Определение степени с целым отрицательным показателем

Определение степени с целым отрицательным показателем.
Интегрированный урок: математика+ астрономия.
Цель урока: 1) повторить свойства степени с натуральным показателем, свойств степени; 2) ввести
понятие степени с целым отрицательным показателем; 3) показать связь алгебры и астрономии;
4) формирование у учащихся единой научной картины мира, целостного представления о нём,
гуманистического мировоззрения и диалектического мышления.
Оборудование: доска, проектор, карточки с заданиями.
Ход урока.
1. Повторение свойств степени.
Задание 1. Отгадайте ребусы. (астрономия, степень)
«Открылась бездна, звёзд полна,
Звездам числа нет, бездне – дна.»
Так наш великий учёный и поэт Михайло Ломоносов, гениальный сын русского народа,
кратко и выразительно сформулировал представление о бесконечности вселенной,
являющейся перед нами в виде ночного звёздного неба. Сколько тысячелетий это
звёздное небо приковывает взоры человека. В путешествии по небесным просторам среди
бесчисленных звёзд и туманностей легко заблудится, если нет под рукой карты и каталога.
Людей, которые измеряли координаты звёзд, в древности называли звездочётами.
Сегодня таких людей называют астрометристами.
Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд,
дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству; запишите
буквы в порядке номеров приведённых свойств.)
Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил. Что означает в
ответе знак минус?( 2 век до н. э.)
Гиппарх – древнегреческий учёный, один из основоположников астрономии. Родился в
городе Никея, жил и работал на острове Родос. Гиппарху принадлежит заслуга создания
первых математических теорий видимого движения Солнца и Луны и теории затмений. Он
правильно определил размер Луны и её расстояние от Земли. Сопоставляя результаты
личных наблюдений и наблюдений своих предшественников, он с точностью до дня
вычислил продолжительность солнечного года. Гиппарх и другие астрономы древности
уделяли много внимания наблюдениям за движением планет.
2. Изучение нового материала ( основные понятия)
Окружающий нас мир очень разнообразен и качественно и количественно. В справочнике
по физике или астрономии можно найти сведения о том, что масса Солнца равна
1,985∙1033 г, а масса атома водорода 1,674∙10-24 г. Запись 1033 означает произведение
тридцати трёх множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи 10-24 ?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0, 1, 2 и т. д. Получим строку
100, 101, 102, 103,… В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз.
Продолжая строку по тому же закону влево, перед числом 100 следует написать
1/10=1/101, перед числом 1/101 – число 1/100=1/102, перед числом 1/102 – число 1/103 и т.
д. Получим: …, 1/103, 1/102, 1/101, 100, 101, 102, 103,… В строке справа от числа 100
показатель каждой степени на 1 меньше показателя следующей за ней степени.
Распространяя этот закон на числа, стоящие слева от числа 100, их записывают в виде
степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо 1/101 пишут 10-1, вместо 1/102
пишут 10-2, вместо 1/103 пишут 10-3 и т. д. Получают: …, 10-3,10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103,…
Итак 10-1=1/101, 10-2=1/102, 10-3=1/103 и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с
любыми основаниями, отличными от нуля.
Определение: если а ≠ 0 и n- целое отрицательное число, то аn = 1/a-n.
Пользуясь этим определением, найдём, что: а) 2-4=1/24=1/16; б) (1/3)2=1/(1/3)2=1/1/9=9; в) а-3=1/а3.
Отметим, что выражение 0n при целом отрицательном n и при n=0 не имеет
смысла. При натуральном n выражение 0n имеет смысл, и его значение равно
нулю.
Вернёмся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь вы знаете, что
запись 1,674∙10-24 г, выражающая массу атома водорода, означает: 1,674∙10-24
г=1,674∙1/1024 г=1,674:1024 г= 0,00….01674г
24 нуля
3. Работа с учебником.
Решим следующие номера №903, 904,905.
4. Самостоятельная работа.
Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг астрономы
древности?
Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они позволяют
прочитать слово (зодиак).
Солнце и Луна, перемещаясь по небу, движутся среди одних и тех же звёзд. Эта
полоса на небе, этот, так сказать, звездный пояс, охватывающий по кругу весь
небесный свод, назвали зодиакальным поясом и разделили его на двенадцать
частей, причем каждую часть назвали знаком зодиака. Обходя все звездное небо
по кругу в течение года, Солнце оказывается то в одном, то в другом знаке
зодиака. Когда Солнце входит в одни знаки зодиака, на земле настает лето; когда
оно входит в другие знаки зодиака - наступает зима, и т.д. Каждый сезон года,
всякое время земледельческих работ оказывается связанным с положением
Солнца в поясе зодиака. Слово «зодиак» в переводе с древнегреческого на
русский язык означает «пояс зверей». Происхождение этого названия таково. В
соответствии с полевой работой, в соответствии с изменением времени года знаки
зодиака получили названия, большинство которых, так сказать, звериные. Эти
знаки зодиака называются так: Овен(ягненок), Телец(бык), Близнецы, Рак, Лев,
Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог(подобие козла), Водолей, Рыбы. Знаки
зодиака есть проявление древнейших астрономических знаний. Их изображения
можно найти высеченными из камня на гробницах, памятниках и других
сооружениях. Найдены изображения знаков зодиака, сделанные древнейшими
народами – египтянами, индусами, китайцами и ацтеками. Многие из рисунков
имеют давность в две-три тысячи лет.
Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы, соответствующие
найденным ответам. Получите слово, которым называют участок неба в пределах
некоторых границ (созвездие).
Звёзды в небе объединены в группы – созвездия. Вы любите смотреть на звёздное
небо? Что вы там наблюдаете? (лучистость и мерцание)
Глядя на звёзды невооружённым глазом, мы видим их лучистыми. Причина
лучистого вида звёзд кроется в нашем глазу, в недостаточной прозрачности
хрусталика, имеющего не однородное строение, как хорошее стекло, а
волокнистое. Существует способ освободиться от влияния этого недостатка нашего
хрусталика и видеть звёзды без лучей, не обращаясь притом к услугам телескопа.
Способ этот ещё 400 лет назад был указан Леонардо да Винчи. «Посмотри,- писал
он,- на звёзды без лучей. Этого можно достигнуть, наблюдая их сквозь малое
отверстие, сделанное концом тонкой иглы и помещённое вплотную к глазу. Ты
увидишь звёзды столь малыми, что ничто другое не может казаться меньше».
Как и лучистость, мерцание не есть свойство, присущее самим звёздам; оно
придаётся им земной атмосферой, через которую лучи звёзд должны пройти,
прежде чем достигнуть глаза.
В каждом созвездии есть звёзды разной яркости, в том числе самая яркая звезда.
До изобретения компаса звёзды были основными ориентирами: именно по ним
древние мореходы и путешественники находили нужное направление.
Астронавигация (ориентирование по звёздам) сохранила своё значение и в наш
век спутников и атомной энергии. Она необходима для штурманов, капитанов,
космонавтов и пилотов. Навигационными называют 25 ярчайших звёзд: Альтаир,
Спика, Сириус, Арктур и т. д. Самая известная группа звёзд в северном полушарии
– Большая Медведица. Созвездие Большой Медведицы может служить хорошим
помощником для запоминания ярчайших звёзд Северного полушария. По ковшу
Большой Медведицы легко определить северное направление: прямая дорога от
двух крайних его звёзд приведёт вас к Полярной звезде. Полярная звезда и есть
настоящая звезда – компас. Когда смотришь на неё, то перед тобой – Север, а
сзади – Юг.
Названия созвездий (общим числом около восьмидесяти на всём небе) в
большинстве своём перешли к нам от древних народов без изменений, и до сих
пор в научных астрономических книгах упоминаются имена таких созвездий, как
Большая и Малая Медведицы, Большой Пёс и Малый Пёс, Рысь, Гончие Псы,
Лисица, Лебедь, Орёл, Кит, Ворон, Волк, Ящерица, Змея и др.
Часть созвездий получила название в соответствии с теми сказаниями о богах или
героях (мифами), которые существовали у разных народов. Так появились
созвездия «великого охотника Ориона», «силача и героя Геркулеса», «красавицы
Андромеды» и другие.
5. Итог урока. Контрольные вопросы. 1) Дайте определение степени с целым
отрицательным показателем. 2) На примерах поясните данное определение. 3)
Представьте в виде дроби выражение 8х3 у-2 z0.
6. Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.
Урок по теме «Определение степени с целым отрицательным показателем».
Задание 1. Отгадайте ребусы.
Задание 2. Вспомнив свойства степени, отгадайте автора древнего каталога звёзд,
дошедшего до нашего времени.(Найдите букву, соответствующую свойству;
запишите буквы в порядке номеров приведённых свойств.)
Автором древнего каталога был…
1) an=a∙a∙a∙a∙…∙a, n множителей;
2) an ∙am =an+m ;
3) an : am = an+m ;
4) (an )m = an∙m ;
5) (a∙ b)n = an ∙bn ;
6) a0=1;
7) 1∙ a=a;
Ответ:
Задание 3. Выполните вычисления и определите, в каком веке он жил:
-2∙22 :42=
Что означает в ответе знак минус?
Ответ:
Задание 4. Движение Солнца происходит по кругу. Как называли круг
астрономы древности?
Выберите в таблице буквы, соответствующие найденным ответам. Они
позволяют прочитать слово.
1) 10 ∙ 2-1 =
2) 100 ∙ 5-2 =
3) 8 ∙ 2-2 =
4) 100 ∙ 10-1 =
5) 10-2 =
6) 10-1 =
Ответ:
Задание 5. Выполните вычисления и выберите в таблице буквы,
соответствующие найденным ответам. Получите слово, которым называют
участок неба в пределах некоторых границ.
1) 4-2 =
2) (-3)-3 =
3) (-1)-9 =
4) (1/7)-2 =
5) (-2/3)-3 =
6) (1/2)-5 =
7) 8 ∙ 4-3 =
8) 18 ∙(-9)-1 =
9) 10 ∙ (-1/5)-1 =
Ответ:
Задание 6. Представьте в виде дроби выражение 8х3у-2z0 =
Варианты ответов: а) 8x3/ y2z;
б) 8x3z/ y2;
в) 8x3/ y2.
Итог урока:
1) Определение степени с целым отрицательным показателем – если
а ≠ 0 и n – целое отрицательное число, то аn =1/a-n .
2) Зодиак – круг, состоящий из 12 созвездий, по которому в течение
года совершается видимое движение Солнца;
3) Созвездие – участок неба в пределах некоторых границ;
4) Астронавигация – ориентирование по звёздам;
5) Астрометрист – учёный, определяющий и измеряющий координаты
звёзд.
Задание на дом. Прочитать п. 33; решить № 906, 909, 916.
Таблица 1.
Р
Степень с нулевым
показателем
Г
Определение степени
Х
Свойство единицы
А
Возведение произведения в
степень
Таблица 2.
50
5
Н
З
24
П
4
О
0,2
Г
П
Деление степеней с одинаковыми
основаниями.
Возведение степени в степень
И
Умножение степеней с одинаковыми
основаниями
2
Д
10
И
Таблица 3.
В Д
Е
З И З О
Е
С
49 1/8 -27/8 -1 -2 32 -1/27 -50 1/16
1
Р
0,01
А
0,1
К
Космическая сказка( фрагмент).
Окрашен космос в чёрный цвет.
Поскольку атмосферы нет.
Ни ночи нет, ни дня.
Здесь нет земной голубизны.
Здесь виды странны и чудны:
И звёзды сразу все видны,
И Солнце и Луна.
На севере звезда видна,
И называется она
Полярною звездой.
Она надёжный друг людей,
И две Медведицы при ней
Среди космических огней
Всё ходят чередой.
Невдалеке притих Дракон.
Косится на Медведиц он.
Жуёт концы усов.
И долго наблюдал Орёл,
Как тощий Волк куда-то брёл
И стороною обошёл
Созвездье Гончих псов.
Легенда о созвездиях.
Большая Медведица. Юпитер влюбился в нимфу Калисто, но из-за
гнева богини Дианы ему пришлось превратить её в Большую
Медведицу, а её любимую собаку – в Малую Медведицу. У Калисто
был сын Аркад, который вырос и стал страстным охотником. Во
время охоты, встретив медведицу и не узнав в ней мать, он чуть не
убил её. Появившийся вовремя Юпитер перенёс их обоих на небо в
виде созвездий Большой Медведицы и Волопаса. Рядом с ним его
собаки – созвездие Гончих псов.