«Использование теоремы Чевы в школьном курсе геометрии» автор :

«Использование теоремы Чевы
в школьном курсе геометрии»
автор : учитель математики ГБОУ СОШ № 376 Восточного
округа города Москвы
Содержание
Введение.
1.Подготовительная работа, которую необходимо провести перед
доказательством теоремы Чевы…………………………………………2 - 3
1.1 Свойство площадей треугольников, имеющих общую сторону. ….4
1.2 Решение задач на закрепление полученных знаний. ……………….5
2. Теорема Чевы. …………………………………………………………..6 - 9
3. Вопросы для контроля. ……………………………………………….11 - 12
4. Использование теоремы Чевы в доказательствах теорем о пересечении в
одной точке медиан треугольника, высот треугольника и биссектрис
треугольника.
4.1 Теорема о медианах треугольника……………………………………12
4.2 Теорема о биссектрисах треугольника. ……………………………....13
4.3 Теорема о высотах треугольника…………………………………13 - 15
5. Теорема Чевы в геометрии треугольника.
5.1 Теорема (Точка Жергонна)……………………………………………....16
5.2 Теорема (точка Нагеля)…………………………………………… 16 - 19
6. Задачи, которые можно решить, используя теорему Чевы……………19 - 30
Заключение ………………………………………………………………............31
Список литературы………………………………………………………………32
2
Введение.
В.И. Арнольд в двадцатом столетии говорил: «Математика — это часть
физики».
И.Ф. Шарыгин
ее продолжил: «А физика — часть геометрии».
Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг
геометрия!». В начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание.
Посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические
станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая
техника, микросхемы и даже рекламные ролики. И правда, современная
цивилизация — это цивилизация геометрии. Геометрические знания и умения,
геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально
значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и
конструкторов, для рабочих и ученых.
На самом деле геометрия является очень мощным средством развития
личности. Геометрия развивает такие свойства личности, как независимость в
суждениях и поведении, способствует творческому развитию и даже имеет
отношение к нравственному развитию личности. Иными словами воспитывает
творчески думающих и высоконравственных людей. Это единственный
школьный
предмет,
включая
даже
предметы
математического
цикла,
полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений.
Геометрия очень важна для полноценного физиологического (не только
интеллектуального) развития ребенка. Уже сам процесс занятий геометрией
имеет большое развивающее значение. «Геометрия является первичным видом
интеллектуальной деятельности, как для всего человечества, так и для
отдельного человека… Геометрия, является носителем собственного метода
познания мира. Овладение этим методом важнейшая цель образования». (3)
Учитывая всё выше сказанное о необходимости
и важности изучения
геометрии, хочется рассмотреть вопросы, расширяющие и углубляющие знания
и умения учащихся при изучении этого предмета.
3
На протяжении всего курса планиметрии одной из стержневых фигур
является треугольник. Вокруг этой фигуры формируется курс элементарной
геометрии. И это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не
самая простейшая фигура после отрезка, она имеет много
важных и
интереснейших свойств. К этим свойствам сводятся свойства других, более
сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть и такие, которые люди
знают с древнейших времён, например теорема Пифагора. Геометрия
треугольника может гордиться теоремами, носящими имена Эйлера,
Торричелли, Лейбница. На рубеже XIX-XX веков из-за большого количества
работ, посвящённых треугольнику, был образован целый раздел планиметрии
«Новая геометрия треугольника». Многие из этих работ сейчас выглядят
малоинтересными, несовершенными, но некоторые теоремы продолжают
жить.
Одна из таких теорем – теорема Чевы. Эта теорема не входит в
обязательную программу школьного курса, несмотря на то, что она может
служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольников
в 9 классе.
Цель данной работы состоит в том, чтобы показать, какую пользу мы
можем извлечь из теоремы Чевы в преподавании школьной геометрии.
В частности, с её помощью легко доказываются следующие свойства:
1. медианы треугольника пересекаются в одной точке;
2. высоты треугольника пересекаются в одной точке;
3. биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в
одной точке;
4. отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания
вписанной окружности, пересекаются в одной точке.
В конце предлагается ряд простых и не очень простых задач, которые
может решить школьник, используя теорему Чевы.
4
1.Подготовительная работа, которую необходимо провести перед
доказательством теоремы Чевы.
1.1 Свойство площадей треугольников, имеющих общую сторону.
1) Если треугольники имеют общую сторону, то отношение их площадей
равно отношению их высот.
Дано:
ΔАОВ и ΔВОС
Доказательство:
1.Рассмотрим Δ АОВ. Найдём его площадь:
1
SAOB= OB×AD
2
2. Рассмотрим Δ АОВ. Найдём его площадь:
1
SBOC = OB×CD
2
3. Найдя отношение площадей, получаем:
В
O
А
AD
S AOB 1
1
 OB×AD :
OB×CD=
,
CD
S BOC 2
2
S
AD
следовательно AOB 
S BOC DC
K
С
D
Доказать:
S AOB AD

S BOC DC
2) Если через вершину В треугольника АВС провести прямую n и взять на
ней любую точку O , то отношение площадей треугольников AOB и COB,
равно
отношению
отрезков,
на
которые
эта
прямая
разбивает
противолежащую сторону в треугольнике.
Дано:
Доказательство:
B
O
С
K D
A
L
n
Доказать:
1. Используя свойство 1) получаем, что:
S AOB AL

S BOC КC
2. Рассмотрим Δ АКL и ΔСКD:
Δ АКD ~ ΔСКD ( по двум углам):
1) ∟ADL=∟KDC (вертикальные)
2) ∟OKC=∟ADK = 900
3. Из подобия треугольников следует:
AD AL

DC KC
4. Значит:
S AOB AL AD

=
S BOC КC DC
S AOB AD

SCOB DC
5
1.2 Решение задач на закрепление полученных знаний.
Устная работа по чертежам:
Дано:
В
SAOB= 25 см
AD= 5см2
DC= 4см2
2
Дано:
SLKN= 21 см2
SMKN = 7 см2
LT = 9 см
L
N
T
K
О
С
А
Найти: SCOB = ?
Найти: TM
D
M
Дано:
Дано:
В
А
F
L
K
О
R
О
B
C
L
Задание: Записать отношение площадей и
соответствующих им отрезков.
А
D
С
Задание: Записать отношение площадей и
соответствующих им отрезков.
Решение и ответы:
25  4
S AOB AD
 20 см2

 SCOB =
5
SCOB DC
S
BL SCOB CR S AOC AF
,

,

.
3. BOA 
SCOA LC S AOB RA S BOC FB
1.
S LKN
LT
79

 TM 
 3см 2
S MKN TM
21
S
AD S BOA BK S BOC BL
,

,

4. AOB 
SCOB DC SCOA KC S AOC LA
2.
6
2. Теорема Чевы
Начертим произвольный треугольник АВС и на его сторонах выберем какиелибо три произвольные точки А1, В1, С1 как показано на рисунке:
В
А1
С1
А
С
В1
Пройдут ли отрезки АА1, ВВ1, СС1 через общую точку? В некоторых случаях
– да; например, если эти отрезки – три медианы треугольника, три
биссектрисы или три высоты. А может оказаться, что эти отрезки АА1, ВВ1,
СС1 не имеют общей точки. От чего это зависит? Всё зависит от выбора
точек А1, В1, С1 на сторонах треугольника. Почти 300 лет назад итальянский
геометр Джовенни Чева заинтересовался таким вопросом: как должны быть
связаны между собой отрезки, на которые делят точки А1, В1, С1 стороны
треугольника АВС, чтобы прямые АА1, ВВ1, СС1 наверняка имели общую
точку? Можно ли зная только длины этих шести отрезков, сказать заранее,
ещё до проведения прямых АА1, ВВ1, СС1 имеют ли эти прямые общую
точку? Чева сумел дать исчерпывающий ответ на эти вопросы. В трактате «О
прямых линиях, пересекающихся взаимно», изданном в Милане в 1678 г., им
доказана замечательная теорема, носящая его имя.
Теорема Чевы
Точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ, треугольника
АВС. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке тогда и только
тогда, когда выполняется равенство:
АС1 ВА1 СВ1


 1 или
С1В А1С В1 А
АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
7
1) Докажем необходимость сформулированного в теореме условия:
Дано:
А1  ВС
В1  АС
ΔАВС:
В
С1  АВ
АА1  ВВ1  СС1  О
Доказать:
С1
АВ1 СА1 ВС1


 1 или
В1С А1В С 1А
А1
О
АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
А
В1
С
Доказательство:
1.Рассмотрим ΔАОВ и ΔСОВ с общей стороной ОВ . По доказанному выше
имеем :
S АОВ АВ1

SСОВ В1С
2. Рассмотрим ΔСОВ и ΔАОС с общей стороной ОС. Аналогично п.1:
SСОВ ВС1

S АОС С1 А
8
3. Рассмотрим ΔАОС и ΔАОВ с общей стороной ОА . Тогда :
S АОС СА1

S АОВ А1В
4.Перемножая, получившиеся равенства получаем нужный результат:
АВ1 ВС1 СА1 S АОВ SСОВ S АОС





 1 т.е АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
В1С С1 А А1В SСОВ S АОС S АОВ
9
2) Докажем достаточность условий теоремы Чевы
Дано:
В
АВ1 СА1 ВС1


1
В1С А1В С 1А
А1  ВС
В1  АС
С1
С1  АВ
Доказать:
С2
О
А1
А
С
В1
АА1  ВВ1  СС1  О
Доказательство:
1.Пусть точка О – Точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1
2.Сделаем дополнительное построение : проведём прямую через вершину С и
точку О до пересечения со стороной АВ в т. С2 .
Согласно прямой теореме Чевы
следовательно
АВ1 СА1 ВС 2


1 и
В1С А1В С2 А
АВ1 СА1 ВС1


 1,
В1С А1В С 1А
ВС 2 ВС 1

т.е. точки С1 и С2 делят отрезок АВ в одном и том
С2 А С1 А
же отношении, а потому С1 и С2 совпадают , что и требовалось доказать.
10
3. Решение задач на закрепление полученных знаний.
1. На каждом из чертежей вычислить отношение отрезков, отмеченных
знаком «?»
1.
В
2
2.
В
7
3
С1
А1
О
С1
34
3
5
А1
О
17
3
А
С
?
В1
?
?
15
3
О
А
5.
11
О
А1
5
А
С1
С
О
А1
?
А
АВ1 СА1 ВС1


1 
В1С А1 В С 1А
АВ1 СА1 ВС1


1 
В1С А1В С 1А
АВ1 1
 (треугольник равнобедренный)
В1С 1
С
17
?
ВС1 9 14
ВС1 5
  1

С1 А 7 15
С1 А 6
5.
?
17
АВ1 3 2
АВ1 7
  1

В1С 7 3
В1С
2
3.
В1
В
7
5
1.
С
6.
?
В1
Ответы и решения:
?
А
7
В
7
А1
О
4
С
В1
?
С1
14
9
?
В
А1
?
В1
4.
С1
С1
С
?
В
3.
А
2.
В1
11
АВ1 СА1 ВС1


1 
В1С А1В С 1А
АВ1 17 3
АВ1 10
 
1

В1С 5 34
В1С
3
4.
АВ1 СА1 ВС1


1 
В1С А1В С 1А
СА1 3 1
СА 4
  1 1 
А1В 4 1
А1С 3
6.
СА1
 1 (треугольник равнобедренный)
А1В
11
2. Пересекутся ли внутри треугольника отрезки АА1, ВВ1, СС1?
1.
В
В
2.
1
7
5
С1
А1
4
С1
4
4
А
С
7
В1
В
3.
3
3
А
С
4
1
В1
4.
А1
7
А
А1
5
С
5
А
С
2
1
В
В1
6.
2
3
В
4
7
С1
2
С1
7
В1
3
В
3
С1
5.
А1
2
7
5
А1
7
С1
3
А1
3
3
2
А
С
4
В1
3
А
С
4
В1
5
Ответы и решения:
1. АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
2. АВ1  СА1  ВС1  В1С  А1 В  С1 А
7×4×1=1×7×4
(Да)
4×3×5=3×5×4 (Да)
3. 7×7×3≠1×2×7
(Нет)
4. 2×5×3=3×2×5 (Да)
4. 4×3×2=3×4×2
(Да)
5. 4×3×7=5×7×3 (Нет)
12
3. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О, в каком отношении точки
С1 ,В1,А1 разделят стороны треугольника?
1.
В
2.
С1
В
А1
С1
А1
О
А
О
С
А
В1
С
В1
Дано: АВ=ВС=АС
Дано: АВ=ВС
4. Использование теоремы Чевы в доказательствах теорем
о пересечении в одной точке медиан треугольника, высот треугольника
и биссектрис треугольника.
4.1 Теорема о медианах треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:
В
Δ АВС
c
a
С1
АА1, ВВ1, СС1  медианы
Доказать:
А1
О
c
a
АА1  ВВ1  СС1  О
А
b
В1
b
С
Доказательство:
1. АА1- медиана, проведённая к стороне ВС, следовательно СА1= А1В = а
2. ВВ1- медиана, проведённая к стороне АС, следовательно АВ1 = В1С = b
3. СС1- медиана, проведённая к стороне АВ, следовательно ВС1= С1А = с
4. По теореме Чевы: b  a  c  b  a  c . Следовательно АА1  ВВ1  СС1  О
13
4.2 Теорема о биссектрисах треугольника.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:
В
Δ АВС
С1
АА1, ВВ1, СС1  биссектрисы
Доказать:
А1
О
АА1  ВВ1  СС1  О
А
В1
С
Доказательство:
1. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки,
пропорциональные двум прилегающим сторонам т.е.
АВ1 АВ ВС1 ВС СА1 АС

,

,

В1С ВС С1 А СА А1В АВ
2. Перемножая равенства получаем
АВ1 ВС1 СА1 АВ ВС АС





1
В1С С1 А А1В ВС СА АВ
По теореме Чевы биссектрисы АА1, ВВ1, СС1 пересекутся в одной точке.
4.3 Теорема о высотах треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Дано:
В
Δ АВС
С1
АА1, ВВ1, СС1  биссектрисы
А1
Доказать:
АА1  ВВ1  СС1  О
А
В1
С
Доказательство:
Для простоты случая рассмотрим случай, когда треугольник АВС –
остроугольный.
14
Рассмотрим ΔАВВ1. По определению косинуса угла получаем, что :
cos A 
AB1
т.е. AB1  AB cos A .
AB
Рассмотрим ΔСВВ1. Аналогично: cos С 
что :
АВ1 АВ cos A

В1С CD cos C
СB1
т.е.СB1  СB cos С Получаем,
СB
2.
ВС1
т.е.ВС1  ВС cos В .Рассмотрим ΔАСС1 :
ВС
ВС1 ВС cos В
СА
cos А  1 т.е.С1 А  СА cos А следовательно

АС
С1 А АС cos А
Из ΔВСС1 следует, что
cos В 
15
3.
СА1
т.е.СА1  АС cos С . А из ΔВАА1 , что
АС
СА1 АС cos С
АВ
cos В  1 т.е. А1В  АВ cos В . Следовательно

АВ
А1В АВ cos В
Из ΔСАА1 следует, что cos С 
4.Перемножим получившиеся равенства:
АВ1 ВС1 СА1 АВ cos A BC cos B AC cos C





 1.
В1С С1 А А1В BC cos C AC cos A AB cos B
По теореме Чевы высоты АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС пересекаются в
одной точке.
16
5. Теорема Чевы в геометрии треугольника
Здесь
рассматриваются
два
интересных
факта
из
геометрии
треугольника , которые несложно получаются с применением теоремы Чевы.
При таком подходе они вполне доступны школьнику.
5.1 Теорема (Точка Жергонна)
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного
круга, пересекаются в одной точке.
В
Дано: ΔАВС
c
С1, В1,А1 – точки касания вписанной
окружности;
Доказать:
АА1  ВВ1  СС1  О
c
С1
А1
О
a
b
Доказательство:
С
А
a
В1 b
1.По свойству касательных к окружности, проведённых из одной точки,
имеем АС1=АВ1=а , и аналогично СВ1=СА1=b и ВС1=ВА1=c .
2. Применив теорему Чевы:
АВ1 СА1 ВС1 a b c


    1 или a  b  c  b  c  a
В1С А1В С1 А b c a
5.2 Теорема (точка Нагеля)
Три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и
делит его на треугольники, имеющие равные периметры, пересекаются в
одной точке.
Дано:
В
РАВВ1  РСВВ1
ΔАВС: РСАА  РВАА
1
1
РВСС1  РАСС1
С1
О
А1
Доказать:
АА1  ВВ1  СС1  О
А
В1
С
17
Доказательство:
1.Рассмотрим ΔАВВ1 и ΔСВВ1:
1. Периметры треугольников ΔАВВ1 и ΔСВВ1 равны.
Допустим, что АВ = с, АС = b и ВС = а. Выразим через эти значения длины
отрезков АВ1 и В1С.
Найдём сначала отрезок АВ1.
Периметр треугольника АВВ1= с +АВ1+ВВ1, а периметр
треугольника СВВ1= а+СВ1+ ВВ1. Из получившихся равенств получаем, что
с+АВ1=а+В1С, следовательно
АВ1 – В1С=a-c. Из чертежа так же видно, что
АВ1+В1С=b, сложив эти равенства получаем 2 АВ1=b+a-c. Следовательно:
АВ1=
bac bac
bac

 c ,а т.к. р 
получаем, что АВ1= p-c
2
2
2
2. Найдем теперь длину отрезка В1С. так как а+В1С= с+АВ1, то имеем: В1САВ1=с-а и В1С+АВ1=b , сложим и получим 2 В1С=b+c-a, отсюда следует, что
B1C=
bса bса

 а и B1C= p-a
2
2
18
2. Рассмотрим ΔАСС1 и ΔВСС1
Аналогичным способом получаем: ВС1=р-а и С1В=р-b
3. Рассмотрим ΔВАА1 и ΔСАА1:
имеем: ВА1=р-с и СА1=р-b
4.Перемножив получившиеся равенства, получаем: В
p-a
(p-c)(p-b)(p-a)=(p-a)(p-c)(p-b)
следовательно: АА1  ВВ1  СС1  О
c
С1
p-c
a
О
А1
p-b
p-b
А
С
p-c
В1
b
p-a
19
Точка Нагеля N интересна тем, что отрезок NО, где O- центр вписанной
окружности, проходит через центр тяжести треугольника – М и делится им в
отношении
NM 1

MО 2
O
M
N
N – точка Нагеля, М – точка пересечения медиан треугольника, О – центр
вписанной окружности.
6. Задачи, которые можно решить, используя теорему Чевы.
Задача 1.
В треугольнике АВС проведены средние линии А1С1, В1С1 и В1А1. Доказать,
что АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
В
c
b
С1
А1
c
b
А
С
а
В1
а
Решение:
1. Средние линии треугольника делят стороны треугольника на равные
отрезки : АВ1=В1С =а , СА1=А1В= b и ВС1=С1А= с.
Так как a × b × c = a × b × c. Следовательно по теореме Чевы отрезки АА1,
ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.
20
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике KLM (KL=LM) На стороне LM выбрана
точка N, так что
МN 4
 . Прямая КN и высота LO, проведенная к основанию,
NL 5
пересекаются в одно точке S. В каком отношении разделит сторону KL
прямая МS?
L
5
T
N
S
4
K
O
M
Решение:
1. Треугольник АВС равнобедренный следовательно высота LO также
является медианой , значит:
КО
 1.
ОМ
2. Прямые КN, LO и MT пересекаются в одной точке S, по теореме Чевы:
KO MN LT
4 LT
LT 5


 1 , следовательно 1  
 1 . Значит

OM
NL TK
5 TK
TK 4
Задача 3.
На сторонах АС и ВС треугольника АВС расположены соответственно точки
N и М так, что
АN
BM
n и
 m . Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О.
NC
MC
Найти в каком отношении разделит сторону АВ прямая СО.
Решение:
Прямые АМ, ВN и СК пересекаются в одной точке О. По теореме Чевы:
AN CM BK
ВК
ВК
1


 1 , следовательно n  m 
1 и

NC MB KA
КА
КА nm
21
B
K
M
O
А
N
C
Задача № 4.
Из вершин треугольника АВС провели прямые, каждая из которых делит
этот треугольник на треугольники равной площади. Докажите, что эти
прямые пересекутся в одной точке.
В
К
А
Т
Е
С
Решение:
1. Площади треугольников АВЕ и СВЕ равны. Следовательно
же мы знаем, что
S АВЕ AE
AE
1
, значит

EC
S CBE EC
2. Площади треугольников САТ и ВАТ равны. Следовательно
же мы знаем, что
S АВЕ
 1 , так
S CBE
S САТ
 1 , так
S ВАТ
S САТ СТ
СТ
1
, значит

ТВ
S ВАТ ТВ
3. . Площади треугольников ВСК и КСА равны. Следовательно
же мы знаем, что
S ВСК
 1 , так
S КСА
S ВСК ВК
ВК
1
, значит

КА
S КСА КА
22
4. Перемножим
AE СТ ВК


 1 , следовательно по теореме Чевы ВЕ, АТ и
EC ТВ КА
СК пересекаются в одной точке.
Задача 5.
Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1
соответственно. Точки A2, B2 и C2 выбраны на прямых BC, CA и AB так, что
ВА2 А1С СВ2 В1 А АС2 С1В .

,

и

А2С ВА1 В2 А СВ1 С2 В АС1
В
С2
С1
А
.
Р
В1
А1
А2
В2
С
Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 тоже пересекаются в одной точке .
Решение
Прямые AP, BP и CP пересекаются в точке Р, следовательно, по теореме
Чевы :
А1С В1 А С1 В
, а т.к. ВА2  А1С , СВ2  В1 А и АС2  С1В , то отсюда


1
ВА1 СВ1 АС1
А2С ВА1 В2 А СВ1 С2 В АС1
следует, что ВА2  СВ2  АС2  1 . Поэтому прямые AA2, BB2 и CC2 тоже
А2 С
В2 А
С2 В
пересекаются в одной точке .
Задача 6.
Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в
точках A1, B1 и C1. На лучах ОA1, ОB1 и ОC1 отложены отрезки ОА2 ,ОB2
и ОC2, такие, что
ВА2 А1С СВ2 В1 А АС2 С1В .

,

и

А2С ВА1 В2 А СВ1 С2 В АС1
23
Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
В
С2
С1
А2
А1
А
В1
С
В2
Решение
1.Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания
вписанной окружности, пересекаются в одной точке (точка Жергонна). Т.е.
АВ1 СА1 ВС1


1
В1С А1 В С 1А
Так
2.
как
ВА2 А1С СВ2 В1 А АС2 С1 В .

,

и

А2С ВА1 В2 А СВ1 С2 В АС1
Следовательно
ВА2 СВ2 АС2
, значит прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной


1
А2 С В2 А С 2 В
точке.
Задача 7.
На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1. Докажите,
что АС1  ВА1  СВ1  sin ACC1  sin BAA1  sin CBB1
С1В
А1С
В1 А
sin C1CB
sin A1 AC
sin BBA1
24
В
С1
А1
А
С
В1
Решение
Применяя теорему синусов к треугольнику ACC1 получаем :
АС  sin A ,
АС1
CC1 ,следовательно

СС1  1
sin AСС1 sin A
sin ACC1
Из треугольника BCC1 получаем
ВC 1
CC1 т.е.
ВС1  sin B . В

СС1 
sin C1CB sin B
sin C1CB
результате получили равенство : АС1  sin A  BC1  sin B из которого следует,
sin ACC1
sin C1CB
что АС1  sin A  sin АСС1 и AC1  sin ACC1  sin B .
ВС1  sin В
sin C1CB
C1B
sin C1CB
sin A
Аналогично ВА1  sin BAA1  sin C и CB1  sin CBB1  sin A .
А1С
sin A1 AC
sin B
B1 A
sin B1BA
sin C
Для завершения доказательства остается перемножить эти равенства:
АС1 ВА1 СВ1 sin ACC1 sin B sin BAA1 sin C sin CBB1 sin A и








С1 В А1С В1 А sin C1CB sin A sin A1 AC sin B sin BBA1 sin C
следовательно
АС1 ВА1 СВ1 sin ACC1 sin B sin BAA1 sin C sin CBB1 sin A и








С1 В А1С В1 А sin C1CB sin A sin A1 AC sin B sin BBA1 sin C
следовательно
АС1 ВА1 СВ1 sin ACC1 sin BAA1 sin CBB1





С1В А1С В1 А sin C1CB sin A1 AC sin BBA1
Задача 8.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Докажите, что
25
прямые AA2,
BB2
и CC2,
симметричные
этим
прямым
относительно
соответствующих биссектрис, тоже пересекаются в одной точке Q.
В
С1
А1
Р
А2
С2
А
С
В2
В1
Решение
Можно считать, что точки A2, B2 и C2 лежат на сторонах треугольника ABC.
Согласно задаче 7
АС2 ВА2 СВ2 sin ACC2 sin BAA2 sin CBB2





С2 В А2С В2 А sin C2CB sin A2 AC sin B2 BA
Так как прямые AA2, BB2 и CC2 симметричны прямым AA1, BB1 и CC1
относительно биссектрис, то  ACC2 =  C1CB,  C2CB =  ACC1 и т. д.,
поэтому:
sin ACC2 sin BAA2 sin CBB2 sin C1CB sin A1 AC sin B1BA C1B A1C B1 A








1
sin C2CB sin A2 AC sin B2 BA sin ACC1 sin BAA1 sin CBB1 AC1 BA1 CB1
Следовательно,
, т. е. прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются
AC2 BA 2 CB2


1
C 2 B A2 C B2 A
в одной точке.
Замечание. Утверждение остается верным и в том случае, когда точки A1, B1
и C1 взяты на продолжениях сторон, если только точка P не лежит на
описанной окружности S треугольника ABC; если же P лежит на
окружности S, то прямые AA2, BB2 и CC2 параллельны.
26
Задача 9.
На сторонах BC,
CA
и AB
равнобедренного
треугольника ABC
с
основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1
пересекаются в одной точке.
Докажите, что АС1  sin ABB1 sin CAA1
С1В
sin BAA1 sin CBB1
С
С
А1
В1
А
С1
А1
В1
В
А
С1
В
Решение
а) По теореме Чевы AC1  CA1  AB1  1 , а по теореме синусов
CA1 
CA sin CAA1
sin AА1 В
B1С
C1 B
A1 B
AB1 
AB sin ABB1
sin AB1 B
A1B 
AB sin BAA1
sin AA1B
B1C 
BC sin CBB1
sin AB1B
Подставляя эти четыре равенства в предыдущее равенство и учитывая,
что AC = BC, получаем требуемое: СА1  CA sin CAA1 : AB sin BAA1  CA sin CAA1 .
А1 В
sin AА1 В
sin AA1 B
АВ sin ВАА1
AB1
AB sin BAA1 BC sin CBB1
AB sin ABB1 .


:
sin AB1 B
B1С
sin AA1 B
ВС sin СВB1
Следовательно: АС1  sin ABB1 sin CAA1
С1В
sin BAA1 sin CBB1
27
Задача № 10
Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M
и N так, что  CAM =  ABN и  CBM =  BAN. Докажите, что точки C, M
и N лежат на одной прямой.
Обозначим точки пересечения прямых CM и CN с основанием AB через M1
и N1. Нужно доказать, что M1 = N1. Из задачи 9 следует, что AM1 : M1B =
sin ABM sin CAM
sin MAB sin CBM
sin ABN sin CAN
т. е. M1
sin BAN sin CBN
AN1 : N1B =
С
N
М
А
В
М1
N1
Задача 11 .
В тетраэдре РАВС проведены биссектрисы треугольников РВС, РАС и РАВ
соответственно. Докажите, что прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной
точке.
Р
В
С1
А1
А
В1
С
28
Решение:
1.По свойству биссектрис треугольника (биссектриса треугольника делит его
сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам) из
треугольника РВС получаем
треугольника РАВ:
ВА1 РВ
СВ1 СР


, а из треугольника РАС:
и
А1С РС
В1А РА
АС1 АР

.
С1В РВ
2. Применим теорему Чевы:
ВА1 СВ1 АС1 ВР СР АР





1
А1С В1 А С1В РС РА РВ
Задача 12.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что
отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1
пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC,
в точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.
Решение
1.Рассмотрим треугольники ΔAC1B2 и ΔBC1A1. Они подобны по двум углам:
 АС1В2=  ВС1А1 (вертикальные);
 АВ2С1=  ВА1С1(внутренние накрест
лежащие при параллельных прямых ВС , В2С2 и секущей В2А1 ) Из подобия
треугольников следует, что АВ2  АС1 следовательно AB2 . C1B = AC1 . BA1(1)
ВА1
С1 В
2. Рассмотрим треугольники ΔAB1C2 и ΔCB1A1. Они тоже подобны по двум
углам:
 AB1C2 =  CB1A1(вертикальные),  В1С2А=  В1А1С (внутренние
накрест лежащие при параллельных прямых ВС , В2С2 и секущей С2А1 ). Из
подобия треугольников следует, что АС2  АВ1 следовательно
А1С
СВ1
AC2 . CB1=A1C . B1A.(2)
29
3. Разделим (1) выражение на (2) : АВ2  С1 В  АС1  ВА1 из этого равенства
АС2  СВ1
А1С  В1 А
следует, что АВ2  АС1  ВА1  СВ1 и АВ2  АС1  ВА1  СВ1 . Из теоремы Чевы
АС2
А1С
В1 А С1 В
АС2
С1 В
А1С
В1 А
следует, что АС1  ВА1  СВ1  1 , значит АВ2  1 и следовательно AB2 = AC2
С1 В
А1С
В1 А
АС2
В
В2
С1
А1
А
С
В1
С2
Задача 13.
а) Пусть  ,  и  — произвольные углы, причем сумма любых двух из них
меньше 180o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены
треугольники
A1BC, AB1C и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C
углы  ,  и  . Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной
точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на
сторонах треугольника ABC внутренним образом.
30
Решение
Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекают прямые BC, CA и AB в точках A2, B2
и C2.
а) Если  B +  < 180o и  C +  < 180o,
то ВА2
А2С

S АВА1
S АСА1

АВ  ВА1 sin( B   ) AB sin  sin( B   ) . Последнее выражение


AC  CA1 sin( C   ) AC sin  sin( C   )
равно : BA2 во всех случаях. Запишем аналогичные выражения для CB2 и AC2 и
B2 A
B2 A C2 B
перемножим их.
Остается воспользоваться теоремой Чевы.
б) Точка A2 лежит вне отрезка BC, только если ровно один из углов  и 
больше соответствующего ему угла B или C. Поэтому
ВА2 АВ  ВА1 sin( B   ) AB sin  sin( B   ) .



А2С AC  CA1 sin( C   ) AC sin  sin( C   )
В
А1
С1
С2
β
А2
О
А
α
γ
С
В2
В1
31
Заключение
Теорема Чевы проста для понимании. Но трудности, связанные с
освоением этой теоремы, оправданы применением её при решении задач.
Решение целого ряда задач с помощью теоремы Чевы более рационально,
чем их решение другими способами.
Эта теорема может быть использована
при повторении основных
свойств треугольников в 9 классе. Как показано в дипломе , с помощью этой
теоремы легко доказываются
свойства
медиан , высот и биссектрис
треугольника.
Теорема Чевы часто помогает быстро и оригинально решать задачи
повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С Единого
Государственного экзамена.
32
Список литературы
1.Прасолов В.В. «Задачи по планиметрии»: МЦНМО, 2001г.
2.Ткачук В.В. «Математика абитуриенту»: МЦНМО, 2002г.
3. Шарыгин И.Ф. «Нужна ли школе XXI века Геометрия?» : журнал
«Математика в школе» №24, 2004год
4. Шарыгин И.Ф. «Теоремы Чевы и Менелая» : журнал «Квант» № 11, 1976г.
5. «Энциклопедия для детей» т.11 «Математика» : Аванта+, 2000г
6. Балк М.Б. «Геометрические приложения понятия о центре тяжести»:
Физматгиз, 1959г.
33