кр 1 40 вариант

Минск 2014
1)Проводится залп из трех орудий по цели. Вероятности попадания в цель из
первого орудия 0,4 , из второго – 0,7 , из третьего – 0,9 . Найти вероятность
того, что попало первое орудие, а 2 и 3 не попали.
0,4*(1-0,7)*(1-0,9)=0,012
Ответ:
0,012.+
2) В задачах 2.1-2.40 приведены схемы соединения элементов, образующих
цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы
элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого
из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где
находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5
соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5 q6=0,6 . Найти
вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
P(1+2) = 1 – q1*q2 = 0,98
P(3+4)=1- q3*q4 = 0,88
P(1+2)*P(3+4) = 0,88*0,98=0,8624
P(0) = 0,8624
P(0)+P(5)+P(6)=1-(1-P(0))*q5*q6=0,74128
Ответ :
0,74128+
3) Электрическая схема прибора состоит из 4-х микросхем. Работа каждой
микросхемы необходима для работы прибора. Прибор вышел из строя.
Надежности каждой микросхемы соответственно равны: 0,9 ; 0,95 ; 0,97 ; 0,99
. Найти вероятность того, что вышли из строя вторая и третья микросхемы.
Вероятность отказа
q1=0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,03, q4 = 0,01.
p1=0,9, p2 = 0,95, p3 = 0,97, p4 = 0,99
Событие А отказ прибора
.//вследствиидвух микросхем//.
Введем такие события b1,b2,b3,b4 работают микросхемы 1 ,2,3,4
И противоположные события обозначим их b_1,b_2,b_3,b_4 не работают
микросхемы 1,2,3,4.
Сформулируем гипотезы
Н1 = b1∩b2∩b3∩b4
……………………………
H16 = b_1∩b_2∩b_3∩b_4
Рассчитаем вероятность этих гипотез
P(A/H1) = 0 событие А никогда не произойдет
В остальных случаях событие А произойдет.
Р(Н1)=b1∩b2∩b3∩b4=0,9*0,95*0,97*0,99
Р(Н2)=b1∩b2∩b3∩b_4= 0,9*0,95*0,97*0,01=0,008
Р(Н3)=b1∩b2∩b_3∩b4= 0,9*0,95*0,03*0,99= 0,0253
Р(Н4)=b1∩b_2∩b3∩b4 = 0,9*0,05*0,97*0,99 = 0,043
Р(Н5)=b_1∩b2∩b3∩b4 = 0,1*0,95*0,97*0,99 = 0,091
Р(Н6)=b_1∩b_2∩b3∩b4 = 0,1*0,05*0,97*0,99 = 0,004
Р(Н7)=b_1∩b2∩b_3∩b4 = 0,1*0,95*0,03*0,99 = 0,002
Р(Н8)=b_1∩b2∩b3∩b_4 = 0,1*0,95*0,97*0,01=0,0009
Р(Н9)=b1∩b_2∩b_3∩b4 = 0,9*0,05*0,03*0,99 = 0,001
Р(Н10)= b1∩b_2∩b3∩b_4 = 0,9*0,05*0,97*0,01 = 0,0004
Р(Н11)=b1∩b2∩b_3∩b_4 = 0,9*0,95*0,03*0,01 = 0,0002
Р(Н12)=b_1∩b_2∩b_3∩b4 = 0,1*0,05*0,03*0,99 = 0,00014
Р(Н13)=b_1∩b_2∩b3∩b_4 = 0,1*0,05*0,97*0,01 = 0,00004
Р(Н14)=b1_∩b2∩b_3∩b_4 = 0,1*0,95*0,03*0,01 = 0,00002
Р(Н15)=b1∩b_2∩b_3∩b_4 = 0,9*0,05*0,03*0,01 = 0,000013
Р(Н16)=b_1∩b_2∩b_3∩b_4 = 0,1*0,05*0,03*0,01 = 0,0000015
Н9 подходит для нашей задачи 2 и 3 микросхема откажет
Запишем Формулу Бейеса для H9
p(H9/A) =
A
)
H9
𝐴
∑16
𝑖=1[𝑃(𝐻𝑖)∗𝑃(𝐻𝑖)]
P(H9)∗P(
p(H9)
=
𝑖=1[𝑃(𝐻𝑖)]
=∑16
0,001∗1
Р(Н1)∗0+0,008+0,0253+0,043+0,091+0,004+0,002+0,0009+0,001+0,0004+0,0002+0,00014+0,00004+
….
+0,00002+0,000013+0,0000015
Ответ 0,00568. +
= 0,00568
+
4)Монету подбрасывают восемь раз. Какова вероятность того, что шесть раз
она упадет гербом вверх?
𝟖!
𝑷(𝒌, 𝒏) = 𝑪𝒌𝒏 ∗ 𝑷𝒌 ∗ 𝒒𝒏−𝒌 =(𝟖−𝟔)!𝟔! ∗ 𝟎, 𝟓𝟔 ∗ 𝟎, 𝟓𝟐 =
𝟕∗𝟖
𝟐
∗ 𝟎, 𝟓𝟖 = 0,109
Расчет оформить подробно !
Ответ:
0,109+
5)
В задачах 5.1-5.40 дискретная случайная величина Х может принимать одно
из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3,
p4, p5 соответственно (конкретные значения приведены в таб. 5.1).
Найти p отмеченные *. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.
-1
0
1
2
3
X1= -1
p1=1-0,3-0,1-0,3-0,1=0,2
x2=0
p2=0,3
x3=1
p3=0,1
x4=2
p4=0,3
x5=3
p5=0,1
*
0,3
0,1
0,3
0,1
Вычислим математическое ожидание нашей дискретной величины:
Mx=0,8
mx  x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4  x5  p5
Теперь найдем дисперсию нашей дискретной величины:
Dx
2
2
2
2
2
x1  p1  x2  p2  x3  p3  x4  p4  x5  p5  mx
2
Dx = 2,4
РАССЧЕТ функции

F x  x1

0


p1 =


p1  p2


p1  p2  p3


p1  p2  p3  p4
F x1  x  x2
F x2  x  x3
F x3  x  x4
F x4  x  x5

F x  x5
x
p
F(x)

0,2
=0,2 + 0,3 = 0,5
= 0,2 + 0,3 + 0,1 = 0,6
p1  p2  p3  p4  p5
-1
0,2
0
0
0,3
0,2
= 0,2 + 0,3 + 0,1 + 0,3 = 0,9
1
1
0,1
0,5
Что с масштабом по оси У ?
Например,
F(-1<x<=0) 0,2
2
0,3
0,6
3
0,1
0,9
>1
0
1
F(0<x<=1) 0,5
…
Функция
распределения
любой
дискретной
случайной
величины
есть
разрывная
ступенчатая функция
, скачки которой происходят в точках, соответствующих
возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:
F ( x)   p ( X  x i ) ,
(4.5)
xi  x
где суммирование распространяется на все значения
x i , которые меньше х.
6)
В задачах 6.1-6.40 (параметры заданий приведены в табл. 6.1)
случайная величина Х задана плотностью вероятности
0, 𝑥 < 𝑎, 𝑥 > 𝑏
𝑓(𝑥) = {
𝜑(𝑥, 𝑐), 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию
распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в
интервал[a,b].
𝜑(x,c)
c x10
A
-2
b
2
a
-1
b
1,5
Определим сначала константу "c". Для этого воспользуемся условием
нормировки:




f ( x ) dx
1

Поскольку наша функция существует не на всей области, а только в
интервале [a,b], то условие нормировки в данном случае записывается так:



b
f ( x ) dx
1
a
Подставим наши начальные данные и найдем константу "c":
b=2,a=-2;
𝑏
𝑏
C=1/∫𝑎 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 =1/(𝑥 11 /11 | )=1/(211 /11-(−2)11 /11)=11/4096=0,00268
𝑎
Теперь найдем математическое ожидание:
𝑏
𝑏
Mx = 𝑐 ∫𝑎 𝜑(𝑥) 𝑥dx=𝑐 ∫𝑎 𝑥 11 dx =c[
𝑥 12
12
−
𝑥 12
12
] |2−2 =0
Дисперсия нашей непрерывной величины X равна:
𝑏
Dx = c∫𝑎 𝜑(𝑥) ∗ 𝑥 2 𝑑𝑥–𝑀𝑥 2 =1260,3*0,00268 – 0 = 3,384
𝑏
∫ 𝜑(𝑥) ∗ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1260,3
𝑎
Теперь найдем функцию распределения величины X:
0, 𝑥 < −2, 𝑥 > 2
𝑓(𝑥) = {
𝑐 ∗ 𝑥 10 , −2 < 𝑥 < 2
У нас имеется //2// 3 интервала:
На первом интервале F ( x  2) 
2


2
f (t )dt   0dt 0;

2
х
На втором интервале -2<x<2:F(x)=  0dt +∫−2 𝑐 ∗ 𝑥 10 𝑑𝑥= с

х11 х
| =
11 −2
1
(х11 +
4096
11
2 ) ИСПРАВЛЕННА ОПИСКА
2
2

На третьем x>2:F(x)=  0dt +∫−2 𝑐 ∗ 𝑥 10 𝑑𝑥 +  0dt  с

2
х11 2
211 +211
11 −2
11
| =с
=
11
4096
∗
212
11
=1
Функция распределения имеет вид
x  2
0,

11
11
 1 х 2
F ( x)  
, 2 x  2
4096

1,
x2
+
НОВАЯисправьте
и здесь
Функцией распределенияF(x) случайной величины X называется
вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции
x:
F  x  p  X  x .
(4.1)
Свойства функции распределения:
1. F(- ) = 0.
2. F(+ ) = 1.
3. F(x1) F(x2), при x1<x2.
Доказательство.
A={X<x1}, B={x1X<x2}, C={X<x2}, тогда
C=A+B, p(C)=p(A)+p(B), p(C)=F(x2), p(A)=F(x1), F(x2)=F(x1)+p(B),
p(B)0F(x1)  F(x2).
4. Вероятность попадания значения случайной величины X в интервал:
p( x1  X  x2 )  F  x2   F  x1  .
(4.2)
Доказательство.
p(x1X<x2) =p(B)=p(C)-p(A)= F(x2) - F(x1).
Плотностью распределения (плотностью вероятности ) f(x)
непрерывной случайной величины X называется производная ее функции
распределения
dF ( x)
f ( x) 
 F ( x) ,
(4.6)
dx
Осталось найти вероятность попадания величины X в интервал [-1,1.5]:
p(  X  )
1,5
F ()  F ()
∫−1 𝑐 ∗ 𝑥 10 𝑑𝑥=c(1,511 /11-(−1)11 /11)=0,00286*(7,86-1/11) = 0,0222
P=0,0222
7)В задачах 7.1-7.40 (условия приведены в табл. 7.1) случайная
величина Х распределена равномерно на интервале [a,b]. Построить график
случайной величины Y=(X) и определить плотность вероятности g(y).
Вариант
a
b
-1
16
𝛗(x)
7.40
𝒙𝟏/𝟒
Построим график для величины 𝒙𝟏/𝟒 для x в интервале[-1;16] и определим
диапазон значений Y:
2.5
2
Ряд 1
Ряд 2
1.5
Столбец1
1
0.5
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
В зависимости от числа k обратных функций
выделим
следующие интервалы для Y: (-∞,1) k1 = 0,
(1,+16],k3=1, (16,+∞)k4=0
[0,1]k2=2,
НОВАЯ
На интервалах (-∞,-1) и (16,+∞) – обратных функции не существует
В интервале [0,1] две обратные функции
f1(y)=-𝑦 4 и f2(y)=𝑦 4
′ (𝑦)
|Ψ1,2
| = ∓4𝑦 3 .
Вычислим модули производных обратных функций
Для двух функции это будет значение 4𝑦 3
В интервале (1,16] одна обратная функция
Вычислим производную от функции𝑦 4 которая будет ровна
Ψ3′ (𝑦) = 4𝑦 3
Так как х равномерно распределена в интервале [-1,16], то ее плотность
вероятности ровна
1
, −1 ≤ 𝑥 ≤ 16
f(x)={
0, 𝑥 > 16, 𝑥 < −1
17
0, 𝑦 < 0
𝑓(−𝑦 ∗ 4𝑦 + 𝑓(𝑦 4 ) ∗ 4𝑦 3 , 0 ≤ y < 1
g(y) =
𝑓(−𝑦 4 ) ∗ 4𝑦 3 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 16
0, 𝑦 > 16
{
4)
3
После преобразования получим
0, 𝑦 < 0
1/17 ∗ 8𝑦 3 , 0 ≤ y < 1
g(y) =
1/17 ∗ 4𝑦 3 , 1 ≤ 𝑦 ≤ 16
0, 𝑦 > 16
{
+
8)В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1)
двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри
выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная
плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области B:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.
ариант
8.40
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y1
y2
0
2
4
5
6
7
1
2
Решение
Построим область B .
Значения Y
2.5
2
1.5
Значения Y
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Рисунок 5
Совместная плотность вероятности примет вид:
c, 0  y  1, y  x   y  7
c, 1  y  2, y  x   y  6

f ( x, y )  

 0, иначе.
1) Найдём константу с из условия нормировки:
 
1  y 7
2  y 6

0
1
  f ( x, y)dx    cdxdy    cdxdy  12c
y

cdxdy

0  y7
0  cx

 y 7

cdxdy

y
1  cx

 y 6
1
y
2  y 6

1
1
2
9c  1  c 
y
y
y
1

dy  c (2 y  7)) dy  c  y 2  7 y
0



2

dy  c (2 y  6)) dy  c  y 2  6 y
1



1
9
Таким образом:
1
 9 , 0  y  1, y  x   y  7

1
f ( x, y )   , 1  y  2, y  x   y  6
9

 0, иначе.


1
 6с
0

2
 3c
1
Проверим полученный результат геометрически. Объём тела, ограниченного
поверхностью распределения В и плоскостью xOy равен 1, т.е:
V  h  SB  c  SB 
1
1
1
(( 2  4)   (7  5) )  1
9
2
2
Следовательно, константа с рассчитана верно.
2) Вычислим математические ожидания:
 
MX 

 x  f ( x, y)dxdy 

1 7 y
1
9 0
I.
MX 
 xdxdy 
y

 y  f ( x, y)dxdy 
1
9 0
1
9 1
1
1
y ydxdy  9 0 x
2 6 y
2
1
y ydxdy  9 1 x
12 
MY 
2 6 y
1
9 1
 xdxdy
y
1
1
49 y  7 y 2
 dy   (49  14 y )  dy 
18 0
18
1
1
18 y  3 y 2
(
18

6
y
)

dy

9 0
9
1
 dy 
y

0
2

1
21
9
24 15
 1
9 9
21
30
1 
9
9
1 7 y
II.
y
2

I.
y
6 y
1 x2
9 1 2
 
My 
 xdxdy 
7 y
1
1 x2
xdxdy

y
9 0 2
2 6 y
1
9 1
II.
1 7 y
1
9 0
1 7 y
1
9 0
7 y
y
6 y
y
 ydxdy 
y
2 6 y
1
9 1
3) Вычислим дисперсии:
y
7 y2 2 y3

1
2
3
y  dy   (7  2 y ) y  dy 
90
9
1
2
1
y  dy   (6  2 y ) y  dy 
91
16
2
 (3  )
3
3  13
9
27
17 13 * 2 43


54 27 * 2 54
 ydxdy
Пересчитано
3y2 
9
2 y3
3
1

0
2

1
17
54
1 7 y
 
DX 
1
2
2
x  f ( x, y)dxdy  M X  9 (0
1 7 y
1
x
y x dxdy  0 3

0

0
y
3
y
y
1
343 

1


2
2
X
(7  y ) 3  y 3
(7  y ) 3  y 3
dy  
dy 
3
3
0
1
2
2 6 y
II.
1
dy  
 x dxdy)  M
7  3 * 49 * y  3 * 7 * y  2 y

dy 
3
0
1
I.
7 y
3
2
2 6 y
2
 x dxdy  
3
73 y  3 *
49 y 2
y4
 7 y3 
2
2
3
1

0
147
1
7
2
2  276  92
3
3
2
x
y x dxdy  1 3
6 y
3
6 3  3 * 36 * y  3 * 6 * y 2  2 y 3
dy 
3
1
2
dy  
2
y
6 3 y  3 *18 y 2  6 y 3 
y4
2
2

3
1
216 * 2  3 *18 * 4  48  8

3
216  54  6 
3
432  216  40 167,5 88,5


 29,5
3
3
3
2
1
30
D X  (92  29,5)  2  13,5  11,11  2,39
9
9
MX 
21
30
1 
9
9
ПЕресчитано
1 7 y
 
1
DY    x  f ( x, y )dxdy  M  ( 
9 0

2
2
X
1 7 y
I.
 y
0
1
2
dxdy   x
y
2 6 y
II.
7 y
0
y
2
6 y
  y dxdy   x
1
1
y
2
dxdy)  M y2
y
1
7 y3 y4
y dy   (7 y  2 y )dy 

3
2
0
2
y4
y dy   6 y  2 y dy  2 y 
2
1
2
2
3
1 11 13  43 
DY  (  )     0,92  0,62  0,3
9 6 2  54 
Пересчитано
4) Вычислим корреляционный момент:
1

3
2
2
y
dxdy  
y
2
2
1 y
y
2 6 y
2
0
11
6
2
8
3
1
3 13
  6,5
2 2
1
2
 
K XY 

 x  y  f ( x, y)dxdy  M X  M Y 
 
1 7 Y
I.

0
1
x2
xydxdy

y
0 2
2 6 y
II.

 xydxdy 
1 y
2
1 2
y
2 1
7 y
y
1 7 y
1
(
9 0
2 6 y
 xydxdy  
 xydxdy)  M
y
y
1
1
1
1 49 y 2 14 y 3
ydy   49 y  14 y 2 dy  (

20
2 2
3
6 y
2
ydy 
y
1
1
36 y  12 y 2  (18 y 2  4 y 3

21
2
X
1
)
0
 MY
119
12
2
)  13
1
1
119 43 30
K XY  (13 
)  *  2,54  2,65  0,11
9
12
54 9
MY 
17 13 * 2 43


54 27 * 2 54
Пересчитано
Вычислим коэффициент корреляции между величинами X и Y:
R XY 
K XY
 0,11

 0,13
D X  DY 0,846
Пересчитано
+
Ответ: RXY  0,13
9)В задачах 9.1-9.40 вычислить математическое ожидание и дисперсию величин
U и V, а так же определить их коэффициент корреляции
U = ao+ a1x1+a2x2
.V = b0+b1x2+b2x3
Конкретные значения коэффициентов
случайных величин
Вариант
9.40
a0
1
a1
2
a2
6
b0
-3
:
и числовые характеристики
приведены в табл. 9.1.
b1
-2
b2
3
m1
2
m2
8
m3
-2
Математическое ожидание UMu= 1+2*2+6*8=53
Мат. Ожидание VMv= -3+(-2)8+3*(-2)=-25
Дисперсия величины U:
D1
16
D2
25
D3
9
K12
10
K23
0
K13
6
Du=a1*a1*D1 + a2*a2*D2 + 2(a1*a2K12) =16*4+36*25+2*2*6*10=1204
Дисперсия величины V:
V = b0+b1x2+b2x3
Dv=b1*b1*D2 + b2*b2*D3 + 2(b1*b2K23)=2*2*25+3*3*9-2*2*3*0=
181
Найдем корреляционный момент между величинами U и V:
X1 = 2, x2 = 8, x3 = -2
M[uv]=M[(1+ 2x1+6x2)(-3-2x2+3x3)=
M[ -3-2x2+3x3 -6x1 – 4x2x1 + 6x1x3- 18x2–12x2*x2+18x2x3]=
= -3 – 4 - 6 - 12 -4(16 +10)+6(2*-2 +6)-18*8-12(64 +25) + 18(8*-2 +0)=
=-25 -104+12-144-1068-288=1617
Корреляционный момент между величинами U и V:
Kuv  muv  mu  mv
Kuv= -1617-53*-25=-1617 + 1325= -292
Коэффициент корреляции между величинами U и V:
Ruv 
Kuv
Du  Dv
+
Ruv =
−292
√(1204∗246)
=
−292
544
−0,53