questions for the exam - (МИИГАиК)

Экзаменационные вопросы по математике
для студентов 1 курса ГФ МГУГиК.
Кафедра высшей математики
Составитель кандидат физико-математических
наук, доцент Емгушева Г.П.
Глава 1. Числовые множества. Функции.
1. Числовые множества. Операции над множествами. Модуль вещественного числа. Числовые
промежутки. Окрестность и проколотая окрестность точки.
2. Функция, ее способы задания. Основные характеристики функции. Определение
последовательности, убывающая и возрастающая последовательности. Ограниченная
последовательность.
3. Сложная и обратная функции. Основные элементарные функции, их графики.
Глава 2. Понятие предела функции.
4. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
6. Основные теоремы о пределах функций. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно
малой функцией.
7. Первый и второй замечательные пределы. Признаки существования пределов.
8. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и теоремы о них.
Глава 3. Непрерывность функции и точки разрыва.
9. Непрерывность функции в точке и в области. Основные свойства непрерывных функций.
10. Классификация точек разрыва функции и графики для них.
Глава 4. Производная функции.
11. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее механический и
геометрический смыслы. Уравнения касательной и нормали к кривой.
12. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Гладкая функция.
Правила дифференцирования.
13. Производная сложной и обратной функций. Таблица производных элементарных функций.
Глава 5. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Производные
высших порядков. Дифференциал функции.
14. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое
дифференцирование.
15. Производные высших порядков. Механический смысл производной второго порядка.
Производные высших порядков функций, заданных неявно и параметрически.
16. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
17. Теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Глава 6. Исследование функций с помощью производных.
18. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций, их геометрические
интерпретации. Правила Лопиталя.
19. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции.
Необходимое и два достаточных условия экстремума, их геометрические интерпретации.
20. Применение второй производной к выпуклости графика функции и точкам перегиба.
Вертикальная и наклонная асимптоты графика функции.
21. Приложение производных к формуле Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для
произвольной функции. Формула Маклорена,
Глава 7. Неопределенный интеграл.
22. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
23. Непосредственное интегрирование и подстановка (замена переменной) в интеграле. Метод
интегрирования по частям и его применение к трем основных типам интеграла.
24. Дробно-рациональная функция. Четыре типа простейших рациональных дробей. Метод
сравнения при разложении правильной рациональной дроби.
25. Интегрирование четырех простейших рациональных дробей. Общее правило интегрирования
рациональных дробей.
26. Интегрирование тригонометрических функций с помощью универсальной и трех простых
m
n
тригонометрических подстановок. Интегралы вида  sin x  cos xdx, m, n  Z .
27. Интегрирование некоторых видов иррациональностей и дифференциального бинома.
Литература.
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Изд-во «АЙРИСпресс».М.2002.
2. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Изд-во «Высшая школа».М.1989.