Решения к задачам

11. РЕШЕНИЕ: Всего 20 билетов. Валера не выучил 6, значит выученных
билетов 20–6=14. Тогда найдём вероятность того, что ему попадётся
выученный билет.
14/20=0,7
12. РЕШЕНИЕ: В первых двух писало 180·2 = 360 человек, значит в
запасной аудитории писали 450–360 = 90 человек. Значит вероятность, что
случайно выбранный ученик будет писать в запасной аудитории, считается
как P = 90/450 = 9/45 = 1/5 = 0,2
13. РЕШЕНИЕ: Всего чисел 10, а делящихся на 3–3, следовательно
3/10=0,3
14. РЕШЕНИЕ: 30·0,6=18
100–18=82
30–18=12
(82–12)/82=70/82=0,85
15. РЕШЕНИЕ: Решаем задачу «по действиям», вычисляя вероятность
уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,7
Р(2) = Р(1)·0,3 = 0,21.
Р(3) = Р(2)·0,3 = 0,063.
Р(4) = Р(3)·0,3 = 0,0189;
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно 4 выстрелов по
мишени.
16. РЕШЕНИЕ: Всего купюр n=10
Рассчитаться он может 100 рублевыми и 50 рублевыми, в суме их m=9
Классическое определение вероятности P = m/n = 9/10 = 0,9
17. РЕШЕНИЕ: 19/981=0,019
18.
РЕШЕНИЕ:
19. РЕШЕНИЕ: 2/4=0,5
20. РЕШЕНИЕ: 6/8=0,75
21.РЕШЕНИЕ:
22. РЕШЕНИЕ:
23. РЕШЕНИЕ: 0,3+0,25=0,55
24. РЕШЕНИЕ: Всего конфет 4. Событий что выпадет именно эта конфета 1
Значит ¼=0,25
25. РЕШЕНИЕ: Пусть в магазине лежит 1000 шин (Это для простоты
дальнейших рассуждений). 300 из них сделала первая фабрика, число
бракованных = 300·0,03 = 9
450 из второй фабрика, число брака = 450·0,06 = 27
250 из третьей, число брака 250·0,01 = 2,5 (2 с половиной шины
бракованная, одна бракована лишь на половину lol).
Вероятность что случайно шина будет бракованная P = (27+9+2,5)/1000 =
0,0385
26. РЕШЕНИЕ: Студентов, которые знают и тот, и другой язык, всего
20+13−25=8 человек. Тогда искомая вероятность равна P=8/25=0.32.
27. РЕШЕНИЕ: P = (400–130–130)/400 = 140/400 = 0,35
28. РЕШЕНИЕ: Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе
с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 :
25 = 0,48
29. РЕШЕНИЕ:
30 РЕШЕНИЕ: всего холодильников 1089, из них качественных 1000.
вероятность купить качественный холодильник равна 1000/1089, это приближенно
равно 0.92
31. РЕШЕНИЕ: n = 150 (общее число портфелей)
m = 150–6 = 144 (число портфелей БЕЗ дефекта)
P = m/n = 144/150 = 0,96
32. РЕШЕНИЕ: Всего насосов n=2000, не подтекают m=2000–28=1972
P = m/n = 1972/2000 = 0,986
33. РЕШЕНИЕ: Чтобы найти частоту, нужно разделить кол–во рождаемых
мальчиков на число всех детей. Т.е. (2000–990)/2000= 101/200=0,505.
34. РЕШЕНИЕ: P=2/(n–6), где n кол–во дней июля
35. РЕШЕНИЕ: Всего возможно шесть различных вариантов того, как
упадет кубик Дины. Больше трех очков выпадает 3 раза: 4, 5 и 6. Значит,
вероятность выигрыша равна 3 / 6 = 0,5.
36. РЕШЕНИЕ: Всего рейсов 16/4=4 а значит вероятность попасть в любой
из рейсов равна 1/4=0,25
37. РЕШЕНИЕ:1) Найдем кол–во всех участников соревнования:
10+3+7+5=25;
2)Найдем вероятность,что спортсмен из Бразилии(3) будет выступать
первым:
3/25 = 0,12
38. РЕШЕНИЕ: Нас интересуют 3 спортсмена, всего спортсменов 15.
3/15=1/5=0,2
39. РЕШЕНИЕ: Равновозможны 24 = 16 исходов эксперимента:
орёл–орёл–орёл–орёл,
орёл–орёл–орёл–решка,
орёл–орёл–решка–орёл,
орёл–решка–орёл–орёл,
решка–орёл–орёл–орёл,
решка–решка–орёл–орёл,
решка–орёл–орёл–решка,
орёл–орёл–решка–решка,
орёл–решка–орёл–решка,
решка–орёл–решка–орёл,
орёл–решка–решка–орёл,
решка–решка–решка–орёл,
решка–решка–орёл–решка,
решка–орёл–решка–решка,
орёл–решка–решка–решка,
решка–решка–решка–решка
Решка выпадает ровно два раз в шести случаях:
орёл–орёл–решка–решка,
решка–орёл–орёл–решка,
решка–решка–орёл–орёл,
решка–орёл–решка–орёл,
орёл–решка–орёл–решка,
орёл–решка–решка–орёл.
Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, равна
6/16 = 3/8 = 0,375
40. РЕШЕНИЕ: Из 200 не подтекает 200–14=186 насосов, следовательно
вероятность того, что мы выберем не подтекающий равна 186/200 чтобы
привести эту дробь в десятичную можно и числитель и знаменатель
помножить на 5 получится 930/1000=0,93
41. РЕШЕНИЕ: число всех исходов – 10, благоприятных – 2. Тогда,
вероятность будет равна 2/10 = 1/5 = 0,2
42. РЕШЕНИЕ: 6/50=0,12
45. РЕШЕНИЕ: Вероятность выпадения решки один раз 1/2
Два раза подряд 1/2 · 1/2 = 1/4
Три раза подряд 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 = 0.125
46. РЕШЕНИЕ: в ПЕРВЫХ ДВУХ по 170 человек, то есть 340 человек в
нормальных аудитория, а 400–340 = 60 пишут в запасной. Вероятность
оказать одним из таких P = 60/400 = 0,15
47. P = 8/25 = 0,32
48. РЕШЕНИЕ: Рассмотрим события
А = чай закончится в первом автомате,
В = чай закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = чай закончится в обоих автоматах,
A + B = чай закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,4; P(A·B) = 0,2.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их
произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,4 + 0,4 − 0,2 = 0,6
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том,
что чай останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,6 = 0,4
49. У нас есть 3 броска, следовательно, отсюда всего 6 вариантов (по
правилу умножения), то есть это всевозможные исходы, находим
благоприятные–это те, при которых получается меньше двух орлов, то есть
3. В отношении получается 3 к 6, отсюда 50%
50. P = 5/(4+5+6)
51. 1/2 · 1/2 = 1/4= 0.25
52. 17–1 спортсмены из России кроме него
26–1 – остальные спортсмены, не считая его
потому, что он не может играть сам с собой 16/25 = 0,64
53. 1,2 и 2,1
1,3 и 3,1
2,3 и 3,2
2,4 и 4,2
3,4 и 4,3
3,5 и 5,3
4,5 и 5,4
4,6 и 6,4
5,6 и 6,5
6·6 – всего исходов
P = 18/36 = 0.5
54. 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 = 0,125
55. 10 – 1 = 9 (он же не может играть сам с собой)
46 – 1 = 45 (по той же причине)
P = 9/45 = 0.2
56. от противного: 3/6 вероятность выпадения нечетного числа. 3/6 · 3/6 =
9/36 – вероятность выпадения нечетных чисел на двух костях
одновременно и только в таком случае произведение чисел будет
НЕЧЕТНЫМ, а во всех остальных четным, то есть
P = 1 – 9/36 = 27/36
57. 4 / (9+3+4+9) = 4/25 = 0,16
58. 1/2 · 1/2 = 1/4 = 0.25
60. РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что магазин А не доставит товар равна 1 –
0,94 = 0,06.
Вероятность того, что магазин Б не доставит товар равна 1 – 0,8 = 0,2.
Так как, эти события независимы друг от друга, то вероятность того, что оба
магазина не доставят товар, равна произведению вероятностей этих
событий: 0,06 · 0,2 = 0,012
61. РЕШЕНИЕ: 25 всего вариантов
1 вариант что он найдет приз
соответственно 25–1 = 24 что он его не найдет
и вероятность этого P = 24/25 = 0.96
62. РЕШЕНИЕ: n = 80. На все дни, кроме первого, останется 80 − 20 = 60
выступления. Поскольку останется 2 дня, в каждый из них состоится по 60 :
2 = 30 выступлению. Нас интересует третий день, поэтому k = 30. Итого: p =
k/n = 30/80 = 0,375.
65. РЕШЕНИЕ: · Вероятность того, что шахматист А. выиграет белыми
фигурами = 0.5
· Вероятность того, что шахматист А. выиграет черными фигурами = 0.32
· Так как они играют две партии и во второй раз меняют цвет фигур, то обе
партии шахматист А. может выиграть со вероятностью = 0.5 · 0.32 = 0.16
67. 0.98–0.16=0.82
71. РЕШЕНИЕ:
Вероятность что он промахнулся из непрестленного
Револьвера равно (1–0.7)·(2/10), а то что он
промахнулся из престреленного (1–0.3)·(8/10), и
просто сложили эти события, так как они
несовместные (0,62)
1) 0,2×0,7=0,14
2) 0,8×0,3=0,24
3) 0,14+0,24=0,38
4) 1-0,38=0,62
74. РЕШЕНИЕ: Давайте нарисуем все возможные исходы:
ОOОО, ОOОР, ОOPO, ОРOO, РООО,
ООРР, ОРОР, ОРРО, РОРО,РРОО,РООР,
ОРРР, РОРР, РРОР, РРРО,
РРРР.
Как не трудно заметить орел выпадет всего лишь 1 раз в 4 из 16 случаев,
что означает вероятность его однократного появления равна 4/16 = 0.25
2 способ.
так как монету подбрасывают четырежды, а вариантов всего два, то
возводим число 2 в четвертую степень.Всего получаем 16 вариантов
комбинаций. Из них 4 (проверьте "деревом" вариантов) нужны нам. Далее
по формулам вероятности мы составляем отношение искомых комбинаций
на все возможные, то есть 4/16=0.25
76. РЕШЕНИЕ: сначала находим число делений между 7 и 1 на
циферблате двигая 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 1, то бишь таких делений 6,
значит вероятность искомого события будет равна 6/12 = 1/2 =0,5
77. РЕШЕНИЕ: такая вероятность 6/8=0.75
78. РЕШЕНИЕ: P=(n/m–1)/(n–1)=(51/3–1)/(51–1)=0,32
2 способ.
79. РЕШЕНИЕ: P=(26/2–1)/(26–1)=0,48
2 способ. берем всех учащихся и делим на две группы 26/2=13
в одну группу попадает Сергей, значит его мы убираем(26–1 и 13–
1),получаем вероятность того, что с ним будет Андрей 12/25=0,48
Ответ:0,48
80. РЕШЕНИЕ: Кол–во учеников n=16
Число групп m=4
Число детей в каждой группе n/m=4
Пусть один из друзей находится в какой–то конкретной группе. Вместе с ним
в группе может оказаться n/m–1=3 человека из n–1=15 оставшихся
одноклассников. Вероятность нужного события P=(n/m–1)/(n–1)=3/15=0,2
81. РЕШЕНИЕ: 1–0,94=0,06
82. РЕШЕНИЕ: A= "Вероятность, что учащийся решит 6 задач = p"
B= "Вероятность, что учащийся решит больше 6 задач = q = 0,61"
A+B= "Вероятность, что учащийся решит больше 5 задач = r = 0,66"
События A и B несовместные, вероятность r их суммы равна сумме
вероятностей этих событий, т.е.
r=q+p
p=r–q=0,66–0,61=0,05
83. РЕШЕНИЕ: A= "Вероятность, что учащийся решит 9 задач = p"
B= "Вероятность, что учащийся решит больше 9 задач = q = 0,63"
A+B= "Вероятность, что учащийся решит больше 8 задач = r = 0,75"
События A и B несовместные, вероятность r их суммы равна сумме
вероятностей этих событий, т.е.
r=q+p
p=r–q=0,75–0,63=0,12
84. РЕШЕНИЕ: p=(n–k·m)/n=(400–2·110)/400=0,45
86. РЕШЕНИЕ: (13–1)/(76–1)=0.16
89. РЕШЕНИЕ: формула сложения вероятностей для несовместных
событий, то есть просто их складываем 0,55
94. РЕШЕНИЕ: Бочкин тоже из Россия поэтому минус один из русских
спортсменов и минус один из всех спортсменов (7–1)/(26–1), 6/25=0,24
95. вероятность такого события 4/25=0,16, фраза что ИМЕННО 24, ни на что
не влияет
98. Внимательнейшим образом читаем условие:
...в первых двух по 180... – то есть 360 человек из 450 находятся не в
запасной аудитории;
...оставшихся проводят в запасную аудиторию... – то есть из 450 человек
450 – 360 = 90 человек находятся в нужной нам запасной аудитории. Вот мы
и нашли число благоприятных исходов – случайно выбранный наугад
участник должен быть любым из девяти десятков человек, пишущих
олимпиаду в запасной аудитории. А число всех исходов, очевидно, 450.
90 / 450 = 0,2
99. РЕШЕНИЕ:
100. РЕШЕНИЕ:
101. РЕШЕНИЕ:
102. РЕШЕНИЕ: Пусть
А – «стрелок попал в мишень при первом выстреле»,
В – «стрелок попал в мишень при втором выстреле»,
С – «стрелок попал в мишень при третьем выстреле»,
D – «стрелок промахнулся при четвертом выстреле»,
E – «стрелок промахнулся при пятом выстреле»,
F –«биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза
промахнулся»
По условию задачи Р(А)=Р(В)=Р(С)=0,8, значит, Р(D)=Р(Е)= 1 – 0,8.
Используя
формулу умножения вероятностей независимых событий, получим: Р(F) =
0,8·0,8·0,8·0,2·0,2 = 0,83·0,22 =0,512·0,04 =0,02048=0,02.
103. РЕШЕНИЕ: Пусть А – «хотя бы один автомат исправен», B – «оба
автомата неисправны». Используя формулу умножения вероятностей
независимых событий, получим: Р( B ) = 0,05?0,05 = 0,0025.
Значит, вероятность того, что хотя бы один автомат исправен, по формуле
вероятности противоположного события равна: Р(А) = 1 – Р( B ) = 1 – 0,0025
= 0,9975.
104. РЕШЕНИЕ:
Пусть А – «мишень поражена при первом выстреле», В – «мишень поражена
при втором выстреле», С – «мишень поражена при третьем выстреле». По
условию Р(А) = Р(В) = Р(С) = 0,8. События А, В, С попарно независимы.
Вероятность того, что мишень будет поражена трижды, равна:
Р(А·В·С)=Р(А)Р(В)Р(С) = 0,83 = 0,512, т.к. одновременно произошли события
А , В и С , т.е. произошло событие А·В·С.
105. РЕШЕНИЕ:
Выбор пути на каждой развилке происходит наудачу, поэтому вероятность
поровну делится между всеми возможностями. Отсюда вероятность того,
что пенсионер выберет ребро АВ, равна 1/2, ребро ВG – 1/4.
Пусть G – «пенсионер пришел в точку G», АВG – «маршрут пенсионера».
Значит, по правилу умножения вероятность того, что пенсионер придет в
точку G, равна: Р(G) = Р(АВG) = 1/2·1/4= 0,125
106. РЕШЕНИЕ:
107. РЕШЕНИЕ: Пусть
А1 – «предохранители выпущены на первом заводе»,
А2 – «предохранители выпущены на втором заводе»,
D – «бракованный предохранитель».
Построим дерево вероятностей (см. рисунок). Теперь нужно вычислить
вероятности выделенных путей ?А1D, ?А2D и сложить их.
Значит, вероятность того, что случайно выбранный в магазине
предохранитель окажется бракованным, по правилам умножения и
сложения вероятностей равна: Р(D) = Р(?А1D) + Р(?А2D) = 0,4?0,04 +
0,6?0,03 = 0,016 + 0,018 = 0,034.
108. РЕШЕНИЕ:
А1 – «яйцо поступило из первого хозяйства», А2 – «яйцо поступило из
второго хозяйства», D – «яйцо имеет высшую категорию». Обозначим
вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из
первого хозяйства Р(А1) через р и построим дерево вероятностей (см.
рисунок). Теперь нужно вычислить вероятности выделенных путей ?А1D,
?А2D и сложить их:
Р(D)=Р(?А1D)+Р(?А2D)=р·0,4+(1–р)·0,2. По условию эта величина равна
0,35, тогда
р·0,4 + (1 – р)·0,2= 0,35,
0,4 р + 0,2 – 0,2р = 0,35,
0,2 р = 0,15,
р = 0,75.
Значит, вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется
из первого хозяйства Р( А1 ) = 0,75.
109. РЕШЕНИЕ:
А – «в автобусе окажется меньше 17 пассажиров»,
В – «окажется меньше 12 пассажиров»,
С – «число пассажиров будет от 12 до 16».
По условию Р(А) = 0,89, Р(В) = 0,52, а А и В независимы. Значит,
вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 16, равна: Р(С) =
Р(А+В) – Р(А·В) = 0,89 – 0,52 = 0,37, где А+В – «число пассажиров будет от
1 до 16», А·В – «число пассажиров будет от 1 до 11», т.к. произошло
событие А + В, но не произошло событие А·В.
110. РЕШЕНИЕ:
А – «первый стрелок попал в мишень»,
В – «второй стрелок попал в мишень»,
С – «мишень будет поражена ровно один раз » .
По условию Р(А+В) = 0,93, Р(А·В)= 0,27, а А и В независимы. Вероятность
того, что мишень будет поражена ровно один раз, равна: Р(С) = Р(А+В) –
Р(А·В) = 0,93 – 0,27 = 0,66, т.к. произошло событие А + В, но не произошло
событие А·В.
111. РЕШЕНИЕ:
3:4 4:3 5:2 2:5 6:1 1:6
6 возможных комбинаций. P = 1/6 = 0,166 = 0,17
112. РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что зенит попадет в группу к Барселоне
1/8=0.125, но вероятность того, что зенит выиграет Барселону равна 0)))
113. РЕШЕНИЕ: Всевозможные исходы:
2+4 – подходит
1+5 – подходит
3+3
4+2
5+1
P=2/5=0.4
114. РЕШЕНИЕ: Вероятность того, что в первый бросок выпадает к примеру
орел равно 1/2, вероятность такого же исхода во втором броске 1/2.
Вероятность того что и в первом и во втором броске выпадет орел равна
1/2·1/2=1/4=0.25
115. РЕШЕНИЕ: Чтобы выиграть ему надо, чтобы у второго игрока выпало
меньше 4! А таких цифр всего 3 (1, 2, 3), а всего возможно вариантов 6.
Значит вероятность равна P=3/6=0.5
116. РЕШЕНИЕ: Всего трехзначных числе 1000–100=900
Из них делятся на 51 всего 18
Значит P=18/900=0.02
118. РЕШЕНИЕ: Всего 20 учителей из них 15 не математики и не физики.
Значит P=15/20=0.75
119. РЕШЕНИЕ: Вероятность что орел не выпадет за один бросок 1/2 и за
второй 1/2
1/2·1/2=1/4=0.25
121. РЕШЕНИЕ: Требуется найти вероятность произведения трех событий:
«Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью
игру. Вероятность произведения независимых событий равна
произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них
равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.
123. РЕШЕНИЕ: По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах
от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность
противоположного события равна 1 - 0,965 = 0,035.
124. РЕШЕНИЕ: Всего можно наблюдать восемь исходов, благоприятных
всего 2. Следовательно P=2/8=0,25
125. 0,25
126. РЕШЕНИЕ:
127. РЕШЕНИЕ: Пусть событие А заключается в том, что по кольцу попал
Сережа, а событие В, заключается в том, что это сделал Вася. Так как оба
мальчика должны попасть по кольцу, то речь в задаче идет о произведении
этих событий. Следовательно, в задании необходимо найти вероятность
произведения заданных событий. Применим соответствующую формулу
независимых испытаний p(AB)=p(A)·p(B)=0,42
128. РЕШЕНИЕ:
129. РЕШЕНИЕ:
130. РЕШЕНИЕ:
131. РЕШЕНИЕ:
132. РЕШЕНИЕ: У нас одинаковая возможность выбрать любого из 25
учеников класса. Вероятностью является отношение числа благоприятных
исходов к числу всех возможных равновероятных исходов. Двоечников в
классе двое. Благоприятными с точки зрения условия задачи являются
варианты, когда выбирается неуспевающий школьник. Таких вариантов 2.
Для получения правильного ответа надо число 2 поделить на число 25.