Изучение закона Бойля

Введение
Лабораторный практикум является обязательной составляющей изучения курса
физики на естественных факультетах. В течение каждого семестра изучения
физики студенты должны выполнить лабораторные работы, тематика и
количество которых определены учебной программой курса для данного
направления.
Цели лабораторного физического практикума:
1. Изучение основ физики с использованием экспериментальных методов.
2. Знакомство с методикой проведения физического эксперимента.
3. Приобретение опыта проведения измерений физических величин и оценки их
погрешностей.
Для успешного выполнения лабораторной работы и получения зачета за
отведенное время студент обязан заранее подготовится к занятию и составить
конспект лабораторной работы в соответствии с требованиями методических
указаний. Если в течение аудиторного занятия студент не успел получить зачет по
лабораторной работе, он должен провести необходимую обработку результатов
измерений во внеучебное время, правильно оформить работу и представить ее для
получения зачета на следующем по расписанию лабораторном занятии.
Организация учебного процесса в лабораториях осуществляется в соответствии с
утвержденными на кафедре общей физики нормами и правилами проведения
лабораторных работ, с которыми студенты знакомятся на первом занятии.
Этапы выполнения лабораторной работы:
1) получение допуска к лабораторной работе;
2) правильное и самостоятельное проведение измерений;
3) обработка результатов измерений;
4) получение зачета по лабораторной работе.
3
Подготовка к допуску осуществляется с использованием методических указаний к
лабораторной работе и рекомендованной литературы. Проводится оформление
раздела «Краткая теория» в конспекте лабораторной работы.
Допуск студентов к лабораторной работе преподаватель проводит в виде
собеседования со студентом. Подготовка к получению допуска к лабораторной
работе является основой для ее правильного, грамотного и наиболее быстрого
выполнения. В течение подготовки к допуску, которую необходимо проводить
заранее во внеучебное время, студент должен выполнить следующее:
1. Подготовить конспект лабораторной работы по установленной форме.
2. Изучить основы теории физического явления, исследуемого в лабораторной
работе, и запомнить формулировки понятий, используемых в теории.
3. Разобраться с выводом основных формул, которые используются в
лабораторной работе. Понять вид функций и графиков, которые должны быть
получены в работе, а также значения или оценки рассчитываемых величин.
4. Понять процедуру проведения измерений и последовательность обработки
результатов измерения.
После получения допуска каждый студент самостоятельно проводит обработку
результатов измерения и их представление в соответствии с методическими
рекомендациями к лабораторной работе.
Итогом работы служит предоставление оформленного отчета по лабораторной
работе и получение зачета у преподавателя.
4
Лабораторная работа № 310
Изучение закона Бойля-Мариотта
Оборудование: установка для изучения газовых законов, электронный манометр.
Цель работы: определить значение универсальной газовой постоянной.
Краткая теория
Молекулярная физика – раздел физики, в котором изучаются строение и свойства
вещества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся
на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном
хаотическом движении. Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются
результатом совокупного действия огромного числа молекул.
Термодинамика - раздел физики, изучающий наиболее общие свойства
макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического
равновесия, и процессы перехода между этими состояниями.
Термодинамическая система – совокупность макроскопических тел, которые
взаимодействуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими
телами (внешней средой).
Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами
состояния) – совокупностью физических величин, характеризующих свойства
термодинамической системы. К термодинамическим параметрам относятся:
давление р, температура Т, удельный объём , внутренняя энергия U и т. п.
Параметры
состояния
системы
могут
изменяться.
Любое
изменение
в
термодинамической системе, связанное с изменением хотя бы одного из
термодинамических параметров, называется термодинамическим процессом.
Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее
состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия
рассматриваемой системы при этом не изменяются).
5
Идеальный газ - идеализированная модель газа. В идеальном газе силы
взаимодействия между частицами (атомами, молекулами) пренебрежимо малы;
собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом
сосуда; столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно
упругие.
К
идеальному
газу
близки
разреженные
реальные
газы
при
температурах, далёких от температуры их конденсации.
Температура
–
физическая
величина,
характеризующая
состояние
термодинамического равновесия макроскопической системы. В настоящее время
применяются две температурные шкалы – термодинамическая и Международная
практическая. В Международной практической шкале температура замерзания и
кипения воды при давлении 1,013105 Па соответственно 0 и 100 0С (реперные
точки). Термодинамическая шкала определяется по одной реперной точке –
тройной точке воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при
давлении
609Па
находятся
в
термодинамическом
равновесии).
Термодинамическая температура этой точки равна 273,15 К. Градус Цельсия
равен градусу Кельвина.
𝑇 = 273,15 + 𝑡.
Температура Т=0К называется нулем кельвин. 0 К недостижим, хотя приближение
к нему сколь угодно близко возможно.
Удельный объем  – это объем единицы массы. Когда тело однородно, т.е. его
плотность =const, то
=
𝑉 1
= .
m ρ
Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему,
то макроскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом
тела.
6
Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов
и т. п.), содержащихся в системе или теле. Количество вещества выражается в
молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же
структурных элементов, сколько содержится атомов в 12 г изотопа углерода 126С:
v=N/NA ,
где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.),
составляющих тело (систему); NA — постоянная Авогадро.
Закон Авогадро: 1 моль любого газа при одинаковых температуре и давлении
занимает одинаковый объем.
При нормальных условиях:
V0  22,414∙10-3 м3/моль,
T0  273,15 K и
p0 
1,01325∙105 Па.
1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул, называемое
постоянной Авогадро:
NA =6,021023 моль-1.
Молярная масса вещества
M
m
,
v
где m — масса однородного тела (системы);  — количество вещества этого тела.
Состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими
параметрами: давлением p, объемом V и температурой T. Между этими
параметрами существует связь, называемая уравнением состояния:
𝑓(𝑝, 𝑉, 𝑇) = 0.
Французский физик Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа:
𝑝𝑉
𝑇
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(1)
Русский ученый Д.И.Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом
Авогадро, и рассчитал значение постоянной в уравнении (1).
7
Для газа, имеющего общую массу m и молярную массу M, получим уравнение
состояния идеального газа, называемое также уравнением Клапейрона –
Менделеева:
pV 
m
RT
M
pV  RT ,
или
(2)
где m — масса газа; M — его молярная масса; R =8,31 Дж/(мольК) — молярная
газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — количество
вещества.
Еще одна форма записи уравнения Клапейрона - Менделеева
p=nkT,
где n 
(3)
N
— концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы,
V
N - число частиц газа, k — постоянная Больцмана.
𝑘=
𝑅
= 1,38 ∙ 10−23 Дж/К.
𝑁𝐴
Изопроцесс – процесс, протекающий в газе постоянной массы при одном из
постоянных термодинамических параметров.
Изотермический процесс - процесс, протекающий при постоянной температуре.
Закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа при постоянной температуре
произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:
pV = const при T = const , m = const.
p  const 
8
1
V
(4)
p
V
p
V
T
Рисунок 1 – Графики изотермического процесса
9
T
Описание установки
На Рисунке 2 представлена установка для изучения закона Бойля-Мариотта: 1 –
стеклянный кожух, 2 – шприц, 3 - электронный манометр, 4 - электронный
термометр.
3
4
2
1
Рисунок 2 - Экспериментальная установка
для изучения закона Бойля-Мариотта
10
Выполнение работы и обработка результатов измерений
1. Соберите экспериментальную установку как показано на Рисунке 2.
2. Поместите газовый шприц в кожух согласно инструкции по эксплуатации.
Шприц должен обеспечивать герметичность. Смажьте плунжер машинным
маслом, чтобы предотвратить утечку воздуха при высоком давлении. Плунжер
должен быть покрытым сплошной пленкой масла на протяжении всего
эксперимента.
3. Установите начальный объем воздуха в шприце V1  50 мл .
4. Соедините выпускное отверстие шприца с электронным манометром при
помощи короткой кремниевой трубки.
5. Постепенно увеличивайте объем воздуха в шприце с шагом 1 мл и записывайте
показания электронного манометра. Когда объем достигнет значения 70 мл,
закончите измерения.
6. Используя метод наименьших квадратов (см. приложение А), рассчитайте
температуру по формуле:
𝑇=
𝜇𝑇0
𝑝0 𝑉0 𝑁𝑖 𝜌(𝑇)𝑉1
∑𝑖 𝑝𝑖 𝑉𝑖 ,
где V0 , T0 , p0 - объем, температура и давление при нормальных условиях:
V0  22,414∙10-3 м3/моль,
T0  273,15 K ,
p 0  1,01325∙105 Па,
 - молярная масса воздуха, =2910-3 кг/моль,
𝜌(𝑇) - плотность воздуха при температуре Т (см. приложение Б),
Ni – число измерений.
7. Используя метод наименьших квадратов (см. приложение А), вычислите
значение универсальной газовой постоянной R по формуле:
11
𝑅=
𝜇 ∑𝑖 𝑝𝑖 𝑉𝑖
𝜌(𝑇)𝑉1 𝑇𝑁𝑖
,
8. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:
№
п/п
V, мл
V10-6, м3
𝑝 ∙ 105 , Па
𝑝𝑖 𝑉𝑖
∑ 𝑝𝑖 𝑉𝑖
T, К
𝑖
R,
Дж
моль∙К
1
9. Постройте график зависимости давления от объема 𝑝 = 𝑓 ( ), объясните его
𝑉
вид.
Контрольные вопросы
1. Что такое идеальный газ? При каких условиях реальный газ можно
рассматривать как идеальный?
2. Дайте определение равновесного процесса.
3. Дайте определение обратимого и необратимого процессов.
4. Как можно охарактеризовать состояние идеального газа?
5. Запишите уравнение состояния идеального газа.
6. Дайте
определение
изотермического
процесса.
Запишите
уравнение,
описывающее изотермический процесс. Изобразите графики изотермического
процесса в координатах (p,V), (p,T) и (V,T).
7. Каков физический смысл универсальной газовой постоянной?
12
Заключение
План оформления лабораторной работы:
1. Номер лабораторной работы.
2. Название лабораторной работы.
3. Цель работы.
4. Оборудование.
5. Краткая теория.
6. Описание установки.
7. Ход работы и обработка результатов измерений.
Все
расчеты,
необходимые
для
получения
окончательных
результатов
лабораторной работы, должны быть представлены в конспекте в форме,
доступной для проверки преподавателем. Все расчеты должны проводиться в
международной системе единиц измерения СИ.
На основе проведенных расчетов в конспекте лабораторной работы (если это
требуется) должны быть построены экспериментальные графики зависимостей
физических величин, предусмотренные методическими указаниями.
Требования по оформлению графиков:
1) Графики строятся на миллиметровой бумаге;
2) на графике: оси декартовой системы, на концах осей — стрелки, индексы
величин, единицы измерения, множители;
3) на каждой оси указывается масштаб;
4) под графиком указывается его полное название;
5) на графике должны быть отмечены экспериментальные точки.
Результаты расчета физических величин, которые должны быть получены как
итог выполнения лабораторной работы. Окончательный результат должен быть
представлен в виде среднего значения измеренной физической величины с
указанием ее доверительного интервала.
13
Вывод по лабораторной работе должен включать в себя сравнение полученных
результатов с теоретическими положениями.
14
Приложение А
Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для
оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные
ошибки.
Метод
наименьших
квадратов
применяется
также
для
приближённого
представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто
оказывается полезным при обработке измерений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например,
длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится
много раз, и за окончательный результат берут среднее арифметическое из всех
отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на
соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов
отклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше,
чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было
другой величины. Само правило арифметической середины представляет,
следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.
Пример 1
Рисунок 1 - Кривая, проведённая через точки, имеющие нормально
распределённое отклонение от истинного значения
15
Пример 2
Пусть надо решить систему уравнений
(1)
число которых более числа неизвестных x, y,
Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему
уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по
обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные
уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные
уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно,
получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на
коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе
нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:
то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:
(2)
16
Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко
составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой
неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в
первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен
коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д. Для пояснения сказанного
ниже приведено решение пяти уравнений с двумя неизвестными:
Составив значения [aa], [ab], получаем следующие нормальные уравнения:
,
откуда
x = 3,55;
y = − 0,109
При составлении обычной регрессионной модели используется та же методика, и
данные коэффициенты представляют собой коэффициенты уравнения регрессии.
Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, то есть уравнений, в
которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев
уравнения, связывающие наблюдаемые и искомые величины, бывают высших
степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела:
предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким
приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и
пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое
уравнение к линейному.
17
Приложение Б
Зависимость плотности воздуха от температуры
Температура,
Плотность воздуха,
T, 0С
ρ, кг·м−3
+35
1,1455
+30
1,1644
+25
1,1839
+20
1,2041
+15
1,2250
+10
1,2466
+5
1,2690
±0
1,2920
-5
1,3163
-10
1,3413
-15
1,3673
-20
1,3943
-25
1,4224
18
19