4 *** ***_2013x - сопротивление материалов

Лекция №4
Плоское напряженное состояние.
4.1 Напряженное состояние в точке.
4.2 Напряжения в наклонных площадках.
4.3 Главные площадки и главные напряжения.
4.4 Экстремальные касательные напряжения
4.5 Главные деформации
Основные понятия.
Напряженное состояние в точке, главные площадки и главные
напряжения, экстремальные касательные напряжения, главные деформации.
4.1 Напряженное состояние в точке
Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под действием
произвольной системы сил, приложенных к кромкам пластинки и лежащих в
ее плоскости (рис. 4.1 а). На поверхности пластинки параллельной плоскости
xy напряжения отсутствуют (  z  0 ). Так как толщина пластинки мала, то
можно считать, что напряжений нет и внутри пластинки на площадках
параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в общем
случае имеет место плоское напряженное состояние.
Рис. 4.1 Примеры плоского напряженного состояния: панель сборного
здания (а), стенка мостовой балки (б)
Вырежем элементарный параллелепипед из пластинок в окрестности
произвольной точки К сечениями, перпендикулярными плоскости пластинки.
Со стороны среды, окружающий параллелепипед, на него действуют в
общем случае как нормальные, так и касательные усилия.
На рис. 4.2 б показаны векторы нормальных и касательных
напряжений, соответствующие этим усилиям. Оси координат совмещены с
центром элемента точкой К.
Рис. 4.2 Напряжения на гранях элемента в случае плоского напряженного
состояния.
Напряженное
состояние
малого
параллелепипеда
является
однородным. Это значит, что в любых его параллельных сечениях
напряжения можно считать распределенными равномерно, а по величине
одинаковыми. Поэтому компоненту элементарной силы на любой площадке
получим как произведение напряжения на площадь площадки, например
 xy dy * 1 или просто  xy dy . Будем считать, что напряжения, действующие по
граням параллелепипеда: σx,σy,τxy известны (определяются в результате
решения плоской задачи теории упругости).
Напряженным состоянием в точке называют совокупность
напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным
через эту точку.
Рис. 4.3 Пучок площадок, проведенных через данную точку
4.2 Напряжения в наклонных площадках.
Разрежем параллелепипед, изображенный на рис.4.2 б, наклонным
сечением, перпендикулярным плоскости xy, выделив из него треугольную
призму (рис. 4.4 а)
Рис. 4.4 Элементарная призма и напряжения на ее гранях-площадках (а),
правило знаков для напряжений (б).
Угол между осью x и внешней нормалью N к наклонной грани
считаем положительным (α>0), если он отсчитывается против хода часовой
стрелки. На гранях пластинки показаны нормальные и касательные усилия
(толщина пластины δ=1). Составим уравнение: сумма моментов всех сил
относительно точки K (т.K -середина гипотенузы)
dx
dy
 ( yx dx)  0
2
2
.
Из уравнения (4.1) получим численное равенство закона парности
касательных напряжений
( xy dy)
(4.1)
 xy = yх
(4.2)
Вблизи прямого угла касательные напряжения равны по модулю и
направлены так, что либо сходятся к вершине прямого угла, либо
расходятся от неё.
Определим напряжения на наклонной грани. При определении
напряжений на наклонной площадке будем придерживаться правила знаков,
показанного на рис. 4.4 б: нормальное растягивающее напряжение считается
положительное; касательное напряжение положительно, если его вектор
вращает элемент по ходу часовой стрелки. Согласно этому правилу знаков,
показанные напряжения на рис. 4.5 τxy>0, τyx<0.
Для определения напряжений σα, τα спроектируем все силы на оси KN
и KT (рис.4.5).
Рис. 4.5 Треугольная пластинка и напряжения на ее гранях
Сумма проекций всех сил на ось KN:
  ds   x dy cos( )   y dx sin( )   xy dy sin( )   yx dx cos( )  0
(4.3)
Разделим уравнение (4.3) на ds и с учетом:
dx
 sin( ) ,
ds
получим выражение для σα
dy
 cos( ) ,
ds
    x cos2 ( )   y sin 2 ( )   xy sin( 2 )
(4.4)
(4.5)
Сумма проекций всех сил на ось KТ:
  ds   x dy sin( )   y dx cos( )   xy dy cos( )   yx dx sin( )  0
(4.6)
Разделим уравнение (4.6) на ds и с учетом (4.4) получим:
 
( x   y )
sin( 2 )   xy cos(2 )
(4.7)
2
Сумма нормальных напряжений на взаимно ортогональных площадках
не зависит от угла α (инвариантна к направлением осей координат) и,
следовательно, для данной точки эта сумма постоянна:
      90   x   y  const
(4.8)
4.3 Главные площадки и главные напряжения.
Выражение (4.5) показывает, что σα является функцией угла наклона
площадки α. Рассмотрим задачу об отыскании площадок, в которых
возникают экстремальные для точки нормальные напряжения. Для этого
найдем производную от (4.5) и приравняем её нулю:
x  y
(4.9)
d 
 2[
sin( 2 )   xy cos(2 )]  0
d
2
Сравнив выражение в квадратных скобках с формулой (4.7), можем
равенство (4.9) переписать в эквивалентной форме:
d 
(4.10)
 2   0
d
Из (4.10) следует, что на площадках где действуют экстремальные
нормальные напряжения, касательные напряжения равны нулю. Такие
площадки называются главными, а соответствующие им нормальные
напряжения – главными напряжениями в точке.
Из выражения (4.9) получим тангенс двойного угла наклона нормалей
главных площадок:
tg (2 0 ) 
 2 xy
(4.11)
x  y
Выражение (4.11) дает два взаимно перпендикулярных направления с
углами  0' и  0'"   0'  90 0 , по которым действуют главные напряжения σmax,
σmin.
Для определения значений главных напряжений подставим в формулу
(4.5) α=α0 (α0-определено из решения уравнения). После преобразований (см.
стр. 348, 349 учебник Сопротивление материалов А.В. Александров, В.Д.
Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов) получим:
 1, 2 
x  y
 (
x  y
) 2   xy 2
(4.12)
2
2
В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному
напряжению, а минус – минимальному. Очевидно, что
σ1+ σ2 =σmax+ σmin= σx+ σy
(4.13)
Из приведенного вывода следует, что при любых исходных
напряжениях σx,σy,τxy в данной точке существует параллелепипед, на гранях
которого действуют только нормальные напряжения.
Приведем формулу для тангенса одиночного угла наклона искомой
главной площадки (см. стр.349 учебник А.В. Александров, В.Д. Потапов,
Б.П. Державин. Сопротивление материалов):
tg (1, 2 ) 
 xy
(4.14)
 1, 2   y
В зависимости от того, какое из главных напряжений σ1 или σ2
подставляется в формулу, получаем тангенс угла α1 или α2.
В методических указаниях «Расчет прочности простой балки»
положительный угол отсчитывается от оси z по ходу часовой стрелки и
определяется по формуле (оси в плоскости сечения: ось y вниз ось z -вправо)


 
 max  arctg max
  arctg



    min



Направление касательных напряжений совпадает с направлением
поперечной силы (Qy вращает элемент оставшейся части по часовой
стрелке).
Простое универсальное правило для направления  max . Направление
σmax всегда проходит через те две четверти осей координат, к которым
сходятся стрелки касательных напряжений τxy,и τyx (см. рис. 4.6)
Рис. 4.6 Направление σmax
4.4 Экстремальные касательные напряжения
Экстремальные касательные напряжения в точке равны полуразности
главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным на
угол 450.
 max 
 1  2
(4.15)
2
Рис. 4.7 Площадки с экстремальными касательными напряжениями
повернуты к главным на 450.
На площадках, где действуют τmax , нормальные напряжения
определяются по формулам:
 45 0 
 1  2

 x  y
(4.16)
2
2
4.5 Главные деформации
В соответствии с формулами обобщенного закона Гука (см. (2.5))
деформации в направлении главных напряжений вычисляются по формулам:
 max 
( max   min )
E
 min 
( min   max )
E
(4.17)