ктт.дин_системы

1-блок
1. Основные понятия дифференциальных уравнений: виды, решения,
интегралы уравнений. Постановка задачи Коши.
2. Уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные и приводящиеся к ним уравнения.
4. Линейные и приводящиеся к ним уравнения.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
y   f ( x, y ), y ( x 0 )  y 0 . Сведение к эквивалентному интегральному
уравнению.
7. Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
y   f ( x, y ), y ( x 0 )  y 0 . Построение последовательных приближений.
8. Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
y   f ( x, y ), y ( x 0 )  y 0 . Сходимость последовательных приближений.
9. Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
y   f ( x, y ), y ( x 0 )  y 0 . Доказать, что предельная функция является
решением эквивалентного интегрального уравнения.
10. Теорема существования и единственности решения задачи Коши:
y   f ( x, y ), y ( x 0 )  y 0 . Единственность решения.
11. Теорема существования и единственности решения для уравнения
F ( x, y, y )  0 .
12. Понятие решения в параметрическом виде. Интегрирование уравнений
F ( x, y )  0, F ( y, y )  0 .
13. Уравнения Лагранжа и Клеро.
14. Особые решения уравнений y   f ( x, y ) , и F ( x, y, y )  0 .
15. Дифференциальные уравнения n  го порядка. Понятие решения.
Понятие общего решения и общего интеграла.
2-блок
1. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного
однородного уравнения.
2. Формула Остроградского – Лиувилля.
3. Линейное неоднородное уравнение. Структура общего решения. Метод
вариации постоянных.
4. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Построение фундаментальной системы решений.
5. Интегрирование линейного неоднородного уравнения с постоянными
коэффициентами, когда неоднородность квазимногочлен.
6. Линейная краевая задача. Функция Грина.
7. Приведение линейных дифференциальных уравнений к простейшему виду.
8. Решение с помощью рядов.
9. Понятие нормальной системы. Теорема существования и единственности
решения задачи Коши для нормальной системы. Схема доказательства.
10. Интегралы нормальной системы и их свойства.
11. Интегрирование нормальной системы сведением к одному уравнению.
12. Система в симметричном виде. Построение интегралов.
13. Непрерывная зависимость решений от параметров и начальных данных.
14. Свойства решений линейной однородной системы.
15. Линейная зависимость, базис, вронскиан и связь между ними.
3-блок
1.
2.
Найти частные решения: x  x  t  cos t  e3t sin t  cos t
Найти частные решения: x  x  2 x  et (cos t  7 sin t ) .
3.
Найти частные решения: x  x  t  cos 2 t .
4.
Найти частные решения: x  3x  3x  x  et (t 2  t ) sin t .
5.
Найти частные решения: x  x  tet cos t .
6.
7.
Найти частные решения: x  x  tet cos t .
Найти общее решение: t 2 x  tx  x  0 .
 x   y  sin t

Решить систему:  y  x  cost .
 x   y  sin t

Найти общее решение системы:  y  x  cost
Найти общий интеграл: (t  x)dt  (2t  x  3)dx  0 .
 x  x  2 y

Найти общее решение системы:  y  x  5 sin t
Проинтегрируйте систему: x  4 x  sin x  sin 2 x
2
( IV )
( IV )
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
t
Найти общее решение: x  x  (2t  3)e
t
Найти общее решение: x  2 x  x  (2t  1)e
15.
  
Решить краевую задачу: x  x  t , x(0)  1, x  
16.
2
     
Решить краевую задачу: x  4 x  cos t  sin 2t , x    , x  
17.
18.
19.
20.
21.
22.
2
2
 2
2t 2 x ln x  t x  x .

Проинтегрируйте уравнение :
4t
Найти общее решение: x  8 x  20 x  5te
Проинтегрируйте уравнение: x  x  y ,
Найти общий интеграл: xx  t  1.

8
4
2
y  x  y  t .
1
x
 7
 .
Найти общее решение системы: x  Ax , x    , A  
  2  5
 y
 x  2 x  y  te2t ,


Найти общее решение системы:  y  x  4 y.
24.

 x  2 x  y

t
Найти общее решение системы:  y   x  2 y  5 e sin t.
 x  2 x  y  e3t sin t ,

3t
Найти общее решение системы:  y  x  4 y  te cos t.
25.
Проинтегрируйте уравнение:
23.
26.
tx ( x  2)  x.
 x  3x  8 y

Найти общее решение системы:  y   x  3 y .
27.
2
Проинтегрируйте уравнение: 2 x ( x  tx)  1.
28.
Найти частные решения: x  2x  2x  t 2et
29.
 x  5 x  4 y,

Решить систему:  y  4 x  5 y.
30.
t

 x  y ,

 y   t .
x
Решить систему: 