютерного моделирования пасьянсов, различных азартных и стратегических игр - "очко", "пьяница", "преферанс" и др.
При создании компьютерной игры на начальной стадии учащийся закладывает простейшую игровую стратегию для компьютера (часто без стратегии) нулевого уровня. Затем, после приобретения игрового "мастерства", им моделируется некоторая, по его мнению, выигрышная игровая стратегия и разрабатывается новый компьютерный алгоритм на тактическом
и стратегическом уровнях. Далее вновь осуществляется игровой процесс с целью усовершенствования или выработки наиболее оптимальной стратегии игры, и т.д.
Для усиления познавательного процесса при моделировании игры целесообразным является обмен между учащимися разработанными компьютерными программами с целью угадывания заложенных в алгоритмы стратегий и проведения соревнований компьютерных игровых программ.
Продолжение курса основано на компьютерном моделировании физических моделей.
3 ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
3
1
Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные с
4
10
5
4
6
7
4
Самостоятельная
работа
2
Лабораторные
занятия
1
Всего
Практические
(семинарские)
занятия
№ п/п темы
Наименование разделов и тем
Лекции
№ п/п раздела
Количество часов по учебному плану
В том числе
Аудиторная нагрузка
8
12
2
3
4
5
6
компьютерным моделированием
Моделирование случайных процессов
Имитационное моделирование
Моделирование физических процессов
Моделирование в экономике
Моделирование в биологии и экологии
ИТОГО:
130
6
6
6
6
8
8
8
8
6
6
38
38
8
8
10
8
8
54
4 ПРОГРАММА ЛЕКЦИОННЫХ ЗАНЯТИЙ
4.1 Тематический план лекций
№№
п/п
Темы лекционных занятий
1
2
Кол-во
часов
3
1
2
3
4
5
6
Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные с компьютерным моделированием.
Компьютерное моделирование как метод научного познания.
Классификация моделей. Основные понятия. Этапы компьютерного моделирования.
Моделирование случайных процессов.
Понятие случайных событий. Вычисление площадей методом
Монте-Карло. Задача Бюффона. Модели случайных и хаотических блужданий.
Имитационное моделирование.
Применение. Игра "Жизнь". Динамические модели популяций.
Моделирование физических процессов.
Детерминированные модели. Моделирование свободного падения тела. Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнения матфизики. Классификация уравнений матфизики. Моделирование процесса теплопроводности.
Экологические модели.
Экология и моделирование. Модели внутривидовой конкуренции. Динамика численности популяций хищника и жертвы.
Моделирование экономических процессов.
Моделирование в системах массового обслуживания. Очередь к
одному "продавцу"
4
6
6
8
8
6
4.2 Номер и наименование темы в соответствии с тематическим планом лекций
1. Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные с компьютерным моделированием.
11
Компьютерное моделирование как метод научного познания. Классификация моделей. Основные понятия. Этапы компьютерного моделирования.
2. Моделирование случайных процессов.
Понятие случайных событий. Вычисление площадей методом Монте-Карло. Задача Бюффона. Модели случайных и хаотических блужданий.
3. Имитационное моделирование.
Применение. Игра "Жизнь". Динамические модели популяций.
4. Моделирование физических процессов.
Детерминированные модели. Моделирование свободного падения тела. Модель движения
тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнения матфизики. Классификация уравнений
матфизики. Моделирование процесса теплопроводности.
5. Экологические модели.
Экология и моделирование. Модели внутривидовой конкуренции. Динамика численности
популяций хищника и жертвы.
6. Моделирование экономических процессов.
Моделирование в системах массового обслуживания. Очередь к одному "продавцу"
4.3 План темы
1. Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные с компьютерным моделированием.
Компьютерное моделирование как метод научного познания.
Курс Компьютерное моделирование - это новый и довольно сложный курс в цикле информационных дисциплин. Постольку, поскольку курс КМ является междисциплинарным курсом
для его успешного освоения требуется наличие самых разнообразных знаний: во-первых,
знаний в выбранной предметной области - если мы моделируем физические процессы, мы
должны обладать определенным уровнем знания законов физики, моделируя экологические
процессы - биологических законов, моделируя экономические процессы - знанием законов
экономики, кроме того, т.к. компьютерное моделирование использует практически весь аппарат современной математики, предполагается знание основных математических дисциплин - алгебры, матанализа, теории дифференциальных уравнений, матстатистики, теории
вероятности. Для решения математических задач на компьютере необходимо владеть в полном объеме численными методами решения нелинейных уравнений, систем линейных уравнений, дифференциальных уравнений, уметь аппроксимировать и интерполировать функции.
И, конечно же, предполагается свободное владение современными информационными технологиями, знание языков программирования и владение навыками разработки прикладных
программ.
Компьютерное моделирование, возникшее как одно из направлений математического моделирования с развитием информационных компьютерных технологий стало самостоятельной
и важной областью применения компьютеров. В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных методов познания. Без компьютерного моделирования сейчас невозможно решение крупных научных и
экономических задач. Выработана технология исследования сложных проблем, основанная
на построении и анализе с помощью вычислительной техники математической модели изучаемого объекта. Такой метод исследования называется вычислительным экспериментом.
Вычислительный эксперимент применяется практически во всех отраслях науки - в физике,
химии, астрономии, биологии, экологии, даже в таких сугубо гуманитарных науках как психология, лингвистика и филология, кроме научных областей вычислительные эксперименты
широко применяются в экономике, в социологии, в промышленности, в управлении. Прове-
12
дение вычислительного эксперимента имеет ряд преимуществ перед так называемым натурным экспериментом:




для ВЭ не требуется сложного лабораторного оборудования;
существенное сокращение временных затрат на эксперимент;
возможность свободного управления параметрами, произвольного их изменения,
вплоть до придания им нереальных, неправдоподобных значений;
возможность проведения вычислительного эксперимента там, где натурный эксперимент невозможен из-за удаленности исследуемого явления в пространстве (астрономия) либо из-за его значительной растянутости во времени (биология), либо из-за
возможности внесения необратимых изменений в изучаемый процесс.
В этих случаях и используется КМ. Также широко используется КМ в образовательных и
учебных целях. КМ - наиболее адекватный подход при изучении предметов естественнонаучного цикла, изучение КМ открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками - естественными и социальными. Учитель может использовать на уроке готовые компьютерные модели для демонстрации изучаемого явления,
будь это движение астрономических объектов или движение атомов или модель молекулы
или рост микробов и т.д., также учитель может озадачить учеников разработкой конкретных
моделей, моделируя конкретное явление ученик не только освоит конкретный учебный материал, но и приобретет умение ставить проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки, выделять главные и второстепенные факторы для
построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки, использовать
компьютер для решения задач, проводить анализ вычислительных экспериментов. Таким образом, применение КМ в образовании позволяет сблизить методологию учебной деятельности с методологией научно-исследовательской работы, что должно быть интересно вам, как
будущим педагогам.
Понятие моделирования - это очень широкое понятие, оно не ограничивается только математическим моделированием. Истоки моделирования обнаруживаются в далеком прошлом.
Наскальные изображения мамонта, пронзенного копьем, на стене пещеры можно рассматривать как модель удачной охоты, созданную древним художником.
Элементы моделирования часто присутствуют в детских играх, любимое занятие детей - моделировать подручными средствами предметы и отношения из жизни взрослых. Взрослеют
дети, взрослеет человечество. Человечество познает окружающий мир, модели становятся
более абстрактными, теряют внешнее сходство с реальными объектами. В моделях отражаются глубинные закономерности, установленные в результате целенаправленных исследований. В роли моделей могут выступать самые разнообразные объекты: изображения, схемы,
карты, графики, компьютерные программы, математические формулы и т.д. Если мы заменяем реальный объект математическими формулами (допустим, согласно 2 закону Ньютона,
опишем движение некоторого тела системой нелинейных уравнений, или, согласно закону
теплопроводности опишем процесс распространения тепла дифференциальным уравнение 2
порядка), то говорят о математическом моделировании, если реальный объект заменяем
компьютерной программой - о компьютерном моделировании.
Но что бы ни выступало в роли модели, постоянно прослеживается процесс замещения реального объекта с помощью объекта-модели с целью изучения реального объекта или передачи информации о свойствах реального объекта. Это процесс и называется моделированием. Замещаемый объект называется оригиналом, замещающий - моделью.
13
Классификация моделей.
В зависимости от средств построения различают следующие классы моделей:



словесные или описательные модели их также в некоторой литературе называют вербальными или текстовыми моделями (например, милицейский протокол с места проишествия, стихотворение Лермонтова "Тиха украинская ночь");
натурные модели (макет Солнечной системы, игрушечный кораблик);
абстрактные или знаковые модели. Интересующие нас математические модели явлений и компьютерные модели относятся как раз к этому классу.
Можно классифицировать модели по предметной области:




физические модели,
биологические,
социологические,
экономические и т.д.
Классификация модели по применяемому математическому аппарату:



модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений;
модели, основанные на применении уравнений в частных производных;
вероятностные модели и т.д.
Также можно классифицировать модели по цели моделирования. В зависимости от целей
моделирования различают:





Дескриптивные модели (описательные) описывают моделируемые объекты и явления
и как бы фиксируют сведения человека о них. Примером может служить модель Солнечной системы, или модель движения кометы, в которой мы моделируем траекторию
ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы или движение планет Солнечной системы;
Оптимизационные модели служат для поиска наилучших решений при соблюдении
определенных условий и ограничений. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию, например, известная задача коммивояжера, оптимизируя его маршрут, мы снижаем стоимость перевозок. Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут
быть весьма противоречивы, например, головная боль любой хозяйки - как вкуснее,
калорийнее и дешевле накормить семью;
Игровые модели (компьютерные игры);
Обучающие модели (всевозможные тренажеры);
Имитационные модели (модели, в которых сделана попытка более или менее полного
и достоверного воспроизведения некоторого реального процесса, например, моделирование движения молекул в газе, поведение колонии микробов и т.д.).
14
Существует также классификация моделей в зависимости от их изменения во времени. Различают


Статические модели - неизменные во времени;
Динамические модели - состояние которых меняется со временем
Этапы компьютерного моделирования.
Этапы КМ можно представить в виде схемы
Объект изучения
→
Формальная модель
→
Программирование модели
↓
Информационная модель
←
Компьютерный эксперимент
←
Отладка/тестирование
Моделирование начинается с объекта изучения. На 1 этапе формируются законы, управляющие исследованием, происходит отделение информации от реального объекта, формируется
существенная информация, отбрасывается несущественная, происходит первый шаг абстракции. Преобразование информации определяется решаемой задачей. Информация, существенная для одной задачи, может оказаться несущественной для другой. Потеря существенной информации приводит к неверному решению или не позволяет вообще получить решение. Учет несущественной информации вызывает излишние сложности, а иногда создает
непреодолимые препятствия на пути к решению. Переход от реального объекта к информации о нем осмыслен только тогда, когда поставлена задача. В тоже время постановка задачи
уточняется по мере изучения объекта. Т.о. на 1 этапе параллельно идут процессы целенаправленного изучения объекта и уточнения задачи. Также на этом этапе информация об объекте подготавливается к обработке на компьютере. Строится так называемая формальная
модель явления, которая содержит:




Набор постоянных величин, констант, которые характеризуют моделируемый объект
в целом и его составные части; называемых статистическим или постоянными параметрами модели;
Набор переменных величин, меняя значение которых можно управлять поведением
модели, называемых динамическим или управляющими параметрами;
Формулы и алгоритмы, связывающие величины в каждом из состояний моделируемого объекта;
Формулы и алгоритмы, описывающие процесс смены состояний моделируемого объекта.
На 2 этапе формальная модель реализуется на компьютере, выбираются подходящие программные средства для этого, строиться алгоритм решения проблемы, пишется программа,
реализующая этот алгоритм, затем написанная программа отлаживается и тестируется на
специально подготовленных тестовых моделях. Тестирование - это процесс исполнения
программы с целью выявления ошибок. Подбор тестовой модели - это своего рода искусство,
хотя для этого разработаны и успешно применяются некоторые основные принципы тестирования. Тестирование - это процесс деструктивный, поэтому считается, что тест удачный,
если обнаружена ошибка. Проверить компьютерную модель на соответствие оригиналу,
проверить насколько хорошо или плохо отражает модель основные свойства объекта, часто
15
удается с помощью простых модельных примеров, когда результат моделирования известен
заранее.
На 3 этапе, работая с компьютерной моделью мы осуществляем непосредственно вычислительный эксперимент. Исследуем, как поведет себя наша модель в том или ином случае, при
тех или иных наборах динамических параметров, пытаемся прогнозировать или оптимизировать что-либо в зависимости от поставленной задачи.
Результатом компьютерного эксперимента будет являться информационная модель
явления, в виде графиков, зависимостей одних параметров от других, диаграмм, таблиц, демонстрации явления в реальном или
2. Моделирование случайных процессов.
Понятие случайных событий.
В вероятностных моделях смена состояний моделируемой системы определяется случайными величинами.
Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо. Случайность окружает наш мир и чаще всего играет отрицательную роль в нашей жизни. Однако есть обстоятельства, в которых случайность может оказаться полезной.
Одним из распространенных приближенных методов решения задач вычислительной математики является случайный метод, называемый метод Монте-Карло. Сущность метода заключается в том, что для решения какой-либо математической задачи, связанной с вычислением числа I, строится некоторая случайная величина ξ, такая, что математическое ожидание
этой случайной величины E(ξ) является значением искомого решения. Проведя серию вычислительных экспериментов со случайной величиной ξ, мы можем найти приближенное
решение как среднее значение результатов эксперимента.
Вычисление площадей методом Монте-Карло.
С помощью этого метода можно найти площадь любой фигуры G, которая имеет сложный
контур, который сложно описать аналитически или сложно проинтегрировать. Нужно вписать эту фигуру в фигуру известной площади, скажем в прямоугольник со сторонами a b и
бросать точку на эту фигуру. Вероятность попадания точки в G будет равна отношению
площадей.
Задача Бюффона.
Также с помощью случайного метода можно вычислить число π.
Для этого необходимо решить задачу Бюффона. Французский математик Бюффон (XYIII в.)
определил, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы
одну прямую, определяется формулой:
16
Эта задача дала способ вычисления числа π.
Действительно, если L=2l, то
Таким образом, автором было вычислено 200 знаков после запятой числа π. Точность получаемого решения зависит от количества проведенных экспериментов.
Задачу Бюффона можно легко смоделировать на компьютере
Известно, что P=N1/N , где N - число бросаний, N1 - число пересечений иглы с линиями.
Как определить, пересекла игла прямую или нет? Положение иглы можно однозначно определить заданием координаты центра иглы y_0 из [-l/2,l/2] и угла α, задаваемых случайным
образом
Тогда координаты концов иглы определяются по следующим формулам:
Условие пересечения прямой - y1*y2<0
Модели случайных и хаотических блужданий.
На случайности основана так называемая "модель пьяницы", которая используется для моделирования всевозможных хаотических движений частиц скажем движений молекул какихлибо газов или жидкостей, с помощью этой модели моделируются многие химические и физические процессы, проходящие в дискретных средах - в газах и жидкостях - явления диффузии, всевозможные потоки частиц, ветер, водопад, взрыв и т.д.
Есть точка на прямой, имеющая начальную координату x0, которая движется вправо или влево в зависимости от случайной величины r из интервала [0,1] если r>0,5, то точка делает шаг
вправо x1=х0+h, в противном случае x1=x0-h. Шаг может быть как постоянный, так и переменный. Значение шага в свою очередь может быть случайное число из интервала [0,hmax].
Точка может двигаться по плоскости, может быть n точек - получается модель броуновского
движения. Можно ввести различные скорости движения частиц, можно изменять условие,
скажем если ri>0,8, то точка делает шаг вправо x1=х0+h, в противном случае x1=x0-h. - получим модель поступательного движения частиц вправо - стая комаров, подхваченных ветром.
Если первоначально все частицы сконцентрировать в одной точке, а потом пронаблюдать их
распространение - то это будет модель взрыва. Если провести вертикальную черту - перегородку, и частицы по разную строну перегородки закрасить разным цветом - получим модель
диффузии - смешивания различных газов или жидкостей и т.д.
17
В модели пьяницы не предусматривается столкновение частиц.
Если случайным образом задать первоначальное положение частиц, направление их
движения и скорость и определить, что далее частица будет двигаться равномерно и прямолинейно до столкновения с другой частицей, а в случае столкновения произойдет зеркальное
упругое отражение, то получим модель движения частиц, называемую моделью бильярдного
шара. Эта модель описывает поведение идеального газа. С помощью этой модельки можно
посчитать, допустим, давление газа на стенки сосуда - ограничить частицы прямоугольником
(количество частиц установить пропорциональным плотности газа), предусмотреть зеркальное отражение частиц от стенок и посчитать число ударов в стенки сосуда. Давление газа будет пропорционально числу ударов о стенки.
3. Имитационное моделирование.
Применение.
Модели подобного типа называют также имитационными моделями. Имитационное
моделирование широко применяется в биологии. Рассмотрим одну из самых распространенных имитационных моделей, предложенную Джоном Канвеем - игра "Жизнь"
Игра "Жизнь".
Для построения алгоритма игры рассмотрим квадратное поле из n+1 столбцов и строк с
обычной нумерацией от 0 до n. Крайние граничные столбцы и строки для удобства определим как "мертвую зону", они играют лишь вспомогательную роль.
Для любой внутренней клетки поля с координатами (i,j) можно определить 8 соседей. Примем, что если клетка живая, то ее закрашиваем, если клетка мертвая, то она пустая.
Зададим правила игры.
Если клетка (i,j) живая и в окружении более трех живых клеток, то она погибает (от перенаселения). Живая клетка также погибает, если в окружении менее двух живых клеток (от одиночества). Мертвая клетка оживает, если вокруг нее имеется три живые клетки.
Начальное количество живых клеток и расположение их на поле определяется либо случайным образом, либо мы можем задать нужное нам количество живых клеток и определить их
расположение определенным образом и смотреть, как они будут себя вести. Есть устойчивые
структуры - пропеллер - три клетки в ряд, есть стабильные структуры - квадрат с просветом
внутри, есть структуры, которые повторяют себя через определенное количество циклов и
т.д.
Если располагать клетки случайным образом, то с помощью игры жизнь можно построить
модель внутривидовой конкуренции (трава - зайцы), межвидовой конкуренции (зайцы - лисы), модель распространения инфекции и т.д.
Динамические модели популяций.
Мы говорили, что при моделировании биологических процессов используется метод индукции - от частного к общему, от гипотез. Именно таким образом строятся в биологии так
называемые динамические модели популяций.
18
Популяция в биологии - это совокупность особей одного вида, существующих в одно и занимающих определенную территорию. Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями - межвидовой конкуренцией.
Человечество как биологический вид можно также рассматривать как популяцию, причем
популяцию без внутривидовой конкуренции
Рассмотрим сначала простейшую модель роста населения.
Ni+1=Ni+aNi-bNi
Модель численности популяции с учетом внутривидовой конкуренции
Ni+1=(Ni+aNi-bNi)/(1+cNi)
Знаменатель отражает наличие внутривидовой конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции, с - параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.
4. Моделирование физических процессов.
Детерминированные модели.
Физика - это наука, в которой математическое моделирование является весьма важным методом исследования. Исторически так сложилось что моделирование начиналось именно с построения моделей физических процессов.
Наряду с традиционным делением физики на экспериментальную и теоретическую, сейчас
выделяется третий фундаментальный раздел - вычислительная физика. При максимальном
проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук (есть такая известная дисциплина - уравнения математической физики),
реальные возможности решения математических задач традиционными аналитическими методами очень ограниченны. Во-первых, реальные физические процессы только в первом,
очень грубом приближении можно описать простыми линейными уравнениями реально же,
как правило, приходится иметь дело с нелинейными и дифференциальными уравнениями,
во-вторых, при моделировании физических процессов необходимо учитывать совместное
движение или влияние друг на друга многих тел, что приводит к необходимости решения
систем уравнений высокого порядка (N=100). Такие задачи эффективнее не решаются не
аналитическими методами, а численными методами, т.е. используется аппарат не чистой математики, скажем алгебры, а аппарат вычислительной математики.
При построении моделей используются два принципа: дедукции (от общего к частному) и
индукции (от частного к общему). В зависимости от способа построения различают дедуктивные или детерминированные и индуктивные (недетерминированные) модели. Построение
детерминированных моделей основано на использовании фундаментальных законов - именно такие модели строятся при моделировании физических процессов, если же фундаментальные законы, управляющие моделируемым явлением неизвестны, как это часто бывает
при моделировании в биологии, социологии, экономике - то используются гипотезы.
Рассмотрим две простые детерминированные модели, модели двух простых физических явлений.
19
Моделирование свободного падения тела.
Примем, что тело массой m падает с высоты h с начальной скоростью V0.
На тело действует сила тяжести F=mg, направленная вниз и сила сопротивления среды Fc=
k1v+k2v2. Падение тела описывается 2 законом Ньютона:
ma=mg-Fc
в одномерной системе координат с осью х, направленной вниз, и с началом в точке начального падения тела.
Сила сопротивления среды Fc= k1v+k2v2 зависит от скорости тела и его сечения,
k1 - коэффициент Стокса, зависит от вязкости среды, большая величина;
k2 - коэффициент лобового сопротивления, зависит от площади сечения тела, маленькая величина.
Если скорость не очень большая, то доминирует линейная составляющая, квадратичной же
составляющей можно пренебречь, при более высоких скоростях напротив, резко возрастает
квадратичная составляющая, а линейной составляющей можно пренебречь.
Что подразумевается под моделированием движения какого-либо тела? Это означает, что в
каждый момент времени ti мы должны знать положение тела в пространстве или пройденный
им путь x=x(t), его скорость v=v(t) и ускорение a=a(t), которые будут являться функциями от
времени.
В начальный момент времени
t0=0, x0=0, v0=0, a0=g
Для построения расчетной модели предположим, что в течение малого промежутка времени
Δt=τ движение равноускоренно, тогда можно использовать известные законы прямолинейного равноускоренного движения.
x=x0+v0τ +aτ2/2
v=v0+aτ
a=const
Теперь можно построить такой вычислительный процесс:
t0=0,
x0=0,
v0=0,
a0=g
t1=t0+τ,
x1=x0+v0+a0τ2/2
v1=v0+a0τ
a1=(mg-k1v1-k2v12)/2
и т.д., далее пошли итерации, в i момент времени
ti=t0+iτ,
xi=xi-1+vi-1+ai-1τ2/2
vi=vi-1+ai-1τ
ai=(mg-k1vi-k2vi2)/2
Процесс закончен, когда xi=h
Осталось определить задачи исследования и соответственно определить параметры модели
для этих целей.
Задача о безопасности парашютиста. Пусть парашютист прыгает с высоты h м. Определить
необходимый радиус парашюта, другими словами, нам нужно подобрать коэффициент сопротивления k2, при котором имеем безопасное приземление. Кстати, оценить скорость без20
опасного приземления можно из следующих соображений. С какой высоты прыжок человека
на землю безопасен? С первого этажа даже ребенку не страшно, а со второго надо постараться удачно приземлиться. Значит, можно взять среднюю высоту между первым и вторым этажом, скажем, 3 метра. Тогда при свободном падении тела за время
t=v2h/g=0.8 сек
величина скорости приземления
Vp=g*t=10*0.8=8 (м/сек.)
Другими словами, скорость безопасного приземления - 8-10 м/с.
Таким образом, параметрами модели будут являться:
статические параметры модели:
h - высота, с которой падает тело;
Vн - начальная скорость падения, в частности, Vн=0;
m - масса тела;
g - ускорение свободного падения;
динамические параметры для моделирования:
τ - шаг по времени,
k - коэффициент сопротивления.
Быстрее всего протекает процесс без сопротивления (нижняя оценка), и наоборот, самый
медленный процесс, когда ускорение равно нулю, т.е. движение установившееся и происходит с постоянной скоростью, например Vp.
В качестве теста зададим k=0, тогда расчеты должны совпадать с формулами закона равноускоренного движения при a=g.
Если k=mg, то практически мгновенно движение устанавливается (а=0) и тело либо зависает
(V=0), либо медленно опускается с постоянной скоростью.
Подобное проверочное тестирование в случае удачи дает основания к уверенной работе с
моделью. Теперь можно проводить эксперименты с моделью. Попытаемся подобрать k таким
образом, чтобы скорость установления была близка к значению 10 м/с.
Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту.
Тело бросают с высоты h под углом α к горизонту.
Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту строиться аналогично предыдущей модели, только вектора скорости и ускорения необходимо будет разложить по двум
осям и учитывать составляющие вектора скорости v по x и по y vx vy и вектора ускорения a
по x и по y ax ay. Сила сопротивления будет направлена обратно движению, сила тяжести по-прежнему вниз.
X: max=-k1vx-k2vx2
Y: may=-(mg-k1vy-k2vy2)
Начальные условия в этой модели:
T0=0,
x0=0,
y0=h,
v0x=v0cosα,
v0y=v0sinα,
Расчетные формулы:
21
a0x=0,
a0y=-g
x=x+vxτ+axτ2/2
y=y+vyτ+ayτ2/2
vx=vx+axτ
vy=vy+ayτ
ax=-(k1vx- k2vx2/m
ay=(mg-k1vy- k2vy2)/m
Условие окончания процесса y=0.
Параметры модели:
h - начальная высота бросания, в частности, h=0;
v0 - начальная скорость бросания тела;
α - угол бросания;
m - масса тела;
k1 - коэффициент сопротивления среды;
k2 - коэффициент лобового сопротивления;
g - ускорение свободного падения;
τ - шаг по времени.
Можно ставить следующие задачи: задача о подводной охоте (под каким углом следует выстрелить охотнику, если акула находится от него на расстоянии l метров?), задача о теннисном шарике (какой должна быть высота крытого корта, если угол α, под которым теннесист
отправляет шарик заключен в диапазоне от α1 до α2? Если начальная скорость теннисного
шарика v0 (которая зависит от силы ударов по нему) заключена в диапазоне от v01 до v02?)
Тесты могут быть следующие:
1. Свободное падение с высоты h:
h>0; A=-90; u0=0; k=0; g=9,8 м/с
2. Бросание тела вверх с начальной скоростью u0:
h=0; A=90; u0>0; k=0; g=9,8 м/с
Движение под углом к горизонту без сопротивления:
h=0; A=45; u0>0; k=0; g=9,8 м/с
Уравнения матфизики.
Для более сложных физических явлений, таких как процессы колебания, волновые процессы,
процессы теплопроводности не всегда удается построить такие простенькие модельки. Реально эти процессы описываются дифференциальными уравнениями 2 порядка, уравнениями
в частных производных, называемых уравнениями матфизики.
Напомню, что дифференциальным уравнением называется уравнение, куда входит искомая
функция со своими производными
F(x,y(x),y'(x),y''(x):y(n)(x))=0
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Решением дифура является не число, а функция, x называется независимой переменной. Если искомая функция является функцией одной переменной, то дифу22
равнение называется обыкновенным дифуравнением, если искомая функция является функцией нескольких переменных, то дифуравнение называется уравнением в частных производных.
В случае двух независимых переменных x и y уравнения матфизики, которые являются как
правило уравнениями первого и второго порядков, линейными относительно входящих в них
производных можно записать в виде
В случае двух независимых переменных x и y уравнения матфизики, которые являются как
правило уравнениями первого и второго порядков, линейными относительно входящих в них
производных можно записать в виде
Обычно одна из переменных - это время t
Классификация уравнений матфизики.
Различают типы уравнений в зависимости от соотношения между коэффициентами.
1) При a=b=c=f=0, d не 0, e не 0 получаем уравнение первого порядка вида
называемое уравнением переноса. Такие уравнения описывают процессы переноса частиц в
различных средах, распространение возмущений и т.д. Искомая функция u=u(t,x) зависит от
времени и от пространственной переменной, коэффициент p характеризует скорость переноса.
2) Если хотя бы один из коэффициентов a,b,c будет отличен от нуля, то уравнение будет
иметь второй порядок и в зависимости от знака дискриминанта
D=b2-4ac
Будет принадлежать к одному из трех типов
D>0 - гиперболическое,
D=0 - параболическое,
D<0 - эллиптическое.
А) Гиперболическое уравнение
23
Называется волновым, оно описывает различные виды колебаний. Если в уравнение входит
одна пространственная переменная, то оно описывает продольные колебания стержня, а
также поперечные колебания струны. В этом случае a2=T/ρ, где T - это натяжение струны, а ρ
- ее линейная плотность. Двухмерное волновое уравнение используется для описания колебаний тонкой пластины (мембраны)
Трехмерное волновое уравнение
Описывает распространение волн в пространстве (например звуковые волны в различных
средах, упругие волны в сплошной среде и т.д.)
Б) параболическое уравнение
называется уравнением теплопроводности или диффузии с помощью него описываются
различные процессы, связанные с передачей чего-либо: передачей тепла, передачей импульса, передачей энергии.
В) Эллептическое уравнение
Уравнение Лапласа
Уравнение Пуассона
К уравнениям такого типа приводят стационарные, не зависящие от времени, физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной
мембраны и т.д.)
24
Моделирование процесса теплопроводности.
В качестве примера модели, в основе которой лежит уравнение матфизики, рассмотрим модель распространения тепла в однородном стрежне. Задача теплопроводности.
Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система - линейный однородный стержень. В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т.е. через нее нет обмена теплом с
окружающей средой.
Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через u(x,t).
Уравнение теплопроводности имеет вид
,
где а - коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из
которого сделан стержень.
Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной Напомню, что если для дифуравнения заданы начальные условия (условия в начальный момент времени), то такая задача называется
задачей Коши, если же заданы краевые условия (на границах исследуемой области), то такая
задача называется краевой задачей, если заданы и начальные и граничные условия, то мы
имеем смешанную краевую задачу. Начальное условие задает распределение температуры в
стержне в начальный момент времени (считаем его равным нулю):
u(x,0) = φ(x)
Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают, в простейшем варианте,
какая температура поддерживается на концах стержня:
u(0,t)=ψ0(t), u(l,t)=ψl(t)
Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е.
u(0,0) = φ(0)=ψ0(0)
u(l,0) = φ(l)=ψl(0)
Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного.
Введем равномерную прямоугольную сетку с помощью координатных линий
xi=ih, i=0,1,....n,
tj=jτ, j=0,1,....m,
где h - это шаг по пространству, по координате х, а τ - шаг по времени.
Значения функции в узлах сетки обозначим uij=u(xi,tj).
25
Входящие в уравнение производные заменим их конечно-разностными аппроксимациями
получим
или
,
где
i=1,2,:.n-1,
j=0,1,:.m-1.
Получилась явная разностная схема, удобная в применении, но устойчивая лишь при выполнении условия
Это следует учитывать, выбирая шаги по времени и пространству.
Совокупность узлов в фиксированный момент времени называется слоем.
Построенная схема позволяет нам находить значение функции температур на j+1 слое через
значения на j слое. Для начало счета при j=0 необходимо знать значения функции температур на нулевом слое. Они нам известны из начальных условий.
Если использовать другие конечно разностные соотношения для аппроксимации производных,
то получим существенно более устойчивую неявную схему
26
или
В отличие от явной схемы каждое разностное уравнение второй схемы содержит на каждом
новом слое три неизвестные значения, которые невозможно определить сразу же, как мы поступали в явной схеме. При этом вторая разностная схема состоит из линейных трех точечных уравнений, т.е. каждое уравнение содержит неизвестную функцию в трех точках нового
слоя. Такие системы линейных уравнений, системы с трехдиагональной матрицей, могут
быть легко решены методом прогонки. Таким образом, в случае неявной схемы, чтобы посчитать значения функции температур в каждый следующий момент времени, т.е., чтобы перейти на следующий слой по времени, необходимо каждый раз решать методом прогонки
линейную систему.
Это - система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее
решения наиболее эффективен метод прогонки.
Так можно моделировать физические явления применяя математический аппарат во всей его
мощи. Однако это довольно сложно. При моделировании явления теплопроводности можно
пойти другим путем.
Пусть задана квадратная пластина, на краях которой известна температура. Требуется определить температуру во внутренних точках. Если предположить, что теплоотвода внутри нет,
то можно смоделировать решение путем вычисления среднего значения T=(t1+t2+t3+t4)/4.
Однако это очень грубое приближение, ведь в разных точках пластины температура различна.
Разобьем квадрат на четыре части и для каждого малого квадратика применим ту же процедуру:
T11 = (t1 + T12 + T21 + t4)/4
T12 = (t1 + T11 + T22 + t2)/4
T21 = (t4 + T11 + T22 + t3)/4
T22 = (t2 + T21 + T12 + t3)/4
Или в другом виде
4T11 - T12 - T21 = t1 + t4
-T11 + 4T12 - T22 = t1 + t2
-T11 + 4T21 - T22 = t3 + t4
-T12 - T21 + 4T22 = t2 + t3
который представляет систему линейных уравнений относительно неизвестных T11, T
5. Экологические модели.
Экология и моделирование.
27
Экология - одно из слов, появившихся сравнительно недавно у всех на устах и на стра-ницах
газет и журналов. Еще в 60-х годах нашего столетия почти никто, кроме узких специалистов,
его не знал, да и большинство из тех, кто знал, использовал в таком смысле, который вряд ли
способен заинтересовать широкую общественность. А между тем, термину более 120 лет.
В 1869 г. немецкий естествоиспытатель Эрнст Геккель предложил составной термин "экология" ("эко" - дом, жилище, местопребывание и "логос" - наука, знание) как название раздела
биологии, ставшего самостоятельным. Классическая экология - наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. Сегодня, говоря об экологии, чаще всего имеют в виду не
классическую, а, так называемую, социальную экологию, офор-мившуюся как научное
направление и направление общественно-политической деятель-ности на 100 лет позднее, и
занимающуюся проблемами охраны окружающей среды, взаимодействием с ней человеческого сообщества.
В данной главе мы ограничимся некоторыми классическими моделями "старой" эко-логии,
что обусловлено следующими причинами. Во-первых, они достаточно просты и изучены,
постановка их вполне очевидна и в познавательном плане интересна и полезна. Во-вторых,
модели распространения загрязнений окружающей среды требуют использо-вания весьма
сложного математического аппарата, да и сами еще не вполне устоялись. Проблемы охраны
окружающей среды чрезвычайно важны, но их обсуждение выходит за пределы нашего курса. Однако, для того, чтобы дать представление о задачах, стоящих перед современными исследователями в этой области, в следующем параграфе приведено описание одной из глобальных моделей, пытающихся выяснить пути взаимодействия экосистемы планеты с индустриальной и экономической системами современного общества.
Остановимся на некоторых понятиях, которые будут встречаться в этой главе. Под особью
понимается отдельный индивидуум, отдельный организм. Популяция - это совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию. И, наконец, сообщество - это совокупность совместно сосуществующих популяций.
В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:



взаимодействие организма и окружающей среды;
взаимодействие особей внутри популяции;
взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).
Математические модели в экологии используются практически с момента возникнове-ния
этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают
установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а
также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причи-ны, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в классической
экологии.
1. Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких
параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений,
что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.
2. Модели выступают в качестве "общего языка", с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся
более понятными.
28
3. Модель может служить образцом "идеального объекта" или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и
процессы.
4. Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.
При построении моделей в математической экологии используется опыт математиче-ского
моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:



сложности внутреннего строения каждой особи;
незамкнутости экологических систем;
огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.
Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологи-ческих
процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли
принципиально новые направления, и прежде всего - имитационное моделирование.
Модели внутривидовой конкуренции.
Рассмотрим простейшую из указанных моделей для вида с дискретными периодами размножения, в которой численность популяции в момент времени t равна Nt и изменяет-ся во времени пропорционально величине основной чистой скорости воспроизводства R. Такими видами являются, например, большая часть растений, некоторые виды насекомых, у которых
разные поколения четко разнесены во времени. Коэффициент R характеризует количество
особей, которое воспроизводится в расчете на одну существующую, а также выживание уже
существующих. Данная модель может быть выражена уравнением
(1)
решение которого имеет вид
(2)
где N0 - начальная численность популяции. Эта модель, однако, описывает популяцию, в которой отсутствует конкуренция и в которой R является константой; если R>1, то численность популяции будет бесконечно увеличиваться. В реальности в какой-то момент начинают работать механизмы сдерживания роста популяции. В литературе приводится немало интересных примеров быстрого роста численности популяций, если бы для их размножения
существовали идеальные условия. Особенно это относится к насекомым, растениям и микроорганизмам, которые могли бы покрыть земной шар толстым слоем, если им создать благоприятные условия для размножения. Но в действительности такого роста популяций, когда
их численность увеличивается в геометрической прогрессии, на сколько-нибудь длительных
промежутках времени не наблюдается.
Следовательно, в первую очередь необходимо изменить уравнение (1) таким образом, чтобы
чистая скорость воспроизводства зависела от внутривидовой конкуренции.
29
Конкуренцию можно определить как использование некоего ресурса (пищи, воды, света,
пространства) каким-либо организмом, который тем самым уменьшает доступность этого
ресурса для других организмов. Если конкурирующие организмы принадлежат к одному виду, то взаимоотношения между ними называют внутривидовой конкуренцией; если же они
относятся к разным видам, то их взаимоотношения называют межвидовой конкуренцией.
Рис. 1. К вопросу об ограничении скорости роста популяции
На рис. 1 показана простейшая возможная зависимость скорости воспроизводства от численности популяции. Точка A отражает ситуацию, в которой численность популяции близка к
нулю, конкуренция при этом практически отсутствует, и фактическую скорость воспроизводства вполне можно описывать параметром R в его первоначальном виде. Следовательно,
при низкой плотности популяции уравнение (1) вполне справедливо. В преобразованном виде оно выглядит так:
Точка B, напротив, отражает ситуацию, в которой численность популяции высока, и в значительной степени проявляется внутривидовая конкуренция. Фактическая скорость воспроизводства в результате конкуренции настолько снижена, что популяция в целом может не более чем восстанавливать в каждом поколении свою численность, потому что количество родившихся особей уравновешивается количеством погибших. Гипотезе, отраженной на рис. 1,
соответствует уравнение
(3)
где
Это уравнение представляет собой модель роста популяции, ограниченного внутривидовой
конкуренцией. Суть этой модели в том, что константа R в уравнении (1) заменена на фактическую скорость воспроизводства,
т.е.
30
которая уменьшается по мере роста численности популяции Nt. Достоинство полученного
уравнения заключается в его простоте. Такой тип конкуренции приводит к саморегуляции
численности популяции, изображенной на рис. 2 (для некоторого набора параметров модели;
численное решение).
Рис. 2. Изменение численности популяции согласно уравнению (3) при R = 2, K = 200, N0 =
20
Динамика численности популяций хищника и жертвы.
Рассматривая динамику численности популяций хищника и жертвы, экологи прежде всего
стремятся понять ее закономерности и разъяснить различия между типами динамик. В простейших моделях хищник и жертва рассматриваются безотносительно влияния на них других
видов. Одна из самых первых и простых моделей была предложена, как и модель межвидовой конкуренции, Лоткой и Вольтеррой, и носит их имя.
Модель состоит из двух компонентов: C - численность популяции хищника и N - численность популяции жертвы.
Предполагается, что в отсутствие хищника популяция жертвы растет экспоненциально. Чем
больше численность той и другой популяции, тем чаще происходят встречи. Число встреченных и съеденных жертв будет зависеть от эффективности, с которой хищник находит и
ловит жертву. Если обозначить через a′ "эффективность поиска", то скорость поедания жертвы будет равна a′·C·N, и окончательно для численности жертвы получаем
В отсутствие пищи отдельные особи хищника голодают и гибнут. Предположим вновь, что
численность хищника в отсутствие пищи будет уменьшаться экспоненциально:
(q - смертность). Скорость рождения новых особей в данной модели полагается зависящей от
двух обстоятельств: скорости потребления пищи a′·C·N, и эффективности f, с которой эта
31
пища переходит в потомство хищника. Итак, для численности хищника окончательно получаем
Так как процессы надо рассматривать вместе, объединим уравнения в систему:
Как и в предыдущем пункте, свойства этой модели можно исследовать, построив изо-клины.
Для жертвы имеем
или, выражая C, получаем
Соответствующее уравнение изоклины для популяции хищника
Если поместить обе изоклины на одном рисунке, получим картину взаимодействия популяций (рис. 3).
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы. Численность обеих популяций
совершает периодические колебания
Как видно на рис. 4, численности популяций хищника и жертвы совершают периодические
колебания: при увеличении численности хищников уменьшается численность популяции
32
жертвы и наоборот. Такие колебания численности будут продолжаться в соответствии с моделью до тех пор, пока какое-либо внешнее воздействие не изменит численность популяций,
после чего произойдет переход в новое устойчивое состояние (такая ситуация называется
"нейтральные устойчивые циклы").
Рис. 3. Динамика численности популяции хищника и жертвы при r = 5, a′ = 0,1, q = 2, f
= 0,6, N0 = 150, C0 = 50. Сплошная линия - численность жертвы, штриховая - хищника
6. Моделирование экономических процессов.
Моделирование в системах массового обслуживания.
Кому не случалось стоять в очереди и с нетерпением прикидывать, успеет ли он сделать покупку (или заплатить за квартиру, покататься на карусели и т.д.) за некоторое имеющееся в
его распоряжении время? Или, пытаясь позвонить по телефону в справочную и натыкаясь
несколько раз на короткие гудки, нервничать и оценивать - дозвонюсь или нет? Из таких
"простых" проблем в начале XX века родилась весьма непростая наука - теория массового
обслуживания, использующая аппарат теории вероятностей и математической статистики,
дифференциальных уравнений и численных методов. Основоположником ее стал датский
ученый А.К.Эрланг, исследовавший проблемы функционирования телефонных станций.
Впоследствии выяснилось, что новая наука имеет многочисленные выходы в экономику, военное дело, организацию производства, биологию и экологию; по ней написаны десятки
книг, тысячи журнальных статей.
Компьютерное моделирование при решении задач массового обслуживания, реализуемое в
виде метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), хоть и не является в теории
массового обслуживания основным, но играет в ней важную роль. Основная линия в ней получение результатов аналитических, т.е. представленных формулами. Однако, возможности аналитических методов весьма ограничены, в то время как метод статистических испытаний универсален и весьма прост для понимания (по крайней мере кажется таковым).
Очередь к одному "продавцу"
Рассмотрим одну из простейших задач данного класса. Имеется магазин с одним продавцом,
в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, он начинает обслуживать покупателя сразу, если покупателей несколько, выстраивается очередь.
Вот аналогичные задачи:
33




ремонтная зона в автохозяйстве и автобусы, сошедшие с линии из-за поломки;
травмопункт и больные, пришедшие на прием по случаю травмы (т.е. без системы
предварительной записи);
телефонная станция с одним входом (или одной телефонисткой) и абоненты, которых
при занятом входе ставят в очередь (такая система иногда практикуется);
сервер локальной сети и персональные машины на рабочем месте, которые шлют сообщение серверу, способному воспринять разом и обработать не более одного сообщения.
Будем для определенности говорить о магазине, покупателях и продавце. Рассмотрим возникающие здесь проблемы, которые заслуживают математического исследования и, как выясняется, весьма серьезного.
Итак, на входе этой задачи случайный процесс прихода покупателей в магазин. Он является
"марковским", т.е. промежутки между приходами любой последовательной пары покупателей - независимые случайные события, распределенные по некоторому закону. Реальный характер этого закона может быть установлен лишь путем многочисленных наблюдений; в качестве простейшей модельной функции плотности вероятности можно взять равновероятное
распределение в диапазоне времени от 0 до некоторого T - максимально возможного промежутка между приходами двух последовательных покупателей. При этом распределении вероятность того, что между приходами двух покупателей пройдет 1 минута, 3 минуты или 8
минут одинакова (если T > 8).
Такое распределение, конечно, малореалистично; реально оно имеет при некотором значении t = τ максимум и быстро спадает при больших t, т.е. имеет вид, изображенный на рис. 1.
Можно, конечно, подобрать немало элементарных функций, графики которых похожи на
тот, что изображен на рис. 1. Например, семейство функций Пуассона, широко используемых в теории массового обслуживания:
(1)
где λ - некоторая константа, n - произвольное целое.
Функции (1) имеют максимум при
и нормированы:
34
Рис. 1. Типичная плотность вероятности распределения времени между приходами покупателей
Второй случайный процесс в этой задаче, никак не связанный с первым, сводится к последовательности случайных событий - длительностей обслуживания каждого из покупателей.
Распределение вероятностей длительности обслуживания качественно имеет тот же вид, что
и в предыдущем случае; при отработке первичных навыков моделирования методом статистических испытаний вполне уместно принять модель равновероятного распределения.
В таблице 1 в колонке A записаны случайные числа - промежутки между приходами покупателей (в минутах), в колонке B - случайные числа - длительности обслуживания (в минутах).
Для определенности взято amax = 10 и bmax = 5. Из этой короткой таблицы, разумеется, невозможно установить, каковы законы распределения приняты для величин A и B; в данном обсуждении это не играет никакой роли. Остальные колонки предусмотрены для удобства анализа; входящие в них числа находятся путем элементарного расчета. В колонке C представлено условное время прихода покупателя, в колонке D - момент начала обслуживания, E момент конца обслуживания, F - длительность времени, проведенного покупателем в магазине в целом, G - в очереди в ожидании обслуживания, H - время, проведенное продавцом в
ожидании покупателя (магазин пуст). Таблицу удобно заполнять по горизонтали, переходя
от строчки к строчке. Приведем для удобства соответствующие формулы (в них i = 1, 2, 3,
...):
- так как начало обслуживания очередного покупателя определяется либо временем его прихода, если магазин пуст, либо временем ухода предыдущего покупателя;
N
1
2
3
4
5
A
0
2
10
1
6
B
4
1
5
2
3
C
0
2
12
13
19
D
0
4
12
17
19
E
4
5
17
19
22
F
4
3
5
6
3
G
0
2
0
4
0
H
0
0
7
0
0
Табл 1. Моделирование очереди
Таким образом, при данных случайных наборах чисел в колонках A и B и покупателям приходилось стоять в очереди (колонка G), и продавцу - в ожидании покупателя (колонка H).
При моделировании систем такого вида возникают следующие вопросы. Какое среднее время приходится стоять в очереди к прилавку? Чтобы ответить на него, следует найти
35
в некоторой серии испытаний. Аналогично можно найти среднее значение величины h. Конечно, эти выборочные средние сами по себе - случайные величины; в другой выборке того
же объема они будут иметь другие значения (при больших объемах выборки, не слишком
отличающиеся друг от друга). Доверительные интервалы, в которых находятся точные средние значения (т.е. математические ожидания соответствующих случайных величин) при заданных доверительных вероятностях находятся методами математической статистики.
Сложнее ответить на вопрос, каково распределение случайных величин G и H при заданных
распределениях случайных величин A и B. Допустим, в простейшем моделировании мы примем гипотезу о равновероятных распределениях величин A и B - скажем, для A в диапазоне
от 0 до 10 минут и B - от 0 до 5 минут. Для построения методом статистических испытаний
распределений величин G и H поступим так: найдем в достаточно длинной серии испытаний
(реально - в десятках тысяч, что на компьютере делается достаточно быстро) значения gmax
(для H все делается аналогично) и разделим промежуток [0, gmax] на m равных частей - скажем, вначале на 10 - так, чтобы в каждую часть попало много значений gi. Разделив число
попаданий nk в каждую из частей на общее число испытаний n, получим набор чисел
Построенные по ним гистограммы дают представление о функциях плотностей вероятности
соответствующих распределений. По гистограмме можно составить представление о функции плотности распределения соответствующей случайной величины. Для проверки же гипотезы о принадлежности такого эмпирически найденного распределения тому или иному
конкретному виду служат известные статистические критерии.
Располагая функцией распределения (пусть даже эмпирической, но достаточно надежной),
можно ответить на любой вопрос о характере процесса ожидания в очереди. Например: какова вероятность прождать дольше m минут? Ответ будет получен, если найти отношение
площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения, прямой x = m и y = 0, к площади всей фигуры.
Программа моделирование очереди позволяет моделировать описанный выше процесс. На выходе она дает средние значения и дисперсии случайных величин g и h, полученные по выборке, максимальный объем которой порядка 10000 (ограничение связано с малой
допустимой длиной массива в PASCALе; чтобы его смягчить, использовано динамическое
описание массивов g и h). Кроме того, программа строит гистограммы распределений величин g и h.
4.4 Основные понятия и категории
В технологии компьютерного моделирования можно выделить следующие основные понятия.
Модель - искусственно созданный объект, который воспроизводит в определенном виде реальный объект - оригинал.
36
Компьютерная модель - представление информации о моделируемой системе средствами
компьютера.
Система - совокупность взаимосвязанных элементов, обладающих свойствами, отличными
от свойств отдельных элементов.
Элемент - это объект, обладающий свойствами, важными для целей моделирования. В компьютерной модели свойства элемента представляются величинами - характеристиками элемента.
Связь между элементами описывается с помощью величин и алгоритмов, в частности вычислительных формул.
Состояние системы представляется в компьютерной модели набором характеристик элементов и связей между элементами. Структура данных, описывающих состояние, не зависит
от конкретного состояния и не меняется при смене состояний, меняется только значение характеристик.
Если состояния системы функционально зависят от некоторого параметра, то процессом
называют набор состояний, соответствующий упорядоченному изменению параметра. Параметры в системе могут меняться как непрерывно, так и дискретно. В компьютерной модели
изменение параметра всегда дискретно. Непрерывные процессы можно моделировать на
компьютере, выбирая дискретную серию значений параметра так, чтобы последовательные
состояния мало чем отличались друг от друга, или, другими словами, минимизируя шаг по
времени.
В свете введенных определений можно дать более строгие определения некоторым классам
моделей.
Статистические модели - модели, в которых предоставлена информация об одном состоянии системы.
Динамические модели - модели, в которых предоставлена информация о состояниях системы
и процессах смены состояний. Оптимизационные, имитационные и вероятностные модели
являются динамическими моделями.
В оптимизационных и имитационных моделях последовательность смены состояний соответствует изменению моделируемой системы во времени. В вероятностных моделях смена
состояний определяется случайными величинами.
37
4.5 Список литературы
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976.
2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание, 1991.
3. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М., Мир, 1990.
4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. М., Академия, 2000.
5. Пак Н.И. Компьютерное моделирование в примерах и задачах. Красноярск, 1994.
6. Савин Г.И. Системное моделирование сложных процессов. М., Фазис, 2000.
7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., Мир, 1978.
8. Марусева И.В. Компьютерные игры (элементы теории) - СПб: Образование, РГПУ им.Герцена, 1992.
9. Е.В. Шикин, А.В. Боресков, А.А. Зайцев. Начала компьютерной графики - М: Диалог-МИФИ, 1993.
10. Александров В.В., Шнейдеров В.С. Рисунок, чертеж, картина на ЭВМ - СПб: Машиностроение, 1988.
11. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М: Радио и связь, 1989.
12. Липатов Е.П. Теория графов и ее применения. - М: Знание, Математика и кибернетика, 1986.
13. Бухарев Р.Г. Вероятностные автоматы и процессоры. - М: Знание, Математика и киберненика, 1986.
14. Гисин В.Б. Элементы компьютерного моделирования. Пилотные школы. ПМК. N4. КУДИЦ. - М: 1992.
15. Компьютеры и нелинейные явления. Под ред. А.А. Самарского. - М: Наука, 1988.
16. Персональный компьютер в играх и задачах. Под ред. И.И. Макарова. - М: Наука, 1988.
17. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Под ред. А.А. Самарского. - М: Наука, 1988.
18. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М: Мирос, КПУ "Марта", 1992.
19. Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. - Минск, 1982.
20. Пак Н.И., Рогов В.В. Практика работы на Турбо-паскале. - Красноярск: КГПИ, 1992.
21. Пак Н.И., Рогов В.В. Графика в Турбо-паскале 5.5. - Красноярск: КГПИ, 1993.
22. Пак Н.И. Использование технологии компьютерного моделирования в образовании. - М: Педагогическая
информатика, 1994.
5 ПРОГРАММА ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ),
ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ
5.1 Тематический план практических (семинарских) занятий, лабораторных
занятий
№№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
Темы практических занятий
2
Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные
с компьютерным моделированием
Моделирование случайных процессов
Имитационное моделирование
Моделирование физических процессов
Моделирование в экономике
Моделирование в биологии и экологии
38
Кол-во
часов
3
4
6
6
8
8
6
5.2 Номер и наименование темы в соответствии с тематическим планом практических (семинарских) занятий, лабораторных занятий
1. Моделирование как метод познания, основные понятия, связанные с компьютерным моделированием.
Компьютерное моделирование как метод научного познания. Классификация моделей. Основные понятия. Этапы компьютерного моделирования.
2. Моделирование случайных процессов.
Понятие случайных событий. Вычисление площадей методом Монте-Карло. Задача Бюффона. Модели случайных и хаотических блужданий.
3. Имитационное моделирование.
Применение. Игра "Жизнь". Динамические модели популяций.
4. Моделирование физических процессов.
Детерминированные модели. Моделирование свободного падения тела. Модель движения
тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнения матфизики. Классификация уравнений
матфизики. Моделирование процесса теплопроводности.
5. Экологические модели.
Экология и моделирование. Модели внутривидовой конкуренции. Динамика численности
популяций хищника и жертвы.
6. Моделирование экономических процессов.
Моделирование в системах массового обслуживания. Очередь к одному "продавцу"
5.3 План темы (вопросы для подготовки)
1. Детерминированное моделирование








Построить модель движения тела по наклонной плоскости.
Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту в трехмерном пространстве.
Модель колебания маятника в среде с сопротивлением.
Модель вращающегося маятника.
Построить тепловую модель погреба в условиях Сибирского региона.
Построить модель вхождения тела в атмосферу Земли.
Построить имитационную модель опыта Резерфорда по исследованию строения атома.
Построить динамическую модель Солнечной системы для моделирования лунных и
солнечных затмений на Земле.
Построить модель запуска космического аппарата с Земли на спутник (в системе трех
тел).




2. Вероятностное моделирование
Разработать модель перемешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде и провести
моделирование с целью изучения закономерностей процесса (зависимость ширины
зоны диффузии от количества частиц в газах, их скорости, длины свободного пробега).
Разработать модель поведения газа в плоском канале с поршнем. Рассмотреть случаи
вдвижения и выдвижения поршня в замкнутом канале. Изучить поведение ударной
волны в зависимости от параметров газа (количества частиц, их скорости, длины свободного пробега).
Разработать модель истечения газа из трубы.
Разработать модель "пчелиного роя".
39
Разработать модель случайного блуждания точки в заданном лабиринте.
3. Экологическое моделирование

Модель загрязнения воды.
Модель глобального потепления.
4. Имитационные моделирование
Компьютерная рулетка.
Игра "Лото".
Игра "Домино".
Игра "Реверси".
"Разработать графическую модель распространения звука в замкнутом пространстве, учитывая тип поверхности стен и их расположение".
5. Экономическое моделирование




Разработать модель формирования очереди на стоянке такси.
Разработать модель автобусного маршрута с n остановками.
Разработать модель работы продовольственного магазина.
Разработать модель автозаправочной станции.
5.4 Основные понятия и категории
5.5 Список литературы
40
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976.
2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание, 1991.
3. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М., Мир, 1990.
4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. М., Академия, 2000.
5. Пак Н.И. Компьютерное моделирование в примерах и задачах. Красноярск, 1994.
6. Савин Г.И. Системное моделирование сложных процессов. М., Фазис, 2000.
7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., Мир, 1978.
8. Марусева И.В. Компьютерные игры (элементы теории) - СПб: Образование, РГПУ им.Герцена, 1992.
9. Е.В. Шикин, А.В. Боресков, А.А. Зайцев. Начала компьютерной графики - М: Диалог-МИФИ, 1993.
10. Александров В.В., Шнейдеров В.С. Рисунок, чертеж, картина на ЭВМ - СПб: Машиностроение, 1988.
11. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М: Радио и связь, 1989.
12. Липатов Е.П. Теория графов и ее применения. - М: Знание, Математика и кибернетика, 1986.
13. Бухарев Р.Г. Вероятностные автоматы и процессоры. - М: Знание, Математика и киберненика, 1986.
14. Гисин В.Б. Элементы компьютерного моделирования. Пилотные школы. ПМК. N4. КУДИЦ. - М: 1992.
15. Компьютеры и нелинейные явления. Под ред. А.А. Самарского. - М: Наука, 1988.
16. Персональный компьютер в играх и задачах. Под ред. И.И. Макарова. - М: Наука, 1988.
17. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Под ред. А.А. Самарского. - М: Наука, 1988.
18. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М: Мирос, КПУ "Марта", 1992.
19. Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. - Минск, 1982.
20. Пак Н.И., Рогов В.В. Практика работы на Турбо-паскале. - Красноярск: КГПИ, 1992.
21. Пак Н.И., Рогов В.В. Графика в Турбо-паскале 5.5. - Красноярск: КГПИ, 1993.
22. Пак Н.И. Использование технологии компьютерного моделирования в образовании. - М: Педагогическая
информатика, 1994.
6 ПРОГРАММА САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
6.1 Тематический план самостоятельной работы
№№
п/п
1
1
2
3
Темы для самостоятельного изучения
2
Выработка и закрепление практических навыков в освоении методологии компьютерного математического моделирования;
Практическая реализация межпредметных связей;
Освоение элементов самостоятельной научноисследовательской работы;
41
Кол-во
часов
3
10
12
12
4
Укрепление навыков программирования при реализации практически значимых задач;
12
Освоение специальных приемов программирования, связанных
с моделированием
6.2 Номер и наименование темы в соответствии с тематическим планом самостоятельной работы
Особенность самостоятельной работы курса «Основы компьютерного моделирования» - отсутствие полных инструкций о ходе выполнения работы и возможность для студента проявить значительную самостоятельность, уточнить (с помощью преподавателя или самостоятельно) постановку задачи, выбрать метод реализации модели, форму представления результатов и т.д. Это придает работам исследовательский характер.
Работы рассчитаны на самостоятельную разработку программ, их отладку и тестирование.
Выбор программного средства - в руках преподавателей и студентов. Им может быть электронная таблица (если Вы желаете избежать классического программирования), язык Паскаль с его графическими возможностями, программные средства, ориентированные на реализацию математических расчетов (пакеты "Mathematica", "MathCad" и им подобные), языки
визуального программирования, позволяющие создавать современный пользовательский интерфейс, и т.д. Наилучшее решение - использование каждым студентом в ходе реализации
практикума нескольких программных средств.
Выполнение работ данного раздела опирается на математический аппарат, входящий в стандартный курс "Численные методы". Задачей студента является выбор адекватного метода
(здесь вполне уместно использование библиотеки стандартных математических программ) и
получение достоверного результата с контролем его точности.
Первостепенную важность при выполнении работ по моделированию имеет форма представления результатов. До начала выполнения каждой работы необходимо спроектировать (возможно, с помощью преподавателя) интерфейс пользователя моделирующей программы.
Идеальным является наличие нескольких видов отображения результатов моделирования:
численного, табличного, графического, динамического, звукового сопровождения и т.д. Некоторые требования по форме представления результатов указаны в инструкциях к работам.
Эти требования могут быть дополнены и конкретизированы преподавателями, проводящими
занятия, остальное - на усмотрение студентов.
В приведенной ниже таблице указана примерная трудоемкость каждой работы. Оценка исходит из того, что студенты:




предварительно подготовились к выполнению работы, освоили соответствующий
теоретический материал;
имеют практически завершенную математическую модель процесса;
достаточно свободно владеют математическими методами, необходимыми для выполнения данной работы;
имеют устойчивые навыки программирования и/или использования необходимых для
выполнения данной работы программных средств.

42
№ рабоНазвание работы
ты
1
Моделирование движения тел в среде с учетом трения
Моделирование движения небесных тел и заряженных
2
частиц
3
Моделирование колебательных процессов
Моделирование физических процессов в приближении
4
сплошной среды
5
Моделирование динамики численности популяций
Моделирование очередей в системах массового обслу6
живания
7
Моделирование различных случайных процессов
Расчетная трудоемкость,
часов
Итого:
2
6
6
8
6
6
4
46
6.3 План темы (вопросы для изучения)
1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и
их конкретные числовые значения.
2. Если моделирование будет производится в безразмерных переменных (решение - на
усмотрение студента и преподавателя), то произвести обезразмеривание и найти
набор значений безразмерных параметров.
3. Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая
особое внимание на формы представления результатов.
4. Выбрать метод интегрирования системы дифференциальных уравнений модели,
найти или разработать программу интегрирования с заданной точностью.
5. Произвести отладку и тестирование полной программы.
6. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
7. Качественно проанализировать результаты моделирования.
8. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
 титульный лист (название работы, исполнитель, группа и т.д.);
 постановку задачи и описание модели;
 результаты тестирования программы;
 результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);
качественный анализ результатов.
o
o
o
o
o
o
Лабораторная1 - Моделирование движения тел в среде с учетом трения
Лабораторная2 - Моделирование движения небесных тел и заряженных частиц
Лабораторная3 - Моделирование колебательных процессов
Лабораторная4 - Моделирование физических процессов в приближении сплошной
среды
Лабораторная5 - Моделирование динамики численности популяций
Лабораторная6 - Моделирование очередей в системах массового обслуживания
Лабораторная7 - Моделирование различных случайных процессов
6.4 Основные понятия и категории
43
6.5 Виды самостоятельной работы
При проведении лабораторных работ по компьютерному математическому моделированию
можно опираться на различные виды программного обеспечения.
1. Трансляторы с языков высокого уровня.
Соответствующий способ проведения занятий ориентирован на активно программирующих студентов и позволяет, наряду с отработкой навыков моделирования, углубить программистскую подготовку. Недостаток этого способа - относительно высокая
трудоемкость, особенно если речь идет об оформлении диалогового интерфейса,
адекватного современным требованиям, предъявляемым к прикладным программам.
Этот недостаток может быть устранен если наряду с языком (типа Паскаль) использовать современные средства визуального программирования (типа Delphi).
2. Офисные пакеты (текстовый редактор и электронные таблицы).
С помощью электронных таблиц (ЭТ) можно произвести моделирование большей части процессов, описанных в данной главе. Текстовый редактор позволит сделать отчет, в который программы, составленные с помощью ЭТ, и результаты моделирования (численные и графические), войдут органично. Недостаток этого способа - не всегда удобно реализовывать достаточно сложные вычислительные алгоритмы в ЭТ.
3. Специальные пакеты для решения математических задач.
Программы типа "MathCad", "Mathematica" и им подобные позволяют обойти трудность, связанную с программированием математических алгоритмов и (частично) с
представлением результатов моделирования. Это является одновременно и недостатком, так как снижает образовательный эффект от занятий.
4. Специальные пакеты для моделирования соответствующих типов процессов.
К примеру, созданная в ПГПУ среда Model Designer позволяет моделировать процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (скрывая детали
их решения), и отображать результаты моделирования в табличной и графической
формах. Подобный способ - самый простой, но высказанное в предыдущем пункте
замечание применимо к нему в еще большей мере.
В любом случае работы рассчитаны на самостоятельное выполнение студентами,
включая разработку программ, их отладку и тестирование. Выбор программного средства - в
руках преподавателей и студентов. Наилучшее решение - использование каждым студентом
в ходе реализации практикума нескольких программных
6.6 Формы контроля
Проверка результатов контрольных и лабораторных работ. Тестирование в локальной
информационной сети. Устный опрос студентов. Проведение экзамена.
6.7 Список литературы
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976.
2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание, 1991.
3. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М., Мир, 1990.
4. Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика. М., Академия, 2000.
5. Пак Н.И. Компьютерное моделирование в примерах и задачах. Красноярск, 1994.
6. Савин Г.И. Системное моделирование сложных процессов. М., Фазис, 2000.
7. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М., Мир,
1978.
8. Марусева И.В. Компьютерные игры (элементы теории) - СПб: Образование, РГПУ
им.Герцена, 1992.
44
9. Е.В. Шикин, А.В. Боресков, А.А. Зайцев. Начала компьютерной графики - М: Диалог-МИФИ, 1993.
10. Александров В.В., Шнейдеров В.С. Рисунок, чертеж, картина на ЭВМ - СПб: Машиностроение, 1988.
11. Лебедев А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М: Радио и
связь, 1989.
12. Липатов Е.П. Теория графов и ее применения. - М: Знание, Математика и кибернетика, 1986.
13. Бухарев Р.Г. Вероятностные автоматы и процессоры. - М: Знание, Математика и
киберненика, 1986.
14. Гисин В.Б. Элементы компьютерного моделирования. Пилотные школы. ПМК.
N4. КУДИЦ. - М: 1992.
15. Компьютеры и нелинейные явления. Под ред. А.А. Самарского. - М: Наука, 1988.
16. Персональный компьютер в играх и задачах. Под ред. И.И. Макарова. - М: Наука,
1988.
17. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Под ред. А.А. Самарского. М: Наука, 1988.
18. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. - М: Мирос, КПУ "Марта",
1992.
19. Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск, 1982.
20. Пак Н.И., Рогов В.В. Практика работы на Турбо-паскале. - Красноярск: КГПИ,
1992.
21. Пак Н.И., Рогов В.В. Графика в Турбо-паскале 5.5. - Красноярск: КГПИ, 1993.
22. Пак Н.И. Использование технологии компьютерного моделирования в образовании. - М: Педагогическая информатика, 1994.
7 ТЕМАТИКА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7.1 Контрольных работ
Виды трения. Трение покоя и трение движения. Зависимость силы трения от условий движения.
Движение небесных тел. Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.
Закон Кулона. Единицы измерения электрических величин. Характеристики электрического поля.
Маятники различных видов. Свободные, вынужденные и параметрические колебания.
Спектральный анализ периодических процессов.
Колебания пружинного маятника.
Колебания крутильного маятника.
7.2 Эссе, рефератов
1. Моделирование процессов тепломассопереноса в приближении сплошной среды.
2. Описание процесса диффузии.
3. Моделирование процесса распространения упругих волн в твердом теле.
4. Моделирование простых течений жидкости.
5. Задачи классической экологии и математическое моделирование.
6. Математическое моделирование процессов распространения загрязнений окружающей среды.
7. Принципы компьютерной генерации последовательностей случайных чисел и статистические критерии определения свойств последовательностей.
45
Методы статистической обработки результатов, полученных при компьютерном
моделировании случайных процессов.
8.
7.3 Курсовых работ (проектов)
Не предусмотрено учебным планом.
8 КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ
Контроль знаний проводится в виде опроса студентов по следующим вопросам:
Вариант 1
9. Каковы альтернативные формы записи второго закона Ньютона?
10. Как связаны сила трения при движении тела в среде со скоростью движения при
относительно небольших (дозвуковых) скоростях?
11. Как (качественно) меняется сила трения со скоростью при околозвуковых скоростях движения?
12. При каких значениях скорости становятся равными линейная и квадратичная составляющие силы сопротивления при падении шарика диаметром 5 см
а) в воде?
б) керосине?
в) в глицерине?
Вариант 2
1. Как формулируется закон всемирного тяготения?
2. Как формулируется закон Кулона?
Вариант 3
1. Как выглядят математические модели следующих движений:
 колебаний математического маятника без трения?
 малых колебаний математического маятника без трения?
 колебаний математического маятника с трением?
 вынужденных колебаний математического маятника?
 параметрически возбуждаемых колебаний математического маятника?
2. Как качественно влияет наличие трения на вид колебаний? Являются ли соответствующие
колебания гармоническими?
3. В чем заключается процедура Фурье-анализа периодических процессов?
Вариант 4
1. Какие примеры сплошных сред и проистекающих в них процессов Вам известны?
2. Как построить на экране компьютера пространственное распределение электрического
поля?
3. Как выглядит уравнение теплопроводности в общем случае? Как к нему ставить начальные и граничные условия?
4. Как построить пятиточечную аппроксимацию первой и второй производной на одномерной сетке?
Вариант 5
1. В чем состоит предмет исследований классической экологии?
2. В чем сущность процессов:
 внутривидовой конкуренции?
 межвидовой конкуренции?
 отношений «хищник-жертва»?
46
3.
4.
Каковы цели математического моделирования в экологии?
В чем отличие приемов моделирования популяций с непрерывным и дискретным размножением?
Вариант 6
1. Что такое «случайный процесс»?
2. Каковы принципы компьютерного генерирования равномерно распределенных случайных
чисел?
3. Как можно получить последовательность случайных чисел с пуассоновским законом распределения?
4. Что такое «система массового обслуживания»? Приведите примеры.
5. В чем заключается метод Монте-Карло вычисления площадей плоских фигур? Объемов
тел?
6. Какие примеры случайных процессов Вы можете привести?
9 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ
Список литературы
Основная литература
1. Могилёв А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. ву-зов /
Под ред. Е.К. Хеннера. — М., Academia, 2004.
2. Сборник задач по программированию. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун-т. — Пермь,
2001. (Ч. I — 76 с.; Ч. II (Олимпиадные задачи) — 112 с.)
3. Семакин И.Г., Шестаков А.П. Основы программирования: Учебник. — М.: Мастерство,
НМЦ СПО; Высшая школа, 2004. — 432 с.
Дополнительная литература
1. Абрамов С.А. и др. Задачи по программированию. — М.: Наука, 1988.
2. Алексеев В.Е. и др. Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию. — М.: ВШ, 1991.
3. Бондарев В.М., Рублинецкий В.И., Качко Е.Г. Основы программирования. — Харьков:
Фолио, Ростов н/Д: Феникс, 1997. — 368 с.
4. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. — М.: Мир, 1989.
5. Вирт Н. Алгоритмы + структура данных = программы. — М.: Мир, 1985.
6. Гладков В.П. Конспект лекций по программированию для начинающих: Учеб. пособие /
Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь, 1998. — 217 с.
7. Гладков В.П. Курс лабораторных работ по программированию: Учебное пособие для специальностей электротехнического факультета ПГТУ / Перм. гос. техн. ун-т. — Пермь,
1998. — 153 с.
8. В.П. Гладков, А.П. Шестаков. Вопросы, задания и контрольные работы для начинающих
программистов (материалы к уроку). //Информатика, 2001, № 20(309). — с. 10-13; №№
33-35, 37-38, 40.
47
9. В.П. Гладков, А.П. Шестаков. Вопросы, задания и контрольные работы для начинающих
программистов (избранные темы). //Информатика, 2003, №№ 27-28 (412-413) — 64 с.
10. Грызлов В.И., Грызлова Т.П. Турбо Паскаль 7.0. — М.: ДМК, 1998. — 400 с.
11. Дайтибегов Д.М., Черноусов Е.А. Основы алгоритмизации и алгоритмические языки. —
М.: ФиС, 1992.
12. Джонс Ж., Харроу К. Решение задач в системе Turbo Pascal. — М.: ФиС, 1991.
13. Дмитриева М.В., Кубенский А.А. Элементы современного программирования. — СПб:
изд-во С.-П. университета, 1991.
14. Зуев Е.А. Практическое программирование на языке Turbo Pascal 6.0, 7.0. — М.: Радио и
связь, 1994.
15. Зубов В.С. Программирование на языке Turbo Pascal (версии 6.0 и 7.0). — М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1997. — 320 с.
16. Есаян А.Р. и др. Информатика. — М.: Просвещение, 1991.
17. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Под ред. И. Семакина, Е. Хеннера. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999.
18. Культин Н.Б. Программирование в Turbo Pascal и Delphi. — СПб.: BHV — СанктПетербург, 1998. — 240 с.
19. Ляхович В.Ф. Руководство к решению задач по основам информатики и вычислительной
техники. — М.: ВШ, 1994.
20. Марченко А.И., Марченко Л.А. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0. / Под ред.
Тарасенко В.П. — К,: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. — 496 с.
21. Могилёв А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учеб. пособие для студ. пед. вузов /
Под ред. Е.К. Хеннера. — М., Academia, 1999.
22. Окулов С.М. Основы программирования. — М.: ЮНИМЕДИАСТАЙЛ, 2002. — 424 с.
23. Пильщиков В.Н. Сборник упражнений по языку Pascal. — М.: Наука, 1989.
24. Попов В.Б. Турбо-Паскаль для школьников. М.: ФиС, 1999. — 528 с.
25. Сборник задач по программированию. / Авт.-сост. А.П. Шестаков; Перм. ун т. — Пермь,
1999. (Ч. I — 76 с.; Ч. II (Олимпиадные задачи) — 112 с.)
26. Семакин И.Г., Шестаков А.П. Лекции по программированию. — Пермь, изд-во ПГУ,
1998.
27. Семакин И.Г., Шестаков А.П. Основы алгоритмизации и программирования: Учебник для
сред. проф. образования / И.Г. Семакин, А.П. Шестаков. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 400 с. (Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации)
28. Сергиевский М.В., Шалашов А.В. Turbo Pascal 7.0. — М.: Машиностроение, 1994.
29. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. — М.: "Нолидж",
1997. — 616 с.
30. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Практика программирования. Учебное пособие. — М.:
"Нолидж", 1997. — 432 с.
31. Фролов Г.Д., Кузнецов Э.И. Элементы информатики. — М.: ВШ, 1989.
32. Шень А. Программирование: теоремы и задачи. — М.: МЦНМО, 1995.
Список авторских методических разработок
1.
Косов А.А. Тренажер по математике. Марийский государственный университет. 2006, компьютерная обучающая программа на CD.
2.
Косов А.А. Тренажер по физике. Марийский государственный университет.
2006, компьютерная обучающая программа на CD.
3.
Косов А.А. Тренажер по дифференциальным уравнениям. Марийский государственный университет. 2006, компьютерная обучающая программа на
CD.
4.
Учебно-методические материалы и тестовые задания на портале
www.vvoi.ru
48
Перечень технических и электронных средств обучения, иллюстрированных материалов, лабораторного оборудования
При освоении дисциплины для выполнения лабораторных работ необходимы персональные компьютеры с набором программного обеспечения: системы программирования
(Turbo Pascal, Delphi, Visual Basic, C++. Visual C++) и пакеты прикладных программ (MatCad,
Mathlab, ANSYS).
УМК по дисциплине в электронном виде находится на сайте www.vvoi.ru и может
быть использован для самостоятельной работы.
Могут быть использованы материалы данного сайта.
Дополнительный набор ссылок на Интернет-ресурсы:














http://citforum.ru
http://delphi.org.ru
http://durus.ru
http://www.rushelp.com
http://www.delphimaster.ru
http://www.codenet.ru/cat/Languages/Delphi
http://rudelphi.info/
http://www.delphikingdom.com
http://www.compdoc.ru
http://www.emanual.ru
http://www.delphisources.ru/
http://www.delphi.int.ru
http://ishodniki.ru
http://delcb.com
49
II МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
Методические указания студентам
Изучение программы курса. На лекциях преподаватель рассматривает вопросы программы
курса, составленной в соответствии с государственным образовательным стандартом. Из-за
недостаточного количества аудиторных часов некоторые темы не удается осветить в полном
объеме, поэтому преподаватель, по своему усмотрению, некоторые вопросы выносит на самостоятельную работу студентов, рекомендуя ту или иную литературу.
Кроме этого, для лучшего освоения материала и систематизации знаний по дисциплине,
необходимо постоянно разбирать материалы лекций по конспектам и учебным пособиям. В
случае необходимости обращаться к преподавателю за консультацией. Полный список литературы по дисциплине приведен в пункте «Учебно-методическое обеспечение дисциплины».
В целом, на один час аудиторных занятий отводится один час самостоятельной работы.
Контрольные работы. После изучения некоторых разделов практической части курса «Основы компьютерного моделирования» проводятся контрольные аудиторные работы. Для
успешного их написания необходима определенная подготовка. Готовиться к контрольным
работам нужно по материалам лекций и рекомендованной литературы. Обычно, контрольная
работа имеет 4-6 вариантов.
Лабораторные работы. При изучении курса ««Основы компьютерного моделирования»»
необходимо выполнять и вовремя сдавать преподавателю индивидуальные лабораторные работы.
Коллоквиум — это устный теоретический опрос. Он проводится в середине семестра с целью проверки понимания и усвоения теоретического и практического материала курса, а
также для проверки самостоятельной работы студентов по вопросам программы курса.
При подготовке к коллоквиуму ориентируйтесь на лекции и рекомендованную основную литературу. Дополнительная литература также может помочь при подготовке к теоретическому
опросу.
Методические рекомендации преподавателю
1. Согласно существующему государственному образовательному стандарту специальности
и других нормативных документов целесообразно разработать матрицу наиболее предпочтительных методов обучения и форм самостоятельной работы студентов, адекватных
видам лекционных и лабораторных занятий.
2. Необходимо предусмотреть развитие форм самостоятельной работы, выводя студентов к
завершению изучения учебной дисциплины на её высший уровень.
3. Пакет заданий для самостоятельной работы следует выдавать в начале семестра, определив предельные сроки их выполнения и сдачи.
4. Организуя самостоятельную работу, необходимо постоянно обучать студентов методам
такой работы.
5. Вузовская лекция — главное звено дидактического цикла обучения. Её цель — формирование у студентов ориентировочной основы для последующего усвоения материала методом самостоятельной работы. Содержание лекции должно отвечать следующим дидактическим требованиям:
50
o
o
o
o
o
изложение материала от простого к сложному, от известного к неизвестному;
логичность, четкость и ясность в изложении материала;
возможность проблемного изложения, дискуссии, диалога с целью активизации деятельности студентов;
опора смысловой части лекции на подлинные факты, события, явления, статистические данные;
тесная связь теоретических положений и выводов с практикой и будущей профессиональной деятельностью студентов.
Преподаватель, читающий лекционные курсы в вузе, должен знать существующие в педагогической науке и используемые на практике варианты лекций, их дидактические и воспитывающие возможности, а также их методическое место в структуре процесса обучения.
6. Лабораторные работы сопровождают и поддерживают лекционный курс.
7. При проведении промежуточной и итоговой аттестации студентов важно всегда помнить,
что систематичность, объективность, аргументированность — главные принципы, на которых основаны контроль и оценка знаний студентов. Проверка, контроль и оценка знаний студента, требуют учета его индивидуального стиля в осуществлении учебной деятельности. Знание критериев оценки знаний обязательно для преподавателя и студента.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
III УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Косов А.А. Тренажер по математике. Марийский государственный университет. 2006, компьютерная обучающая программа на CD.
Косов А.А. Тренажер по физике. Марийский государственный университет.
2006, компьютерная обучающая программа на CD.
Косов А.А. Тренажер по дифференциальным уравнениям. Марийский государственный университет. 2006, компьютерная обучающая программа на
CD.
Компьютерная обучающая программа QUANT (см. www.vvoi.ru).
Учебно-методические материалы и тестовые задания на портале
www.vvoi.ru
Рекомендованная литература по квантовой теории (см. пункт 9).
IV МАТЕРИАЛЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ
Варианты (движение тел в среде с учетом трения)
Вариант 1.
Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте
(или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления
безопасную скорость (не большую 10 м/с)?
Вариант 2.
Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта, чтобы
скорость приземления была безопасной?
Вариант 3.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных
вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения
51
должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно
было пренебрегать.
Вариант 4.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных
плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно велика, чтобы линейной составляющей силы сопротивления
можно было пренебрегать (на большей части пути).
Вариант 5.
Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» вертикально вверх
с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют и он плавно
спускается в точку старта.
Вариант 6.
Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» вертикально вверх
с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют и он плавно спускается на землю.
Вариант 7.
Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего
неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой
произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 8.
Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего
неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 9.
Провести моделирование взлета ракеты при значениях параметров m0 = 2 . 107 кг, mкон = 2 .
105 кг,  = 2 . 105 кг/c, Fтяги = 4. 108 н. Ответить на вопрос: достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космической скорости 7,8 км/с?
Вариант 10.
Провести исследование соотношения входных параметров m0 и Fтяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответствующий момент исчерпает горючее).
Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в переменных (m0, Fтяги).
Вариант 11.
Разработать и исследовать усовершенствованную модель взлета ракеты, приняв во внимание,
что реальные космические ракеты обычно двух- трехступенчатые, и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.
Вариант 12.
Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем
небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке
траектории двигатель выключается, над зондом раскрывается парашют и он плавно спускается в точку старта.
52
Вариант 13.
Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем
небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с летящего над землей самолета.
В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют и он плавно спускается на
землю.
Вариант 14.
Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв через
заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической,
полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 15.
Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на
заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 16.
Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий
вертикально над ней надводный корабль. Исследовать связь между временем поражения цели формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 17.
Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вертикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45 о к горизонту с начальной скоростью 10 м/с
1) в воздухе;
2) в воде.
Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически).
Вариант 18.
Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов.
Вариант 19.
Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом  подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше ее надо целиться, чтобы гарпун попал в
цель?
Вариант 20.
Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется.
Вариант 21.
Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом раскрывается тормозной парашют и он плавно движется до земли.
53
Вариант 22.
Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет
взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 23.
Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на
заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать
связь между временем достижения заданной глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 24.
Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного корабля. Пуск торпеды производится в момент
прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели и расстоянием, который корабль успеет пройти по горизонтали.
Дополнительная литература
(движение тел в среде с учетом трения)
Архангельский М.М. Курс физики. Механика. — М.: Просвещение, 1975.
Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т.1,2. —
М.: Мир, 1990.
3. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 томах. Т.1. — М., Наука, 1977.
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 томах. Т.1. — М.: Наука, 1974.
5. Стрелков С.П. Механика. — М.: Наука, 1975.
6. Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1976.
1.
2.
7.
Варианты (движение небесных тел в и заряженных частиц)
Вариант 1.
Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1,50.1011 м  расстояние от Земли до
Солнца) скорость v=10 км/с и направлена под углом  = 30о к оси «комета-Солнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если да, то сколько длится для нее период полета?
Вариант 2.
В условиях предыдущей задачи подобрать то значение угла , при котором траектория из
незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v фиксирована).
Вариант 3.
В условиях задачи из варианта 1 подобрать то значение скорости v, при котором траектория
из незамкнутой превращается в замкнутую (угол  фиксирован).
Вариант 4.
54
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 5.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 6.
Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в
направлении, противоположном движению станции, по касательной к ее орбите.
Вариант 7.
Промоделировать траекторию движения малого космического аппарата, запускаемого с борта космической станции, относительно Земли. Запуск осуществляется путем толчка в
направлении, перпендикулярном плоскости орбиты движения станции.
Вариант 8.
Как будет выглядеть полет искусственного спутника Земли, если учесть возмущающее действие Луны?
Вариант 9.
Разработать и реализовать модель движения искусственного спутника Земли при учете воздействия на него малой постоянной силы, обусловленной «солнечным ветром». Считать, что
плоскость орбиты движения спутника изначально перпендикулярна «солнечному ветру».
Вариант 10.
Считая, что движение Луны вокруг Земли происходит практически по круговой орбите, проанализировать воздействие на эту орбиту со стороны Солнца для малого участка движения,
на котором плоскость орбиты перпендикулярна оси «Солнце-Земля».
Вариант 11.
Проанализировать особенности движения искусственного спутника Земли, движущегося по
практически круговой орбите на высоте порядка 300 км, связанные с малым сопротивлением атмосферы.
Вариант 12.
Проанализировать изменение круговой орбиты астероида, движущегося вокруг Солнца, под
влиянием вулканического выброса с его поверхности.
Вариант 13.
Найти траекторию движения тела массой 1 г., несущего заряд величиной q=1.102 к, в поле
заряда величиной Q = 5 .102 к. Начальное расстояние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 1.101 м/с и направлена под углом 30о к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов одного знака.
Вариант 14.
В условиях предыдущей задачи провести моделирование для случая зарядов разных знаков.
Вариант 15.
Разработать модель движения практически невесомой заряженной частицы в электрическом
поле, созданном системой нескольких фиксированных в пространстве заряженных тел, в
55
случае, когда заряженные тела находятся в одной плоскости и в ней же находится движущаяся частица.
Вариант 16.
То же, что и в предыдущем варианте, но частица находится вне плоскости расположения зарядов; ее начальная скорость перпендикулярна этой плоскости.
Вариант 17.
Имеется неподвижная заряженная частица с зарядом Q и экран (см. рис.7.2). В точке А экрана находится мишень. При каких соотношениях величины начальной скорости v0 движущейся частицы (заряд q) и угла прицеливания  она попадет в мишень? Расстояния обозначены на рисунке. Заряды частиц  разных знаков.
А
v0
d

q
Q
a
c
Рис. 7.2. К задаче варианта 17
Вариант 18.
То же условие, что и предыдущей задаче, но расположение частиц и экрана соответствует
приведенному ниже рисунку; заряды частиц имеют одинаковые знаки.
v0
A
d

q
c
Q
a
Рис. 7.3. К задаче варианта 18
Вариант 19.
Промоделировать движение заряженной частицы между пластинами плоского конденсатора.
Поле конденсатора считать однородным, начальная скорость частицы направлена параллельно пластинам. Частицу считать практически невесомой.
Вариант 20.
Промоделировать движение легкого (практически невесомого) заряженного тела сферической формы между горизонтальными пластинами плоского конденсатора с учетом сопротивления воздуха, находящегося между пластинами.
Вариант 21.
56
Легкая заряженная частица падает вертикально вниз (под влиянием силы тяжести) на одноименно заряженную пластину (начальная скорость обеспечивает движение вниз независимо
от соотношения силы тяжести и силы электростатического отталкивания). Промоделировать
движение частицы, считая поле, созданное пластиной, однородным.
Вариант 22.
Легкая заряженная частица влетает в однородное поле, созданное горизонтально расположенными пластинами конденсатора. Промоделировать ее траекторию, учитывая силу тяжести и электростатическую силу.
Вариант 23.
То же, что и в предыдущем варианте, но пластины конденсатора расположены вертикально.
Вариант 24.
То же, что и в варианте 22, то пластины конденсатора расположены наклонно.
Дополнительная литература
(движение небесных тел в и заряженных частиц)
1. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер.с англ. Т.1,2. —
М.: Мир, 1990.
2. Калашников С.Г. Электричество. — М.: Наука, 1977.
3.
4.
5.
6.
7.
Левантовский В.И. Механика космического полета. М.: Наука, 1970.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 томах. Т.1,35. — М.: Наука, 1974.
Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 томах. Т.1,2. — М., Наука, 1977.
Стрелков С.П. Механика. — М.: Наука, 1975.
Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1976.
Варианты (колебательные процессы)
Вариант 1.
Установить зависимость периода колебаний маятника Т от начальной амплитуды в диапазоне амплитуд  00, . и его отклонение от периода малых колебаний Т0.
Вариант 2.
Установить зависимость периода колебаний маятника Т от длины нити подвеса при амплитуде колебаний равной /2.
Вариант 3.
Ограничиваясь тремя членами ряда Фурье, исследовать зависимость амплитуд гармоник а1,
а2 и а3 от начальной амплитуды колебаний.
Вариант 4.
Ограничиваясь тремя членами ряда Фурье, исследовать зависимость амплитуд гармоник а1,
а2 и а3 от длины нити подвеса при амплитуде колебаний равной /2.
Вариант 5.
57
Заменить в (7.19) sin(i) на i и изучить, как трение влияет на малые колебания математического маятника. Фиксировать параметр l и найти то критическое значение коэффициента
трения *, при котором движение перестает быть колебательным и становится монотонно
затухающим (апериодический режим).
Вариант 6.
В условиях предыдущей задачи построить зависимость * от l при фиксированном значении
*.
Вариант 7.
Изучить, как значение начальной амплитуды не малых колебаний математического маятника
с трением сказывается на переходе режима затухающих колебаний в режим затухания без
колебаний.
Вариант 8.
Построить зависимость амплитуды малых колебаний без трения от частоты вынуждающей
силы  при приближении ее к частоте собственных колебаний  0.
Вариант 9.
Построить зависимость амплитуды не малых колебаний маятника без трения от частоты вынуждающей силы  при приближении ее к частоте собственных колебаний  0.
Вариант 10.
Построить зависимость амплитуды не малых колебаний маятника без трения от амплитуды
вынуждающей силы при ее частоте приблизительно равной половине частоты собственных
колебаний маятника.
Вариант 11.
Получить картину процесса биений в системе с близкими значениями частот  и  0 (в приближении малых колебаний и без наличия трения).
Вариант 12.
Получить картину процесса биений в системе с близкими значениями частот  и  0 (для амплитуды колебаний равной /2 и без наличия трения).
Вариант 13.
Исследовать, как возрастание коэффициента трения влияет на процесс биений в системе с
близкими значениями частот  и  0 (для произвольной амплитуды колебаний).
Вариант 14.
Исследовать колебания маятника с периодически меняющейся длиной нити подвеса. Построить на фазовой плоскости ( / 0, ) границы нескольких зон параметрического резонанса (без учета трения).
Вариант 15.
В условиях задания из предыдущего варианта исследовать влияние трения на границы нескольких зон параметрического резонанса.
Вариант 16.
Построить модель колебаний шарика массы m, висящего на пружинке (пружинного маятника), движущегося под влиянием силы тяжести и упругой силы, без учета трения. Исследовать
58
зависимость периода колебаний маятника от параметра b при фиксированном значении параметров m и a.
Вариант 17.
Для маятника, описанного в предыдущей задаче, исследовать зависимость периода колебаний от массы при фиксированных значениях параметров a и b.
Вариант 18.
Для маятника, описанного в варианте 16, добавить учет сопротивления окружающей среды
(при конечном размере шарика) и исследовать зависимость периода колебаний от вязкости
среды при движении его в воде (значения остальных параметров фиксировать). Найти границу перехода периодического движения в апериодическое.
Вариант 19.
Для маятника, описанного в варианте 16, добавить учет воздействия периодической вынуждающей силы и исследовать зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей
силы при прохождении через резонанс (без учета трения).
Вариант 20.
Построить модель колебаний шарика массы m, лежащего на горизонтальной поверхности,
под действием пружины, создающей упругую силу Fупр =  ax  bx3, где x  смещение из
положения равновесия. Трения не учитывать. Исследовать зависимость периода колебаний
такого маятника от параметра b (при фиксированном значении других параметров).
Вариант 21.
Для маятника, описанного в предыдущем варианте, добавить учет трения шарика о поверхность (сила трения пропорциональна весу шарика) и исследовать зависимость периода колебаний от коэффициента трения. Найти границу перехода периодического движения в апериодическое.
Вариант 22.
Для маятника, описанного в варианте 20, добавить учет наличия вынуждающей периодической силы и исследовать зависимость периода колебаний от амплитуды вынуждающей силы
при ее частоте, равной приблизительно половине частоты собственных колебаний (без учета
трения).
Вариант 23.
Для маятника, описанного в варианте 20, добавить учет наличия вынуждающей периодической силы и исследовать зависимость периода колебаний от частоты вынуждающей силы
при прохождении через резонанс (без учета трения).
Вариант 24.
Исследовать процесс биений для маятника, описанного в варианте 20, в отсутствии трения.
Дополнительная литература
(колебательные процессы)
Мигулин В.В. и др. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1988.
Савельев И.В. Курс общей физики. В 3 томах. Т.1,2. — М., Наука, 1977.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 томах. Т.1. — М.: Наука, 1974.
59
Стрелков С.П. Механика. — М.: Наука, 1975.
Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. — М.: Наука, 1964.
Хайкин С.Э. Физические основы механики. — М.: Наука, 1976.
V СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ И ПЕРСОНАЛИЙ
Список справочников и словарей терминов по компьютерному моделированию
1. Физический энциклопедический словарь/ Гл. ред. А.М. Прохоров.- М.: Сов. энциклопедия, 1983.- 998 с. Прил. на СД.
2. Чертов А.Г. Физические величины/ А.Г. Чертов. - М.: Высшая школа, 1990.- 335 с.
3. Физика. Справочник школьника и студента.- М.: Дрофа, 2000.- 337 с.
4. Физические величины. Справочник.- М.: Энергоатомиздат, 1991.- 1232 с.
5. Энциклопедический словарь юного физика. - М.: Педагогика, 1991.- 336 с.
6. Физика. Краткий словарь. - Ростов-на-Дону.: Феникс, 2001.- 409 с.
VI ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА, ИТОГОВОГО
МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ЭКЗАМЕНА
Не предусмотрено учебным планом.
VII ПРОГРАММНОЕ И МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИКИ
Практика по курсу «Основы компьютерного моделирования» учебным планом не
предусмотрена.
60