7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ (ЗАДАЧА 3) Основные понятия и расчетные зависимости

7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ (ЗАДАЧА 3)
Основные понятия и расчетные зависимости
В расчетные формулы для напряжений и перемещений в
зависимости от вида деформирования входят различные геометрические характеристики поперечных сечений стержня. Величины этих характеристик зависят от формы и размеров поперечного
сечения.
Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное
сечение стержня) площадью А, отнесенную к прямоугольной системе координат ОXY (рис.7.1).
Y
х
dA
С
XC
уС
у

YC
0
хС
X
Pис.7.1
Выделим в плоскости фигуры элемент площади dA с координатами х, у и определим основные геометрические характеристики поперечного сечения стержня, как взятые по всей площади
А суммы произведений элементарных площадей dA на их координаты х и у (в соответствующих степенях) в системе координат
ОXY.
Статические моменты сечения относительно осей X и Y
определяются по формулам:
52
Sx 
 ydA;
Sy 
A
 xdA .
(7.1)
A
Осевые моменты инерции сечения равны:
Ix 
 y
2
Iy 
dA;
A
Например, для
(рис.7.2)
 x
2
dA .
(7.2)
A
прямоугольного
поперечного сечения
bh 3
hb 3
.
,
Iy 
12
12
Для круглого поперечного сечения (рис.7.3)
Ix 
Ix  Iy 
(7.3)
d 4
.
64
Y
(7.4)
h
Y
Х
Х
b
d
Pис.7.2
Pис.7.3
Центробежный момент инерции сечения определяется по
формуле
I xy 
 xydA .
(7.5)
A
Полярный момент инерции поперечного сечения вычисляется по соотношению
Ip 
 
A
2
dA 
 x
2

 y 2 dA  I x  I y .
(7.6)
A
53
Для круглого поперечного сечения полярный момент инерции равен
d 4
.
(7.7)
32
Статические моменты измеряются в единицах длины в
третьей степени (например, см3), а осевые, центробежный и полярный моменты инерции – в единицах длины в четвертой степени (см4).
На основании известной из теоретической механики теоремы о моменте равнодействующей можно написать следующие
равенства:
(7.8)
S x  ydA  Ayc ; S y  xdA  Ax c ,
Ip 


A
A
где xc и yc – координаты центра тяжести сечения.
Из (7.8) координаты центра тяжести сечения определяются
по формулам
Sy
S
xc 
,
(7.9)
yc  x .
A
A
Оси, относительно которых статические моменты равны
нулю, называются центральными осями сечения. Из (7.9) следует,
что центральные оси проходят через цент тяжести сечения.
Пусть известны моменты инерции Ix, Iy, Ixy сечения относительно центральных осей X, Y (рис.7.4).
х1
b
Y
х
dA
у
Y1
X
а
у1
О
X1
O1
54
Рис.7.4
Моменты инерции I x , I y , I x1y1 относительно нецен1
1
тральных осей X1, Y1, параллельных осям X и Y и удаленных от
них на расстояния а и b, равны
I x1  I x  a 2 A ,
I y1  I y  b 2 A,
I x1y1  I xy  abA,
(7.10)
При повороте осей координат на произвольный угол  моменты инерции определяются по формулам
I x1  I x cos 2   I xy sin( 2)  I y sin 2 
I y1  I x sin 2   I xy sin( 2)  I y cos 2 ,
(7.11)
Ix  Iy
sin 2  I xy cos 2.
2
Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей не изменяется и
равна полярному моменту инерции Ip
(7.12)
I x1  I y1  I x  I y  I p .
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых
центробежный момент инерции равен нулю и осевые моменты
инерции принимают экстремальные значения (один момент достигает максимального, а другой – минимального значений),
называются главными осями сечения. Осевые моменты инерции
относительно главных осей называются главными моментами
инерции. Из (7.11) следует, что угол α, определяющий положение
главных осей, равен
2I xy
tg 2 
,
(7.13)
Iy  Ix
I x1y1 
а главные моменты инерции находятся по соотношению
I max, min 
Ix  Iy 1

( I x  I y ) 2  4I 2xy .
2
2
(7.14)
55
Порядок расчета
1. Определить положение центра тяжести сечения. Сечение
необходимо разделить на более простые фигуры, для которых известны геометрические характеристики относительно главных
центральных осей. Выписать из таблиц сортамента (см. Приложение 1) размеры и геометрические характеристики этих фигур.
При выписывании из таблиц сортамента данных нужно обратить
внимание на расположение фигуры на вашем чертеже и в сортаменте. Если фигура на вашем чертеже развернута на 900 по отношению к фигуре в сортаменте, то индексы у моментов инерции
нужно поменять местами.
Заданное сечение изобразить в масштабе на миллиметровой
бумаге. Пронумеровать фигуры и указать положение центра тяжести каждой из них. Провести для каждой фигуры главные центральные оси ХY и указать необходимые для расчета размеры.
Для определения положения центра тяжести выбрать вспомогательную систему координат, оси которой совпадают с главными центральными осями одной из фигур. Используя формулы
(7.9) определить положение центра тяжести всей фигуры О,
изобразить на чертеже центральные оси X0, Y0 и указать расстояния между осями.
Выполнить графическую проверку определения положения
центра тяжести. Необходимо соединить центры тяжести фигур
прямой линией и убедится в том, что центр тяжести сечения расположен на этой прямой.
2. По (7.10) вычислить осевые и центробежный моменты
инерции всей фигуры относительно центральных осей. При использовании этих формул необходимо помнить, что “а” - расстояние между осью x и x0, “b”- между y и y0. В формуле для центробежного момента инерции параметры “а” и “b”нужно рассматривать как координаты центров тяжести фигур в системе центральных осей сечения X0, Y0 и обязательно учитывать их знаки.
3. Используя (7.13) найти угол , определяющий направление главных центральных осей и изобразить на чертеже главные
центральные оси сечения. Если в результате расчета для угла 
56
получено положительное значение, то это значит, что главные
оси повернуты относительно центральных осей против хода часовой стрелки.
4. По (7.11) или (7.14) вычислить главные моменты инерции сечения. При использовании (7.11) необходимо учитывать
знак угла . При расчете по (7.14) нужно принять во внимание
следующее. В результате поворота на угол α центральные оси X0,
Y0 преобразуются в главные центральные оси U, V. Если в системе координат ОX0Y0 осевой момент инерции имел большее значение относительно оси X0, то в системе координат ОUV максимальное значение будет иметь осевой момент инерции относительно оси U.
Пример расчета
Сечение состоит из швеллера № 20 и уголка 12,5х12,5х10,
то есть равнобокого уголка с шириной полки 125 мм и толщиной
10 мм (рис. 7.5).
Рис.7.5.
1. Определение положения центра тяжести сечения.
Разделим сечение на две фигуры: уголок 1 и швеллер 2.
Выписываем из таблиц сортамента прокатной стали данные, необходимые для расчета (см. Приложение 1).
Фигура 1: Уголок 12.5х12.5х10 (рис.7.6)
57
Y1
z0
Y01
d
X1
=45
-
+
z0
+
01
b
X01
Рис.7.6.
А1 = 24.3 см2, I x = I y = 360 см4, z0 = 3,45 см,
1
1
I x = 571 см4, I y = 149 cм4.
01
01
Центробежный момент инерции уголка относительно
собственных центральных осей X1 и Y1 определяем по формуле,
вытекающей из (7.11)
I x1y1 
I x 01  I y01
sin 2  I x 01y01 cos 2 .
2
Так как оси X01, Y01 - главные, то I x 01y01 = 0.
571  149
sin 90   211 см4.
2
Правило знаков: знак перед I x 1 y1 выбирается в соответ-
Поэтому I x1y1 
ствии с результирующим знаком после суммирования всевозможных произведений x 1 y1 по четвертям координатной плоскости 01X1Y1 (по определению центробежного момента инерции
(7.5)).
58
В нашем примере в первой четверти все произведения x1 y1
- положительные, во второй - отрицательные, в третьей - положительные. Следовательно, результирующий знак перед I x 1 y1 - “+”.
Фигура 2: Швеллер №20
А2 = 23,4 см2, I x 2 = 113 см, I y 2 = 1520 cм4, I x 2 y2 = 0, т.к.
ось Y2 - ось симметрии, z0 = 2,07 см, b = 7,6 см.
При выборе данных из таблицы сортамента учтено, что
швеллер в задании повернут по отношению к изображенному в
сортаменте на 90.
Вычерчиваем сечение в масштабе (рис.7.7). Рекомендуется
масштаб 1:1 или 2:1. Все размеры проставляются в сантиметрах.
Y0
Y2
Y1
6,55
3,34 3,21
12,5
2,71
V
01
X1
0
3,45
02
5,52
X0
2,81
2,07
7,60
U
X2
20,0
Pис.7.7
Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (7.9).
Для вычисления Sx и Sy необходимо выбрать положение
вспомогательных осей. Следует помнить о том, что выбрав вспо-
59
могательные оси удачно, можно упростить решение поставленной задачи.
Примем за вспомогательные оси главные центральные оси
швеллера X2Y2. В этом случае координата центра тяжести всей
фигуры х0 будет равна
x0 
S y2
A

S y2 1  S y2 2
A1  A 2

A1 x1  A 2 x 2 24,3  6,55  23,4  0

 3,34 cм
A1  A 2
24,3  23,4
Координата у0 определяется из соотношения
y0 
Sx2
A

Sx2 1  Sx2 2
A1  A 2

A1 y1  A 2 y 2 24,3  5,52  23,4  0

 2,81 cм
A1  A 2
24,3  23,4
Необходимо помнить, что при определении статических
моментов отдельных простых фигур, координаты их центров тяжести подставляются в расчетные формулы с учетом их знака относительно выбранных вспомогательных осей.
Наносим на чертеж центр тяжести фигуры “0”, проводим
через него центральные оси X0Y0, параллельные вспомогательным, и указываем расстояния между осями (см. рис.7.7). Соединив центры тяжести фигур прямой линией, находим, что центр
тяжести сечения расположен на этой прямой.
2. Определение моментов инерции сечения относительно
центральных осей.
Поскольку оси X0Y0 параллельны осям X1Y1, X2Y2, то следует применить формулы (7.10).
Знаки координат а и b определяются в системе координат
X0Y0.
Осевые моменты:
I x 0  I x1  a 12 A1  I x 2  a 22 A 2 
 360  2,712  24,3  113   2,812  23,4  837 см 4 ;
I y0  I y1  b12 A1  I y2  b 22 A 2 
 360  3,212  24,3  1520   3,34 2  23,4  2390 см 4 .
Центробежный момент
60
I x 0 y0  I x1y1  a1b1A1  I x 2 y2  a 2 b 2 A 2 
 211  3,21  2,71  24,3  0   3,34    2,81  23,4  642 см 4 .
3. Находим положение главных центральных осей сечения.
Используя (7.13), определяем угол α
2I xy
2  642
tg 2 

 0,846;
I y  I x 2390  834
2  40 12' ;   20  06'.
Угол  имеет положительное значение, поэтому для получения главных центральных осей U, V сечения оси X0, Y0 необходимо повернуть против хода часовой стрелки (см. рис.7.7).
4. Определяем главные моменты инерции сечения (моменты инерции относительно главных центральных осей U, V).
По (7.14) находим
837  2390 1
837  2340 2  4  642 2  1613  1007 .
I max, min 

2
2
На чертеже главные центральные оси сечения обозначены
буквами U и V. Относительно одной из этих осей момент инерции максимален, а относительно другой - минимален.
Так как I y0  I x 0 , то I v  I u . Следовательно
I v  I max  1613  1007  2620 см 4 ;
I u  I min  1613  1007  606 см 4 .
Используя (7.12) выполняем проверку правильности определения IU, IV
2620  606  837  2390 .
61