Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край

« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
Оглавление:
Введение………………………………………...............................2
1.Биография Пифагора…………………………………………….3
2.История теоремы……………………………............................3-4
3.Доказательства теоремы Пифагора……………………………..4
3.1.Доказательство №1……………………………………………..4
3.2.Доказательство №2……………………………………….......5-6
3.3.Доказательство №3……………………………………………..6
3.4.Доказательство №4……………………………………………...7
3.5.Доказательство №5……………………………………………7-8
4. Применение теоремы Пифагора………………………………...8
4.1.Применение теоремы в строительстве окна.........................8-10
4.2.Применение теоремы в строительстве крыши…...................10
4.3.Применение теоремы в расположении молниеотвода…...10-11
4.4.Применение теоремы в астрономии……………………….11-12
4.5.Применение теоремы в мобильной связи…………………12-13
5.Мои исследования…………………………..................................13
5.1.Результаты Анкетирования…………………………………13-15
5.2.Практическое применение теоремы Пифагора
в решении задачи…………………………………………………15-16
5.3.Результаты решения задачи……………………………………..16
6.Заключение…………………………………....................................17
7.Список литературы…………………………………………......17-18
8.Приложения.
1
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
2
Введение.
Теорема Пифагора пришла к нам из древнего времени. Тысячи лет прошли с начала
её открытия.
В этой работе можно проанализировать, кто был первооткрывателем теоремы, где
она применяется и для чего её можно использовать. Целью данной работы является
исследование применения теоремы в повседневной жизни.
Теорема Пифагора-самая главная теорема геометрии. Актуальность работы
заключается в том , что из теоремы или с ее помощью можно вывести большинство
теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не
очевидна.
Например,
свойства
равнобедренного
треугольника
можно
видеть
непосредственно на чертеже. Но сколько, ни смотри на прямоугольный треугольник,
никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение:
*(Литцман В. Теорема Пифагора. М.,1961)
Эта теорема встречается не только в геометрии, а ещё и в разных областях наук : в
физике, астрономии, архитектуре, в судостроении, в строительстве окон, крыш,
молниеотводов и даже в мобильной связи. В знаменитых египетских пирамидах
использовалась теорема Пифагора. Как раньше, так и сейчас сельские плотники,
закладывая фундамент избы или хозяйственных построек под прямым углом, чертят
треугольник со сторонами 3,4,5. Это использовалось тысячи лет назад при строительстве
великолепных храмов в Египте, Вавилоне ,Китае и ,вероятно так же, в Мексике.
Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника – он только первым сумел
его обобщить и доказать, перевести его из области практики в область науки. Как он это
сделал неизвестно. Так же этой темой геометрии занимались Евклид, Архимед,
Аполлоний, Диофант , Птолемей. *(Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.,1961.)
Вывод: Благодаря мыслям Пифагора учёные смогли развить точные науки такие
как: арифметика, геометрия и даже астрономия.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
3
1.Биография Пифагора
Пифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и
философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. Хорошо
владел науками египтян, в том числе и математикой. Ознакомился с научными знаниями
вавилонских жрецов. Посетил Индию. Около 530 г. до н. э. в Кротоне(греческая колония
на севере Италии) организовал свою школу с уклоном философии, политики и религии.
Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки.
Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.
Он одним из первых считал, что Земля имеет форму шара. Пифагор много занимался
пропорциями и прогрессиями. Открытие того факта, что между стороной и диагональю
квадрата не существует общей меры, было самой большой заслугой пифагорейцев. Этот
факт вызвал первый кризис в истории математики.
Пифагор вместе с учениками уезжает в Метапонт. Их прибытие совпало со
вспышкой там народного восстания. В одной из ночных вспышек, погиб почти
девяностолетний Пифагор.*(Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.,1961)
Вывод: Биография Пифагора непосредственно связанна с историей развития
теоремы Пифагора и других теорем, геометрических фигур. Благодаря Пифагору мы
знаем о понятиях арифметики и геометрии, и даже о том, что Земля имеет форму шара.
2.История теоремы
Исторический обзор начнем с древнего Китая. В книге Чу-Пей говорится о
треугольнике
со сторонами
3,4,5. Около 2300 г. до н. э. египтянам было известно
равенство 32 42 52. Несколько больше знали о теореме пифагора в Вавилоне. К 2000 г.
до н. э. приводится приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника.
Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18
в. до н. э.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
4
Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых
греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие
математики, но ее систематизация и обоснование*( Ван-дер-Варден Б.Л.
Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.)
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским,
теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны,
противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой
угол". *( Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1982 )
Вывод: В настоящее время известно, что теорема не была доказана Пифагором.
Он лишь проложил её начало, а первым доказал теорему по всей вероятности Евклид.
3.Доказательства:
3.1.Доказательство №1 (простейшее)
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик
сумме квадратов, построенных на его катетах.
Простейшее доказательство теоремы
получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и
начиналась теорема.
В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных
треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC:
квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.*( Еленьский Щ. По следам Пифагора.
М.,1961.)
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
5
3.2 Доказательство №2
Пусть Т - прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. а).
Докажем, что
Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. б).На сторонах квадрата Q возьмем
точки А, В, С, так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные
треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой
Р. Покажем, что Р - квадрат со стороной с.
Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому
их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы
этого четырехугольника прямые.
Пусть a и b - величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b
= 90°. Угол при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b,
составляет развернутый угол. Поэтому a+b =180°. И так как a+b = 90°, то g=90°. Точно так
же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно,
четырехугольник Р - квадрат со стороной с.
Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из
квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для
их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).
Так как S(Q)=(a+b)2; S(P)=c2 и S(T)=½a*b, то, подставляя эти выражения в
S(Q)=S(P)+4S(T),
получаем
равенство
(a
+
b)2
=
c2
+
4*½a*b.
Поскольку
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
(a+b)2=a2+b2+2*a*b,
то
равенство
(a+b)2=c
2+4*½a*b
можно
6
записать
так:
a2+b2+2*a*b=c2 +2*a*b.
Из равенства a2+b2+2*a*b=c2+2*a*b следует, что с2=а2+Ь2.
ч.т.д.
*( Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1961.)
3.3Доказательство №3
Пусть ΔАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту
CD из вершины прямого угла С.
По
определению
косинуса
треугольниканазывается
гипотенузе)соsА=AD
AC=AC
угла(Косинусом
отношение
AB. Отсюда AB
острого
угла
прилежащего
прямоугольного
катета
к
AD=
. Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=
. Складывая полученные
равенства почленно и замечая, чтоAD+DB=AB, получим:
+
Теорема доказана.
=АВ(AD + DB)=
.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
7
3.4.Доказательство №4
Площадь прямоугольного треугольника:S=½*a*b или S=½(p*r) (для произвольного
треугольника);
p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.r = ½*(a + b - c) -
радиус вписанной в любой треугольник окружности.
½*a*b = ½*p*r = ½(a + b + c)*½(a + b - c);
a*b = (a + b + c)*½(a + b - c);
a + b=x;
a*b = ½(x + c)*(x - c)*a*b = ½(
-
) a*b = ½(а^2 + 2*a*b +
-
)
= 0, значит
3.5.Доказательство №5
Дано:ΔАВС
-
прямоугольный
треугольникAJ
-
высота,
опущенная
на
гипотенузуBCED - квадрат на гипотенузеABFH и ACKJ - квадраты построенные на
катетах.
Доказать:Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (Теорема Пифагора).
Доказательство:1. Докажем, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH,
ΔABD=ΔBFS (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBS=ABD).Но!
SΔABC=½SBJLD, т.к. у ΔABC и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая
высота LD. Аналогично SΔFBS=½SABFH (BF-общее основание, AB – общая высота).
Отсюда, учитывая, что SΔABD= SΔFBS, имеем: SBJLD=SABFH. Аналогично, используя
равенство треугольника ΔBCK и ΔACE, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак,
SABFH+SACKJ=SBJLD + SBCED.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
8
*(Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1961.)
Вывод:На основании предложенных исследований, можно сделать вывод о том,
что все доказательства теоремы Пифагора сходятся к одному решению
4.
Применение
В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих
областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.
Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение
математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание
новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые
позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных
примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.*( Самин
Д.К. Наука и техника.)
4.1. Применение в строительстве окон.
В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются
каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют
прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.
Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
9
окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг и половине
ширины (b/2), для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех
дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр
равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен
b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы
находились
без
всяких
затруднений.
В
других
аналогичных
примерах
могут
потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.
Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны
R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного
треугольника, изображенного на рис. Пунктиром. Гипотенуза этого треугольника,
проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой
b/2-p.
По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)=( b/4)+( b/4-p)
или
b/16+ b*p/2+p=b/16+b/4-b*p+p,
откуда
b*p/2=b/4-b*p.
Разделив на b и приводя подобные члены, получим:
(3/2)*p=b/4, p=b/6.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
10
*( Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.)
4.2.Применение в строительстве крыш.
В доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины
должны
быть
стропила,
если
изготовлены
балки
AC=8
м,
и
AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC – равнобедренный AB=BC=4 м, BF=4 мЕсли предположить, что
FD=1,5 м, тогда:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5м
Б) Изтреугольника ABF:
*(Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1982.)
4.3. Применение теоремы в расположении молниеотвода
Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его
основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
11
молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную
высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2 ≥ a2+b2, значит h ≥ (a2+b2)½.
Ответ:h≥(a2+b2)½
*(Самин
Д.К.
Наука
и
техника)
4.4. Применение теоремы в астрономии
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь
луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч – прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим
сразу: чему равна половина пути, который проходит луч? Если обозначить отрезок AB
символом l, половину времени как t, а также обозначив скорость движения света буквой c,
то наше уравнение примет следующий вид :
c*t=l
Очевидно? Это ведь произведение затраченного времени на скорость!
Теперь попробуем взглянуть на то же самое явление из другой системы отсчета, с
другой точки зрения, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего
луча со скоростью v. Раньше мы поняли, что при таком наблюдении скорости всех тел
изменятся,
причем
неподвижные
тела
станут
двигаться
со
скоростью
v
в
противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки,
между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то
время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается
уже в новую точку C.Вопрос: на сколько успеет сместится точка (чтобы превратиться в
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
12
точку C), пока путешествует световой луч? Точнее, опять спросим о половине данного
смещения! Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину
расстояния AC буквой d, то получим наше уравнение в виде:
v * t' = d
Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Опять очевидно, не
правда ли?
Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света?(Точнее, чему равна половина
этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта?)
Если обозначить половину длины пути света буквой s, то получим уравнение:
c * t' = s
Здесь c– это скорость света, а t' – это тоже самое время, которые мы рассматривали на
формулы выше.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого
равна l. Да-да, тому самому l, которое мы ввели при рассмотрении процесса с
неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно l, то оно
не могло повлиять не нее.
Треугольник ABC составлен из двух половинок
– одинаковы прямоугольных
треуголников, гипотенузы которых AB и BC должны быть связаны с катетами по теореме
Пифагора. Один из катетов – это d, которое мы рассчитали только что, а второй катет –
это s, который проходит свет, и который мы тоже рассчитали.
Получаем уравнение:
=
+
Это ведь просто теорема Пифагора, верно? *(Самин Д.К. Наука и техника)
4.5. Применение теоремы в мобильной связи
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди
операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
13
оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую
наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в
определенном радиусе (например радиусе R=200 км?, если известно. Что радиус Земли
равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB = OA + AB
OB = r + x
Используя теорему Пифагора, получим ответ.
Ответ: 2,3 км. *( Самин Д.К. Наука и техника)
Вывод: Как следует из вышесказанного, теорема Пифагора применяется в
различных областях техники и строительства.
5. Мои исследования:
Для проведения исследований я использовала метод анкетирования. В
опросе участвовали школьники, учителя и прохожие. Также было предложено
девятиклассникам решить задачу с применением теоремы Пифагора. Мои исследования
проведены с целью того, чтобы понять, насколько теорема Пифагора важна в нашей
жизни.
5.1Результаты анкетирования:
Прохожие: (Приложение №1)
Принимали участие 10ч.- 100
Помните ли вы со школы теорему Пифагора?
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
ДА
14
НЕТ
70%
30%
Как вы считаете, эта тема важна?
ДА
НЕ ЗНАЮ
НЕТ
10%
10%
80%
Пригодилась ли она вам?
ДА
НЕТ
60%
Профессии
40%
тех
,
кому
теорема
пригодилась:
механик,
реализатор,
предприниматель, менеджер, кровельщик.
Учителя: (Приложение №2)
Принимали участие 10ч.-100
Помните ли вы со школы теорему Пифагора?
ДА
НЕТ
30%
70%
Как вы считаете, эта тема важна?
ДА
НЕ ЗНАЮ
НЕТ
70%
10%
20%
Пригодилась ли она вам?
нет
нет
60%
40%
водитель,
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
15
Школьники: (Приложение №3)
Всего принимали участие 20ч.- 100
Знаете ли вы теорему Пифагора?
да
нет
100%
0%
Как вы считаете, эта тема важна?
да
Не знаю
нет
90%
10%
0%
Как вы думаете, эта тема пригодится вам в будущем?
да
Не знаю
нет
65%
5%
30%
Вывод: Как показывают мои исследования, по результатам анкетирования школьников,
учителей, прохожих, теорема Пифагора важна в нашей жизни и является актуальной. Так
же хочу заметить, что теорема пригодилась людям с абсолютно разными профессиями.
5.2.Задача.
На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м.
Расстояние между ними равно 10 м.
На каком расстоянии нужно положить сыр для этих ворон,
чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния
от них до сыра было одинаковым?
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
Решение:
По теореме Пифагора
;
По условию задачи
, тогда
BC=6, тогда
;
;
.
Ответ:
.
5.3. Результаты решения задачи: (Приложение №4)
Всего приняли участие 18ч. - 100
Решили задачу
Поняли
что
решение Не поняли задачу
через т. Пифагора
16
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
17
Вывод: Пользуясь результатами решения задачи , следует сделать вывод о том, что
большая часть учащихся понимают тему о теореме Пифагора и проявляют к ней интерес.
6.Заключение:
Подводя итог по результатам исследований, можно сделать вывод о том, что
поставленная цель была выполнена. Мною выяснены факты использования теоремы в
повседневной жизни ,в технике ,строительстве ,астрономии ,мобильной связи. С помощью
теоремы Пифагора учёные изобретают новые технологии. Проявляется интерес к этой
теореме ещё и потому, что она была доказана до н. э., и дает начало другим теоремам
геометрии. В нашем 21-ом веке она пользуется большой популярностью ещё и по той
причине, что достаточно проста :
. Теорема доказана сотней способов! Почти
каждое столетие доставляло новые виды или, по крайней мере, новые замыслы
доказательства уже многократно доказанной теоремы, но и сейчас ещё стремление к
умножению числа этих доказательств не исчезло.
Как показывают мои исследования, по результатам анкетирования школьников,
учителей, прохожих, теорема Пифагора важна в нашей жизни и является актуальной. Так
же хочу заметить, что теорема пригодилась людям с абсолютно разными профессиями.
Главное правило математики- это не откладывать на завтра то, что нужно выучить
сегодня!
7.Список литературы:
1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта,Вавилона и
Греции. М., 1959.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. М.,1982.
3. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М.,1961.
« Теорема Пифагора» Веритюк Анастасия, Краснодарский край, станица
Курчанская Темрюкский район, МБОУ СОШ №4, 9 класс
4. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1961.
5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., 1990.
6. Самин Д.К. Наука и техника.
18