Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей 350000 г. Краснодар,
реклама
Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. Красная,76 тел. 259-84-01 E-mail:[email protected] КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и решения к работе № 3, 2012-2013 уч. год Задание 1. В треугольнике ABC сторона AB равна 2, а углы A и B равны соответственно o 60 и 70o. На стороне AC взята точка D, причём AD = 1. Найдите углы треугольника BDC. Подсказка: Докажите, что треугольник ABD — прямоугольный. Решение Докажем, что треугольник ABD — прямоугольный. Для этого на отрезке DC возьмём точку M так, что DM = AD = 1. Тогда треугольник ABM — равносторонний (равнобедренный треугольник с углом 60o), а BD в нём медиана. Следовательно, BD — высота треугольника ABM, т.е. BDC = 90o. Далее находим, что C = 180o - (60o + 70o) = 50o, CBD = 90o - 50o = 40o. Задание 2. В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C . Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC . Подсказка: Продолжите указанные перпендикуляры до пересечения с прямой AC. Решение Пусть точка P лежит на биссектрисе угла A , а точка Q – на биссектрисе угла B . Продолжим перпендикуляры BP и BQ до пересечения с прямой AC в точках P1 и Q1 соответственно. Тогда биссектриса, проведённая из вершины A треугольника ABP1 , является его высотой. Значит, треугольник ABP1 – равнобедренный. Его биссектриса AP является медианой. Значит, P – середина BP1 . Аналогично докажем, что Q – середина BQ1 . Тогда PQ – средняя линия треугольника P1BQ1 , поэтому PQ || P1Q1 . Следовательно, PQ || AC . Задание 3. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a. Решение Пусть вершины L и M квадрата KLMN лежат на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и N соответственно на катетах BC и AC. Тогда AMN и BLK – также равнобедренные прямоугольные треугольники, поэтому BL = KL = ML, AM = MN = ML. Ответ . Задание 4. Каждая из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 7. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. Подсказка: Каждая из проведённых прямых отсекает от данного треугольника равнобедренный треугольник. Решение Пусть M — точка на основании AC равнобедренного треугольника ABC, P и Q — точки на боковых сторонах AB и BC, MP || BC и MQ || AB. Тогда треугольник APM — равнобедренный. Поэтому MP + PB = AP + PB = 7. Следовательно, искомый периметр равен 14. Задание 5. Диагональ параллелограмма, равная b, перпендикулярна параллелограмма, равной a. Найдите вторую диагональ параллелограмма. стороне Подсказка: Примените теорему Пифагора и теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма Решение Пусть диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна его стороне AB, причём AB = CD = a, BD = b. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABD находим, что AD2 = AB2 + BD2 = a2 + b2. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма AC2 + BD2 = 2 *AB2 + 2 *AD2, или AC2 + b2 = 2a2 + 2(a2 + b2),откуда AC2 = 4a2 + b2. Задание 6. В трапеции ABCD с меньшим основанием BC через точку B проведена прямая, параллельная CD и пересекающая диагональ AC в точке E . Сравните площади треугольников ABC и DEC . Решение Пусть прямая BE пересекает большее основание AD трапеции в точке K . Тогда четырёхугольник BCDK – параллелограмм, поэтому DK=BC . Треугольники DEC и DKC равновелики, т.к. у них общее основание CD , а высоты, проведённые из вершин E и K равны, поскольку KE || CD . Треугольники ABC и CDK равновелики, т.к. у них равны основания (DK = BC) и высоты, проведённые из вершин A и C , поскольку BC || AD . Следовательно, треугольники ABC и DEC также равновелики. Ответ: Площади треугольников равны. Задание 7. На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4*4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток. Решение Можно попытаться найти решение, просто пробуя различные пары вершин внутри квадрата 4*4 и стараясь сделать получаемый шестиугольник поуже. При этом удобнее считать не площадь шестиугольника, а площадь оставшейся части квадрата она должна быть равна 10 клеткам. Для подсчёта площади можно разбить оставшуюся часть на прямоугольные треугольники и вспомнить, что площадь прямоугольного треугольника, катеты которого идут по линиям сетки, равна половине площади прямоугольника со сторонами a и b (см. рис. слева) и равна ab/2 (эта формула верна и для произвольного прямоугольного треугольника). Те из вас, кто знает более общую формулу: площадь треугольника со стороной a и опущенной на неё высотой h равна ah/2 (см. рис. справа), могут сразу найти площадь произвольного треугольника, не разбивая его на прямоугольные. ответ:
