ПР_Физика_Часть 3_Колебания и волны_210400_2012

Федеральное агентство связи
ФГОБУ ВПО «Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики»
Уральский технический институт связи и информатики (филиал)
Пилипенко Г.И., Ильиных Н.И., Вандышева И.В.
ФИЗИКА
Часть 3. Колебания и волны.
Методические указания по выполнению практических работ для студентов
очной формы обучения на базе среднего (полного) общего образования
специальности для направления подготовки 210400 «Радиотехника»
по профилю «Аудиовизуальная техника»
Квалификация (степень) выпускника «Бакалавр»
Екатеринбург,
2012
ББК 22.3
УДК 53
Рецензент: доцент кафедры ИСиТ, к.ф.-м.н. Кондратьев В.П.
Пилипенко Г.И., Ильиных Н.И., Вандышева И.В.
Физика. Часть 3. Колебания и волны: Методические указания по
выполнению
практических
работ
/Г.И.Пилипенко,
Н.И.Ильиных,
И.В.Вандышева– Екатеринбург: УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» 2012. 42 с.
Методические указания предназначены для студентов, изучающих
дисциплину «Физика» и содержат краткие теоретические сведения,
необходимые для решения задач, примеры решения задач, задачи для
самостоятельного решения, список необходимой литературы.
Рекомендовано НМС УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ» в качестве
методических указаний по выполнению практических занятий для студентов
очной формы на базе среднего (полного) общего образования для
направления
подготовки
210400
«Радиотехника»
по
профилю
«Аудиовизуальная техника»
(квалификация
(степень)
выпускника
«Бакалавр»).
ББК 22.3
УДК 53
Кафедра высшей математики и физики
© УрТИСИ ФГОБУ ВПО «СибГУТИ», 2012
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка
4
Общие методические указания к решению задач
5
1. Практическое занятие 1
6
2. Практическое занятие 2
16
3. Практическое занятие 3
24
Список литературы
42
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Изучение курса физики для студентов инженерных специальностей
имеет особое значение, поскольку физика лежит в основе всех наук о
природе, является фундаментом естествознания. Успехи физики существенно
влияют на научно-технический прогресс: фундаментальные законы природы,
установленные физикой, постоянно используются в науке и технике. Знание
физики будущим инженером необходимо для формирования научного
мировоззрения и научного образа мышления, осознанного изучения
общеинженерных и специальных дисциплин, умения видеть естественно научное содержание проблем, возникающих в практической деятельности
специалиста.
Цель данного учебного пособия - оказать помощь студенту в
закреплении
теоретических знаний курса «Физика» и приобретении
необходимых навыков решения задач, необходимых при выполнении
домашних и контрольных работ. Однако данное пособие не заменяет работу
над этим курсом по учебникам. При создании пособия авторы
руководствовались действующей программой курса «Физика». Пособие
содержит методические указания по решению задач, краткое изложение
основных положений и тем курса по разделу «Колебания и волны».
Приведены примеры решения наиболее типичных задач по указанным
разделам, а также задачи для самостоятельного решения.
Объем часов, отведенных на проведение каждой работы, а также ее тема
указаны в таблице.
Перечень практических работ
Перечень практических занятий
1. Механические колебания
2. Электромагнитные колебания
3. Упругие и электромагнитные волны
Итого:
Количество
часов
2
2
2
6
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
При решении задач необходимо пользоваться следующей схемой:
 Внимательно прочитать условие задачи.
 Выписать столбиком все величины, входящие в условие, и выразить их
в одних единицах (преимущественно в Международной системе единиц
СИ).
 Если это возможно, представить условие задачи в виде четкого рисунка.
Правильно сделанный рисунок – это наполовину решенная задача.
 Уяснить физическую сущность задачи, установить основные законы и
формулы, на которых базируется условие задачи.
 Если при решении задачи применяется формула, полученная для
частного случая, не выражающая какой-нибудь физический закон или
не являющаяся определением какой-нибудь физической величины, то ее
следует вывести.
 Решить задачу сначала в общем виде, то есть, в буквенных
обозначениях, заданных в условии задачи. При таком способе решения
не производятся вычисления промежуточных величин
 После получения расчетной формулы для проверки ее правильности
следует подставить в правую часть формулы вместо символов величин
их размерности, произвести с ними необходимые действия и убедиться
в том, что полученная при этом единица соответствует искомой
величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача
решена неверно.
 Подставить в конечную формулу числовые значения, выраженные в
единицах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но
одинаковых единицах числовые значения однородных величин,
стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые
степени.
 При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа
числовые значения величин следует записывать как произведение
десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на
соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо
записать 3,52103, вместо 0,00129 записать 1,2910-3 и т. п.
 Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением
правил приближенных вычислений. Как правило, окончательный ответ
следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к
случаю, когда результат получен с применением калькулятора.
 Решение
задачи
должно
сопровождаться
краткими,
но
исчерпывающими пояснениями и комментариями.
Практическое занятие 1
Тема «Механические колебания».
Цель:
1. Закрепление теоретических знаний дисциплины по теме: «Механические
колебания».
2. Привитие навыков решения задач по данной теме.
Основные формулы
• Уравнение гармонических колебаний
,
(1.1)
где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время;
А, ω, φ — соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза
колебаний;
— фаза колебаний в момент t.
• Угловая частота колебаний
, или
,
где ν и Т — частота и период колебаний.
• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,
(1.2)
.
(1.3)
• Ускорение при гармоническом колебании
.
(1.4)
• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой,
определяется по формуле
,
1.5)
где A1 и А2— амплитуды составляющих колебаний; φ1 и φ2 - их начальные фазы.
• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из
формулы
(1.6)
• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих
по одной прямой с различными, но близкими по значению частотами ν1 и ν2,
(1.7)
• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами φ1 и
φ2,
(1.8)
Если начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение
траектории принимает вид
,
т. е. точка движется по прямой.
В том случае, если разность фаз
,
(1.9)
, уравнение принимает вид
(1.10)
т. е. точка движется по эллипсу.
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной
точки
или
,
(1.11)
2
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k=тω ).
• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические
колебания,
.
(1.12)
• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный
маятник),
,
(1.13)
где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих
колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины
в сравнении с массой тела).
Период колебаний математического маятника
(1.14)
где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний
физического маятника
,
(1.15)
где J - момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а расстояние центра масс маятника от оси колебаний;
- приведенная
длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными для случая бесконечно
малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь
приближенные результаты. При амплитудах не более
ошибка в значении
периода не превышает 1 %.
Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,
,
(1.16)
где J - момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой
нитью; k - жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента,
возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить
закручивается.
• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
или
(1.17)
где r - коэффициент сопротивления;
- коэффициент затухания;
ω0 - собственная угловая частота колебаний
.
• Уравнение затухающих колебаний
,
(1.18)
где A (t) - амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω - их угловая частота.
• Угловая частота затухающих колебаний
(1.19)
Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени
,
(1.20)
где А0 - амплитуда колебаний в момент t=0.
• Логарифмический декремент колебаний
,
(1.21)
где A (t) и A (t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по
времени друг от друга на период.
• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
или
(1.22)
где
- внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся
материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 - ее
амплитудное значение;
.
• Амплитуда вынужденных колебаний
.
(1.23)
• Резонансная частота и резонансная амплитуда
и
.
(1.24)
Примеры решения задач
Пример 1. Материальная точка массой
m = 5 г совершает
гармонические колебания с частотой ν =0,5 Гц. Амплитуда колебаний A=3
см.
Определить: 1) скорость υ точки в момент времени, когда смещение х== 1,5
см; 2) максимальную силу Fmax, действующую на точку;
3) полную энергию Е колеблющейся точки.
Решение.
1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
,
а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
смещения:
.
Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из
представленных выше формул время. Для этого возведем оба уравнения в
квадрат, разделим первое на А2, второе на A2 ω 2 и сложим:
, или
.
Решив последнее уравнение относительно υ, найдем:
.
Выполнив вычисления по этой формуле, получим:
см/с.
Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси х, знак минус - когда направление скорости
совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может
быть определено также уравнением:
.
Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.
2. Силу, действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона:
,
где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от
скорости:
или
Подставив выражение ускорения, получим
.
.
Отсюда максимальное значение силы равно:
.
Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем
.
3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и
потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени. Проще
всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия
достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия
равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна
максимальной кинетической энергии Tmax:
.
Максимальную скорость определим из полученного выше уравнения
для скорости, положив
:
.
Подставив выражение скорости, найдем
.
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления,
получим
или
мкДж.
Пример 2. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400 г
укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень
колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через его середину (точка О на рисунке 1). Определить период Т
колебаний, совершаемых стержнем.
Решение.
Период колебаний физического маятника, каким является стержень с
шариками, определяется соотношением
(1)
Рисунок 1.
где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т - его масса;
lС - расстояние от центра масс маятника до оси.
Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня.
Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции
шариков J1 и J2 и стержня J3:
.
(2)
Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их
инерции:
.
Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции
относительно этой оси J 3 =
. Подставив полученные выражения J1, J2
и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника:
.
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
Расстояние lС центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из
следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало
координат совместить с точкой О, то искомое расстояние l равно координате
центра масс маятника, т. е.
или
.
Подставив значения величин m1, m2, m, l и произведя вычисления,
найдем
см.
Произведя расчеты, получим период колебаний физического маятника:
.
Пример 3. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=
1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром
и массой т1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину
стержня перпендикулярно ему (рисунок 2). Определить период Т колебаний
такого маятника.
Решение.
Период колебаний физического маятника определяется по формуле
.
(1)
где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний; т- его масса; lC
- расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.
Рисунок 2.
Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J1 и
обруча J2:
.
(2).
Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через его центр масс, определяется по формуле
. В данном
случае т=3т1 и
.
Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера
, где J - момент инерции относительно произвольной оси; J0 момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно
заданной оси; а - расстояние между указанными осями. Применив эту формулу к
обручу, получим
Подставив выражения J1 и J2 в формулу (3.2), найдем момент инерции
маятника относительно оси вращения:
.
Расстояние lС от оси маятника до его центра масс равно
.
Подставив
в
формулу (1) выражения
, найдем период его колебаний:
J,
lс
и
массы
маятника
.
После вычисления по этой формуле получим T = 2,17 с.
Пример 4. Складываются два колебания одинакового направления,
выражаемых уравнениями
; х2=
, где А1=1 см, A2=2
см,
с,
с, ω =
. 1. Определить начальные фазы φ1 и φ 2 составляющих
колебаний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего
колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Решение.
1. Уравнение гармонического колебания имеет вид
.
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:
.
(1)
(2)
Рисунок 3.
Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы
первого и второго колебаний:
рад и
рад.
2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно
воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рисунке 3. Согласно
теореме косинусов, получим
.
(3)
где
— разность фаз составляющих колебаний. Так как
, то,
подставляя найденные значения φ2 и φ1 получим
рад. Подставим
значения А1 , А2 и в формулу (3) и произведем вычисления:
A=2,65 см.
Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания определим
непосредственно из рисунка 3:
, откуда начальная фаза
Подставим значения А1, А2, φ 1, φ 2 и произведем вычисления:
=
рад.
Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то
результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет написать
уравнение результирующего колебания в виде
, где A=2,65 см,
,
рад.
Пример 5. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых
,
(1)
,
(2)
где A 1 =1 см, A2=2 см,
. Найти уравнение траектории точки. Построить
траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.
Решение.
Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных
уравнений (1) и (2). Для этого воспользуемся формулой
.
В данном случае
, поэтому
.
, то уравнение траектории
Так как согласно формуле (1)
.
(
3)
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось
которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение
точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см
по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу. Для построения траектории найдем по
уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х,
удовлетворяющих условию
см, и составим таблицу:
x , см
-1
-0,75
-0,5
у, см
0
±0,707
±1
0
+0,5
+1
±1,41 ±1,73
±2
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу
найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки,
совершающей колебания в соответствии с уравнениями движения (1) и (2)
(рисунок4).
Рисунок 4
Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем,
как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент t = 0
координаты точки равны x(0) = 1 см и y(0) = 2 см. В последующий момент
времени, например при t1 = l с, координаты точек изменятся и станут равными х(1)
= -1 см, y(t) = 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий)
моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории.
На рисунке 4 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу
координат). После того как в момент t2 = 2 с колеблющаяся точка достигнет
точки D, она будет двигаться в обратном направлении.
Задачи для самостоятельного решения
1. Материальная точка массой 25 г совершает гармонические колебания с
амплитудой 10 см и частотой 1 Гц. Чему равна ее кинетическая энергия и
действующая на нее сила в тот момент, когда ее смещение от положения
равновесия равно 5 см?
2. Математический маятник, состоящий из нити длиной l = 0,5 м и
свинцового шарика массой m = 50 г совершает гармонические колебания с
амплитудой x0 = 5 см. Определить скорость шарика при прохождении им
положения равновесия; максимальное значение возвращающей силы.
3. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень
массы m длиной l. Определить частота колебаний маятника, если точка
подвеса находится от центра масс на расстоянии x. Момент стержня
относительно середины I = ml2/12.
4. Два математических маятника имеют одинаковые массы и колеблются с
одинаковыми угловыми амплитудами. Длина первого маятника l1 в 2 раза
больше длины второго маятника l2. Определить, какой из маятников
обладает большей энергией и во сколько раз.
5. Тонкий однородный стержень длиной l = 40 см может свободно вращаться
вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня.
Стержень отклонили на угол 0 = 0,01 рад и в момент времени t = 0
отпустили. Считая колебания малыми, запишите функцию (t). Момент
инерции стержня относительно середины I = ml2/12.
6. Коэффициент жесткости пружины равен 10 Н/см, а масса груза 1 кг.
Каковы были начальные значения смещения и скорости груза, если
амплитуда колебаний 5 см, а начальная фаза 60.
7. Найти амплитуду, период и фазу гармонических колебаний материальной
точки в тот момент, когда ее смещение равно 10 см, скорость 10 см/с и
ускорение 10 см/c2.
8. Найти уравнение траектории точки y (x) , если она движется по законам:
а) x  a sin t ; y  a sin t ;
б) x  a sin t; y  a cos t .
Изобразить графики этих траекторий.
9. При сложении двух гармонических колебаний одного направления
результирующее колебание точки имеет вид x  a cos 2,1t  cos 50t , где t в
секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период
биений результирующего колебания.
10. Затухающие колебания точки происходят по закону x  a0 e  t sin t . Найти:
а) амплитуду смещения и скорость точки в момент времени t = 0; б)
моменты, когда точка достигает крайних положений.
Практическое занятие 2
Тема «Электромагнитные колебания».
Цель:
1. Закрепление
теоретических
знаний
дисциплины
«Электромагнитные колебания».
2. Привитие навыков решения задач по данной теме.
по
теме:
Основные формулы
 Дифференциальное уравнение гармонических электрических колебаний в
контуре
q  20 q  0
(2.1)
 Собственная частота колебаний контура:
1
0 
LC
 Уравнение гармонических электрических колебаний контура
q  q m cos( 0 t  0 ) ,
(2.2)
(2.3)
где q m – амплитуда колебаний, ( 0 t  0 ) –фаза колебаний, 0 – начальная
фаза, 0 – циклическая частота.
Затухающие электрические колебания в контуре:
 Правило Кирхгофа
R ·i 
q
di
 L .
C
dt
 Дифференциальное уравнение затухающих электрических колебаний
q  2q  20 q  0
(2.4)
(2.5)
 Коэффициент затухания
R
2L
(2.6)
 Уравнение затухающих электрических колебаний в контуре
q  q 0 e t cos( З t  0 )
(2.7)

 Амплитуда затухающих колебаний:
q m  q 0 e t
(2.8)
 Частота затухающих колебаний:
З  20  2
(2.9)
 Логарифмический декремент затухания:
  ln
q0 (t )
C
.
 T , при слабом затухании   R
L
q0 (t  T )
(2.10)
 Добротность контура:
Q  2
W(t )

 ,
W(t )  W(t  T ) 
(2.11)
где W ( t )  W0e 2t – полная энергия системы. При слабом затухании
Q
1 L
.
R C
(2.12)
Вынужденные электрические колебания в контуре
 Правило Кирхгофа
R ·i 
q
di
  L  e( t ) ,
C
dt
(2.13)
Где e( t )  E m cos( t ) - ЭДС.
 Дифференциальное уравнение вынужденных электрических колебаний в
контуре
  2q  20 q 
q
Em
cos( t )
L
(2.14)
 Уравнение установившихся вынужденных электрических колебаний в
контуре
q  q m cos( t  ) ,
(2.15)
u C  U m cos( t  ) ,
(2.16)
где U m 
qm
– амплитуда напряжения на конденсаторе.
C
 Амплитуда вынужденных колебаний
qm 
L

2
0
Em
 2

2
 42 2
(2.17)
 Разность фаз между колебаниями и вынуждающей «силой»
tg  
2
20  2
(2.18)
 Установившиеся вынужденные колебания при последовательном
включении в контур напряжения U  U m cos t :
I  I m cos(t   ) , где I m 
 Переменный ток
Um
1 

R 2   L 

C 

2
, tg 
1
C .
R
L 
(2.19)
,
где
– амплитуда тока, – частота,
 Напряжение на сопротивлении :
(2.20)
– начальная фаза.
,
(2.21)
где
– амплитуда переменного напряжения. На активном
сопротивлении фаза переменного напряжения совпадает с фазой
переменного тока.
 Если ток через конденсатор меняется по закону (3.20), то напряжение на
конденсаторе равно
(2.21)
Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от колебания тока на .
Амплитуда напряжения на конденсаторе равна
, реактивное
сопротивление емкости
.
(2.22)
 Если ток через индуктивность меняется по закону (1), то напряжение на
индуктивности равно
(2.23)
Напряжение на индуктивности опережает по фазе колебания тока на .
Амплитуда напряжения равна
индуктивности –
, реактивное сопротивление
.
 Полное сопротивление цепи для переменного тока, состоящей из
последовательно включенных сопротивления R, емкости С и
индуктивности L:
.
(2.24)
 Мгновенная мощность переменного тока для цепи, содержащей активное
сопротивление:
.
(2.25)
 Работа переменного тока за малый промежуток времени dt для цепи с
активным сопротивлением:
.
(2.26)
 Работа за время полного периода колебания Т для цепи с активным
сопротивлением (вся работа превращается в тепло):
.
(2.26)
 Средняя мощность в цепи, содержащей активное сопротивление:
,
где
,
(2.27)
– действующие (эффективные) значения
переменного тока и напряжения, соответственно.
 Полная работы за период для цепи, содержащей реактивные
сопротивления:
,
(2.28)
где – фазовый угол сдвига между током и напряжением.
 Средняя мощность для цепи, содержащей реактивные сопротивления :
,
(2.29)
где множитель cos – коэффициент мощности.
 Сопротивление контура при резонансе токов:
.
(2.30)
 Добротность контура:
.
(2.31)
Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со
временем дается в виде i(t)  – 0,02·sin(400t) A. Индуктивность контура 1 Гн.
Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальное напряжение
на конденсаторе; 4) максимальную энергию магнитного поля катушки
индуктивности; 5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.
Решение.
Из уравнения колебаний силы тока:
i(t)  - 0,02·sin(400t)
следует, что максимальное (амплитудное) значение
силы тока:
Im  0,02 A,
частота колебаний:   400  рад/с.
Дано:
i(t)  – 0,02·sin(400t)
A
L = 1 Гн
1) T = ?, 2) C = ?,
3) Um = ?,
4) WLmax = ?, 5) WCmax
=?
1) Период колебаний T 
2
2

 5·10 3 (c) .
 400
1
1
, следовательно C  2 .
LC
L
1
Определяем емкость: C 
 6,3·10 7 (Ф)  0,63(мкФ ) .
2
(400) 1
2) 2 
q(t )
.
C
Пусть q(t )  q m cos(t  0 ) , тогда из определения силы тока следует:
3) Напряжение на конденсаторе: u ( t ) 
i
dq
 q m sin( t   0 )  I m sin( t   0 ) ,
dt
т.е. амплитуды колебаний заряда и тока связаны соотношением:
Im = qm или q m 
Im
.

Уравнение колебаний напряжения:
u
где U m 
q qm

cos(t   0 )  U m cos(t   0 ) ,
C C
qm Im

– максимальное напряжение на конденсаторе (амплитуда
C C
напряжения).
Вычисление максимального напряжения на конденсаторе:
Um 
0,02
 25,2(В) .
400  6,3 10 7
4) Энергия магнитного поля WL 
поля WL max 
Li 2
, максимальная энергия магнитного
2
LI 2max
.
2
Вычисление дает:
WL max
1  0,02 2

 2·10 4 (Дж)  0,2(мДж ) .
2
5) Энергия электрического поля WC 
Cu 2
, максимальная энергия
2
электрического поля WC max 
CU 2 max
.
2
Находим максимальную энергию электрического поля
WC max 
6,3 10 7  25,2 2
 2·10 4 (Дж)  0,2(мДж ) .
2
Ответ: 1) Т = 5мс, 2) С = 0,63 мкФ, 3) Um = 25,2 В,
4) WL max = 0,2 мДж, 5) WC max = 0,2 мДж.
Пример 2. Собственная частота колебаний контура 0 = 8 кГц,
добротность контура Q  72. В контуре возбуждаются затухающие
колебания. Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со
временем, если в начальный момент времени энергия, запасенная в контуре
равна 50 мкДж.
Решение.
Дано:
Уравнение затухающих колебаний заряда на
0 = 8·103 Гц
конденсаторе:
Q = 72
q( t )  q 0 e t cost   0  ,
W0 = 50·10–6
Дж
где   02  2 – циклическая частота затухающих
W(t) = ?
колебаний,  – собственная циклическая частота контура,
0
 – коэффициент затухания.
Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для простоты
положим начальную фазу равной нулю (0 = 0).
q( t )  q 0 e t cost  ,




dq d

q 0 e t cost   q 0  e t cost   e t sin t  
dt dt




  2   2 q 0 e t 
cost  
sin t  
 2   2

2   2


 


 0 q 0 e t  cost  
sin t  .
0
 0




Пусть sin   , cos   , tg   , тогда:

0
0
i
i  0 q 0 e t sin ·cost   cos ·sin t   0 q 0 e t sin t    .
Уравнение затухающих колебаний силы тока:
i  0 q 0 e t sin t    .
Энергия, запасенная в конденсаторе:
WC 
q2
q2
1
 0 e 2t cos 2 (t )  W0 e 2t (1  cos(2t )) .
2C 2C
2
Энергия, запасенная в катушке индуктивности:
Li 2 L02 q 02 2t 2
1
WL 

e sin (t  )  W0 e 2t (1  cos( 2t  2)) ,
2
2
2
где
L02 q 02 Lq 02 q 02


 W0 ,
2
2LC 2C
т.к. собственная частота контура 0 
1
.
LC
Полная энергия контура:
 cos( 2t )  cos( 2t  2) 
W  WC  WL  W0 e 2t 1 

2


 W0 e 2t 1  sin ·sin( 2t  )  .
Уравнение изменения полной энергии контура:



W  W0 e 2t 1 
sin( 2t  )  .
 0

Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной
частотой контура

 1 , то запасенная в контуре энергия убывает во
0
времени по закону W  W0 e 2t ( при выполнении контрольной работы эту
формулу можно брать за исходную ).
Найдем коэффициент затухания , предполагая что 0 >> .
Добротность контура при малом затухании:
Q

,

где   T - логарифмический декремент затухания, T - период затухающих
колебаний.
T
2
2
2
2
1




,
2

0   2 0 20  0
где 0  20 – связь циклической и линейной частот.
Добротность:
Q
  0
,


 T

Коэффициент затухания:
πν 0 3,14·8·103
β

 349 .
Q
72
Проверим, выполняется ли условие 0 >> :
0


1
1




 0,007  1 .
0 20 20 Q 2Q 144
Условие 0 >>  выполняется.
Подставим числа в выражение для энергии:
W  50·106 ·e700t (Дж)  50·e700t (мкДж) .
Ответ: W  50·e 0,7 t мкДж .
Пример 3. Определить изменение заряда, силу тока, разность
потенциалов на обкладках конденсатора, напряженность электрического
поля в конденсаторе, плотность энергии электрического поля внутри
конденсатора, плотность энергии магнитного поля внутри катушки в любой
момент времени в идеальном контуре, если при t = 0 заряд на конденсаторе
Q0 = 10-4 Кл, а сила тока I0 = 0. Индуктивность катушки L = 10-3 Гн, число
витков на 1 м длины катушки n = 103 м-1, емкость конденсатора С = 10-5 Ф.
Чему равна индукция магнитного поля внутри катушки м момент времени t
= 10-4 c?
Решение.
Находим закон изменения заряда на обкладках конденсатор. В
идеальном контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные
колебания. Дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид
,
(1)
решение которого является уравнение гармонических колебаний
.
(2)
Заметим, что уравнения, аналогичные (1) и (2), можно записать и для
силы тока, напряжения и др.В уравнении (2) неизвестны три параметра:
угловая частота 0, амплитуда Qm и начальная фаза 0. Угловую частоту
находим из уравнения
,
а амплитуду Qm и начальную фазу 0 – из начальных условий (Q= Q0 = 10-5
Кл при t = 0, а I0 = –dQ/dt=0)
.
Отсюда находим 0 = /2, Qm = Q0. Таким образом, уравнение
гармонических электромагнитных колебаний в контуре ( в данном случае
заряда) имеет вид
. (3.3)
Электрический ток в контуре в любой момент времени
.
Разность потенциалов на обкладках конденсатора в любой момент
времени
.
Напряженность электрического поля внутри конденсатора
,
где S – площадь пластин конденсатора.
Плотность энергии электрического поля внутри конденсатора
.
Индукция магнитного поля в катушке
.
В момент времени t = 10-4 c индукция В6,310-5 Тл.
Плотность энергии магнитного поля внутри катушки
.
Пример 4. Колебательный
контур состоит из катушки
индуктивностью L = 10 мГн, конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и
резистора сопротивлением R = 20 Ом. Определите, через сколько полных
колебаний амплитуда тока в контуре уменьшится в e раз.
Дано
L = 10 мГн, С = 0,1 мкФ
К = 20 Ом, Im0/ImN = e
Решение.
В контуре происходят затухающие колебания
тока. Изменение амплитуды тока
Найти: N = ?
где  – коэффициент затухания, определяемый
выражением
. Отсюда получаем
, так как
Находим время, за которое происходит заданное уменьшение
амплитуды тока
.
С другой стороны время
, а период колебания равен
. Собственная частота колебаний тока
.
Определяем число полных колебаний, за которое происходит
уменьшение амплитуды тока в e раз
.
Ответ: N = 5.
Пример 5. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
L = 25 мГн, конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор сопротивлением
R = 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Qm = 1 мКл.
Определите: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент
затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на
обкладках конденсатора во времени.
Дано:
L= 25 мГн; С = 10 мкФ;
R = 1 Ом;
Qm = 1 мкКл.
Найти: 1) Т =? 2)  =?
3) U(t)=?
Решение.
В контуре совершаются затухающие
колебания.
Известно,
что
коэффициент
затухания определяется как
, собственная
частота –
.
Находим период колебания нашего контура
,
где частота неидеального контура равна
. Тогда
период колебания контура
.
Логарифмический декремент затухания
/
Напряжение на обкладках конденсатора в случае затухающих
колебаний меняется по закону
Ответ: 1) Т = 3,14 мс; 2)  = 0,063; 3)
.
Пример 6. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных
конденсатора и активного сопротивления R = 110 Ом, подсоединили к
переменному напряжению с амплитудным значением Um = 110 B. При этом
амплитуда установившегося тока в цепи Im = 0,5 A. Найти разность фаз
между током и подаваемым напряжением.
Решение.
Построим векторную диаграмму данной цепи
UR
Im

UC
Um
Рисунок 5.
Здесь UR – напряжение на активном сопротивлении, UC – напряжение
на конденсаторе. Из векторной диаграммы следует, что
.
Подставляем данные и получаем:
.
Пример7. К сети с действующим напряжением Uд = 100 В
подключили катушку, индуктивное сопротивление которой XL = 30 Ом и
импеданс Z = 50 Ом. Найти разность фаз  между током и напряжением, а
также тепловую мощность Р, выделяемую в катушке.
Решение.
Построим векторную диаграмму данной цепи:
UL
Um

UR
Im
Рисунок 6.
Здесь UL – напряжение на индуктивном сопротивлении катушки. Из
векторной диаграммы следует, что
.
Полное сопротивление (импеданс) данной цепи
,
где XL – индуктивное сопротивление катушки переменному току.
Отсюда
. Так как
, то
.
Подставляя числовые значения, получаем
.
Находим мощность, выделяемую в катушке по формуле
, где Iд и Uд – действующие значения тока и напряжения.
Из формулы полного сопротивления
находим
. Подставляем это выражение в формулу мощности:
.
Подставляя числовые значения в последнее выражение, получим
.
1.
2.
3.
4.
5.
Задачи для самостоятельного решения
Замкнутый контур в виде рамки с площадью 60 см 2 равномерно вращается
в однородном магнитном поле с индукцией В=20мТ, делая в секунду 20
оборотов . Ось вращения и направление поля взаимно перпендикулярны.
Определить амплитудное  m и действующее  значения э.д.с. в контуре.
Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при
емкости 2 мкФ получить частоту собственных колебаний, равную 103 Гц?
Колебательный контур радиоприемника состоит из катушки с
индуктивностью L=1,00мГ и переменного конденсатора, емкость
которого может меняться в пределах от 9,7 до 92пФ. В каком диапазоне
длин волн может принимать радиостанции этот приемник?
Активное сопротивление колебательного контура R=0,33Ом. Какую
мощность W потребляет контур при поддержании в нем незатухающих
колебаний с амплитудой силы тока I m =30мА?
Дифференциальное уравнение колебаний заряда в контуре имеет вид:
d 2q
 1016 q  0 . Индуктивность контура равна 10 мкГн. Найти емкость
2
dt
контура и записать уравнение колебаний заряда, если в начальный
момент времени сила тока максимальна и равна 10 мА.
6. Параметры колебательного контура имеют значения: С=1,00 нФ, L=6,00
мкГ, R=0,50 Ом. Какую мощность W нужно подводить к контуру, чтобы
поддерживать в нем незатухающие колебания с амплитудой напряжения
на конденсаторе U m =10,0 В?
7. Добротность колебательного контура Q равна 10,0. Определить, на
сколько процентов отличается частота свободных колебаний контура 
от собственной частоты контура  0 ? (Найти  0   0 ).
8. Собственная частота контура равна  0 =8,0 кГц; добротность контура
Q=72. В контуре возбуждаются затухающие колебания. Найти закон
убывания запасенной в контуре энергии W со временем t. Какая часть
первоначальной энергии W0
сохранится в контуре по истечении
промежутка времени  =1,00 мс?
9. Какой должна быть добротность контура Q, чтобы частота, при которой
наступает резонанс токов, отличалась от частоты , при которой наступает
резонанс напряжений, не более чем на 1 %?
10. Емкость цепи, изображенной на рисунке, С=1,00нФ, индуктивность
L=1,00мГ. На точки А и В подаются одновременно два переменных
напряжения одинаковой амплитуды, но различной частоты: частота
первого напряжения совпадает с собственной частотой контура  0 ,
частота второго напряжения  превышает собственную на 10 %
,  0 ). Найти отношение амплитуд токов, возбуждаемых в
(   110
контуре обоими напряжениями  I 1 I 2  , для случаев, когда: а)
добротность контура Q=100; б)Q=10.
11. Найти полное сопротивление цепи Z и сдвиг фаз между напряжением и


током при различных способах включения сопротивления R, емкости С и
индуктивности L. Рассмотреть случаи а) R и С включены
последовательно; б) R и С включены параллельно; в) R и L включены
последовательно; г) R и L включены параллельно; д) R, L и С включены
последовательно.
12. Конденсатор емкостью С=1 мкФ и резистор с сопротивлением R =3 кОм
включены в цепь переменного тока с частотой =50 Гц. Найти полное
сопротивление цепи, если конденсатор и резистор включены: а)
последовательно; б) параллельно.
13. В цепь переменного тока напряжением U = 220 В и частотой  = 50 Гц
включены последовательно емкость С = 35,4 мкФ, сопротивление R = 100
Ом и индуктивность L = 0,7 Гн. Найти ток I в цепи и падения напряжения
UC, UR и UL на емкости, сопротивлении и индуктивности.
14. Индуктивность L = 22,6 мГн и сопротивление R включены параллельно в
цепь переменного тока частотой  = 50 Гц. Найти сопротивление R, если
известно, что сдвиг фаз между напряжением и током  = 60.
15. Активное сопротивление R и индуктивность L соединены параллельно и
включены в цепь переменного тока напряжением U = 127 B и частотой 
= 50 Гц. Найти сопротивление R и индуктивность L, если известно, что
цепь поглощает мощность P = 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и
током  = 60.
16. В цепь переменного тока напряжением U = 220 B включены
последовательно емкость С, сопротивление R и индуктивность L/ Найти
падение напряжения UR на сопротивлении, если известно, что падение
напряжения на конденсаторе UC = 2UR, на индуктивности UL = 3UR.
17. Катушка длиной l = 50 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2
включена в цепь переменного тока частотой  = 50 Гц. Число витков
катушки N = 3000. Найти сопротивление R катушки, если сдвиг фаз
между напряжением и током  = 60.
18. Конденсатор емкостью С = 20 мкФ и резистор, сопротивление которого
R = 150 Ом, включены последовательно в цепь переменного тока
частотой  = 50 Гц. Какую емкость С должен иметь конденсатор для того,
чтобы через лампочку протекал ток I = 0,5 A и падение потенциала на ней
было равным UR = 110 B?
19. Катушка длиной l = 25 см и радиусом r = 2 см имеет обмотку из N = 1000
витков медной проволоки, площадь поперечного сечения которой s = 1
мм2. Катушка включена в цепь переменного тока частотой  = 50 Гц.
Какую часть полного сопротивления Z катушки составляет активное
сопротивление R и индуктивное сопротивление X?
20. Катушка с активным сопротивлением R=10 Ом и индуктивностью L
включена в цепь переменного тока напряжением U=7 B и частотой =50
Гц. Найти индуктивность L катушки, если известно, что катушка
поглощает мощность P=400 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током
=60.
Практическое занятие 3
Тема «Упругие и электромагнитные волны».
Цель:
1. Закрепление теоретических знаний дисциплины по теме: «Упругие и
электромагнитные волны».
2. Привитие навыков решения задач по данной теме.
Основные формулы
• Уравнение плоской волны
или
,
(3.1)
где
- смещение точек среды с координатой х в момент времени t; ω угловая частота; υ - скорость распространения колебаний в среде (фазовая
скорость); k - волновое число;
; λ - длина волны.
• Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой ν соотношениями
и
.
•Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность
хода) равно Δx,
, где λ — длина волны.
• Уравнение стоячей волны
или
.
(3.2)
• Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:
в твердых телах
, где Е — модуль Юнга; р - плотность вещества;
в газах
,или
, где γ — показатель адиабаты (γ =cp/cv —
отношение удельных теплоемкостей газа при постоянных давлении и
объеме); R — молярная газовая постоянная; Т—термодинамическая
температура; М — молярная масса; р — давление газа.
• Акустический эффект Доплера
,
(3.3)
где ν — частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом); υ —
скорость звука в среде; uпр — скорость прибора относительно среды; uист —
скорость источника звука относительно среды; ν 0 — частота звука, испускаемого
источником.
• Амплитуда звукового давления
p0=2πνρυA,
(3.4)
где ν - частота звука; А - амплитуда колебаний частиц среды; υ - скорость звука
в среде; ρ - ее плотность.
• Средняя объемная плотность энергии звукового поля
,
(3.5)
где ξ0 - амплитуда скорости частиц среды; ω - угловая частота звуковых волн.
• Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V,
• Поток звуковой энергии
,
(3.6)
где W — энергия, переносимая через данную поверхность за время t.
•Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии)
Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного
поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в
пространстве.
Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в
виде волн, фазовая скорость которых равна:
c
vф 
,

(3.7)
1
м
 3  10 8 - скорость света в вакууме,  0 ,  0 где c 
с
 0 0
электрическая и магнитная постоянные,  ,  - соответственно
диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.
Электромагнитные волны - поперечные волны. Векторы Е и Н поля
электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Векторы
Е и Н перпендикулярны направлению распространения (лучу, волновому
вектору, скорости) и друг другу. Волновой вектор k, векторы Е и Н
(именно в таком порядке) образуют правую тройку векторов.
Рисунок 7.
Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их
колебания синфазные). Модули этих векторов связаны соотношением:
 0 E   0 H , E 
 0
H.
 0
(3.8)
Величина
 0
  имеет размерность сопротивления и называется
0
волновое сопротивление среды.
Энергия электромагнитного поля в линейной изотропной среде задается
соотношением:
EH
 0 E 2 0 H 2


  0 E 2  0 H 2 
,
2
2
c
(3.9)
с - скорость света в вакууме.
Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется
вектором Умова - Пойнтинга:
S    v ф  EH .
(3.10)
Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего
значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания:

I  S  .
(3.11)
Плотность потока энергии излучения диполя в волновой зоне:
S
1
sin 2  ,
r2
(3.12)
где r – расстояние от диполя,  – угол между радиусом-вектором r и
осью диполя.
Мощность излучения диполя с электрическим моментом р (t):
2 p 2
P

.
40 3c 3
1
(3.13)
Примеры решения задач
Пример 1. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль
прямой, совпадающей с положительным направлением оси 0x в среде, не
поглощающей энергию, со скоростью v  15 м/с. Две точки, находящиеся на
этой прямой на расстояниях x1  5 м и x2  5,5 м от источника колебаний,
колеблются с разностью фаз   /5. Амплитуда волны A  0,04 м.
Определить: 1) длину волны , 2) уравнение волны, 3) смещение s1 первой
точки в момент времени t1  3 с.
Дано:
v  15 м/с
x1  5 м
x2  5,5 м
  /5
A  0,04 м
t1  3 с
Решение.
Уравнение
плоской
монохроматической
распространяющейся вдоль оси x имеет вид:
волны,
x
2 


s  A cos  t    A cos t 
x ,
v
 


где s – смещение колеблющейся точки,
A – амплитуда волны,
2


   t 
x  – фаза волны,
1)  = ?
 

2) s(x,t) = ?
2
– циклическая частота колебаний,

3) s1 = ?
T
  vT – длина волны (наименьшее расстояние между точками волны,
колебания которых отличаются по фазе на 2).
Разность фаз колебаний двух точек волны:
 
2
x 2  x 1  .

Отсюда:

2
2
(x 2  x1 ) 
5·(5,5  5)  5(м) .



2
,
T
T

.
v
Следовательно:

2 2v 2·15


 6 .
T

5
Искомое уравнение волны:
2 

s  0,04 cos 6t 
x .
5 

Смещение первой точки в момент времени t1  3 с:
2 

s1  0,04 cos 6  3  ·5   0,04(м) .
5 

Ответ: 1)  = 5 м, 2) s  0,04 cos 6t 

2 
x  , 3) s1 = 0,04 м.
5 
Пример 2. Один конец упругого стержня длиной L соединен с
источником гармонических колебаний s(t)  A sint. Другой конец жестко
закреплен. Определить характер колебаний в любой точке стержня. Найти
координаты точек стержня, в которых амплитуда колебаний минимальна и
максимальна.
Решение.
Колебания от источника колебаний (x  0) будут
распространяться вдоль стержня, т.е. вдоль стержня (вдоль оси
x) будет распространяться упругая волна частоты  со
скоростью v. Дойдя до места закрепления волна отразится, при
s(х,t)  ?
этом ее фаза меняется на  (жесткое закрепление).
xmin = ?
До точки с координатой х отраженная волна проходит путь:
xmax = ?
r = L + (L –x) = 2L – x.
Уравнение падающей волны:
Дано:
s(t) 
Asint
s(L,t)  0
x

s1 x , t   A sin  t    A 0 sin t  kx  ,
v

где k 
 2

– волновое число,  – длина волны.
v

Уравнение отраженной волны:
s 2 x, t   A sin t  k2L  x     A sin t  kx  2kL  
s 2  A sin t  kx  2kL .
Наложение падающей и отраженной волн образуют стоячую волну, которая и
определяет характер колебаний в любой точке стержня:
sx, t   s1 (x, t)  s 2 (x, t)  A sin t  kx   A sin t  kx  2kL 
 2A sin k (L  x ) cos(t  kL) .
Амплитуда стоячей волны:
A ст.в. (x)  2A sin k(L  x) .
Амплитуда колебаний точек зависит от их координаты x.
Найдем координаты узлов, т.е. точек где амплитуда колебаний
минимальна.
Aст.в.  0, если:
k(L-x)  m, (m  0, 1, 2, ...).
2
(L  x )  m ,

x min  L  m

.
2
Найдем координаты пучностей, т.е. точек где амплитуда колебаний
максимальна.
Aст.в.  2А, если:
k (L  x )  (2m  1)
2

(L  x )  (2m  1) ,

2

, (m  0, 1, 2, ...).
2
x max  L  (2m  1)

2

.
4
Ответ: s( x, t )  2A sin k (L  x ) cos(t  kL) , x min  L  m , m  0, 1, 2, ... ,
Пример 3. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура
со скоростью v=15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с,
амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны; 2) фазу колебаний,
смещение, скорость, и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м
от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз колебаний двух точек,
лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x1 = 20 м и
x2 = 30 м.
Решение.
1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и
может быть найдена из соотношения   vT.
Подставив значения величин v и T, получим  = 18 м.
2. Запишем уравнение волны:
=Acos (t - x/), (1)
где  - смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источника
волн; v - скорость распространения волн.
Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется
выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:
t - x/v), или T(t - x/v),
где учтено, что =2/Т.
Произведя вычисления по последней формуле, получим =5,24 рад/.
Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения
амплитуды А и фазы : =1 см. Скорость
производную от смещения по времени:
точки находим, взяв первую
=d/dt= -A sin(t - x/v)=
.
Подставив значения величин , А, Т и  и произведя вычисления,
получим =9 см/с.
Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому
=d /dt= -A2cos (t - x/)=
Произведя вычисления по этой формуле, найдем
.
=27,4 см/с2.
3. Разность фаз  колебаний двух точек волны связана с расстоянием
х между этими точками соотношением
=(2/)x=(2/)x2- x1).
Подставив значения величин , x1 и x2 и
вычислив, получим =3,49 рад или =200°.
Пример 4. На расстоянии l=4 м от
источника плоской волны частотой v=440 Гц
перпендикулярно ее лучу расположена стена.
Рисунок 8
Определить расстояния от источника волн до
точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны,
возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн.
Скорость  волны считать равной 440 м/с.
Решение.
Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль
луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся
на источнике MN плоской волны (рисунок 4.1). С учетом этого, уравнение
бегущей волны запишется в виде
=Acos(t—kx).
(
1)
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды
расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит
фазу на , то уравнение отраженной волны может быть записано в виде
=Acos{t—k[x+2(l—x)]+ }.
После очевидных упрощений получим
=Acоs[t—k (2l—х)].
(2)
Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:
=+=Acos(t-kx) - Acos[t - k(2l -x)].
Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем
= -2Asink(l—x)sin(t—kl).
Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по
модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:
Aст=|2Asink(l—x)|.
Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и
пучностей. Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна
нулю: |2Asink(l—x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты xn
которых удовлетворяют условию
k (l— xn)=n (n=0, 1, 2, ...).
(3)
Но
k=2/, или, так как =/v, k=2v/ .
(4)
Подставив это выражение k в (3), получим 2v(l - xn) = n,
откуда координаты узлов xn = l - n/(2v).
Подставив сюда значения l,, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых
трех узлов:
x0=4 м, x1=3,61 м, x2=3,23 м.
Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны
максимальна: 2Asink(l - х')=2А. Это равенство выполняется для точек,
координаты х'n которых удовлетворяют условию k(l - х'n)=(2n+1)(/2) (п=0, 1,
2, 3, ...). Выразив здесь k по (4.4), получим
4vх'n =4vl - (2n+1), откуда
координаты пучностей
х'n=l—(2n+l)/(4v).
Подставив сюда значения l, , v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых
трех пучностей:
х'0=3,81 м, х'1=3,42 м, х'2 =3,04 м.
Рисунок 9.
Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их
координат изображены на рисунке 4.2. Здесь же отмечены координаты х0,, х1,
х2 , ... узлов и координаты х'0, х'1, х'2 ... пучностей стоячей волны.
Пример 5. Источник звука частотой v=18 кГц приближается к
неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую
волну длиной = 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник
звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания
резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.
Решение.
Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая
прибором (резонатором), зависит от скорости иист источника звука и скорости
ипр прибора. Эта зависимость выражается формулой
,
где  — скорость звука в данной среде; v0 — частота звуковых волн,
излучаемых источником.
Учитывая, что резонатор остается неподвижным (uпр=0), получим
, откуда uист = (1- v0/v).
В этом выражении неизвестны значения скорости звука и частоты v.
Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и
определяется по формуле
.
Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колебания,
частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с
собственной частотой vрез резонатора, т. е., v =vрез=/рез, где vрез — длина
волны собственных колебаний резонатора.
Подставив выражения  и v из равенства, получим
или
.
Взяв значения =1,4, М ==0,029 кг/моль, а также значения R, Т, vo, рез и
подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим
uист = 36 м/с.
Пример 6. Плоская электромагнитная волна распространяется в
немагнитной среде (μ = 1) вдоль оси z. Напряженность электрического поля
изменяется по закону
(все численные значения в единицах СИ). Найти угловую частоту ω, период
T, длину волны λ, скорость распространения v, амплитуду напряженности
магнитного поля Hm, амплитуду вектора Пойнтинга Sm.
Решение.
Уравнение плоской монохроматической волны независимо от ее
физической природы имеет вид s = sm cos(ωt – kz), где sm – амплитуда
колеблющейся величины, k = 2π/λ. Сравнивая с заданным выражением,
получаем: угловая частота ω = 2π1014 == 6,3 1014 (1/с); период T = 2π/ω =
1,010-14 c; 2π/λ = 2π1014/(1,5108); λ = 1,510-6 м; амплитуда Em = 1,5 В/м.
Скорость распространения волны (фазовая) равна v = λ/T = 1,5108 м/с (что
составляет 1/2 c – скорости света в вакууме, т. е. диэлектрическая
проницаемость среды ε > 1).
Амплитуда
. Найдем ε. Скорость распространения
электромагнитной волны в однородной среде
v = (ε0εμ0μ)-1/2, откуда
и так как μ = 1, ε = c2 v2 = 4 . Тогда
, Hm = 8·
10 А/м.
Амплитуда вектора Пойнтинга Sm = EmHm = 1,2 · 10-2 Вт/м2.
-3
Пример 7. Плоская электромагнитная волна распространяется в
однородной изотропной среде с   2 и   1 (относительные электрическая и
магнитная проницаемости соответственно). Амплитуда напряженности
электрического поля волны E0  12 В/м. Определить: а) фазовую скорость
волны; б) амплитуду напряженности магнитного поля волны. Электрическая и
 0  8,85  10 12
магнитная
постоянные
равны
соответственно
Ф/м,
0  4  107 Гн/м.
Решение.
Фазовая скорость волны определяется простым равенством
vф 
c

,
(1)
где c  3 108 м/c – скорость света в вакууме. Подставляя числовые значения в
(1), получаем
vф  2,12 108 м/c.
Найдем амплитуду напряженности магнитного поля H 0 . Известно, что
максимальная плотность энергии электрического поля в волне равна
максимальной плотности энергии поля магнитного:
 0E02
2

0 H 02
2
.
(2)
Откуда получаем
H0 
 0
E ,
0  0
(3)
что дает нам при подстановке числовых значений
H 0  45 мА/м.
Пример 8. Точечный источник испускает равномерно по всем
направлениям электромагнитную волну мощностью Р0 = 100 Вт на
фиксированной частоте. Чему равны амплитудные значения Е0 и В0 волны
на расстоянии R = 10 м от источника?
Решение.
Определим плотность мощности на расстоянии R
.
(1)
С другой стороны величина S представляет собой модуль вектора
Умова-Пойнтинга
,
где E0 и H0 – амплитудные значения напряженностей электрического и
магнитного поля электромагнитной волны.
Приравняв (1) и (2), находим Е0
.
(2)
(3)
Величину Н0 можно выразить через Е0, используя равенство объемных
плотностей электрического и магнитного полей в электромагнитной волне
.
(4)
Подставляя (4) в (3), получаем амплитуду напряженности
электрического поля на расстоянии R
=5,47 В/м .
Амплитуда индукции магнитного поля связана с напряженностью
магнитного поля соотношением
Тл.
Ответ:
В/м ;
Тл.
Задачи для самостоятельного решения
1. Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид
  60 cos(1800t  5,3x) , где  в микрометрах, t в секундах, х в метрах.
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости
распространения волны.
2. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида
  ae  x cos(t  kx) , где a, ,  и k – постоянные. Найти разность фаз
колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются
друг от друга на  = 1 %, если  = 0,42 м-1 и длина волны  = 50 см.
3. Уравнение плоской звуковой волны s = = 6,0 • 10-6cos (1900t + 5,72х).
Найти частоту колебаний, длину волны и скорость ее распространения.
4. По условию предыдущей задачи найти расстояние между ближайшими
точками волны, колеблющимися в противоположных фазах. Каков сдвиг
фаз между колебаниями двух точек, расположенных вдоль луча на
расстоянии 37 см?
5. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 t см.
6. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на
расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после
начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.
7. Найти разность фаз  колебаний двух точек, отстоящих на расстоянии l =
2 м друг от друга, если длина волны  = 1 м.
8. Летучая мышь приближается перпендикулярно к стене со скоростью
6м/с, издавая ультразвук частотой 45 кГц. Какие две частоты звука 1 и 2
слышит летучая мышь? Скорость звука в воздухе считать равной 340 м/с.
9. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплитуду 0.25 мм,
распространяются в воздухе. Длина волны равна 70 см. Найти: 1) скорость
распространения колебаний; 2) максимальную скорость частиц воздуха.
10. Поплавок на волнах за время t = 20 с совершил N1 = 30 колебаний, при
этом на отрезке l = 20 м, перпендикулярном к направлению
распространения волны наблюдатель насчитал N2 = 10 гребней. Найдите
скорость аспространения волны.
11. В однородной среде с ε = 4 и μ = 1 распространяется плоская
электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрического
поля Em = 200 В/м. Найти для этой волны: а) амплитуду магнитной
индукции Bm; б) скорость распространения волны v; в) амплитуду
вектора Умова-Пойнтинга Sm.
12. В среде с ε = 4,0 и μ = 1,0 распространяется плоская электромагнитная
волна с амплитудой напряженности электрического поля Em = 200 В/м и
частотой ν = 500 кГц. В ее поле находится свободный электрон. Какова
амплитуда колебаний электрона и его максимальная скорость? Удельный
заряд электрона e/me = 1,8 · 1011 Кл/кг.
13. Электрон движется в вакууме со скоростью v = 0,10 c (c – скорость света)
вдоль направления распространения волны.
1. Рассчитать амплитуду силы, действующей на электрон в поле
электромагнитной волны с амплитудой вектора Пойнтинга Sm = 1,0
Вт/см2.
2. Найти отношение амплитуд сил, действующих на электрон со стороны
магнитного и электрического поля электромагнитной волны.
14. Найти скорость v распространения электромагнитных волн в кабеле, в
котором пространство между внешним и внутренним проводом
заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε =4,5.
Потерями в кабеле пренебречь.
15. Найти скорость распространения электромагнитных колебаний в стекле,
если ε = 7, а μ = 1,0.
16. Электромагнитная волна с частотой ν = 3,0 МГц переходит из вакуума в
немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью ε = 4,0. Найти
приращение ее длины волны.
17. Найти средний вектор Пойнтинга <S> плоской электромагнитной волны
E= Em cos(ωt – kr), если волна распространяется в вакууме.
18. Воздух начинает ионизоваться при напряженности электрического поля
E=30 кВ/см. При какой средней плотности потока энергии плоских
электромагнитных волн достаточно малой частоты в воздухе может
наступить ионизация?
19. Плоская гармоническая электромагнитная волна в немагнитной среде (μ =
4,0) имеет следующие параметры: Em = 5,0 · 10-5 В/м; λ = 100 м; ν = 1
МГц. Какая энергия W переносится волной за время τ =10 мин через
площадку S = 1,0 м2, расположенную перпендикулярно скорости
распространения волны?
20. Импульс, переносимый плоской электромагнитной волной в вакууме
через площадку S = 10 см2 за τ = 5,0 с, равен p = 1,0 · 10-2 кг · м/с. Найти
интенсивность I волны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная:
1. Трофимова Т.И. Курс физики: Курс физики: Учебное пособие для вузов 16-е изд.,стер. – Академия, 2008.
2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов. - М.:Оникс 21
век; Мир и образование, 2005
Дополнительная:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Савельев И.В. Курс общей физики (в трех томах). 7-е издание. - М:
Изд. Дом «Лань», 2007.
Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики: Учебник для вузов: В 3
т. Т.1-3. Изд.11. – М: Изд. Дом «Лань», 2007 г.
Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики (в трех томах), 7-е
издание, 2007. 1184 с. Издательский Дом Лань, 2007 г.
Яворский Б.М., Детлаф А.А., Лебедев А.К. Справочник по физике. Для
инженеров и студентов вузов. Изд.8, перераб. и испр., 2007
И.Л.Касаткина. Репетитор по физике. В 2-х т. – Ростов н/Дону: Феникс,
2008.
Астахов В.М. Волновые и квантовые основы оптики. Учебное пособие
в 2-х ч. Новосибирск,2001
7.
Калитеевский Н. И. Волновая оптика [Текст]: учеб. пособие для вузов
/Н. И. Калитеевский .- Изд. 5-е, стереотип. - СПб.: Лань, 2008