Понятие уравнения

Понятие уравнения
Равенство с одной или несколькими переменными называется
уравнением, если необходимо найти значение переменных, при которых это
равенство верно.
Уравнение с одной переменной в общем виде записывается так:
f1(x)=f2(x) или f(x)=0.
Значение переменной, при котором получается верное решение,
называется корнем или решением уравнения.
Множество значений переменной х, при котором имеют смысл
выражения f1(x) и f2(x), называется областью определения уравнения.
Уравнения,
равносильными.
множества
корней
которых
совпадают,
называются
Если уравнения f(x)=0 и g(x)=0 равносильны, то это обозначается так:
f(x)=0g(x).
Уравнения называются равносильными и в том случае, если они не имеют
корней.
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число
или функцию, определенную при всех значениях переменной из области
определения уравнения, то получится уравнение, равносильное данному, т.е.
уравнение f(x)=g(x) равносильно уравнению f(x)+h(x)=g(x)+h(x), где функция
h(x) определена при всех х из области определения уравнения f(x)=g(x).
Доказательство. Пусть х=а является корнем уравнения f(x)=g(x), т.е. при
этом х уравнение обращается в верное числовое равенство f(a)=g(a).
По условию функция h(x) определена при всех х из области определения
уравнения f(x)=g(x), поэтому h(a) – некоторое число. Прибавив это число к
обеим частям числового равенства f(a)=g(a), получим снова верное числовое
равенство f(a)+h(a)=g(a)+h(a). Значит при х=а уравнение f(x)+h(x)=g(x)+h(x)
также обращается в верное равенство, т.е. каждый корень уравнения f(x)=g(x)
является корнем уравнения f(x)+h(x)=g(x)+h(x).
Следствие. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в
другую, изменив его знак, получится уравнение, равносильное данному.
Доказательство. Пусть дано уравнение F(x)=g(x)+f(x) (1). Перенесем
слагаемое f(x) в левую часть: F(x) - f(x)=g(x) (2).
Докажем, что уравнения (1) и (2) равносильны. Пусть x=a – корень
уравнения (1), т.е. справедливо числовое равенство F(а)=g(а)+f(а). Тогда
F(а) - f(а)=g(а), а это означает, что x=a – корень уравнения (2).
Докажем, что верно и обратное, т.е. всякий корень уравнения (2) является
и корнем уравнения (1). Пусть x=b – корень уравнения (2), т.е. справедливо
числовое равенство F(b) – f(b)=g(b). Тогда F(b)=g(b)+f(b), а это означает, что
x=b – корень уравнения (1).
Следствие. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены,
их можно опустить.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и
то же число отличное от нуля или функцию, определенную при всех значениях
переменной из области определения уравнения и отличную от нуля, то
получится уравнение, равносильное данному, т.е. уравнение f(x)=g(x)
равносильно уравнению f(x)h(x)=g(x)h(x), где функция h(x) определена при всех
х из области определения уравнения f(x)=g(x).
Следствие. Если одновременно изменить знаки обеих частей уравнения,
получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Если на некотором множестве функции f(x) и g(x)
неотрицательны, то на этом множестве равносильны уравнения f(x)=g(x) и
(𝑓(𝑥))𝑛 = (𝑔(𝑥))𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁.
Теорема 4. Если a>0 и а1, то уравнения f(x)=g(x) и 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥)
равносильны.
Теорема 5. Если a>0 и а1 и функции f(x) и g(x) положительны на
некотором множестве, тогда на этом множестве равносильны уравнения
f(x)=g(x) и log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥).
Теорема 6. Если для любого действительного х справедливо
тождественное равенство g(x)h(x), то уравнение f(x)=g(x) равносильно
уравнению f(x)=h(x).