Теоретический материал по теме "Дифференциатор"

Дифференцирование сигналов
Операция дифференцирования (как и в мат. анализе) занимает важное место в
задачах формирования и обработки сигналов. Покажем, как она решается методами
свертки.
Идеальный дифференциатор (по определению) должен иметь следующие ИХ и
КП:
g (t)  δ(t),
0
j π Sign(f)
K (f)  j2πf  2π f e 2
, f  ( - , ).
0
(76)
K
Здесь δ(t) – производная δ -функции Дирака, размерный множитель 0 опущен.
Ясно, что такие характеристики нереализуемы.
Примечание. Приведем необходимые справочные формулы. Дельта-функцию Дирака
обобщенную функцию) обычно определяют в виде производной функции единичного скачка:
δ(t)  h (t), h(t) 
1
2
(как
 1  Sign(t)
(см., напр., Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем.-М.:Наука,1970.-704с.). Можно выделить два
основных свойства этой функции:

1.
δ
(n)
(x-y) f(y) dy  f
(n)
(x),

(n)
2. δ
(n)
(-x)  (-1)n δ (x).
Здесь n =0,1,…- порядок производной, f(y) - произвольная непрерывная функция. В частности, для
n =1 и f(y)  exp  j2παy получим

 δ(x - y) e
j2παy
dy  j2πα e
j2παx
.

g (t)  K (f).
0
Обратное
При x =0 этот интеграл дает отображение (76) по Фурье: 0
преобразование получим следующим образом. Из определения δ -функции и справочной формулы:
Sign(t) 
1
π


Sin(xt)

dx
x
имеем

δ(t) 
e
 j2πxt
dx.

Дифференцирование этого равенства по t дает искомый результат:
K (f)  g (t).
0
0
Существует множество функций, которые в асимптотике имеют свойства 1 и 2 и могут
представлять δ -функцию. Одна из моделей приведена в вводной части подраздела 4.3.
В данном случае (76) КП не ограничен по частоте. Для записи эталонных
характеристик необходимо использовать правило (33).
Предварительно выполним усечение
K (f)
0 по частоте. Это дает:
K (f)  j2πf  Ï ( f, 2F),
F
d
2F
g (t)  2F  Sinc (2πFt) 
Cos2πFt - Sinc (2πFt)  ,
F
dt
t 
(77)
где F - выбранная граничная частота, в пределах которой необходимо вычислить
производную сигнала.
g (t - T)
F
Далее, путем сдвига на Т и усечения ИХ
отрезком t   0, 2T  ,
формируем по (33) реализуемые эталонные характеристики дифференциатора:
g ý(t)  g (t -T) Ï ( t -T; 2T),
F
K ý(f)  j2πf  V(f)  e-j2πfT ,
V(f)  Si (2πT (f  F)) -Si (2πT (f - F)),
(78)
где Si(x) - интегральный синус. При выводе полагалось, что произведение 2FT
является целым числом (в противном случае выражение для V(f) будет громоздким).
Отметим, что с учетом этого база эталонной ИХ дифференциатора 2B=4FT
принимает только четные значения.
На безразмерной оси частоты (f=xF) эталонный КП можно переписать более
компактно:
K ý(x)  j2xF  V(x) e-jπxB ,
V(x)  Si (πB (x  1)) -Si (πB (x-1)).
(78а)
Примерный вид эталонных характеристик дифференциатора показан на
рис. 16. ИХ (а) имеет нечетную симметрию (относительно точки Т). Её значения
Рис.16
на концах отрезка задания равны:
g ý(0)  -g ý(2T)  -
2F
( -1)B.
T
АЧХ и ФЧХ (б) в полосе прозрачности x  -1,1 отличаются от идеальных (см.
пунктирные линии). Пульсации АЧХ обусловлены поведением функции Si(x). С
ростом параметра В эти пульсации проявляются только на границах x  1. В силу
равенства
d
(x  V(x))
 Si (2πB) - πB
dx
x 1
крутизна АЧХ в этих точках возрастает. Для ФЧХ (в полосе прозрачности)
характерно наличие линейной части:
π
ý(x)  Sign(x) - πxB, x  -1,1 .
2
Она также связана с параметром В.
Эталонную ИХ (78) можно реализовать только в дискретном варианте.
Представим её (с учётом (77)) отсчётами с интервалом Δt. Полагаем, что отрезок
2Т включает целое число этих
дифференциатора принимает вид:
интервалов:
2Т=(N-1)Δt.
2Ff ä
Cos2πθ(n -α) -Sinc ( 2πθ(n -α) )  ,
n-α 
T
N -1
F
α   T  fä 
; θ  , n  0(1)N -1.
t
2
fä
Теперь
ИХ
g(n) 
(79)
Здесь обозначения те же, что в случае ФНЧ, см. (65). Сохраняется взаимосвязь
основных параметров: θN  B  θ. Различия лишь в том, что данная ИХ имеет
нечетную симметрию относительно средней точки α , параметр В может быть
только целым числом (число отсчетов N, по-прежнему, четное или нечетное), а
параметр θ уже имеет точную верхнюю границу: 0  θ  0,5.
Схему дифференциатора можно представить в форме КИХ-структуры, см. рис.
8, с множителями bn  g(n), n  0(1)N -1. Парные множители, отличающиеся только
знаком, можно объединить. Это повысит производительность схемы.
Подробно рассмотрим вариант дифференциатора с предельно низкой частотой
дискретизации: f ä  2F или θ  0,5 . В этом случае ИХ (79) равна
g(n) 
4F2 
(-1)n-α - δ (n - α)  , n  0(1)N -1.

n -α
(79а)
Здесь N имеет минимальное значение N=Nmin=2B+1 причем, Nmin – нечетное число,
параметр сдвига α – целое число (α=В) и точка n=α входит в общий массив
n=0(1)N-1. При этом имеем g(α)=0.
Примечание: Неопределенность вида 0/0, которая возникает в (79) и (79а) при подстановке n=α,
легко раскрывается. Достаточно вернуться к непрерывному времени и
g (T)  0
проверить равенства ý
g (0)  0.
или F
Схема дифференциатора с ИХ (79а) показана на рис. 17. Множители,
отличающиеся знаком
g(α - m)  -g(α  m), m  1,2,...,α,
(80)
объединены. Параметры схемы равны

2F2
0,5g(0)  (-1)α , m  0,
α
bm  

4F2
g(m)

(-1)m-α , m  1,2,...,α -1.

m-α

(81)
Концевые отсчеты ИХ ( g(0) è g(2α) ) вводятся с множителем 0,5 – так учитывается
прямоугольное окно с поправкой, см. (39).
Рис.17
На рис. 17 обозначено: Sâõ (n) - отсчеты входного сигнала Sâõ (t) , Sâõ (n - α) отсчеты задержанной копии входного сигнала Sâõ (t - T), Sâû õ (n) - отсчеты
производной задержанного входного сигнала Sâõ (t -T) . Данная схема со «средней
точкой» выдает сигнал и его производную в совпадающие моменты времени. Здесь
фазовый сдвиг между двумя выходами составляет ровно π/2 (см. пунктирную
линию на графике ý(x) , рис. 16). Такую схему можно использовать, напр., в
системах с квадратурной
амплитудной модуляцией 8 . (Более совершенный
вариант фазовращателя будет показан в следующем пункте).
Определим КП дифференциатора с ИХ (79а). Подобно (43) и (68) имеем

2α
K (x)  2F  K ý ( F(x-2m))=  g(n) e
n 0
m -
-jπxn
(82)
Эта функция периодична: K (x)  K (x  2) . Поэтому достаточно ограничиться
отрезком x  1. Здесь частота дискретизации безразмерная ( f ä  x ä F ) и равна
xä  2.
При выводе расчетной формулы, прежде всего, устраним различие в
размерностях эталонного и реализуемого КП. Для этого достаточно ввести
множитель 1/f ä в равенство (82) и перейти к «приведенным» характеристикам:
K
äèô
(x) 
K (x)
, g
f
äèô
(n) 
g(n)
f
ä
, f ä  2F.
ä
(83)
Далее, в правой сумме (82) слагаемые с номерами n  0
и n  2α выделим в
отдельную компоненту с множителем 0,5, см. (81), опустим слагаемое с номером
n  α и учтем нечетную симметрию ИХ. В результате получим:
K
äèô
(x)  j2F V (x) e
-jπxα
(-1)α
V (x)  sinπxα - 2
α
, x  1,
α-1
(-1)
m1
m

m
 sinπxm.
(84)
Здесь первое слагаемое в V (x) - указанная компонента в случае окна с поправкой
(для перехода к окну Дирихле её надо удвоить, но это нарушит строгие
соотношения в (82)).
В качестве упражнения проверьте равенства
V (x)  V (x  2), V (0)  V (1)  0, V (0)  π.
(84а)
Анализ (84) показывает, что с ростом α АЧХ дифференциатора приближается к
идеальной. На рис.18а приведен график модуля функции V (x) для α =10, видны
незначительные пульсации только на границах частотного диапазона.
Рис. 18
Рис.18 (Продолжение)
Итак, определены ИХ (79а) и КП (84) дифференциатора по схеме рис.17.
Параметры устанавливаются по формуле (81) с учетом (83).
Хорошее качество дифференцирования можно получить только при условии
Fs  F , где Fs - граничная частота сигнала. Это условие обеспечивает «работу»
дифференциатора на линейной части АЧХ. Ясно, что «медленные» сигналы лучше
дифференцируются. При выборе параметра α (он задает число отсчетов ИХ
N  2α +1) необходимо определить некоторый компромисс между точностью и
задержкой в схеме рис.17.
Перейдем теперь к методу быстрой свертки. Прежде всего, необходимо
установить соответствующие множители K( ),  0(1)L -1 в схеме рис.9б. Здесь
все аналогично, как в случае ФНЧ, поэтому ограничимся краткими выводом и
рекомендациями.
В рабочую формулу (84) внесем следующие изменения. Ось частоты переведем
x  0, x  , x  2,
в

«машинную»
Δx : x   Δx,
 0(1)L -1,
K( )  K
äèô
(x)
x
ä
и
ä
дискретную
с
шагом
L  Δx  2. Это дает
2  j2F V ( )WL

α ,
L
V ( )-
αB
(-1)α
α
N -1
,
2
sin
2π
α - 2
L
α-1 (-1) m

m 1
m
sin
2π
m,
L
(85)
 0(1)L-1.
Здесь уже два варьируемых параметра - α è L . Значение параметра α было
оговорено выше. Параметр L задает «частотное» разрешение дифференциатора. На
рис.18 б, для примера, показан график модулей коэффициентов V ( ) (выбрано α
=10, L  32 ). Фактически, это отсчеты функции V (x) с интервалом Δx  2/L . Они
достаточно подробно представляют АЧХ дифференциатора.
r
Массив данных L задается с запасом: L  2  N  Ns  1 , где N s – число
отсчетов сигнала. Условие его «медленности» при дифференцировании ( Fs  F ) в
данной схеме реализуется неравенством N  Ns .
Заметим, в случае протяженных сигналов (когда N Ns и необходимо
секционирование свертки) массив данных L выбирается аналогично – с учетом
числа отсчетов сигнала в секции.
При дифференцировании периодических сигналов S(t)  S(t  T) процедуру
выбора массива данных можно упростить. Так, напр., для гармонического сигнала
(10) с частотой f n  n / T, n  1, 2..., значение L необходимо выбрать с условием:
L  Δt  T. Иными словами, отрезок T должен включать целое число (L) отсчетов
дискретной модели сигнала (10а). В этом случае коэффициенты ДПФ входного
сигнала равны, см. (10б),
U(k) 
A
 j
j 
  (k  L  n)e  , k  0(1)L -1.
 (k  n)e
2 

Условие 2n  L позволит исключить эффект переименования частот. В спектре
входного сигнала будут только две компоненты (с номерами n и L-n). Исходная
частота сигнала выражается в долях частоты дискретизации
fn 
n
n
fä ,
 0,5.
L
L
Возвращаясь к схеме быстрой свертки, см. рис. 9б, замечаем, что в данном
случае значения имеют только коэффициенты K(n) è K(L - n). Остальные можно
отбросить. Итак, при дифференцировании гармонического сигнала схема на рис. 9б
вырождается в фазовращатель. Необходимо только выровнять амплитуды сигналов
на входе и выходе.