Геометрия треугольника

Геометрия треугольника
Основные теоретические положения
I.
Произвольный треугольник
∆АВС:
А, В, С – углы,
a, b, c – стороны.
C
b
a
L
1. │b-c│< a < b+c.
A
c
B
2. А+В+С = 180°,
D
∠СBD – внешний, ∠СBD = А + С.
3. Определение и свойства равных треугольников. Признаки равенства треугольников.
4. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.
Если в ∆ АВС и ∆MPN A=M, B=N, C=P, то удобно записывать ∆ABC ∼ ∆MNP,
тогда без рисунка можно записать
=
=
.
5. Пропорциональные отрезки
О
=
АВ∥СD
=
,
=
,
М
А
⟺
=
В
N
=
=
.
C
D
Если А – середина ОС, то В – середина ОD.
6. Биссектриса, медиана, высота. Их определения, свойства.
а) биссектрисы пересекаются в одной точке;
б) прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке (эта точка называется ортоцентром
треугольника);
в) медианы пересекаются в одной точке (эта точка называется центроидом треугольника);
г) медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины;
д) если AL – биссектриса в треугольнике, то
=
⟺
=
;
= AB∙AC - LB∙LC.
k
е) если А и В
k=
.
- прямые, содержащие высоты А
иВ
треугольника АВС, то ∆С
С
А1
В1
С
1
∼ ∆САВ,
А
7. Теорема косинусов.
=
=
В
+
– 2bc∙
+
⇒ А- острый,
+
⇒ А – тупой,
+
⇒ А – прямой.
8. Теорема синусов:
А
⇒
.
=
=
=
В
= 2R, R – радиус описанной окружности треугольника.
9. Площадь треугольника.
S= a
= b
= c
,
S=
= pr =
,
R, r-радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, р – полупериметр
треугольника.
10. Следствия из теоремы о площади треугольника.
C
=
A
D
;
=
.
B
C
Если М – точка пересечения медиан, то
M
С1
A
11.
=
=
=
,
=
= … =
.
B
C
С1
=
A
B
12. Средняя линия треугольника
С
Три средние линии образуют четыре равных треугольника,
подобных треугольнику АВС с коэффициентом
2
.
А
В
ІІ. Равнобедренный треугольник
Определение, свойства, признаки: углы, прилежащие к основанию, равны; биссектриса, медиана,
высота, проведенные к основанию, совпадают.
III. Равносторонний треугольник
1. Биссектриса, медиана, высота, проведенные из одной вершины, совпадают.
Треугольник имеет центр – точка пересечения биссектрис, медиан, высот, центр вписанной и
описанной окружностей.
2. Если a – сторона треугольника, то h =
, S=
, R=
, r=
.
IV. Прямоугольный треугольник
В
В=
1.
30°⟺ b =
a
М
mc
Н
hc
С
2.
3.
А
b
=
c.
= НА∙НВ;
= АВ∙АН;
= ВА∙ВН;
=
4.
.
Теорема
5.
a∙b
Пифагора и ей обратная:
С = 90°⟺
= .
= c∙ .
= ,
6.
a=c
c=
c.
,
;
b=c
c=
,
;
= ,
tg A = ,
a = b∙ tg A,
b=
= a∙ctg A.
V. Метод площадей
(формулы площадей треугольников, многоугольников, свойства площадей используются при решении задач и
доказательстве теорем, в условии и требовании которых ничего не говорится о площадях)
Основные приемы
1. Линейные (угловые) элементы и соответствия между ними можно найти, применяя различные формулы для
вычисления площади треугольника (многоугольника).
2. Если треугольник (многоугольник) разбит на несколько треугольников, то можно использовать свойство о
том, что сумма площадей частей равна площади исходного многоугольника.
3
3. Отношение отрезков можно заменить отношением площадей треугольников.
4. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то можно использовать тот факт, что
отношение произведений сторон, заключающих равные углы, равно отношению площадей соответствующих
треугольников.
5. При доказательстве геометрических неравенств можно использовать неравенство для треугольника: 2S≤ab.
VІ. Дополнительные построения в треугольнике
1. Строится биссектриса, медиана, высота к основанию в равнобедренном треугольнике.
2. Проводится высота к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
3. Удвоение медианы треугольнике: AN = 2AM.
.
С
N
Появляются равные отрезки, равные углы, пары равных
треугольников, параллелограмм.
М
А
В
4. Если требуется получить половину отрезка; если есть середина одной стороны треугольника, то может быть
полезна средняя линия в треугольнике.
С
5.
А2
Точки
В2
O
,О определяют четыре отношения:
,
В1
А1
,
,
,
.
Если два из них известны, то два других можно найти с помощью
дополнительного построения
∥ ВВ1 или
∥ АА1.
А
В
6. Если одна сторона в треугольнике в два раза больше другой, то проводится медиана к большей
стороне.
7. Если один угол в треугольнике в два раза больше другого, то проводится биссектриса большего
угла.
8. Если речь идет о сумме двух сторон, то на продолжении одной из них за общую вершину
откладывают другую.
Если речь идет о разности сторон, то от их общей вершины на большей стороне откладывается
меньшая.
4