Учитель Зинатуллина Л.Т. МБОУ «Ципьинская СОШ» Разработка урока

Учитель Зинатуллина Л.Т.
МБОУ «Ципьинская СОШ»
Разработка урока
По математике в 11 классе
Тема: Подготовка к ЕГЭ
Задачи С6 на тему
«Целочисленное решение»
Цели:
1. Дидактическая: Научить способам и приемам решений целочисленных преобразований.
2. Техническая: Формировать общие способы и приемы решения задач С6 на целочисленное
преобразование.
3. Воспитательная : воспитание интереса к решению и овладению приемам решений
нестандартных заданий части С6 по ЕГЭ.
a=5
b=3
a=-5
b=-3
1. Выравнивание знаний
1. a2-b2=?
5*3
2. a*b=15
-5*(-3)
3. n!=1*2*…*n

произведение всех натуральных
чисел от 1 до n
например
5!= 1*2*3*4*5
4. если а-2b=1
2b –четное число, т.к. кратно 2,
то a – нечетное  а=2n+1
5. (m+3)2=?
m2+6m=y
Искусственно получить или выделить квадрат
2. Изложение нового материала
1. Решить в натуральных числах уравнение
n!+5n+13= k2
Решение
1. Предположим, что n>=5, то
n! делиться на 2 и на 5 (n!=1*2*3*4*5*…n),
значит запись числа в левой части равенства оканчивается на 3 или 8 ,но правая часть квадратного
числа не может оканчиваться на 3 и 8
2. если n€[1;4], то единственное решение
n=2; k=5 (2!+5*2+13=52
1*2+10+13=25 – верно)
Ответ : n=2; k=5.
2. Решить в целых числах уравнение:
m4-2n2=1 (*)
Решение: т.к. 2n2 четно, а разность - нечетное число, то m4 – нечетное число; пусть m= 2t+1, т.к.
квадрат числа число не отрицательное, то если (m;n) – решение уравнения, то (-m;n); (m;-n); (-m;-n) –
тоже решения уравнения.
Из (*) следует m4-1=2n2
m4-1=(m-1)(m+1)(m2=1)=(2t+1-1)(2t+1+1)(4t2+4t+2)=
=2t(2t+2)(4t2+4t+2)=2n2
8t(n+1)(2t2+2t+1)=2n2 /:2
4t(n+1)(2t2+2t+1)=n2 (**)
Левая часть четное число, то n – четное. Пусть n=2z
4t(n+1)(2t2+2t+1)=4z2 /:4
t(n+1)(2t2+2t+1)=z2
2t2+2t+1= 2t(t+1)+1
числа t; t+1; 2t(t+1)+1 - попарно взаимно простые, а их произведение – полный квадрат. Это
возможно, если t=0, иначе t+1 не будет квадратом.
0*1*1=z2
z2=0
z=0, то n=0, m=±1
ответ: m=±1, n=0
3. Решить в целых числах – разбираем вместе.
n2=9m2+7
n2-9m2=7
используем формулу разности квадратов.
(n-3m)(n+3m)=7
7= 7*1=1*7=-1*(-7)= (-7)*(-1) - 4 варианта.
n-3m=1
7
-7
-1
n+3m=7
1
-1
7
6m=6
m=1
n=1+3*1
m=1
n=4
аналогично другие варианты.
Ответ: (4;1), (4;-1) ;(±3;-+2); (±5;-+2)
4. Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33.
Решение:
1)Найдем все пары чисел (а,b), a,bЄN, что a2-b2=33
(a-b)(a+b)=33 33=1*33=33*1=11*3=3*11 т.к a+b>a-b, то возьмем 33=1*33 =3*11.
a-b=1 a=1+b a=17
a+b=33 2b=32b=16
a-b=3 a-3+b a=7
a+b=112b=8 b=4
Ответ: (17;16); (7;4)
5.Найти все целые значения при которых число
m4-4m+3
является целым.
Решение:
m4-4m+3∊Z
То, m4-4 должно делиться на m+3
Искусственно получим в числителе квадрат двучлена (m+3)
m2-4=(m2+6m+9)-6m-9-4=(m+3)2-6m-13
(m+3)2-6m-13m+3=(m+3)2m+3-6m+13m+3+1==m+3-6m+3-18+13m+3==m+3-6m+3m+3+5m+3==m+36+5m+3=m-3+5m+3
Т.к. m-3∊Z, то ищем при каких m
5m+3∈Z
Перебираем.
Если m=-8, то5-8+3=-1∈Z
Если m=-4, то5-4+3=-5∈Z
Если m=-2, то5-2+3=5∈Z
Ответ: -8;-4;-2;2.
6.Найти все пары целых чисел х и у, при которых является верным равенство
-3ху-10х+13у+35=0
Решение:
1. -3ху-10х+13у+35=0 /*(-3)
9ху+30х-39у-130+130-105=0
3х(3у+10)-13(3у+10)+25=0
3х(3у+10)-13(3у+10)+25=0
(3у+10)*(3х-13)=-25
6 способов разложения:
-25=-1*25=1*(-25)=25*(-1)=-25*1=-5*5=5*(-5)
1
3х-13=1
х=4/3∉Z
3у+10=-25у=-35/3∉Z
Не удовлетворяет условию
3х-13=-1 х=4∊Z
2
3у+10=25у=5∊Z
3х-13=5 х=6∊Z
3
3у+10=-5 у=-5∊Z
3х-13=-5 х=8/3∉Z
4
3у+10=5 у=-5/3∉Z
Не удовлетворяет условию
3х-13=25 х=38/3∉Z
5
3у+10=-1у=-11/3∉Z
Не удовлетворяет условию
3х-13=-25х=-4∊Z
6
3у+10=1 у=-3∊Z
Ответ: (4;5);(6;-5);(-4;-3)
6. Решить в натуральных числах уравнение:
1m+1n=125
Решение: уравнение тождественно 25m+25n=mn, где m>n
При n=25 равенство неверно
25*25+25m=25m
625=0 - неверно.
Выразим число m
m(25-n)=-25n
m(n-25)=25n
m=25nn-25=25n-25+625n-25=25(n-25)n-25+625n-25=25+625n-25
выясним, при каких m
625n-25∊Z
натуральные делители 625:
n-25=1
n=26, то m=650
n-25=5
n=30, то m=150
1;5;25;125;625
n-25=125
n=150, то m=30 30>150 -неверно
n-25=625
n=650, то m=26
26>650- неверно
ответ: m=650; n=26 или m=150; n=30.
7.Решить в целых числах уравнение
4*3х-35=у2
Решение:
1)Если (х;у) – решение уравнения, то (х;-у) – тоже решение. Рассмотрим вначале решение где у≥0
2)Рассмотрим два случая
Х- четное, т.е. х=2n, n∊N,то выражение можно разложить как разность квадратов.
4*32n-у2=(2*3n-у)(2*3n+у)=35
35=5*7=1*35
2*3n-у<2*3n+у
2*3n-у=5 4*3n=12 n=1
±
2*3n+у=7 2у=2
у=1
2*3n-у=1 4*3n=36n=2
±
2*3n+у=352у=34
у=17
2 случай если х – нечетное, х=2n+1, n∊N, 4*3х⋮3, а у2не делится на 3, дает в остатке 1 или 0, а число
35:3 (ост 2) следовательно уравнение не имеет решений.
Ответ: (2;1) и (2;-1); (4;17); (4;-17)
Итог урока: применение формул ФСУ, искусственное получение выражений, кратных данным
знаменателю, учет четности и нечетности слагаемых, способы разложения на числовые множители
и др. дают нам способы решения целочисленных выражений.
IV Домашнее задание:
1)повторение способов;
2)закрепление их при решении следующих заданий С6.
а) Найти все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 77
Ответ: (9;2); (39;38)
б)Найти все натуральные значения n, при которых число n2+13n+1 является натуральным.
Ответ:1;6;13
в) Решить в целых числах 2х-63=у2
Ответ: (6;1); (6;-1); (10;31);(10;-31)