Алгебраические задачи с параметрами».

Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 52
СОГЛАСОВАНО:
Руководитель МО
Егорова А.В.___________
«____»________________г.
УТВЕРЖДАЮ:
Директор средней школы №52
Крапивина С.Н. _________
«____»_________________г.
Подробная программа элективного курса
«Алгебраические задачи с параметрами».
Программа рассчитана на 10-11классы.
Разработала: Л.В. Гладышева
учитель
математики
г. Липецк, 2005
3
Пояснительная записка
Элективный курс «Алгебраические задачи с параметрами» рассчитан на __________для учащихся 1011 классов. Запланированный данной программой для усвоения учащимися объем знаний необходим для
овладения ими методами решения задач с параметрами, а точнее уравнений и неравенств с параметрами,
что открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для
математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом
материале. Это касается и идеи симметрии аналитических выражений, и применения свойств функций и
освоения геометрических приёмов решения задач как равноправных, по существу, с аналитическими
методами и т.п.
Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому
трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию»,
смогут в жёсткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справится с подобными задачами.
Совершенно очевидно, что к «встрече» с такими задачами надо специально готовиться. Этому,
возможно, поможет данный курс.
Целью данного курса является проверить знания основных разделов школьной математики, уровень
математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
По-моему мнению, такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают
задачи с параметрами. Далеко не случайно эти задачи стали неотъемлемым атрибутом экзаменационных
билетов многих институтов.
Весь материал курса помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты. Каждый пункт
посвящён определённому типу задач или приёму их решения. Упражнения для самостоятельной работы
приводятся сразу после соответствующего пункта.
Итак, данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию
логического мышления учащихся. Используются традиционные формы организации занятий, такие как
лекция и семинар. Богатство и разнообразие примеров и подходов к решению одного и того же примера
позволит учащимся проявить себя, лучше понять математику как предмет.
Примерное распределение аудиторной нагрузки по темам (______)
Параграф
Тема
1
2
Учебное время, ч
Лекция Семинар
3
4
Глава 1.Знакомство с параметром.
Глава 2.Аналитические и графические приёмы решения задач с параметрами.
1
Аналитические решения основных типов задач.
1) Параметр и поиск решения уравнений, неравенств и их
систем («ветвление»)
2) Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их
систем
3) Параметр и свойства решения уравнений, неравенств и их
систем
4) Параметр как равноправная переменная.
2
Свойства функций в задачах с параметрами
1) Область значений функции
2) Экстремальные свойства функций
3) Монотонность
4) Чётность. Периодичность. Обратимость.
3
Графические приёмы. Координатная плоскость (х; у)
1) Параллельный перенос
2) Поворот.
3) Гомотетия. Сжатие к прямой
4
4) Две прямые на плоскости.
4
Графические приёмы. Координатная плоскость ( x; a ) .
Глава 3. Квадратичная функция.
1
«Каркас» квадратичной функции.
1) Дискриминант, старший коэффициент.
2) Вершина параболы.
2
Корни квадратичной функции.
1) Теорема Виета.
2) Расположение корней квадратичной функции относительно
заданных точек.
3) Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней
квадратичной функции.
Глава 4. Аналитические и графические приёмы.
1
Применение производной
1) Касательная к кривой.
2) Критические точки.
3) Монотонность.
4) Наибольшее и наименьшее значения функции. Оценки.
5) Построение графиков функций.
2
Методы поиска необходимых условий.
1) Использование симметрии аналитических выражений
2) «Выгодная точка».
3) Разные приёмы.
Основное содержание курса
Глава I. ЗНАКОМСТВО С ПАРАМЕТРОМ.
Эта глава адресована, в первую очередь для учащихся, имеющим минимальное представление
о задачах с параметрами. Указать разделы общеобразовательной математики, в которых вообще
присутствует сама идея параметра. Обратить внимание на двойственную природу параметра (будучи
фиксированным, но неизвестным числом). Начать изучение аналитического метода решения задач с
параметрами. Разбор заданий, где параметр заменяется числом. Существенным этапом решения является
запись ответа (особенно, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значения параметра). Разбор
заданий, где возникло «расслоение» решения с учётом определённых значений параметра. Обратить
внимание на класс задач, где за счёт параметра на переменную накладываются какие-либо искусственные
ограничения (при каком значении параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно решение, два,
бесконечно много, ни одного…). Показать как параметр влияет на условие равносильности уравнений и
неравенств.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
Решить неравенства:
При каких a
2
a  4 x  a  2;
x x  a   0;

a

2

 6a  5 x  a  1;
xa
 0;
x  4x  3
x  3  a;
2
x  1  a 2 x  0...
x  a 2 x  2a   0;
;
x  1 x  a  0;
xa
 0...
x2
.
 x  5,
един. решение?

x  3  a
5
Глава II. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С
ПАРАМЕТРАМИ.
В этой главе мы продолжим изучение методов решения задач с параметрами. Будут
разобраны более сложные примеры.
§1 Аналитическое решение основных типов задач.
В соответствии с целью этой главы задачи классифицированы с позиции применения к ним
аналитических методов исследования.
1) Параметр и поиск решения уравнений, неравенств и их систем («ветвление»).
«Ветвление» - процесс решения тех задач, где параметр «управляет» поиском значений
переменной. Разбор различных случаев в зависимости от определённых значений параметра.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнение:
Решить систему уравнений:
Решить неравенства:
2
2
2b  x
2x
1


 0;
3
3
2
2
ax 2  2ax  1  0;
lg x  y   lg x  lg y,
xb
b x
bx  b  x

log a x  1  log a x  2
3x  5 3x  7
2b
lg x  ay   lg x  2 lg y.
 x
 x
...
x
x
3  3 3 1 9  2 3  3
2) Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем.
Знакомство с этим классом задач состоялось в главе I. Это позволяет непосредственно
перейти к более сложным примерам. Регулировка требуемого числа корней осуществляется с помощью
области определения исходного уравнения. Корни одного из уравнений совокупности не зависят от
параметра. Роль параметра в подобных примерах (не допустить появление новых корней).
Задания для самостоятельной работы:
5
3
1. При каких значениях параметра a уравнение x x  a  1x  a  0 имеет единственное решение?
2. Найти
все
такие
значения
параметра
при
которых
уравнение
a,
2
2
2
a  6a  9 2  2 sin x  cos x  12a  18  2a 1  sin x   a  3  0 не имеет решений?
33


 

3) Параметр и свойства решения уравнений, неравенств и их систем.
Задачи в которых условие требует, чтобы ответ был каким-либо наперёд заданным
подмножеством множества действительных чисел.
Задания для самостоятельной работы:
1. Найти a , при которых уравнение ax 2  3x  2a 2  3  0 имеет только целые корни.
2. В интервале (0;1) найти подмножество тех x , для которых справедливо неравенство
1
 
 81 
8 loga x
1
 
 3
log2a x
.
4) Параметр как равноправная переменная.
Параметр – переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче.
Аналитическое решение задач указанного класса.
Задания для самостоятельной работы:
x
1. Найти все такие значения a , при которых уравнения x 2   a  0 и 4a 2 x 2  ax  a  0 имеют
2
общий действительный корень.
 x 2  y 2  bx  ay  cz ,

2. Решить систему:  y 2  z 2  ax  cy  bz,
 z 2  x 2  cx  by  az.

6
§2. Свойства функций и задачах с параметрами.
Ключ решения – свойства функций. В настоящем параграфе будем отдавать предпочтение
функциональному подходу. Пункты этого параграфа соответствуют стандартной схеме исследования
функции.
1) Область значений функции.
Разобрать задачи, в условии которых непосредственно содержится требование поиска
области значений функции. Затем решить задачи в условии которых не содержится прямой подсказки
использовать область значений функции. И наконец рассмотрим тип задач, в которых область значений
функций помогает найти далеко не очевидную замену.
Задания для самостоятельной работы:
1. Найти все положительные значения a , при которых область значений функции
a x 1  2a 2  2a
содержит все чётные целые числа.
f ( x) 
a x 1  2
2. Решить уравнение: p  x  p  x  x .
2) Экстремальные свойства функций.
В этом пункте, ровно как и в предыдущем, идея поиска области значения функции будет
ключевой. Но сейчас наше внимание будет привлекать не асё множество значений, а лишь некоторые
(характерные) его элементы. Ими будут наибольшие и наименьшие значения функции.
Задания для самостоятельной работы:
2
1. Найти все целые a , при которых уравнение 1  a cos x  a  1 имеет решения.
2. Найти
все
значения
выполняется
неравенство
a , при каждом из которых
4
2
a4  sin x   3  cos x  a  0 для всех x .
3) Монотонность.
Свойства монотонных функций. Применение свойств при решении задач.
Задания для самостоятельной работы:
1. При всех значениях a >3 решить уравнение 2a  3 x  x  2
2. Определить число корней уравнения 2 x  8  a  2 x  3
4) Чётность. Периодичность. Обратимость.
Задания для самостоятельной работы:
1. Дана функция y  f (x) , где f ( x)  3 x 
y  f ( x  a) является нечётной?
27
. При каких значениях параметра a функция
3x
2. При каких значениях a график функции y  ax 3  6 x 2  (a  2) x имеет центр симметрии,
принадлежащей оси абсцисс?
§3. Графические приёмы. Координатная плоскость(х;у).
Обращение к наглядно-графическим интерпретациям. Два основных графических приёма: построение графического образа на координатной плоскости x; y  , второй – на x; a  .
1) Параллельный перенос.
Разобрать задачи, где членами семейства f ( x; a) будут прямые. Затем рассмотреть семейство
кривых, задаваемые уравнениями y  x  a или y  ( x  a) 2 , x  a (членами этих семейств будут
«полупараболы»); семейство кривых будут образовывать окружности и полуокружности.
7
Задания для самостоятельной работы:
1. Для каждого значения параметра a определить число решений уравнения x 2  2 x  3  a .
2. Для каждого значения параметра a решить неравенство 1  x  a  x .
2) Поворот.
Во всех примерах члены семейства y  f ( x; a ) - прямые, центр поворота принадлежит
прямой ( т.е. ограничимся семейством вида y  y0  a( x  x0 ) , где ( x0 ; y0 ) - центр поворота). В
некоторых примерах придётся решать стандартную задачу: для прямой семейства находить угловой
коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. «Подводные рифы» графического
метода.
Задания для самостоятельной работы:
1. При каких a уравнение x 2  5 x  6  ax имеет три решения?



 y 2  2 xy  x 2  2 x  3 3  x 2  0,
2. При каких значениях параметра a система уравнений 
имеет
 y  ax  6a  0.
более двух различных решений?
3) Гомотетия. Сжатие к прямой.
Система параллельных прямых с постоянным расстоянием между соседними прямыми. Свойства
кривых y  kf (x) являются ключом к решению некоторых задач.
Задания для самостоятельной работы:
 x  y  1,
1. Найти число решений системы уравнений  2
 x  y 2  a 2 a  0.
2. Для каждого отрицательного числа a решить неравенство 2 x  a 2  x 2  0.
4) Две прямые на плоскости.
В основе решения задач данного пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения
двух прямых: a1 x  b1 y  c1  0 и a2 x  b2 y  c2  0 .
Задания для самостоятельной работы:
2a  3x  ay  3a  2,
1. Найти значения a , при которых система уравнений 
имеет единственное
5 x  2a  3 y  5
решение.
2 x  9a 2  2 y  3a,
2. Найдите все значения a при которых система уравнений 
не имеет решений.
x  y  1


§4. Графические приёмы. Координатная плоскость ( x; a ) .
Параметр как равноправная переменная, то ему можно «выделить» и свою координатную ось.
Таким образом возникает координатная плоскость ( x; a ) . Показать применения этого метода для решения
основных типов задач, о которых шла речь в §1. Процесс решения схематично выглядит так: строится
графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической
оси, «снимаем» нужную информацию.
Задания для самостоятельной работы:
 x 2  a  4 x  3  0,
1. Найти все значения параметра a , при которых система неравенств 
2a  x  2  0
удовлетворяет лишь при одном x .
2. Найти все значения параметра a , при каждом из которых уравнение 1  ax  1  1  2a x  ax 2
имеет только один корень.
8
Глава III. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ.
Квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по
форме и содержанию, но объединённых общей идеей – в основе их решения лежат свойства функции
y  ax 2  bx  c .
§1. «Каркас» квадратичной функции.
Дать в виде таблицы все важные свойства квадратичной функции.
1) Дискриминант, старший коэффициент.
В этом пункте рассмотрим примеры, решение которых связано с исследованием знаков D и a
(дискриминанта и старшего коэффициента).
Задания для самостоятельной работы:
1.
Найдите
все
значения
параметра
при
которых
система
уравнений
a,
2
 x  y  1  0,
имеет решение.
 2
 x  y 2  a  1x  a  1 y  a  0
2.
Найдите все значения a , для которых неравенство a  3x 2  2ax  3a  6  0 выполняется при
всех значениях x .
2) Вершина параболы.
В этом пункте рассмотрим примеры , решение которых связано с положением вершины
параболы.
Задания для самостоятельной работы:
1. При каких значениях параметра a наибольшее значение трёхчлена ax 2  4 x 24  2a  a 2 меньше
четырёх?
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y  2 x 2  2ax  1 на отрезке  1;1 .
§2. Корни квадратичной функции.
1) Теорема Виета.
Нет необходимости отводить здесь место каким-либо теоретическим рассуждениям. Перейдём
непосредственно к задачам, которые и раскроют возможности применения этой теоремы.
Задания для самостоятельной работы:
1. Пусть x1 и x 2 - корни уравнения 3x 2  ax  2a  1  0 . Вычислите x13  x23 .
2. При каких значениях a уравнение ax 2  x  a  1  0 имеет два различных действительных корня x1
и x 2 , удовлетворяющие неравенству
1 1

1?
x1 x2
2) Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек.
Начнём работу с типа задач, когда дискриминант квадратичной функции окажется полным
квадратом. Необходимое и достаточное условие, для того чтобы число p находилось между корнями
квадратичной функции f x   ax 2  bx  c . Необходимое и достаточное условие, для того чтобы число p
было больше корней квадратичной функции f x   ax 2  bx  c .
Задания для самостоятельной работы:
1. При каких значениях a корни квадратного трёхчлена 2a  2x 2  a  1x  1 больше -2, но меньше
0?
9
3) Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции.
Научить замечать «скрытую» в задаче квадратичную функцию – приём достаточно
распространённый и в немалой степени эффективный.
Задания для самостоятельной работы:
2
2
 x   y  a   1,
1. При каких a система уравнений 
имеет хотя бы одно решение?
 y  x 2  1
2. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство
a 2  2a  sin 2 x  2a cos x  2 выполняется для любого значения x .
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ(продолжение).
§1. Применение производной.
В каждом из пяти пунктов параграфа будут разобраны (классические) типы задач на
применение аппарата математического анализа, изучаемого в школе.
1) Касательная к кривой.
Задания для самостоятельной работы:
1. Парабола с вершиной на оси x касается прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(2;4) в точке В.
Найти уравнение параболы.
2. При каких b и c прямые y  x и y  2 x являются касательными к графику функции
y  x 2  bx  c ?
2) Критические точки.
Задания для самостоятельной работы:
1. При каком значении параметра a значения функции y  x 3  6 x 2  9 x  a в точке x  2 и в точках
экстремума, взятые в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?
2. При каких a  0 точка x  3 является точкой минимума функции f x   2 x 3  6a 2 x  3 ?
3) Монотонность.
Задания для самостоятельной работы:
 a4

 1 x 5  3 x  lg 5 убывает.
1. Найдите все значения параметра a , при которых функция f  x   
 1 a

4) Наибольшие и наименьшие значения функции. Оценки.
Задания для самостоятельной работы:
1. При каких действительных значениях a сумма обратных величин корней уравнения
x 2  a  1x  a 2  0 будет наименьшей?
2. При каких a  0 сумма кубов корней уравнения x 2  ax  a  1  0 будет наименьшей?
5) Построение графиков функций.
В этом пункте будут разобраны задачи , в решении которых используются нагляднографические соображения. При построении необходимого графического образа будем пользоваться
производной.
Задания для самостоятельной работы:
1. Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение x 5  x  a  2x 3 ?
10
§2. Методы поиска необходимых условий.
Когда непосредственный поиск значений переменной затруднён, сперва выделить
необходимые условия для получения ответа, а затем от необходимых условий перейти к достаточным, т.е. к
ответу. Таким методом решаемые задачи называют задачами с поиском необходимых условий.
1) Использование симметрии аналитических выражений.
В каждой задаче обязательно фигурирует аналитическое выражение, геометрический образ
которого имеет или ось симметрии, или плоскость симметрии. В той или иной форме присутствует
требование единственности решения.
Задания для самостоятельной работы:
1. Найдите все значения a , при которых существует единственная пара x; y  , удовлетворяющая
1
уравнению 2 2
x 1
x2  x4  y2  2y a  6 .
2) «Выгодная точка».
В этом пункте будет рассмотрен ещё один приём поиска необходимых условий. Если в задаче
требуется определить значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) выполняется при
M , то, подставив какое-либо конкретное
всех значениях переменной из определённого множества
значение из M , получим те значения параметра, среди которых обязательно содержатся искомые. Выбор
выгодной пробной точки часто основывается на интуиции и личном опыте.
Задания для самостоятельной работы:
1. Найти все значения параметра m , при которых уравнения x 2  m 2  5m  6 x  0 и
x 2  2m  3x  m 2  7m  12  0 равносильны.
2. При каких значениях параметра a уравнения 9 x  2  3 x  3 и 7 2 x1  a  7 7 x1  1 равносильны?




3) Разные приёмы.
Решение каждой задачи можно вести по схеме «от необходимого к достаточному». Но для
одних задач этот подход оправдан, а для других нет. В одних случаях можно сразу «выйти» на достаточное
условие, в других подходить к ответу, стягивая «кольца» необходимых условий. В этом пункте будут
рассмотрены задачи, для которых упомянутая схема решения целесообразна. Приёмы поиска необходимых
условий в каждом случае разные и в основном зависят от особенностей конкретной задачи.
Задания для самостоятельной работы:
 x  y  a  1,
1. Решить систему уравнений 
2
2 xy  2 y  a  4
2. Решить уравнение
x  a 2  2a  3  x  a  1  2a  2a 2  a 3  a 1  x
Организация и проведение аттестации учеников
Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося
перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку
достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его
оценке. Кроме того, знание учителем уровня владения его учениками теорией и навыками её применения
(актуализирования) поможет ему внести определённые коррективы в учебный процесс (изменить темп и
стиль проведения занятий, вернуться к ранее изученному материалу и повторить его, внести изменения в
ранее данное индивидуальное задание ученику или группе учащихся для домашнего выполнения).
Наконец, надо помнить о необходимости и даже проблеме накопления оценок для итоговой
аттестации. Последняя же необходима для оценивания общих успехов учащихся в освоении выбранного
ими курса.
11
Особенность материала, составляющего данный курс, такова, что аудиторное выполнение
письменных работ может свободно использоваться, так как большинство задач, хотя и требуют подчас
исследования, самостоятельное выполнение домашних заданий дают достаточную тренировку мышлению,
чтобы при одном уже взгляде на пример была вполне ясна «стратегия решения». В случае наличия
достаточных навыков практического применения теории для решения примеров, предложенные задания,
по сложности соответствующие проходимой главе программы курса, не только не вызовут стресса, но
позволят ученику поверить в себя, свои силы и способности.
Данный курс предполагает проведение самостоятельных работ с целью выяснения уровня усвоения
учащимися материала как минимум после каждой части, и, возможно, также после глав об эквивалентных
бесконечно малых и, в особенности, бесконечно больших. Богатство и разнообразие примеров и подходов
к решению одного и того же примера позволит учащимся проявить себя, лучше понять математику как
предмет. Возможны и другие формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, как
«Допишем учебник», которая может продолжаться несколько лет и даже идти с перерывами, так как курс
«по выбору» не обязательно будет востребован ежегодно, или самостоятельное исследование
целесообразности применения правила Бернулли для вычисления пределов. Завершить курс может
итоговая контрольная работа, задания которой расположены по возрастающей степени трудности и
охватывают все изученные приёмы и типы пределов. Написание такой работы имеет смысл как для
итоговой отчётности, так и для усвоения материала, так как подобранные примеры требуют для решения
знания всей теории курса и практических приёмов, умения видеть тип величин «с ходу» и комплекса
практических навыков в вычислении пределов, приобрести которые учащийся может скрупулёзно
выполняя все указания, данные учителем на лекциях и семинарах и с их помощью добиваясь ясности и
чёткого выполнения заданий домашних работ.
Возможные критерии оценок
Критерии по выставлении оценок могут быть следующими.
Оценка «отлично» (5) – учащийся получил навыки в применении теории курса при решении
конкретных математических задач, имеющих прикладной характер; в процессе написания и защиты
рефератов, выполнения стендовых докладов, работы над индивидуальными домашними заданиями ученик
продемонстрировал умение работать с литературными источниками; он отличался активным участием в
диспутах и обсуждениях проблем, поставленных и решаемых в данном курсе; кроме того, ученик отличился
творческим подходом и большой заинтересованностью как при освоении курса в целом, так и при
выполнении порученных ему учителем заданий. Он научился работать в малых группах, находить и
использовать информацию в рекомендованных бумажных и электронных изданиях, очевиден и
несомненен его интеллектуальный рост и рост его общих умений.
Оценка «хорошо» (4) – учащийся способен справиться со стандартным заданием; ученик справился
с написанием рефератов, но проявил чисто компилятивные способности, выполнил (но без проявления
явных творческих способностей) домашние задания; можно сказать, что оценка «хорошо» - это оценка за
усердие и прилежание, которые привели к определенным положительным результатам, свидетельствующим
и об интеллектуальном росте, и о возрастании общих умений слушателя курса.
Оценка «удовлетворительно» (3) – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что
позволило ему достаточно успешно выполнить такие задания, как написание двух рефератов (пусть при
этом проявились его чисто компилятивные способности), в итоговой контрольной самого простого состава
задач ученик справился с 4-5 задачами.
Оценка «неудовлетворительно» (2) – ученик халатно отнёсся к написанию рефератов, выполнению
индивидуальных домашних заданий (скорее всего выбор им этого элективного курса оказался ошибкой);
дискуссии для ученика были неинтересны, и он уклонялся от участия в них, в итоговой контрольной работе
самого простого состава задач он справился всего с 1-2 задачами.
12
Список литературы
1. Габович И.Г., Горнштейн П.И. Сколько корней имеет уравнение? // Квант. – 1985. - №3. – С. 4346..
2. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф. Сборник конкурсных задач по
математике (с методическими указаниями и решениями): Учебн. Пособие. – 2-ое изд. – М.: Наука,
1986. – 384 с.
3. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. О параметрах с самого начала // Репетитор. – 1991. №2. – С. 3-13.
4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. // Необходимые условия в задачах с параметрами //
1991. №11 С. 44-49.
5. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы //
Математика в школе. – 1983. - №4.– С. 36-40.
6. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970. – 146с.
7. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами // Под ред. Тынянкина С.А. – Волгоград 1991. – 160с.
8. Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика» /Министерство
образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М. Вита – Пресс 2004. – 96с. – ISB
№5-7755-0648-0.
13