Задача 1. Так как поплавки и рычаг, по условию задачи, имеют

Задача 1.
Так как поплавки и рычаг, по условию задачи, имеют незначительную массу, то при решении
задачи нужно учитывать только действующие в системе выталкивающие силы.
Поскольку поплавки одинаковые, то, пока они оба полностью погружены в жидкость,
действующие на них выталкивающие силы также одинаковы.
К тому же, у рассматриваемого рычага одно плечо у него длиннее другого. Поэтому после того,
как поплавки отпустят, рычаг начнёт поворачиваться — длинное плечо пойдёт вверх.
Так как у рычага плечо AC вдвое короче плеча AB, то для того, чтобы рычаг мог находиться в
равновесии, необходимо, чтобы сила, приложенная к точке C, была больше силы, приложенной к
точке B, в два раза. Поскольку поплавок, привязанный к точке C, опускается, то действующая на
него выталкивающая сила остаётся неизменной. Отсюда следует, что равновесие будет возможно
только в том случае, если поплавок, привязанный к точке B, достигнет поверхности и частично
всплывёт, оставаясь погруженным на половину своего объёма. При этом действующая на него
выталкивающая сила уменьшится ровно вдвое. Такое положение поплавков возможно: поскольку
по условию задачи AC >h. Тогда угол поворота рычага не превышает 30 °.
Итак, в положении равновесия центр поплавка, привязанного к точке B, будет находиться на
поверхности жидкости, то есть на глубине Hb=0. Значит, центр этого поплавка при всплытии
поднимется на высоту h. По «золотому правилу» механики центр второго поплавка опустится на
глубину h/2 (он привязан к плечу, длина которого вдвое меньше). Значит, в положении равновесия
центр поплавка, привязанного к точке C, будет находиться на глубине:
h
3
𝐻с = h + 2 = 2 h
3
2
Ответ: 𝐻с = h, Hb=0.
Задача 2
Если под некоторым элементом пробки нет жидкости, то жидкость может только прижимать
пробку к дну сосуда, и минимальное значение вертикальной проекции этой прижимающей силы
давления, равное нулю, достигается тогда, когда жидкости нет и над этим элементом. Если же под
некоторым элементом пробки жидкость есть, то максимальное значение проекции силы на
вертикальную ось положительно и равно ρgΔV, где ΔV — объём элемента. Значит, сила давления
будет иметь максимально возможное положительное значение тогда, когда жидкость налита в
сосуд до уровня, показанного на рисунке. При этом интересующий нас объём ΔV (заштрихован на
a
рисунке) равен ΔV = (c − 2)2 b .
√
Тогда максимальная величина выталкивающей силы равна 𝐹 = ρgΔV = ρgb(c −
a 2
) b
√2
.
Если пробка не будет всплывать при уровне воды, показанном на рисунке, то она не всплывёт и
a
при любом другом уровне. Следовательно, массу пробки M >F, откуда M > ρb(c − 2)2
√
Ответ: M > ρb(c −
a 2
)
√2
Задача 4.
Для решения задачи сделаем чертёж
A – начальная автобусная остановка, B – конечная автобусная остановка;
С — точка, откуда остановочный павильон B казался пешеходу в k=1,5 раза ниже павильона А.
Видимый размер павильона обратно пропорционален расстоянию до него, то есть:
𝐴𝐶
𝐶𝐷+𝐷𝐵
1
𝐷𝐵
1
= k, 𝐴𝐶+𝐶𝐷 = k
Из этого:
𝐴𝐶
𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐵
1
AC
= k+1 = AB,
𝐷𝐵
𝐴𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐵
1
DB
= k+1 = AB
𝐶𝐷
AC
DB
1
1
k−1
С другой стороны, CD=AB – AC - DB, откуда
=1− −
=1−
−
=
𝐴𝐵
AB
AB
k+1
k+1
k+1
Отсюда, учитывая, что CD=L, получаем:
k−1
AB =
L = 500м
k+1
Ответ: 500м.
Задача 5.
Теплообмен между кастрюлей и окружающей средой пропорционален разности температур tk – t,
где t – температура кастрюли. При плавлении льда t = to = 0 oC:
m  A(tk  to ) , A 
m
(tk  to )
.
Здесь m – масса льда, A – коэффициент пропорциональности. При нагревании воды массой 2m от
0 оС до 1 оС (∆t = 1 oC) теплообмен остался таким же, как и при плавлении льда. Поэтому можно
записать:
ct  2m  A(tk  to ) 1  m
Отсюда
 1 
ct  2

 4,2
 1

.
мин.
При нагревании воды от t = 20 oC до 21 оС (∆t = 1 oC) потребуется время ∆2:
 2   1
t k  to
 21 мин.
tk  t
Ответ: 1. Через 4,2 мин.
2. 21 мин.
Задача 6.
1) Пусть в первом случае сопротивление реостата равно R1, во втором — равно R2. По закону
Ома составим систему:
I1(r + R1) = U,
{
I2(r + R2) = U,
(1)
В системе:
P1
R1=
= 12 Ом,
I12
R2 =
P2
I22
=
6
5
Ом.
Решим систему (1):
𝑈=
𝑟=
P1 I22 − P2 I12
I1 I2 (I2 − I1 )
P1 I2 − P2 I1
I1 I2 (I2 − I1 )
= 36 В,
= 6 Ом
2) Если сопротивление реостата равно нулю, то:
𝑈
𝐼0 = = 6 А
𝑟
3) Мощность, которая выделяется на переменном напряжении R, можно выразить
следующим образом:
𝑈2
𝑃𝑅 = 𝐼 2 𝑅 = (𝑅+𝑟)2 𝑅 или 𝑃𝑅 = 𝐼𝑈 − 𝐼 2 𝑟
(IU — мощность, развиваемая источником)
На рисунке представлена зависимость 𝑃𝑅 .
Эта парабола, вершина которой соответствует Pmax при силе тока:
𝑈
𝐼=
2𝑅
Отсюда: 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
𝑈2
4𝑟
=
𝑈 2 𝑅𝑚
𝑅𝑚+𝑟
, следовательно, 𝑅𝑚 = 𝑟
Итак, 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 54 Ватт, 𝑅𝑚 = 6 Ом
Ответ: 1) 36 В, 6 Ом
2) 6 А
3) 𝑷𝒎𝒂𝒙 = 𝟓𝟒 Ватт , 𝑹𝒎 = 𝟔 Ом
Задача 7.
Рассмотрим два случая:
1. Если
v0
≤√2𝑔𝐻 , то скорость U – любая.
2. Пусть v0 >√2𝑔𝐻. Рассмотрим ситуацию, когда траектория камня касается прямой, вдоль
которой летит птица. Горизонтальная проекция vr скорости камня в течение всего его полета
сохраняется. Ясно, что при vr ≥ U мальчик может попасть в птицу, а при vr < U – нет.
Из закона сохранения энергии следует, что 𝑣𝑟 = √v02 − 2𝑔𝐻.
Таким образом, мальчик не сможет попасть в птицу, если U >√v02 − 2𝑔𝐻.
Ответ: U >√v02 − 2𝑔𝐻.
Задача 9.
Количество теплоты, подводимое ко льду, складывается из количества теплоты,
втекающего из окружающей среды через стенки банки, и количества теплоты,
преобразованного нагревательным элементом из электроэнергии. Во время плавления
льда его температура остается постоянной (0 °С), поэтому и количество теплоты,
ежесекундно подводимое ко льду через стенки банки, тоже постоянно. Обозначим его
P1. Мощность тока нагревательного элемента равна
𝑈2
𝑅
где U – напряжение, подаваемое
на нагревательный элемент, R – его сопротивление. Пусть для плавления всего льда,
находящегося в банке, необходима энергия N. Тогда время плавления льда в банке
найдем по формуле:
𝑡1 =
𝑁
𝑈2
𝑃1 + 1
𝑅
, 𝑡2 =
𝑁
2
𝑈
𝑃1 + 2
,
𝑅
где t1, t2, U1, U2 – время и напряжение в случае с первой и второй банкой.
Решая систему двух приведенных уравнений, найдем неизвестную величину P1, точнее
произведение:
P1R1=
𝑈22 𝑡2− 𝑈12 𝑡1
𝑡1 −𝑡2
= -22,4*104 В2
Таким образом, оказывается, что P1 < 0, т. е. теплота отводится ото льда в
окружающую среду. Минимальное напряжение, достаточное для плавления льда (т. е.
такое, что P1+ P2 > 0) ), определяется выражением Umin=√−𝑃1 𝑅=156 В.
Значит, нагревательный элемент, питаемый напряжением U3 = 127 B, никогда не
расплавит лед, находящийся в третьей банке.