L19-3

Основы гидростатики.
1. Гидростатика изучает равновесие жидкостей. Основные
гидростатики получаются подстановкой v=0 в уравнениях гидродинамики:
уравнения

1
 0; f   P; P  P    ,
t

где
f  f /
(19.23)
– объемная сила, действующая на единичную массу жидкости.
Первое условие, полученное из уравнения непрерывности, показывает, что в
состоянии равновесия
   r .
Второе получается из уравнения Эйлера – есть
условие уравновешенности сил, действующих на жидкость.
В произвольной неинерциальной системе отсчета относительное равновесие
жидкости описывается уравнением
f
1
P  a0  r   2 r  0 .

(19.24)
В инерциальных системах отсчета из условия уравновешенности сил следует
важный вывод. Благодаря соотношению
представить
в
(1/  )P  w ,
виде
где
P  P  
выражение
(1/  )P
можно
градиента скалярной функции, зависящей от координат,
называется энтальпией. Следовательно, для выполнения
w
условия уравновешенности сил необходимо, чтобы объемная сила
f  , действующая на
единичную массу жидкости, также была градиентом скалярной функции, зависящей от
координат. Это возможно только в том случае, если жидкость находится в
потенциальном внешнем силовом поле. Значит, равновесие жидкости возможно,
если внешнее силовое поле потенциально.
В гравитационном поле равновесие жидкости описывается уравнением
  x, y, z  
где
  x, y , z 
1
P  x, y, z  ; P  P    ,
  x, y , z 
(19.25)
– потенциал гравитационного поля.
Давление, обусловленное собственным весом жидкости в гравитационном поле,
называется гидростатическим давлением.
Состояние равновесия жидкости описывается определенными поверхностями. Это
поверхности постоянной плотности, давления и эквипотенциальные поверхности
гравитационного поля в которой находится жидкость. Поверхности постоянного
давления в жидкости часто называют уровенными поверхностями или уровнями. В
общем случае, поверхности
  x, y, z   const ,
P  x, y, z   const
не совпадают с
эквипотенциальными поверхностями поля.
2. Рассмотрим равновесие однородной жидкости в водоеме в поле силы тяжести
Земли. В данном случае условие   const заменяет уравнение состояния, так что
равновесие описывается уравнением
P   g;
g  const .
(19.26)
Свяжем плоскость XY прямоугольной координатной системы со свободной
поверхностью водоема, а ось Z направим вертикально вниз (рис.19.3) по направлению
g : g  0,0, g  .
рис.19.3
В этом случае уравнение (91.4) будет представлено в следующем виде:
P
P
P
 0;
 0;
 g .
x
y
z
Из двух первых уравнений получаем, что в однородном силовом поле тяжести
уровенные
поверхности
это
горизонтальные
плоскости.
Так
что,
гидростатическое давление зависит только от вертикальной координаты z. Интегрируя
третье уравнение, получаем
P  z    gz  C ,
где С – постоянная интегрирования. Она определяется значением давления в какойлибо точке жидкости. Свободная поверхность водоема находится под атмосферным
давлением
P0 . Следовательно, P  0   P0  C
и
P  z    gz  P0 ,
где гидростатическое давление,
определяется формулой
обусловленное
Pгид  z    gz .
(19.27)
собственным
весом
жидкости,
(19.28)
Значит, независимо от формы и размеров водоема (сосуда), гидростатическое
давление жидкости зависит от глубины рассматриваемой точки и плотности жидкости.
Этим и обусловлен гидростатический парадокс.
3. Исследуем относительное равновесие жидкости во вращающейся неинерциальной
системе. Пусть жидкость вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг оси Z в
цилиндрическом сосуде (рис. 19.4). В системе отсчета, связанной с сосудом,
относительное равновесие жидкости в поле тяжести Земли описывается уравнением
Рис.19.4
 g  P  2 r  0 ,
(19.29)
проекция которого вдоль координатных осей дает
P
P
P
 2 x,
 2 y,
  g .
x
y
z
(19.30)
Интегрируя эти уравнения, получим:
P(x, y, z)= 12 2 r2   gz  C ,
где
C
– постоянная интегрирования, а
(19.31)
r2  x 2  y 2 - расстояние наблюдаемой точки от
оси вращения. Из полученной формулы следует, что во вращающейся жидкости
уровенные поверхности P  const - параболоиды вращения:
2 2
z
r  C1 .
2g
(19.32)
Так как свободная поверхность жидкости также является уровенной поверхностью,
то свободная поверхность вращающейся жидкости должна принять вид параболоида
вращения. По этой причине распределение гидростатического давления на дно сосуда
становится неоднородным. Оно минимально в центре сосуда и возрастает с удалением
от оси вращения.
Барометрические формулы.
Исследуем механическое равновесие атмосферного воздуха в поле тяжести
Земли. При рассмотрении равновесия воздуха в областях, близких к поверхности
Земли, можно пренебречь зависимостью ускорения g силы тяжести от координат.
Однако нельзя пренебрегать плотностью воздуха от координат. Направив ось
прямоугольной системы координат вертикально вверх, и связав плоскость XY
поверхностью Земли, напишем
P P
P

 0;
  g .
x y
z
Z
с
(92.33)
Значит, в состоянии равновесия атмосферное давление в горизонтальном
направлении не меняется. Для получения закона изменения давления и плотности в
вертикальном направлении необходимо написать также уравнение состояния. В
общем случае уравнение состояния воздуха представляет собой сложную
функциональную
зависимость
между
давлением,
плотностью,
температурой,
физическими характеристиками различных составляющих воздуха, в частности
влажности. Однако в грубом приближении поведение небольших областей атмосферы
можно описать уравнением состояния идеального газа
P   RT /  .
где

– молекулярная масса газа,
R
(19.34)
– универсальная газовая постоянная:
R  8,31 Дж / К  моль .
(19.35)
Температура атмосферы T претерпевает довольно сложные изменения с высотой:
сначала убывает, потом возрастает, снова убывает и снова возрастает. Это означает,
что атмосфера не находится в тепловом равновесии, так как в противном случае она
должна была бы характеризоваться величиной T  const . Модель атмосферы, в
предположении, что T  const , называется изотермической атмосферой. Это
приближение, которое для небольших по толщине слоев атмосферы дает совпадающие
с наблюдениями результаты.
Из уравнений равновесия (19.33) и состояния (19.34) следует, что в случае
P  P z
плотность также зависит только от
z . Из указанных уравнений получаем
dP
g

dz,
P
RT
интегрирование которого для изотермической атмосферы дает
P  z   P0 e
Здесь
при
поверхности
интегрировании
Земли
равно

g
z
RT
.
(19.36)
предполагалось,
P0 : P  0   P0 .
что
давление
атмосферы
на
(19.34),
для
Воспользовавшись
распределения плотности получим
  z   0 e
где
0    0  

g
z
RT
,
(19.37)
 P0
(19.38)
RT
- связь между давлением на поверхности Земли и плотностью (Рис.19.5).
Рис.19.5
Значит, в изотермической атмосфере атмосферное давление и плотность убывают
по высоте по экспоненциальному закону. Законы (19.26) и (19.27) называются
барометрическими формулами. Заметим, что на высоте
h  RT  g
убывают в е раз. Из соотношений (19.38) и (19.39) получается:
(19.39)
P0  0 gh ,
есть гидростатическое давление жидкости с постоянной плотностью
0
которое
на глубине
h.
Значит, давление на поверхности Земли такое же, как и у столба воздуха плотностью
0
и высотой
h.
По этой причине (19.39) называется высотой однородной
атмосферы. Приняв для атмосферы в среднем
получим
  0,029 кг / моль ,
а
T  2730 K
h  8 км .
Распределение атмосферного давления и плотности можно без труда определить и в
том случае, когда известна зависимость
T  T z .
Однако не всякое распределение
температуры может осуществляться в атмосфере. Из-за неравномерности нагрева в
воздухе постоянно происходят процессы переноса тепла. В случае небольших
градиентов температуры перенос теплоты в воздухе происходит по молекулярно
механизму – теплопроводностью, которая не нарушает механического равновесия
атмосферы. В случае больших температурных изменений теплопередача носит
конвекционный характер, вызывая макроскопические движения воздушных масс. Так
что, механическое равновесие атмосферы устойчиво при таких градиентах
температуры, которые не вызывают конвекцию. Оказывается, что для этого скорость
убывания температуры с высотой должна быть меньше величины
g / cp ,
где
cp
–
теплоемкость единицы массы воздуха при постоянном давлении. Это утверждение
верно, если термодинамическое состояние атмосферы описывается уравнением
состояния идеального газа.