Дискретный анализ, теория графов и кодирование

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Новосибирский государственный университет
Механико-математический факультет
Утверждаю:
Ректор
_________________
«____»__________200__ г.
Номер внутривузовской регистрации
__________________
Основная образовательная программа
высшего профессионального образования
Направление подготовки
010100 Математика
Профиль
Дискретный анализ, теория графов и кодирование
Квалификация (степень)
Магистр
ООП разработана в рамках реализации Программы развития НГУ
Авторы: А.Л.Пережогин
Новосибирск
2010
СОДЕРЖАНИЕ
1. Общие положения
1.1. Основная образовательная программа (ООП) магистратуры (магистерская
программа)
1.2. Нормативные документы для разработки магистерской программы
1.3. Общая характеристика магистерской программы
1.4 Требования к уровню подготовки, необходимому для освоения магистерской
программы
2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника магистерской
программы
2.1. Область профессиональной деятельности выпускника
2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника
2.3. Виды профессиональной деятельности выпускника
2.4. Задачи профессиональной деятельности выпускника
3. Компетенции выпускника ООП магистратуры, формируемые в результате освоения
магистерской программы
4. Документы, регламентирующие содержание и организацию образовательного
процесса при реализации магистерской программы
4.1. Календарный учебный график
4.2. Учебный план подготовки магистра
4.3. Рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей)
4.3. Программы практик
и организация научно-исследовательской работы
обучающихся
5. Фактическое ресурсное обеспечение магистерской программы
6. Нормативно-методическое обеспечение системы оценки качества освоения
обучающимися магистерской программы
5.1. Фонды оценочных средств для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации
5.2. Итоговая государственная аттестация выпускников магистерской программы
Приложения
1. Общие положения
1.1.
Основная образовательная программа магистратуры (далее –
магистерская программа) "Дискретный анализ, теория графов и кодирование",
реализуемая
механико-математическим
факультетом
Новосибирского
государственного университета по направлению подготовки 010100 - Математика,
представляет собой систему документов, разработанную и утвержденную высшим учебным
заведением самостоятельно с учетом требований рынка труда на основе федерального
государственного образовательного стандарта по соответствующему направлению
подготовки высшего профессионального образования (ФГОС ВПО), а также с учетом
рекомендованной примерной основной образовательной программы.
Магистерская программа регламентирует цели, ожидаемые результаты, содержание,
условия и технологии реализации образовательного процесса, оценку качества подготовки
выпускника по данному направлению подготовки и включает в себя: учебный план, рабочие
программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей) и другие материалы,
обеспечивающие качество подготовки обучающихся, а также программы практик,
календарный учебный график и методические материалы, обеспечивающие реализацию
соответствующей образовательной технологии.
1.2. Нормативные документы для разработки магистерской программы
"Дискретный анализ, теория графов и кодирование"
Нормативную правовую базу разработки данной магистерской программы
составляют:

Федеральные законы Российской Федерации: «Об образовании» (от 10 июля
1992 г. №3266-1) и «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» (от 22
августа 1996 г. №125-ФЗ);

Типовое
положение
об
образовательном
учреждении
высшего
профессионального
образования
(высшем
учебном
заведении),
утвержденное
постановлением Правительства Российской Федерации от 14 февраля 2008 г. №71;

Федеральный государственный образовательный стандарт по направлению
подготовки «010100 - Математика» высшего профессионального образования
(магистратура), утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской
Федерации от «14» января 2010 г. № 40

Нормативно-методические документы Минобрнауки России;

Примерная основная образовательная программа (ПрООП ВПО) подготовки
магистров по направлению подготовки, утвержденная приказом Минобрнауки от 17 сентября
2009 г. № 337 (носит рекомендательный характер);

Устав
Государственное
образовательное
учреждение¶Высшего
профессионального образования Новосибирский государственный университет.

Дополнения и изменения к Уставу НГУ от 28 ноября 2008 г.
1.3. Общая характеристика магистерской программы "Дискретный анализ, теория
графов и кодирование"
Магистерская программа "Дискретный анализ, теория графов и кодирование" по
направлению подготовки "Математика" является программой 2 уровня высшего
профессионального образования.
1.3.1. Цель магистерской программы
В области воспитания общими целями магистерской программы являются:

формирование
социально-личностных
качеств
магистрантов:
целеустремленности, организованности, трудолюбия, гражданственности,
толерантности;

повышение общей культуры магистрантов;

воспитание склонности к исследовательской деятельности;




воспитание ответственности в принятии решений;
развитие способности понимать и ставить задачи;
формирование понятий о ценности продуктов интеллектуальной деятельности;
формирование понятий о ценности времени.
В области обучения общими целями магистерской программы являются:
подготовка в области основ гуманитарных, социальных, экономических, математических
и естественнонаучных знаний, научить выпускника успешно проводить научные
исследования, оформлять результаты научных исследований в виде публикаций в научных
изданиях, излагать результаты в виде презентаций перед различными аудиториями,
проводить разработки и исследования, направленные на развитие дискретной математики и
информационных технологий.
Миссией магистерской программы является подготовка высококвалифицированных
специалистов для науки, образования и высокотехнологичного бизнеса на основе
фундаментального образования, позволяющего выпускникам быстро адаптироваться к
меняющимся потребностям общества.
1.3.2. Срок освоения магистерской программы "Дискретный анализ, теория
графов и кодирование"
Срок освоения магистерской программы "Дискретный анализ, теория графов и
кодирование" по направлению подготовки Математика при очной форме обучения в
соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению составляет 2 года.
1.3.3. Трудоемкость магистерской программы "Дискретный анализ, теория графов
и кодирование"
Трудоемкость освоения студентом данной магистерской программы за весь период
обучения, включающий все виды аудиторной и самостоятельной работы студента, практики и
время, отводимое на контроль качества освоения студентом ООП, составляет 120 зачетных
единиц.
1.4. Требования к уровню подготовки, необходимому для освоения магистерской
программы "Дискретный анализ, теория графов и кодирование"
Лица, имеющие диплом бакалавра и желающие освоить данную магистерскую
программу, зачисляются в магистратуру по результатам вступительных испытаний,
проводимых с целью установления у поступающего наличия следующих компетенций:
 умение понять поставленную задачу, формулировать результат и строго доказать
утверждение;
 умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат,
самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата;
 иметь начальные навыки самостоятельной научно-исследовательской работы;
 обладать значительными навыками самостоятельной работы с компьютером;
 иметь способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых
источников;
 иметь базовые знания и умения в области фундаментальной и прикладной
математики, включая следующие дисциплины:
- математический анализ;
- алгебра;
- геометрия;
- математическая логика и теория алгоритмов;
- теория вероятностей и математическая статистика;
- дифференциальные уравнения;
- методы оптимизации и теория принятия решений.
2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника магистерской
программы "Дискретный анализ, теория графов и кодирование"
2.1. Область профессиональной деятельности выпускника
Область
профессиональной
деятельности
магистров
включает:
научноисследовательскую деятельность в областях, использующих математические методы и
компьютерные технологии (в частности, в следующих областях: комбинаторика, дискретный
анализ, теория графов, теория дискретных функций, синтез и сложность управляющих
систем, теория помехоустойчивого кодирования, сжатие информации, защита информации и
др.); решение различных задач с использованием математического моделирования процессов
и объектов и программного обеспечения; разработку эффективных методов решения задач
естествознания, техники, экономики и управления; программно-информационное
обеспечение научной, исследовательской, проектно-конструкторской и эксплуатационноуправленческой деятельности; преподавание цикла математических дисциплин (в том числе
информатики).
Выпускник может осуществлять свою профессиональную деятельность в следующих
типах организаций и учреждений:
- научно-исследовательские институты математического и информационного профиля;
- образовательные учреждения высшего и среднего профессионального образования;
- аналитические и инженерные отделы крупных компаний в различных отраслях
промышленности;
- инженерные отделы банков.
Выпускник магистратуры может продолжить обучение в аспирантуре по специальностям
01.01.09 (дискретная математика и математическая кибернетика) и 05.13.19 (методы и
системы защиты информации, информационная безопасность).
2.2. Объекты профессиональной деятельности выпускника
Объектами профессиональной деятельности выпускника магистерской программы
являются: понятия, гипотезы, теоремы и математические модели, составляющие содержание
фундаментальной и прикладной математики, механики и других естественных наук. В
частности, понятия, утверждения, методы комбинаторики, дискретного анализа, теории
графов, теории дискретных функций, синтеза и сложности управляющих систем, теории
помехоустойчивого кодирования, сжатия информации, защиты информации и др. разделов
дискретной математики.
2.3. Виды профессиональной деятельности выпускника
Выпускник
магистерской
программы
готовится
к
следующим
видам
профессиональной деятельности:
- научно-исследовательская и научно-изыскательская;
- производственно-техническая;
- организационно-управленческая;
- преподавательская.
2.4. Задачи профессиональной деятельности выпускника
Выпускник магистерской программы должен быть подготовлен к решению
следующих профессиональных задач:
научно-исследовательская и научно-изыскательная деятельность:
применение методов математического и алгоритмического моделирования при
изучении реальных процессов и объектов с целью нахождения эффективных решений
общенаучных, организационных и прикладных задач широкого профиля;
анализ и обобщение результатов научно-исследовательских работ в области
дискретной математики с использованием современных достижений науки и техники,
передового отечественного опыта;
подготовка, проведение и участие в работе семинаров, конференций, научных школ и
симпозиумов;
подготовка и редактирование научных публикаций;
изучение новых научных результатов, научной литературы и научноисследовательских проектов в области дискретной математики;
исследование и разработка математических моделей, алгоритмов, методов,
программного обеспечения, инструментальных средств для решения задач в области
дискретной математики;
составление научных обзоров, рефератов и библиографии по тематике проводимых
исследований;
производственно-технологическая деятельность:
применение фундаментальных математических знаний и творческих навыков для
быстрой адаптации к новым задачам, возникающим в процессе развития вычислительной
техники и математических методов, к росту сложности математических алгоритмов и
моделей, к необходимости быстрого принятия решений в новых ситуациях;
использование современной вычислительной техники и программного обеспечения
для решения математических и профессиональных задач, создания визуализации
математических моделей;
накопление, анализ и систематизация требуемой информации с использованием
современных методов автоматизированного сбора и обработки информации;
разработка нормативных методологических документов и участие в определении
стратегии развития корпоративной сети;
организационно-управленческая деятельность:
организация работы научно-исследовательских групп;
применение научных достижений для прогнозирования результатов деятельности,
количественной и качественной оценки последствий принимаемых решений;
преподавательская деятельность:
чтение лекций, проведение семинаров, практических занятий и научных дискуссий по
основным дисциплинам дискретной математики: комбинаторика, дискретный анализ, теория
графов, теория дискретных функций, синтез и сложность управляющих систем, теория
помехоустойчивого кодирования, сжатие информации, защита информации.
3. Компетенции выпускника ООП магистратуры, формируемые в результате
освоения магистерской программы "Дискретный анализ, теория графов и
кодирование"
Результаты освоения ООП магистратуры определяются приобретаемыми выпускником
компетенциями, т.е. его способностью применять знания, умения и личностные качества в
соответствии с задачами профессиональной деятельности.
В результате освоения указанной магистерской программы выпускник должен обладать
следующими
общекультурными компетенциями (ОК):
способность работать в междисциплинарной команде (ОК-1);
способность общаться со специалистами из других областей (ОК-2);
активная социальная мобильность, способность работать в международной среде (ОК3);
углублённые знания правовых и этических норм при оценке последствий своей
профессиональной деятельности, при разработке и осуществлении социально значимых
проектов (ОК-4);
способность порождать новые идеи (ОК-5);
способность работать самостоятельно, заботой о качестве, стремлением к успеху (ОК-6);
навыками и умениями в организации научно-исследовательских и научнопроизводственных работ, в управлении научным коллективом (ОК-7);
инициативностью и лидерством (ОК-8);
способностью к организации и планированию (ОК-9);
умением находить, анализировать и контекстно обрабатывать информацию, в том числе
относящуюся к новым областям знаний, непосредственно не связанным со сферой
профессиональной деятельности (ОК-10);
профессиональными компетенциями (ПК):
научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:
владение методами математического моделирования при анализе глобальных проблем
на основе глубоких знаний фундаментальных математических дисциплин и компьютерных
наук (ПК-1);
владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе
проблем естествознания (ПК-2);
способность к интенсивной научно-исследовательской и научно-изыскательской
деятельности (ПК-3);
самостоятельный анализ физических аспектов в классических постановках
математических задач (ПК-4);
умение публично представить собственные новые научные результаты (ПК-5);
самостоятельное построение целостной картины дисциплины (ПК-6);
производственно-технологическая деятельность:
умение ориентироваться в современных алгоритмах компьютерной математики,
совершенствовать, углублять и развивать математическую теорию, лежащую в их основе (ПК7);
собственное видение прикладного аспекта в строгих математических формулировках
(ПК-8);
способность к творческому применению, развитию и реализации математически
сложных алгоритмов в современных программных комплексах (ПК-9);
организационно-управленческая деятельность:
определение общих форм, закономерностей, инструментальных средств для групп
дисциплин (ПК-10);
владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе
экономических и социальных процессов, задач бизнеса, финансовой и актуарной математики
(ПК-11);
способность различным образом представлять и адаптировать математические знания с
учетом уровня аудитории (ПК-12);
способность к управлению и руководству научной работой коллективов (ПК-13);
умение формулировать в проблемно-задачной форме нематематические типы задания (в
том числе гуманитарные) (ПК-14);
преподавательская деятельность:
возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в
общеобразовательных
учреждениях,
образовательных
учреждениях
начального
профессионального, среднего профессионального и высшего профессионального образования
на основе полученного фундаментального образования и научного мировоззрения (ПК-15);
умение извлекать актуальную научно-техническую информацию из электронных
библиотек, реферативных журналов (ПК-16);
профессионально-специализированными компетенциями (СПК):
способность проводить научные исследования и получать новые научные и
прикладные результаты в области дискретной математики (СПК-1);
умение строить и анализировать математические модели информационных и
вычислительных процессов с помощью дискретных устройств (СПК-2);
разрабатывать и писать свои программы с использованием комбинаторных
алгоритмов, обосновывать предлагаемые собственные алгоритмы в дискретной математике,
показывать качественную новизну и эффективность этих алгоритмов (СПК-3);
активно изучать рекомендуемую дополнительную литературу, следить за мировыми
тенденциями развития в области разработки новых алгоритмов и программ комбинаторного
анализа, теории графов и теории информации (СПК-4);
применять современные методы передачи данных по открытым каналам связи с
шумами (методы теории кодирования) и каналам связи без шума (методы сжатия данных)
(СПК-5);
применять математические технологии и методы защиты информации от
несанкционированного доступа, для банковских целей (владеть навыками создания
цифровой подписи на основе известных шифров RSA, Эль-Гамаля) (СПК-6);
умение вести аргументированные дискуссии об актуальных проблемах дискретной
математики (СПК-7);
4. Документы, регламентирующие содержание и организацию образовательного
процесса при реализации магистерской программы "Дискретный анализ, теория
графов и кодирование"
В соответствии с п.39 Типового положения о вузе и ФГОС ВПО магистратуры по
направлению подготовки "010100 – Математика" содержание и организация
образовательного процесса при реализации магистерской программы регламентируется
учебным планом; рабочими программами учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей);
материалами, обеспечивающими качество подготовки и воспитания обучающихся;
программами учебных и производственных практик; годовым календарным учебным
графиком, а также методическими материалами, обеспечивающими реализацию
соответствующих образовательных технологий.
4.1. Календарный учебный график.
См. Приложение 1.
4.2. Учебный план подготовки магистра.
См. Приложение 2.
4.3. Рабочие программы учебных курсов, предметов, дисциплин (модулей)
См. Приложение 3.
4.4. Программы практик и организация научно-исследовательской работы
обучающихся.
4.4.1. Программы практик
В соответствии с ФГОС ВПО магистратуры по направлению подготовки "010100 –
Математика" практика является обязательным разделом основной образовательной
программы магистратуры. Она представляет собой вид учебных занятий, непосредственно
ориентированных на профессионально-практическую подготовку обучающихся.
При реализации данной магистерской программы предусматривается научноисследовательская практика на базе кафедры теоретической кибернетики ММФ НГУ.
Учебная практика проходит в течение 1-2 семестров, при этом в учебном расписании
студента отводится день, целиком посвященный учебной практике.
4.4.2. Организация научно-исследовательской работы обучающихся.
В соответствии с ФГОС ВПО магистратуры по направлению подготовки "010100 –
Математика" научно-исследовательская работа обучающихся является обязательным
разделом основной образовательной программы магистратуры и направлена на
формирование общекультурных (универсальных) и профессиональных компетенций в
соответствии с требованиями ФГОС ВПО и целями данной магистерской программы.
5. Фактическое ресурсное обеспечение магистерской программы "Дискретный
анализ, теория графов и кодирование"
Реализация образовательной программы подготовки магистров обеспечена
квалифицированными педагогическими кадрами. Все преподаватели, обеспечивающие
учебный процесс, имеют степени доктора или кандидата наук. Подавляющее большинство
сотрудников кафедры – её бывшие выпускники.
Непосредственное руководство
магистрантами осуществляется научными руководителями, имеющими ученую степень и
опыт научной работы в области математической кибернетики. При этом один научный
руководитель осуществляет руководство не более чем двумя магистрантами.
Для подготовки магистров предоставляются ресурсы институтов СО РАН. В том
числе, Института математики им. академика С.Л. Соболева СО РАН.
В Институте математики имеется богатая научная библиотека, возможность для
магистрантов посещать различные научные семинары.
Для проведения крупномасштабных вычислительных экспериментов магистранты при
поддержке научного руководителя и администрации ММФ получат доступ к ресурсам
Информационно-вычислительного центра НГУ, располагающего суперкомпьютером,
входящим в число 50 мощнейших вычислительных машин России и СНГ.
Для магистрантов подготовлен ряд учебных пособий. В том числе:
1. Бородин О.В. Дискретная математика, Новосибирск: НГУ, 2009, ч. 1.
2. Евстигнеев В.А., Мельников Л.С., Задачи и упражнения по теории графов и
комбинаторике. — Новосибирск: НГУ, 1981.
3. Косточка А.В., Дискретная математика, Новосибирск: НГУ, 2002, ч.2.
4. Косточка А.В., Соловьева Ф.И., Дискретная математика, Новосибирск: НГУ, 2002,
ч.1.
5. Рябко Б.Я., Фионов А.Н., Основы современной криптографии для специалистов в
информационных технологиях, Изд-во “Научный Мир”, М. 2004.
6. Рябко Б.Я., Фионов А.Н., "Криптографические методы защиты информации", Изд-во
«Телеком. Горячая линия, М., 2005.
7. Соловьева Ф.И., Введение в теорию кодирования, учебное пособие для студентов
ММФ и ФИТ НГУ., Изд. НГУ, 2006г., 123 с., под грифом УМО.
8. Ryabko B., Fionov A.. BASICS OF CONTEMPORARY CRYPTOGRAPHY FOR IT
PRACTITIONERS. World Scientific, 2005.
(подробная информация о книге м.б. найдена здесь:
http://www.worldscibooks.com/compsci/5885.html )
9. Solov'eva F.I., On perfect codes and related topics, Lecture Notes, Pohang University of
Science and Technology (POSTECH), Republik of Korea, 2004,
80 pp.
Несколько учебных пособий готовится к публикации.
6. Нормативно-методическое обеспечение системы оценки качества освоения
обучающимися магистерской программы "Дискретный анализ, теория графов и
кодирование"
В соответствии с ФГОС ВПО магистратуры по направлению подготовки "010100 –
Математика" и Типовым положением о вузе оценка качества освоения обучающимися
основных образовательных программ включает текущий контроль успеваемости,
промежуточную и итоговую государственную аттестацию обучающихся.
6.1. Текущий контроль успеваемости и промежуточная аттестация.
Нормативно-методическое обеспечение текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации обучающихся по ООП магистратуры осуществляется в
соответствии с п.46 Типового положения о вузе:
«46. Система оценок при проведении промежуточной аттестации обучающихся,
формы, порядок и периодичность ее проведения указываются в уставе высшего учебного
заведения.
Положение о проведении текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации обучающихся утверждается в порядке, предусмотренном уставом высшего
учебного заведения.
Студенты, обучающиеся в высших учебных заведениях по образовательным
программам высшего профессионального образования, при промежуточной аттестации
сдают в течение учебного года не более 10 экзаменов и 12 зачетов. В указанное число не
входят экзамены и зачеты по физической культуре и факультативным дисциплинам.
Студентам, участвующим в программах двустороннего и многостороннего обмена,
могут перезачитываться дисциплины, изученные ими в другом высшем учебном заведении, в
том числе зарубежном, в порядке, определяемом высшим учебным заведением».
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО для аттестации обучающихся на
соответствие их персональных достижений поэтапным требованиям соответствующей ООП
вуз создает и утверждает фонды оценочных средств для проведения текущего контроля
успеваемости и промежуточной аттестации. Эти фонды включают: контрольные вопросы и
типовые задания для практических занятий, лабораторных и контрольных работ,
коллоквиумов, зачетов и экзаменов; тесты и компьютерные тестирующие программы;
примерную тематику курсовых работ / проектов, рефератов и т.п., а также иные формы
контроля, позволяющие оценить степень сформированности компетенций обучающихся.
Соответствующие фонды приводятся в рабочих программах дисциплин.
6.2. Итоговая государственная аттестация выпускников магистерской
программы "Дискретный анализ, теория графов и кодирование"
Итоговая государственная аттестация выпускника магистратуры является обязательной
и осуществляется после освоения образовательной программы в полном объеме. ИГА
включает защиту магистерской выпускной квалификационной работы и проведение
государственного экзамена.
Выпускная квалификационная работа (ВКР) магистра – представляет собой
самостоятельное логически завершенное исследование, связанное с решением научной или
научно-практической задачи и соответствующая видам и задачам его профессиональной
деятельности. Выпускная работа является учебно-квалификационной; при ee выполнении
студент должен показать способности и умения, опираясь на полученные знания, решать на
современном уровне задачи профессиональной деятельности, грамотно излагать
специальную информацию, докладывать и отстаивать свою точку зрения перед аудиторией.
Тематика и содержание ВКР должны соответствовать уровню компетенций,
полученных выпускником в результате освоения данной ООП магистратуры.
ВКР выполняется под руководством опытного специалиста – научного сотрудника
учреждения Академии наук или Новосибирского государственного университета. Темы ВКР
предлагаются сотрудниками кафедры теоретической кибернетики или самими студентами и
утверждаются на заседании кафедры по представлению аннотации, раскрывающей цели и
задачи работы. В их основе могут быть материалы научно-исследовательских или научнопроизводственных работ кафедры, факультета, научных или производственных организаций.
ВКР является законченным научным исследованием, свидетельствующим об уровне
профессионально-специализированных компетенций автора. Содержание работы могут
составлять результаты теоретических исследований, разработка новых методов и
методических подходов к решению научных проблем, их теоретическое обоснование. Работа
не должна иметь чисто учебный или компилятивный характер.
ВКР должна показать умение автора кратко, логично и аргументировано излагать
материал. Она должна быть представлена в печатном виде с использованием современных
текстовых редакторов WORD, TeX и т.п., с соответствующей структурой текста,
иллюстрационным материалом и библиографией, оформленной в соответствии с
требованиями ГОСТ. Оформление должно соответствовать следующим требованиям:
 объем магистерской диссертации не должен, как правило, превышать 75 страниц
машинописного текста через два интервала, исключая таблицы, рисунки, список
использованной литературы и оглавление;
 цифровые и табличные и прочие иллюстрированные материалы могут быть
вынесены в приложение;
 к рукописи прилагается аннотация (автореферат) объемом в одну страницу
машинописного текста, в котором должны быть отражены основные положения,
выносимые на защиту.
Требования к содержанию, объему и структуре ВКР магистра определяются
действующим Положением об итоговой государственной аттестации и методическими
рекомендациями УМО по классическому университетскому образованию.
Цель защиты выпускной квалификационной работы – установление уровня
подготовленности выпускника к выполнению профессиональных задач в соответствии с
требованиями ФГОС ВПО к квалификационной характеристике и уровню подготовки
выпускника по направлению подготовки «Error! Reference source not found.». В процессе
выполнения и защиты ВКР выявляются образовательный и профессиональноквалификационный аспекты профессиональной подготовленности выпускников вуза.
Порядок проведения и программа государственного экзамена определяются вузом на
основании Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших
учебных заведений и методических рекомендаций УМО по классическому университетскому
образованию.
Приложение 1
УТВЕРЖДАЮ РЕКТОР
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУ ВПО Новосибирский государственный университет
_____________________
КАЛЕНДАРНЫЙ УЧЕБНЫЙ ГРАФИК
"_______"_____________________201__ г.
Направление подготовки :
Error! Reference source not found.
Программа
Дискретный анализ, теория графов и кодирование
Квалификация (степень):
Магистр
№_______________________________
срок обучения:
2 года
I. КАЛЕНДАРНЫЙ ГРАФИК УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
Месяц
ы
Недели
сентябрь
1
2
3
октябрь
4
5
6
7
8
Ноябрь
9
10
11
12
декабрь
13
14
15
16
17
Январь
18
Февраль
19
20
21
22
23
24
К
Э
Э
Э
Э
К
К
Э
Э
Э
Э
К
25
26
март
27
28
29
30
апрель
31
32
33
34
май
35
36
37
38
июнь
39
40
июль
Август
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Э
Э
Э
Э
К
К
К
К
К
К
К
К
Д
Д
Д
=
=
=
=
=
=
=
=
=
КУРСЫ
I
II
Рекомендованные
обозначения:
- Теоретическое обучение и
учебная практика (в том
числе НИР
обучающегося)(проводится
на всех неделях, кроме
каникул и экзаменов)
Д
- Выпускная квалификационная работа
Г
- Госэкзамены
Г
Г
Э
Э
Э
Э
Э
Э
- Экзаменационная сессия
П
- Практика (в том числе производственная)
К
- Каникулы
=
- Неделя отсутствует
Приложение 2
«Утверждаю»:
Ректор (декан)
____________________________
«_____»__________________200 г.
Министерство образования и науки Российской
Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Новосибирский государственный университет
Механико-математический факультет
Учебный план
Наименование магистерской программы
"Дискретный анализ, теория графов и кодирование"
Направление подготовки
010100 - Математика
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Нормативный срок обучения
2 года
Наименование дисциплин
Зачетные
единицы
Всего
часов
в том числе
Аудит.
М.1
Самост.
Распределение по семестрам
1 год обучения
2 год обучения
18 нед. 18 нед.
18 нед. 18 нед.
Гуманитарный, социальный и
экономический цикл
13
468
236
232
4
3
4
2
Базовая часть
10
360
180
180
3
3
2
2
Иностранный язык
Философия
6
4
216
144
108
72
108
72
3
3
Вариативная часть
3
108
56
52
1
Бизнес-планирование
1
36
20
16
1
2
2
Форма
промежуточной
аттестации
экзамен
экзамен
2
зачет
М.2
М.3
История математики
2
72
36
36
Математический и естественнонаучный
цикл
18
648
336
312
6
6
6
Базовая часть
12
432
216
216
4
4
4
Дискретная математика
Теория помехоустойчивого кодирования
Математические методы защиты информации
Теория вычислений
Дополнительные главы линейной алгебры
4
2
2
2
2
144
72
72
72
72
72
36
36
36
36
72
36
36
36
36
2
2
2
Вариативная часть
6
216
120
96
2
Денотационные семантики
Прикладная логика
Теория чисел
2
2
2
72
72
72
36
48
36
36
24
36
2
Профессиональный цикл
26
936
468
468
8
8
6
4
Базовая часть
12
432
216
216
4
4
2
2
Дискретный анализ и комбинаторика
4
144
72
72
2
2
Теория графов
4
144
72
72
Учебный семинар кафедры
4
144
72
72
2
2
Вариативная часть
14
504
252
252
4
4
Дисциплины по выбору обучающихся
2
72
36
36
2
Комбинаторные задачи на графах Кэли
Синтез и сложность дискретных управляющих систем
Элементы теории дискретных структур
Коды и схемы
экзамен
2
0
экзамен
экзамен
экзамен
экзамен
экзамен
2
2
2
2
2
экзамен
экзамен
экзамен
2
2
экзамен
2
2
экзамен
зачет
4
2
экзамен
Дисциплины по выбору обучающихся
4
144
72
72
4
144
72
72
4
144
72
72
51
1836
2
экзамен
2
Графы и алгоритмы
Совершенные структуры
Дисциплины по выбору обучающихся (научноисследовательские семинары)
2
зачет
2
Дискретный анализ
Теория графов
Теория кодирования
Комбинаторика и символьные последовательности
Факторные языки
Дисциплины по выбору обучающихся (научноисследовательские семинары)
2
2
зачет
Дискретный анализ
Теория графов
Теория кодирования
Комбинаторика и символьные последовательности
Факторные языки
Всего теоретическое обучение
М.4
Практика и научно-исследовательная
работа
М.5
Итоговая государственная аттестация
Общая трудоемкость основной
образовательной программы
Защита курсовой
12
432
120
4320
Защита магистерской
диссертации.
Государственный
экзамен
Примечания:
Настоящий примерный учебный план составлен в соответствии с федеральным
государственным образовательным стандартом (ФГОС) высшего профессионального
образования по направлению подготовки магистров "Математика".
Курсовые работы (проекты), текущая и промежуточная аттестации (зачеты и
экзамены) рассматриваются как вид учебной работы по дисциплине и выполняются в
пределах трудоемкости, отводимой на ее изучение.
В соответствии с Типовым положением о вузе к видам учебной работы отнесены:
лекции, консультации, семинары, практические занятия, лабораторные работы, контрольные
работы, коллоквиумы, самостоятельные работы, научно-исследовательская работа, практики,
курсовое проектирование (курсовая работа).
Приложение 3
ТЕОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1. Введение
Цепочки, языки, графы и деревья. Порождающие грамматики и распознаватели,
классификация Хомского, свойства КЗ-грамматик.
2. Регулярные множества и автоматы
Регулярные множества и выражения, приведение КС-грамматики к виду без е-правил.
Конечные автоматы, теорема о детерминизации. Регулярные грамматики, лемма о
разрастании для регулярных множеств, пример не регулярного множества.
3. КС-языки и автоматы с магазинной памятью
Деревья вывода и эквивалентные преобразования КС-грамматик. Однозначность КСграмматик и языков, приведение КС-грамматики к нормальной форме Хомского. Лемма о
разрастании для КС-языков, пример языка, не являющегося КС-языком. Свойства
замкнутости и незамкнутости класса КС-языков. Автоматы с магазинной памятью и их связь
с КС-языками. Детерминированные КС-языки и их свойства.
4. Машины Тьюринга и проблемы разрешимости
Машины Тьюринга (ТМ) и их связь с порождающими грамматиками. Линейноограниченные автоматы и их связь с КЗ-языками. Алгоритмически неразрешимые проблемы,
метод сведения, неразрешимые проблемы КС-грамматик и языков.
5. Классы P и NP
Сложность алгоритмов и задач. Недетерминированные ТМ (NTM), их детерминированное
моделирование. Классы P и NP, полиномиальная сводимость, NP-полные и NP-трудные
языки и задачи, Теорема Кука. NP-полнота задачи о 3-выполнимости и задачи о клике. NPполнота задачи о вершинном покрытии и точном покрытии 3-множествами. NP-полнота
задачи о трехмерном сочетании. Структура класса NP, список задач из NPC и кандидаты в
NPI, класс co-NP.
6. Иерархии языков и задач
Многоленточные ТМ и их моделирование. Класс P-SPACE, примеры языков, полных для PSPACE, и задач, требующих экспоненциальной памяти. Иерархия по емкостной сложности
для DTM. Понятие моделирования, теорема об ускорении. Существование сколь угодно
сложных задач, теорема Цейтина. RАМ с равномерным и логарифмическим критерием, ее
связь с TM. Техника следов и нижняя оценка сложности распознавания симметрии.
Альтернирующие машины Тьюринга (ATM) и их свойства. Полиномиальная иерархия, ее
связь с ATM. Модели вычислений PTM, RTM и CTM, класс #P, примеры #P-полных задач.
Параллельные RAM, их классификация и свойства. Тезисы инвариантности и параллельного
выполнения.
7. Сети Петри
Сети Петри, графы разметок, теорема о дополнительных фишках. Моделирование сетями
Петри,
представление
блок-схем,
задачи
о
взаимном
исключении,
о
производителе/потребителе, об обедающих философах, о читателях/писателях. Основные
свойства сетей Петри, проблемы R-включения и R-эквивалентности. Покрывающее дерево,
алгоритм проверки ограниченности сети. Полное покрывающее дерево и разрешимость
проблемы ограниченности места в сети. Алгоритмы проверки t-тупиковости, безопасности,
потенциальной живости, получения местом фишки, неограниченности срабатываний
перехода. Проблемы достижимости и живости, их взаимосвязь. Языки сетей Петри,
разрешимость проблемы принадлежности.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Выборки. Перестановки, сочетания, перестановки с повторениями, сочетания с
повторениями. Биномиальная и полиномиальная теоремы. Разбиения. Числа Стирлинга 1-го
и 2-го рода; свойства чисел Стирлинга; обращение Стирлинга. Числа Белла и их свойства.
Формулы обращения. Дзета-функция и функция Мёбиуса. Метод включений и исключений.
Оценки для числа элементов, не обладающих ни одним из n свойств. Формула для числа
элементов, обладающих в точности m свойствами, 0 ≤ m ≤ n. Формула обращения Мёбиуса.
Производящие функции. Примеры применения метода производящих функций для решения
комбинаторных задач. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными
коэффициентами. Теорема о решении линейных рекуррентных соотношений. Числа
Фибоначчи. Числа Каталана. Экспоненциальные производящие функции. Трансверсаль.
Теорема о числе трансверсалей. Задача о гаремах. Латинские прямоугольники. Теорема
Рамсея. Теорема Рамсея для графов. Верхние и нижние оценки для чисел Рамсея. Теорема
Эрдеша – Секереша. Теорема Ван дер Вардена об арифметических последовательностях.
Булевы функции, их реализация формулами. Совершенные дизъюнктивная и
конъюнктивная нормальные формы. Принцип двойственности. Полином Жегалкина.
Предполные классы функций. Теорема Поста. Минимальные и кратчайшие ДНФ. Алгоритм
Квайна – Мак-Клоски. Карты Карно. Метод Блейка получения сокращенной ДНФ. Таблицы
Квайна. Схема из функциональных элементов, ее сложность. Метод Лупанова синтеза схем
из функциональных элементов. Мощностной метод получения нижней оценки функции
Шеннона для СФЭ. Контактная схема, ее сложность. Функция Шеннона для контактных
схем. Метод каскадов для контактных схем. Нижняя оценка функции Шеннона для
контактных схем. Схема Кардо. Ограниченно-детерминированные функции. Способы их
задания. Конечный детерминированный автомат с выходом. Автоматные функции, связь с
ограниченно-детерминированными функциями. Схема из автоматных элементов. Теорема о
не существовании конечных полных систем автоматных функций. Схемы из автоматных
элементов с использованием операции обратной связи. Реализация произвольной автоматной
функции.
Графы. Основные понятия. Способы представления графов. Перечисление графов на
нумерованных вершинах. Верхняя оценка для числа неизоморфных графов с q ребрами.
Деревья и их свойства. Оценка числа неизоморфных корневых деревьев с q ребрами.
Теорема Кэли о числе помеченных деревьев. Связность. Свойства двусвязных графов.
Теорема Менгера. Эйлеровы циклы. Теорема Эйлера. Теорема Эйлера для ориентированных
графов, последовательности де Брейна. Гамильтоновы циклы. Теорема Дирака.
Гамильтоновы циклы и степенные последовательности. Теорема Хватала. Гамильтоновы
циклы и совершенные паросочетания. Теорема Финка. Укладка графа в пространство.
Планарный и плоский графы. Формула Эйлера. Теорема Понтрягина-Куратовского.
Алгебраические критерии планарности. Правильная раскраска вершин графа. Оценки
хроматического числа. Теорема Брукса. Теорема Зыкова. Раскраски планарных графов.
Теорема о четырех красках. Совершенные графы. Теорема Ловаца. Совершенность
триангулированных графов. Правильная раскраска ребер графа. Хроматический индекс.
Теорема Кёнига о хроматическом индексе двудольных графов. Теорема Визинга.
ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ
Модель канала связи с шумами, скорость кода, пропускная способность. Теорема Шеннона
для двоичного симметричного канала связи с шумом (с доказательством). Вероятность
ошибки декодирования. Стандартное расположение. Синдром.
Поле Галуа, его свойства.
Линейные коды. Кодирование и декодирование. Общие свойства линейных кодов. Теорема о
связи проверочной и порождающей матриц. Теорема Глаголева.
Границы объема кода: граница Синглтона, граница Хэмминга, граница ВаршамоваГилберта, граница Плоткина. Оценки мощностей кодов, теоремы Джонсона.
Методы построения новых кодов из заданных. Комбинирование кодов. Теорема Плоткина.
Каскадная конструкция.
Совершенные коды. Теорема о существовании совершенных кодов. Коды Хемминга над
GF(q), способы задания, кодирование, декодирование, единственность. Группа
автоморфизмов кода Хэмминга. Конструкции совершенных кодов: свитчинговые (коды
Васильева, Моллара, конструкция  -компонент), каскадные (коды Зиновьева, Соловьевой,
Фелпса). Оценки числа совершенных кодов. Общие свойства совершенных кодов, теоремы
Шапиро и Злотника, группа автоморфизмов совершенных кодов. Связь совершенных кодов с
блок схемами, конструкция Ассмуса и Маттсона.
Матрица Адамара. Коды Адамара. Связь кодов Адамара с кодами Хэмминга и блок-схемами.
Коды Рида-Маллера, группа автоморфизмов. Код Голея, его свойства. Код НордстромаРобинсона.
Двойственные коды. Весовой энумератор. Дискретное преобразование Фурье. Тождества
Мак-Вильямс.
Теория циклических кодов. Кольцо многочленов над полем Галуа.
Определение
циклического кода. Теорема о необходимом и достаточном условии существования
циклического кода с порождающим многочленом g(x). Кодирование и декодирование
циклических кодов. Важные классы циклических кодов: коды Хэмминга, коды БоузаЧоудхури- Хоквингема (БЧХ-коды), коды Рида-Соломона, коды Юстесена, коды Гоппы.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
1. Введение в криптологию
Введение в криптологию. Секретность и имитостойкость. Основные идеи. Криптография и
криптоанализ.
Криптографические системы с секретными ключами. Подстановки.. Перестановки.
Полиалфавитные шифры. Шифр с бегущим ключом. Криптографические системы коды.
Стандарты шифрования данных DES, AES, GOST. S-блоки, APN-функции, их свойства.
Теорема Шеннона о существовании совершенно секретных шифров.
Криптографические системы с открытыми ключами. Односторонняя функция с лазейкой.
“Шарады” Меркля.
Криптосистема Диффи и Хэллмана и проблема вычисления дискретного логарифма.
Криптосистема RSA и проблема разложения числа на простые сомножители.
Криптосистема Меркля-Хэллмана, основанная на задаче об укладке ранца. Криптоанализ
системы Меркля-Хэллмана.
Криптосистема Шамира.
Кодирующая система МакЭлиса. Криптосистема МакЭлиса, построенная на коде РидаМаллера.
Цифровая подпись, применение различных криптосистем для создания цифровой подписи.
Криптосистемы на эллиптических кривых.
Применение теории кодирования в криптографии. Проблема аутентификации.
Распределение секретов.
2. Сжатие информации
Разделимые и префиксные коды. Стоимость кодирования. Неравенство Крафта-Макмиллана.
Теорема Крафта, теорема Макмиллана.
Оптимальное кодирование. Метод Хаффмена. Метод Фано.
Энтропия, ее свойства. Метод Шеннона для бернуллиевских источников. Теорема Шеннона.
Критерий разделимости побуквенного кодирования.
Теоремы Маркова. Алгоритм
распознавания разделимости.
Универсальное кодирование, теорема Фитингофа.
Код Левенштейна. Код “стопка книг”.
Адаптивные методы сжатия данных. Методы Лемпела-Зива и их модификации. Адаптивный
метод Хаффмена.
Арифметический код.
ПРИКЛАДНАЯ ЛОГИКА
Раздел 1. Общие сведения о языках логического программирования. Унификации. Логическая
программа. Исчисление предикатов. Хорновские дизъюнкты. Унификации, Алгоритм
унификации, Теорема об унификации.
Раздел 2. Резолюции. Резольвента, метод резолюций. SLD-вывод, опровержение. Теорема о
корректности метода резолюций.
Раздел 3. Модели Эрбрана. Интерпретация Эрбрана. Модель Эрбрана. Существование
модели Эрбрана для выполнимого множества предложений.
Раздел 4. Наименьшая модель Эрбрана. Теорема Тарского. Оператор непосредственного
следствия. Теорема о наименьшей модели Эрбрана.
Раздел 5. Полнота метода резолюций. Лемма о mgu. Лемма о подъеме. Решение программы.
Теорема о множестве решений программы. Теорема о полноте резолюций.
Раздел 6. Алгоритмические свойства наименьшей модели Эрбрана. Рекурсивная
перечислимость наименьшей модели Эрбрана. Теорема о вычислимости ч.р.ф., ее следствие.
Раздел 7. Проблема отрицания. Различные способы определения правил для вывода
негативной информации. Правила CWA и отрицание как неуспех.
Раздел 8. Язык и семантика темпоральной логики программ. Язык и семантика
пропозициональной темпоральной логики. Примеры общезначимых формул.
Раздел 9. Исчисление темпоральной логики программ. Исчисление, теорема о корректности.
Теоремы о дедукции и слабой полноте. Отсутствие сильной полноты.
ДЕНОТАЦИОННАЯ СЕМАНТИКА
1. Бестиповое λ-исчисление. Синтаксис. λ–Термы. Подтермы. Вхождение подтерма в терм.
Множество свободных переменных терма. Свободные и связанные вхождения переменных, а
также области действия для λ. α–Эквивалентность λ–термов. Терм свободный для
подстановки. Операция подстановки терма в терм вместо всех свободных вхождений переменной. Свойства подстановки. β–Редукции. Редексы. Нормальные формы. Нормализуемые
термы. Теорема Чёрча-Россера (доказательство через параллельные редукции и их свойства).
Единственность нормальной формы. β–Эквивалентность и ее свойствами.
2. λ-Исчисление как язык программирования. Натуральные числа Чёрча и определение
представимых функций. Представимость любых всюду определенных рекурсивных
функций. Термы True, False, Cond и их свойства. Свойства терма IsNull. Кодировка пар:
термы First, Second, Pair и их свойства. Отнимание 1 в λ–исчислении. Теорема о неподвижной точке. Представимость простейших функций. Представимость композиции.
Представимость примитивной рекурсии. Представимость μ–оператора. Неразрешимость
проблемы существования нормальной формы для термов.
3. Типизированное λ–исчисление. Простые и составные типы. Правила приписывания
типов. Типизируемые термы. Теорема о нормализации типизируемых термов (без
доказательства).
4. Семантика Скотта для бестипового λ-исчисления. Направленные множества, Полные
частично упорядоченные множества (пчум). Топология Скотта. Критерий непрерывности в
топологии Скотта. Монотонность непрерывных отображений. Декартовым произведением
семейств пчум. Пчум всех непрерывных отображений полных чум. Теорема о
непрерывности функций от двух аргументов. Теорема о непрерывности аппликации. Теорема
о непрерывности λ–абстракции. Проекция полных чумов. Ретракты и ретракции. Свойства
проекций полных чумов. Перенесение проекций с полных чум на пчумы их непрерывных
отображений. Определение пчум D∞. Определение отображений Φmn и их свойства.
Определение операции · на D∞, ее непрерывность, связь с операцией применения
(аппликации) на Dn+1×Dn. Связь операции · и упорядочения. Теорема о функциональной
полноте D , . Изоморфизм и гомеоморфизм упорядоченных множеств D∞ и [D∞→ D∞].
Представление непрерывных функций на Dn с помощью операции ·. Определение
семантики Скотта для λ–термов. Теорема о связи β–эквивалентности и семантики Скотта.
5. Графиковая модель λ–исчисления. Определение графиковой модели, ее отличие от
модели Скотта.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Введение. Особенности компьютерных вычислений. Обратная устойчивость.
Гарантированная оценка точности.
2.1 Системы с квадратной матрицей, число обусловленности, определитель, упрощение с
помощью ортогональных преобразований. Решение систем
2.2 Решение систем полного ранга. Метод регуляризации
3.1 Особенности спектра симметричных матриц. Теорема Штурма, последовательности
Штурма
3.2 Вычисление собственных значений симметричных матриц. Примеры
3.3 Двусторонние последовательности Штурма и собственные векторы симметричных
матриц.
3.4 Примеры: собственные функции оператора Лапласа, полиномы Лежандра и др.
4.1 Теорема Шура. Уравнение Сильвестра
4.2 Эпсилон-спектр, примеры, критерий отсутствия спектра на кривой.
4.3 Обобщенные уравнения Ляпунова
4.4 Задача дихотомии спектра, проекторы на инвариантные подпространства.
4.5 Дихотомия окружностью
4.6 Линейная дихотомия, эллиптическая дихотомия.
4.7 Одномерные спектральные портреты и канонический вид матриц.
4.8 Разложение полинома на множители
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
1. История Российской академии наук.
2. Сибирское отделение Российской АН.
3. Новосибирский государственный университет.
4. Институт гидродинамики СО РАН.
5. Институт математики СО РАН.
6. История алгебры.
7. История геометрии.
8. История математического анализа.
9. История кибернетики.
10. История математической экономики.
11. История дискретной математики.
12. История комбинаторики.
13. История теории вероятностей.
14. История теории чисел
15. История криптографии.
16. История теоремы Ферма.
17. История гипотезы Римана.
18. История гипотезы Пуанкаре.
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
1. Основные определения и обозначения, связанные с графами, орграфами и
мультиграфами.
2. Способы задания графов. Матрицы смежности и инцидентности, их свойства. Связь
между матрицей смежности и числом маршрутов заданной длины.
3. Графы пересечений множеств. Представление произвольного графа в виде графа
пересечений.
4. Степенные последовательности графов, мультиграфов и псевдографов, их
характеризация.
5. Двудольные графы. Критерий двудольности графа. Однозначность разбиения связного
графа на доли.
6. Экстремальные по числу ребер графы. Экстремальные графы без треугольников. Теорема
Турана и граф Турана.
7. Леса и деревья. Теорема о характеризации деревьев. Корневые и остовные деревья.
8. Вершинная и реберная древесность графов. Теорема Нэш-Уильямса о реберной
древесности. Понятие линейной древесности.
9. Перечисление и кодирование деревьев. Код Прюффера. Теорема Кэли о числе
помеченных деревьев.
10. Проблема изоморфизма графов. Гипотеза Улама. Полные системы инвариантов для
деревьев.
11. Вершинная и реберная k-связность графов, числа вершинной и реберной связности, их
свойства.
12. Точки сочленения, мосты и блоки графа. Теорема о характеризации вершинно
двусвязных графов. Взаимное расположение двух блоков в графе. Дерево блоков и точек
сочленения.
13. Сети и потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Остаточные сети, дополняющие
пути и разрезы. Теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном
разрезе.
14. Наборы непересекающихся цепей, соединяющих два подмножества вершин графа
(орграфа). Вершинная и реберная теоремы Менгера. Критерии вершинной и реберной kсвязности графа (теоремы Уитни).
15. Обходы графов. Гамильтоновы циклы и цепи. Простейшие необходимые условия
гамильтоновости графа. Достаточные условия: теоремы Оре и Дирака. Задача
коммивояжера.
16. Эйлеровы циклы и цепи. Критерий эйлеровости графа. Алгоритм Флери.
17. Независимые множества вершин и ребер графа. Вершинные и реберные покрытия,
факторы и паросочетания. Числовые параметры, связанные с независимостью и
покрытиями, их свойства. Теорема Галлаи.
18. Наибольшие паросочетания и чередующиеся цепи. Характеризация наибольших
паросочетаний в терминах чередующиеся цепей.
19. Паросочетания, покрывающие долю двудольного графа. Связь с системами различных
представителей. Теоремы Холла, Кенига-Холла и Кенига-Оре.
20. Теоремы Кенига о числе реберной независимости двудольного графа и (0,1)-матрицах.
Связь между задачами о наибольшем паросочетании, о наименьшем вершинном
покрытии и о максимальном потоке. Задача о назначениях.
21. Критерий Татта существования 1-фактора в произвольном графе. Теоремы Петерсена о
2-факторах. Теоремы об 1-факторизуемости и 2-факторизуемости полных графов.
22. Плоские и планарные графы. Грани плоского графа. Нормальные карты и эйлеровы
многогранники.
23. Формула Эйлера и ее следствия. Оценки для числа ребер планарных графов.
Максимальные планарные графы, плоские триангуляции и четыреангуляции.
24. Понятие k-вырожденного графа. Оценки для числа вырожденности планарных графов.
25. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского.
26. Геометрическая двойственность плоских графов. Двойственность платоновых
многогранников.
27. Укладки графов на двумерных поверхностях. Эйлерова характеристика поверхности.
Род, крупность, толщина и число скрещиваний графа.
28. Раскраски вершин графов, k-раскрашиваемые, k-хроматические и критические графы.
Хроматическое числа графа, его простейшие оценки. Раскраска k-вырожденных графов.
Теорема Брукса.
29. Вершинные раскраски графов без треугольников. Графы Мцельского. Хроматическое
число графа с большим обхватом.
30. Совершенные графы. Теорема о дополнении совершенного графа (малая гипотеза Бержа).
Теорема о характеризации совершенных графов (большая гипотеза Бержа). Хордальные
графы, их характеризация и совершенство.
31. Хроматические полиномы, их свойства. Нерешенные задачи, связанные с
хроматическими полиномами.
32. Раскраски планарных графов и карт. Теорема о четырех красках, ее эквивалентные
формулировки: теорема Тейта и гипотеза Хадвигера.
33. Доказательство теоремы о пяти красках. Достаточные условия Грецша и Грюнбаума 3раскрашиваемости плоских графов.
34. Раскраски графов, уложенных на двумерных поверхностях. Хроматическое число
поверхности. Теорема Хивуда о раскраске карт.
35. Раскраски ребер графов и мультиграфов. Понятие хроматического индекса. Теоремы
Визинга и Шэннона, неулучшаемость их оценок. Хроматический индекс двудольного
графа.
36. Предписанные раскраски вершин и ребер графов. Связь между обычными и
предписанными раскрасками. Оценка предписанного хроматического числа через число
вырожденности графа.
37. Предписанное хроматическое число полного двудольного графа. Критерий предписанной
2-раскрашиваемости.
38. Теорема Томассена о предписанной 5-раскрашиваемости плоских графов.
39. Предписанный хроматический индекс двудольного графа. Гипотеза о предписанном
хроматическом индексе.
40. Теорема Рамсея для множеств и графов. Оценки для чисел Рамсея. Обобщения чисел
Рамсея.
41. Вероятностные методы в теории графов. Моделирование случайных графов. Некоторые
свойства "почти всех” графов.
ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И КОМБИНАТОРИКА
1. Комбинаторика перечисления и кодирование.
Системы счисления и кодирование натуральных чисел. Задачи о нумерациях
подмножеств конечного множества. Коды Грея.
Нумерации объектов в порядке
минимального изменения. <m,n>-нумерации множества слов. Алгоритмы построения
нумерующих отображений. Отображения конечных множеств, их кодирование и подсчет
числа. Кодирование деревьев. Число деревьев. Примеры подсчёта с помощью рекуррентных
уравнений и производящих функций.
2. Комбинаторика слов.
Некоторые классические символьные последовательности и способы их задания.
Универсальные слова. Задачи восстановления символьных последовательностей по их
фрагментам. Коды без перекрытий. Комбинаторная сложность слов. Псевдослучайные
последовательности. Последовательности де Брейна и их число. Графы перекрытия
подслов символьных последовательностей. Задачи быстрой сборки слов. Алгоритмы
сборки. Аддитивная сложность символьных последовательностей и ее связь с задачами
быстрого умножения и вычисления полиномов. Оценки аддитивной сложности
индивидуальных последовательностей.
3. Кодирование структурированной информации и вложения дискретных
пространств.
Понятия близости, расстояния, метрики. Структуры метрических пространств на
множествах подмножеств, словах, символьных последовательностях. Реализация метрик
графами.
Гиперкубовая архитектура вычислительных систем. Графы гиперкубов. Кодирование
дискретных объектов и вложения в гиперкубы. Изоморфные и изометрические вложения.
Вложения с растяжением ребер. Алгоритмы построения вложений.
Применение методов и алгоритмов вложения. Локально изометрическое кодирование
табло. Сеточные графы структур cистолических вычислителей. Вложения деревьев.
Суффиксные деревья. Префиксные коды.
4. Булевы функции и дискретные модели генных сетей.
Булевы функции, их число, способы задания. Представление формулами. Нормальные
формы. Единственность совершенной и сокращённой форм. Представления многочленами
Жегалкина. Полнота систем булевых функций. Теорема Поста. K-значные логические
функции. Схемы из функциональных элементов. Конечные автоматы.
Ориентированные графы и сети. Достижимость вершин. Алгоритмы нахождения
внутренне и внешне устойчивых множеств. Базы и ядра. Алгоритм построения разрезов
циклов. Логические производящие функции. Булевы методы в задачах теории графов.
Диаметр, радиус и центр в ориентированных графах и алгоритмы их нахождения.
Дискретные модели генных сетей. Анализ функционирования регуляторного контура генной
сети.
УЧЕБНЫЙ СЕМИНАР КАФЕДРЫ
Научно-исследовательский семинар кафедры, в рамках которого в соответствии с ФГОС
ВПО по направлению "010100 – Математика" производится обоснование темы, обсуждение
плана и промежуточных результатов, что является основной формой планирования и
корректировки индивидуальных планов научно-исследовательской работы магистрантов.
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ КЭЛИ
1. Основы теории графов Кэли.
1.1. Группы: основные понятия, определения
1.1.1. Симметрическая группа
1.1.2. Гипероктаэдральная группа
1.2. Графы: основные понятия, определения
1.2.1. Регулярные и транзитивные графы
1.2.2. Дистанционно–регулярные и дистанционно–транзитивные графы
1.3. Графы Кэли
1.3.1. Простейшие примеры графов Кэли
1.3.2. Основные свойства графов Кэли
1.3.3. Граф Хэмминга: дистанционно-транзитивный граф Кэли
1.3.4. Граф Джонсона: дистанционно-транзитивный граф, не являющийся
графом Кэли
1.3.5. Граф Кнезера: когда он является графом Кэли?
1.3.6. Графы Кэли на симметрической группе
1.3.7. Графы Кэли на гипероктаэдральной группе
2. Гамильтоновость. Графов Кэли
2.1. Гамильтоновость гиперкуба
2.2. Комбинаторные условия гамильтоновости
2.3. Гипотезы Ловаса и Бабаи
2.4. Гамильтоновость графов Кэли на произвольной конечной группе
2.5. Гамильтоновость графов Кэли на симметрической группе
2.6. Гамильтоновость Pancake графа
2.7. Другие циклы Pancake графа
2.7.1. Циклы длины шесть
2.7.2. Циклы длины семь
3. Задача определения диаметра графов Кэли
3.1. Диаметр графов Кэли на абелевых и неабелевых группах.
3.2. Диаметр графов Кэли на симметрической и знакопеременной группах
3.3. Pancake problem: комбинаторная задача в информатике и биоинформатике
3.3.1. Оценки Гейтса и Пападимитроу на диаметр Pancake графа
3.3.2. Улучшенные оценки Садбороу
3.3.3. Точные значения диаметра Pancake графа
3.4. Burnt Pancake problem: обобщение Pancake problem
3.4.1. Оценки Кохена и Блюма на диаметр Burnt Pancake граф
3.4.2. Улучшенные оценки Хейдари и Садбороу
3.4.3. Точные значения диаметра Burnt Pancake графа
Глава 4. Задача сортировки реверсалами
4.1.
Перестановки и помеченные перестановки как модель представления
генных последовательностей
4.2.
Сортировка реверсалами на перестановках
4.2.1. NP-трудная задача
4.2.2. Приближенные алгоритмы сортировки
4.3.
Сортировка реверсалами на помеченных перестановках
4.3.1. Полиномиальные алгоритмы сортировки
4.4.
Другие задачи сортировки, возникающие в молекулярной биологии
Глава 5. Задача восстановления вершин графа
5.1.
Постановка задачи в теории кодирования
5.2.
Решение задачи для графов Хэмминга и Джонсона
5.3.
Решение задачи для графов Кэли на симметрической и гипероктаэдральной
группах
5.4.
Прикладные аспекты задачи в молекулярной биологии
СИНТЕЗ И СЛОЖНОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ
Введение. Понятие управляющей системы (УС), примеры: дизъюнктивные нормальные
формы, формулы, контактные схемы, схемы из функциональных элементов, ветвящиеся
программы.
Проблемы оценок сложности управляющих систем. Связь с проблемой P  NP
Дизъюнктивные нормальные формы. Совершенные, минимальные, кратчайшие,
сокращенные, тупиковые ДНФ. Соотношение между различными типами ДНФ
Контактные схемы. Простейшие методы синтеза контактных схем. Метод Шеннона
синтеза контактных схем. Метода Лупанова синтеза контактных схем
Схемы из функциональных элементов. Метод Лупанова синтеза схем из
функциональных элементов. Функция Шеннона сложности вычисления булевых функций
схемами из функциональных элементов
Теорема Яблонского о невозможности элиминации перебора при построении
последовательности самых сложных функций
Эффективные нижние оценки сложности. Сложность линейной функции в классе
контактных схем.
Метод Нечипорука получения нижних оценок сложности контактных схем, формул,
ветвящихся программ
Метод Субботовской. Пример Андреева
Метод Храпченко получения нижних оценок сложности параллельно-последовательных
контактных схем для линейной функции. Нижние оценки сложности вычисления булевых
функций ветвящимися программами
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ СТРУКТУР
Формулы обращения.
Формула включений и исключений.
Частично упорядоченные множества, их функции Мебиуса и теорема об обращении
Мебиуса.
Производящие функции. Возвратные последовательности и рекуррентные соотношения.
Решение линейных рекуррентных соотношений.
Теорема Рамсея и ее частный случай для графов. Одно приложение теремы Рамсея.
Теорема Ван-дер-Вардена.
Конечные геометрии. Структура конечной плоскости.
Конечные плоскости и их связь с другими комбинаторными конфигурациями: латинские
квадраты.
Блок-схемы и их связь с конечными плоскостями.
Булевы функции, формулы. Реализации булевых функций. Дискретные устройства без
памяти – схемы из функциональных элементов.
Дискретные устройства с конечной памятью – конечные автоматы. Представление
событий в автоматах. Существование событий, не представимых в конечных автоматах.
Регулярные события. Источники. Детерминированные источники. Теоремы синтеза и
анализа автоматов.
Схемы отношений и дистанционно регулярные графы. Алгебра Боуза-Меснера.
Дуальность в схемах отношений.
Подмножества в схемах отношений.
Схемы Хэмминга и Джонсона. Метрические и P(Q)-полиномиальные схемы.
КОДЫ И СХЕМЫ
Предметы теории кодирования, теории блок-схем (designs). Модель канала связи с
шумами, определение кода (теоретические и геометрическое). Задание кода. Пример кода
Хэмминга длины 7.
Кодовое расстояние, линейные коды. Теорема о связи проверочной и порождающей
матриц. Граница Хэмминга, код Хэмминга, его кодирование и декодирование. Границы
Синглтона, Варшамова-Гилберта. Методы построения кодов, теорема Плоткина.
Совершенные коды. Конструкция Васильева. Построение кодов общей проверкой на
четность. Нижняя оценка числа совершенных кодов. Совершенные и совершенные
расширенные коды длины 15 и 16, их классификация.
Системы троек Штейнера порядка n (STS(n)), определение, спектр существования.
Теорема о необходимом и достаточном условии существования STS(n), примеры STS(n) для
малых n, эквивалентные STS(n). Конструкция произведения.
Конструкция Ассмуса и Маттсона, ее связь с конструкцией Васильева. Теорема о
совокупности кодовых слов веса 3 в совершенном коде (веса 4 в совершенном расширенном
коде).
Определение блок-схемы, теорема о параметрах блок-схемы. Неравенство Фишера.
Свитчинги в блок-схемах и кодах. Свитчинговость конструкций Васильева, АссмусаМаттсона. Представление кода Хэмминга через объединение линейных компонент,  компоненты.
Системы четверок Штейнера порядка n (SQS(n)), определение, спектр существования,
примеры. Конструкции Ханани и Алиева. Cвитчинговая конструкция SQS(n).
Полиномы Кравчука.
Введение в полностью регулярные коды. Теорема Ллойда. Теорема Зиновьева, Леонтьева
и Тиетвайнена.
ГРАФЫ И АЛГОРИТМЫ
1. Основные определения и обозначения, связанные с графами, мультиграфами и
орграфами. Способы задания графов. Лемма о рукопожатиях.
2. Способы задания графов и орграфов. Теорема о числе маршрутов, соединяющих две
вершины графа (орграфа).
3. Двудольные графы. Критерий двудольности графа.
4. Леса и деревья. Теорема об эквивалентных определениях дерева. Корневые деревья.
5. Вершинно и реберно k-связные графы. Числа вершинной и реберной связности,
неравенство между ними.
6. Вершинно и реберно-двусвязные графы Точки сочленения и мосты в графе. Теорема об
эквивалентных определениях вершинно-двусвязного графа.
7. Простейшие операции, сохраняющие вершинную двусвязность графа. Точки сочленения,
мосты и блоки. Взаимное расположение двух блоков в графе. Граф блоков и точек
сочленения, теорема о его строении.
8. Поиск по графу в глубину и в ширину. Дерево поиска. Связь поиска в ширину с
нахождением кратчайших цепей в графе.
9. Алгоритм нахождения блоков в связном графе.
10. Теорема о существовании остовного дерева (остова) в связном графе. Поиск
минимального остова во взвешенном графе. Алгоритм Краскала.
11. Поиск минимального остова во взвешенном графе. Алгоритм Примы.
12. Кратчайшие пути во взвешенных орграфах. Алгоритм Дейкстры.
13. Кратчайшие пути во взвешенных орграфах. Алгоритм Флойда-Уоршелла.
14. Определения сети и потока. Задача о максимальном потоке. Остаточные сети,
дополняющие пути и разрезы. Лемма о величине потока через разрез.
15. Сети и потоки в сетях. Задача о максимальном потоке. Теорема Форда-Фалкерсона.
16. Обобщенный алгоритм Форда-Фалкерсона. Анализ работы алгоритма в случае целых и
рациональных пропускных способностей.
17. Метод кратчайших путей в задаче о максимальном потоке.
18. Реберная теорема Менгера для орграфов (о наименьшем числе дуг, разделяющих два
подмножества вершин орграфа).
19. Вершинная теорема Менгера для орграфов (о наименьшем числе вершин, разделяющих
два подмножества вершин орграфа).
20. Теоремы Менгера для неориентированных графов (вершинный и реберный варианты).
21. Критерии вершинной и реберной k-связности графа (теоремы Уитни).
22. Гамильтоновы циклы и цепи, необходимые условия их существования. Достаточные
условия гамильтоновости графа (теоремы Дирака и Оре).
23. Понятия эйлерова цикла и цепи. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа и
алгоритм Флери.
24. Независимые множества вершин и ребер графа. Вершинные и реберные покрытия,
факторы и паросочетания. Числовые характеристики, связанные с независимостью и
покрытиями, их простейшие свойства.
25. Лемма о строении минимального реберного покрытия графа. Теорема Галлаи.
26. Характеризация наибольших паросочетаний графа в терминах чередующих-ся
дополняющих цепей.
27. Алгоритм поиска наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в
двудольном графе. Задача о назначениях.
28. Паросочетание, покрывающее долю двудольного графа. Теорема Холла и ее следствия.
Связь с системами различных представителей.
29. Теоремы Кенига о числе реберной независимости двудольного графа и о (0,1)-матрицах.
30. Совершенные паросочетания и r-факторы. Критерий Татта существования 1-фактора
(доказательство необходимости).
31. Теоремы Петерсена о 2-факторах в кубических графах и о 2-факторизуемости
регулярных графов четной степени.
32. Раскраски вершин графов, k-раскрашиваемые и k-хроматические графы. Нижние оценки
хроматического числа. Верхняя оценка хроматического числа k-вырожденного графа.
Теорема Брукса. Верхние оценки хроматического числа планарных графов (без
доказательства).
33. Раскраски ребер графов и мультиграфов. Хроматический класс. Нижние оценки
хроматического класса. Верхние оценки Визинга и Шэннона для графов и мультиграфов.
Неулучшаемость оценок. Хроматический класс двудольного (мульти)графа.
34. Плоские и планарные графы. Понятие грани, ранга грани, формула для суммы рангов
всех граней плоского графа. Планарность графов выпуклых многогранников. Формула
Эйлера, ее различные представления.
35. Верхняя оценка для числа ребер планарного графа. Максимальные планарные и плоские
графы, триангуляции, 5-вырожденность планарных графов.
36. Верхняя оценка для числа ребер планарного графа без 3-циклов, 3-вырожденность таких
графов; связь с четыреангуляциями.
37. Подразбиения графов и их гомеоморфизм. Критерий планарности ПонтрягинаКуратовского.
СОВЕРШЕННЫЕ СТРУКТУРЫ
1. Метрические пространства. Метрика графа.
2. Декартово произведение метрических пространств.
3. Гипотеза Улама.
4. Дистанционно-регулярные графы.
5. Теорема Шпернера.
6. Теорема Рамсея.
7. Гиперкуб. Булевы функции.
8. Частично упорядоченные множества. Цепи, антицепи. Теорема Дилуорса.
9. Системы различных представителей. Теорема Холла.
10. Транзитивные графы. Графы Кели конечных групп.
11. Совершенные коды. Код Хэмминга.
12. Теорема Ван дер Вардена о существовании монохроматических арифметических
прогрессий.
13. Числа Рамсея.
14. Формула для суммы биномиальных коэффициентов, взятых с фиксированным шагом.
15. Совершенные раскраски. Алгоритм Визинга.
16. Центрированные функции. Теорема Шапиро и Злотника.
17. Квазигруппы.
18. Каскадная конструкция построения Кодов.
19. Двудольные графы. (0,1)-матрицы. Теорема Кенига.
20. Поля Галуа.
21. Совершенные паросочетания. Перманенты.
22. Кронекерово произведение матриц.
23. Матрицы Адамара. Проблема существования матриц Адамара заданного порядка.
24. Методы построения матриц Адамара.
25. Построение матриц Адамара методом Вильямсона.
26. Эквидистантные коды.
27. Блок-схемы.
28. Теорема Брука--Райзера--Човлы.
29. Латинские квадраты. Ортогональные латинские квадраты.
30. Проективная геометрия.
31. Системы троек Штейнера.
32. Совершенные упаковки и разбиения.
33. Апериодические замощения.
34. Квазикристаллы. Фрактальная сложность.
35. Дважды стохастические матрицы. Теорема Биркгофа.
36. Наследственные свойства графов.
37. Планарные графы. Хроматическое число графа.
38. Род графа. Род группы.
39. Собственные пространства оператора Лапласа на графе.
40. Частичное восстановление совершенных структур.
41. Сложность сборки слов. Теорема Мерекина.
42. Компоненты кодов.
ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ
Научно-исследовательский семинар
ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Научно-исследовательский семинар
ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ
Научно-исследовательский семинар
ФАКТОРНЫЕ ЯЗЫКИ
Научно-исследовательский семинар
КОМБИНАТОРИКА И СИМВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Научно-исследовательский семинар