1.1. Функция спроса и предложения. Наклон кривой.

Конспекты лекций
В курсе микроэкономики анализируется взаимодействие субъектов
хозяйственной деятельности – отдельных потребителей (домашних хозяйств)
и производителей (предприятий).
Центральной темой курса является «Производство. Производственные
функции», в которой детально исследуются протекающий в рамках фирмы
процесс производства и его параметры – потребление ресурсов (издержки
производства и их виды), доход и прибыль, условие минимизации издержек и
максимизации прибыли и т.п. Поэтому микроэкономика является основой
теории фирмы.
В микроэкономике используются модели, адекватно отражающих
взаимозависимости между экономическими параметрами деятельности
фирмы. Только такие модели позволяют субъектам хозяйственной
деятельности обосновать оптимальные решения и руководствоваться ими в
принятии решений.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел. Основные параметры рынка
5
1.1 Функции спроса и предложения. Наклон кривой.
5
1.2 Наклон кривой спроса для нормальных товаров.
6
1.3. Наклон кривой предложения для нормальных товаров
8
1.4. Эластичность спроса и предложения
9
2. Простые динамические модели рынка одного товара
12
2.1 Паутинообразная модель рынка одного товара
13
2.2. Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия.
18
Раздел. Производственная функция как модель процесса производства
20
3.1. Производственная функция и ее свойства
21
3.2. Производство с одним переменным фактором
24
3.3. Замещаемость производственных факторов
26
3.4. Капиталоемкость технологии
28
3.5. Эластичность замены одного фактора другим
29
3.6. Два крайних и общий случаи замещения факторов
производства
30
3.7. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации
издержек
33
3.8. Производство с двумя переменными факторами
34
Раздел. Экономические издержки поизводства и доход
фирмы
38
4.1. Издержки производства в краткосрочном периоде
38
4.2. Издержки производства в долгосрочном периоде
42
4.3. Доход фирмы: валовой, средний и предельный. Экономи
ческая прибыль
Раздел. Деятельность фирмы на товарных рынках
44
48
5.1. Равновесие фирмы в условиях совершенной
конкуренции
48
5.2. Рынок чистой монополии Основные признаки
монополии
5.3. Спрос, цена и предельный доход монополиста
5.4. О кривой предложения монополиста
50
51
53
5.5. Необходимое и достаточное условия максимизации прибыли
монополистом
5.6. Показатель монопольной власти
55
57
5.7. Ущерб, приносимый монополией
57
5.8. Ценовая дискриминация
60
5.9. Регулирование деятельности монополий с помощью
налогов
62
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РЫНКА
1.1. Функция спроса и предложения. Наклон кривой.
Спрос (D - demand) на какой-либо товар характеризует количество
продукта, которое потребители желают, готовы и в состоянии купить по
одной из возможных в течение определенного периода времени цене.
Функция спроса представляет зависимость объема спроса от влияющих на
него факторов – независимых экономических переменных. Прежде всего,
спрос зависит от цены P (price) данного товара. На спрос оказывают влияние
неценовые факторы. Среди них P1 , P2 , ... , Pn - цены на другие товары; I
(income) – доходы потребителей; Z – вкусы, потребительские предпочтения;
W (wait) – ожидания; N (number) – количество покупателей; В – прочие
факторы.
Функция спроса в неявном виде: Qd  f P; P1 , P2 ,..., Pn ; I ; Z ;W ; N ; B  , где Q d
(quantity) - объем спроса на товар, показывает количество этого товара,
которое желает купить отдельный потребитель, группа потребителей или все
общество в целом в единицу времени при определенных условиях. Функция
спроса является функцией многих переменных.
Кривая спроса показывает, какое количество товара готовы купить
покупатели по разным ценам в данный момент времени.
В экономической теории принято, следуя традиции А. Маршалла,
откладывать независимую переменную ( P ) по вертикальной оси – оси
ординат, а зависимую ( Q d ) – по горизонтальной оси – оси абсцисс.
Математики поступают иначе: на оси ординат откладывают значения
зависимой переменной, на оси абсцисс – независимой переменной.
Точка на кривой спроса характеризует уровень цены и объем покупок
товара в определенный момент времени. Она имеет отрицательный наклон,
что свидетельствует о желании потребителей купить большее количество
благ при меньшей цене.
P
P
1
P1
D1
2
P2
D
0
Q1
Q2
а) Кривая спроса
Q
D2
0
D
Q
б) Сдвиг кривой спроса
Рис. 1. Кривая спроса и ее сдвиг
Если неценовые факторы спроса не изменяются (постоянны), то объем
спроса зависит только от цены товара, от одной переменной:
Qd  f  P 
На графике изменение цены вызывает изменение объема спроса и
перемещение из одной точки кривой спроса (точки A ) в другую (точку B )
при снижении цены с P1 до P2 , и в обратном направлении при повышении
цены (рис 1 а).
При изменении неценовых факторов происходит изменение самого
спроса, или изменение в самом спросе, которое сдвигает кривую спроса
вправо вверх при увеличении спроса или влево вниз при сокращении спроса
(рис. 1 б).
Примером простейших функций спроса в явном виде являются
линейная функция Qd  a  bP , где а, b - константы, имеющие экономический
смысл и различающиеся у каждого товара и в различные периоды времени;
степенная функция спроса Qd  bP e была характерна для ряда товаров
потребительского спроса в 30-40 гг. XIX в. Здесь e - коэффициент ценовой
эластичности спроса.
1.2. Наклон кривой спроса для нормальных товаров.
Q
В
Q
А
Q -ΔQ
α1
P
β
D
α
P+ΔP
P
Рис. 2. Наклон кривой спроса
Задана некоторая функция спроса Qd  f P  и графически представлена
на рис. 2. Исходная точка B с координатами P; Q  . Допустим, цена P растет,
спрос уменьшается и новая ситуация представлена точкой A с координатами
P  P; Q  Q.
Наклон кривой спроса на дуге AB определяется наклоном секущей
линии, проведенной через точки A и B к оси OP , и измеряется отношением
изменения объема спроса к вызвавшему его изменению цены:

Q d
 tg .
P
Секущая образует угол  с отрицательно направленной осью OP .
Экономисты же измеряют наклон кривых тангенсом угла, который образуют
секущая (на дуге) или касательная (в точке) только с положительно
направленной осью абсцисс. Поэтому наклон кривой спроса измеряют
тангенсом угла  , т.е.       tg  tg (   )  tg . Следовательно, кривая
спроса для нормальных товаров имеет отрицательный наклон.
Если задана функция спроса, то наклон кривой в точке определяется
первой производной. Так, если P  0 , то точка A пробежит по дуге в
направлении к точке B и совпадет с ней. Секущая линия повернется и займет
положение касательной к кривой спроса в точке B . Тогда наклон кривой
спроса в точке будет равен тангенсу угла, который образует касательная в
этой точке с положительно направленной осью OP .
Если Q  f P , то Q  Q  f P  P  Q  [ f P  P  f P] . Наклон
кривой
спроса
в
точке
равен
lim P 0
Q
 [ f P  P   f P ]
dQ
.
 lim P 0
  f P   
P
P
dP
Если функция спроса линейна, то ее наклон измеряется угловым
коэффициентом (- b ). Наклон кривой спроса для нормальных товаров
отрицательный. Это означает, что между объемом спроса на товар и его
ценой существует обратная зависимость ( P  Qd  ).
Предложение (S - supply) характеризует количество продукта, которое
производитель желает и может произвести, продать на рынке по
сложившейся на рынке цене в течение определенного периода времени.
Функция предложения характеризует зависимость объема предложения
Q s от влияющих на него различных факторов. На предложение оказывают
влияние следующие факторы: P – цена данного товара; неценовые факторы,
к которым относятся P1 , P2 , ... , Pn – цены на другие товары; Pr , Pw – цены на
ресурсы; T (tax) – налоги; S (subsidy) – субсидии; B – прочие факторы.
Функция предложения в неявном виде: Qs   P; P1 , P2 ,..., Pn ; Pr , Pw ; T ; S ; B  ,
где Qs - объем предложения товара.
Если все неценовые факторы предложения не изменяются, постоянны,
то функция предложения в неявном виде может быть представлена
следующим образом: Qs   P  . Каждая точка на кривой предложения
представляет, какое количество товара готовы продать производители по
разным ценам в данный момент времени.
Аналогично, как и в случае кривой спроса, для кривой предложения на
графике изменение цены выражается в изменении объема предложения и
движении вдоль кривой предложения из одной точки в другую: вверх по
кривой предложения в случае роста цены и вниз в случае снижения цены.
Изменение неценовых факторов вызывает сдвиг кривой предложения. Так,
введение налога с продаж передвигает кривую предложения влево и вверх.
1.3. Наклон кривой предложения для нормальных товаров.
Дана некоторая функция предложения Qs  f P  (рис. 3). Исходная
точка A с координатами P; Q  . С ростом цены товара P увеличивается объем
предложения, что отмечается точкой B с координатами P  P; Q  Q .
S
Q
Q+ΔQ
В
А
Q
α
β
P
P+ΔP
P
Рис. 3. Наклон кривой предложения
Наклон кривой предложения на дуге AB определяется наклоном
секущей линии, проведенной через точки A и B , к положительно
направленной оси OP . Наклон кривой предложения на дуге AB равен
соотношению прироста предложения к вызвавшему его приросту цены:
Q s
 tg .
P
Наклон кривой предложения в точке определяется первой простой
производной функции предложения. Если P  0 , то точка B стремиться к
точке A , секущая поворачивается и занимает место касательной в точке A .
Тогда наклон кривой предложения в точке равен угловому коэффициенту
касательной, измеряемому тангенсом угла tg , который образует касательная
в этой точке с положительно направленной осью OP .
Если Q  f P , то Q  Q  f P  P  Q  f P  P  f P .
Наклон
lim P 0
кривой
предложения
Q
f P  P   f P 
dQ
 lim P 0
 f P  
.
P
P
dP
в
точке
равен:
Если функция предложения линейна: Qs  a  bP , то ее наклон
измеряется угловым коэффициентом (+ b ). Наклон кривой предложения для
нормальных товаров положителен. Это означает, что между объемом
предложения товара и его ценой существует прямая зависимость ( P  Q s  ).
1.4.
Эластичность спроса и предложения.
Эластичность спроса, предложения (ценовая, перекрестная и др.),
эластичность многих других параметров относительно переменных, с
которыми они находятся в зависимости, широко применяются в решении
практических проблем деятельности фирмы.
Ценовая эластичность спроса (предложения) характеризует реакцию
потребителей (производителей) на изменение цены, их чувствительность к
изменению цены продукции и измеряется коэффициентом ценовой
эластичности e d . Так, по одним товарам незначительное изменение цены
приводит к значительным изменениям в количестве покупаемых продуктов.
Это относительно эластичный спрос. По другим товарам значительное
изменение цены вызывает небольшое изменение в объеме покупок.
Эластичность спроса относительно цены измеряется на дуге и в точке.
Абсолютное изменение объема спроса и цены составляет:
Qd  Q2  Q1 , P  P2  P1 .
Относительное изменение объема спроса и цены равно:
Q Q2  Q1
,

Q
Q
P P2  P1
,

P
P
где
Q
Q1  Q2
,
2
P
P1  P2
2
- средние
величины объема спроса и цены на отрезке.
Изменение спроса и цены, выраженное в процентах, равно:
Q
100% ;
Q
P
100% .
P
Ценовая эластичность спроса на дуге измеряется коэффициентом
эластичности ( e d ) - отношением относительного (процентного) изменения
объема спроса к относительному (процентному) изменению цены.
ed 
Q
P
Q P
100% :
100%  
 .
Q
P
P Q
Коэффициент ценовой эластичности спроса для нормальных товаров
всегда величина отрицательная, так как между объемом спроса и ценой
существует обратная зависимость - они изменяются в противоположных
направлениях.
Если ed  1 , то имеет место единичная эластичность спроса; если ed  1
то спрос эластичен; если ed  1 - спрос неэластичен. Если при изменении
цены спрос остается неизменным (например, в случае товаров первой
необходимости), то ed  0 и имеет место совершенно (абсолютно)
неэластичный спрос. Если при постоянной цене спрос изменяется, то ed   ,
что характерно для совершенно (абсолютно) эластичного спроса.
Эластичность спроса по цене в точке определяется, если известна
функция спроса, следующим образом:
ed  
dQ P

dP Q
Эластичность предложения по цене измеряется аналогично
эластичности спроса, а в коэффициенте, измеряющем ценовую эластичность
предложения в точке, записывают первую простую производную функции
предложения:
es 
dQ P

dP Q
В случае товаров заменителей (субститутов) изменение цены одного
товара вызывает изменение спроса на другой товар. Для таких товаров
измеряют перекрестную эластичность ( e dij ) спроса на товар i при изменении
цены товара j на дуге или в точке. Измерим перекрестную эластичность
спроса на один товар по цене другого в точке.
Дана функция спроса на i -ый товар: Qdi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ... .
Изменение цены товара j вызывает изменение спроса на товар i . Тогда
Pj  Pj  Qi  Qi ; а Qi  Qi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj  Pj ,..., Pn , I , T ,... . Отсюда
Qi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj  Pj ,..., Pn , I , T ,...  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ,....
Находим
предел отношения приращения спроса к вызвавшему его приращению
аргумента:
lim Pj 0
f P1 , P2 ,..., Pi , Pj  Pj ,..., Pn , I , T ,...  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ,...
Qi
 lim Pj 0

Pj
Pj
Коэффициент перекрестной эластичности спроса равен:
edij 
Qi Pj
 .
Pj Qi
Изменение спроса вызывается также изменением доходов
потребителей. Поэтому измеряют перекрестную эластичность ( e diI ) спроса на
товар по доходу.
Задана функция спроса на i -ый товар: Qdi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ... .
Изменение дохода вызывает изменение объема спроса: I  I  Qi  Qi ; а
функция спроса принимает вид: Qi  Qi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I  I , T ,... .
Отсюда изменение спроса составляет:
Qi  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I  I , T ,...  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ,... .
Находим
предел отношения приращения спроса к вызвавшему его приращению цены:
lim I 0
f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I  I , T ,...  f P1 , P2 ,..., Pi , Pj ,..., Pn , I , T ,... Qi
Qi
 lim I 0

I
I
I
.
Коэффициент эластичности спроса по доходу имеет вид: ediI 
Qi I
.

I Qi
За изменением эластичности спроса и предложения внимательно
следят предприниматели и используют данный параметр в принятии
решений по изменению объема производства и валового дохода фирмы.
Коэффициенты эластичности спроса находят широкое применение в
решении различного рода экономических задач. Рассмотрим, какое влияние
эластичность спроса оказывает на величину валового дохода производителя
при изменении цены продукта.
Задана функция спроса Q  f (P ) . Валовой доход фирмы TR  PQ  Pf (P ) .
Приращение
дохода
относительно
изменения
цены
равно:
dTR d [ Pf ( P )]
dQ

 [ f ( P )  Pf ( P )]  f ( P )(1  P
)  Q (1  e d ) . Если e d  1 , то прирост
dP
dP
dP
дохода равен нулю и, следовательно, валовой доход всегда остается
неизменным после изменения цены товара. Если спрос эластичен ed  1 , то
изменение дохода зависит от того, как изменялась цена товара. Если цена
повышалась, то доход уменьшался; если цена снижалась, то при эластичном
спросе доход повышался. Если спрос неэластичен и ed  1 , то при повышении
цены, доход растет; при снижении цены, доход понижается. Таким правилом
руководствуются предприниматели, принимающие решение, повышать цену
товара или снижать при существующей эластичности спроса для того, чтобы
увеличить валовой доход (выручку).
Задания для практических занятий
1. Спрос на товар задается функцией Q  15
, P2  8P  20 . Определить
наклон кривой и ценовую эластичность спроса ed при цене P  2 .
2. Функция спроса на товар Qd  P2  7P  12 , функция предложения
Qs  3P  4 . Найти равновесные значения цены и объема. Определить
дефицит (избыток) при цене P  5 .
3. Предложение масла задано функцией Q  20  6 P . Увеличение цены
на молоко привело к изменению предложения масла на 25% при каждой
цене. Запишите новую функцию предложения масла.
4. Функция спроса на товар задана уравнением Qx  18  Px  2 Px Py  Py
2
2
, где Px - цена товара x , Py - цена товара y . Найти перекрестную
эластичность спроса на товар x по цене товара y , если Px  4, Py  3 .
5. За год при цене 4 долл. за баррель было потреблено 8 млн. баррелей
нефти, что соответствовало хозяйственным потребностям. Ценовая
эластичность спроса на нефть в условиях равновесия составляла -0,5, а
ценовая эластичность предложения равна 0,2. Какова была бы величина
дефицита нефти в случае установления правительством минимально
допустимой цены на нефть на уровне 2 дол. за баррель?
6. Как изменяется совокупный доход продавца, расход покупателя
(увеличивается, уменьшается или остается неизменным), если
- цена снижается, спрос неэластичен,
- цена растет, спрос неэластичен,
- цена снижается, спрос эластичен,
- цена растет, спрос эластичен.
цена снижается, ed  1 .
7.
Совокупный доход потребителей вырос, а доля товара X в
совокупных расходах потребителей сократилась. Можно утверждать, что по
товару X :
а)
е1  0 ;
б)
е1  1 ;
в)
е1  1 ;
г)
X
– товар Гиффена;
д)
X
– товар низшей категории.
8. В урожайные годы совокупный доход фермеров от продажи
зерна снижается. Можно утверждать, что для зерна:
а) е1  1 ; б) 0  е1  1 ; в) е1  0 ; г) e P  1 ; д) e P  1 .
1.
Можно ли утверждать, что снижение дохода приводит к тому,
что по нормальным товарам:
а)
ценовая эластичность спроса растет;
б)
ценовая эластичность спроса падает;
в)
эластичность спроса по доходу растет;
г)
эластичность спроса по доходу падает;
д)
нельзя утверждать ничего из вышеперечисленного.
Контрольные вопросы
1.
Определите характер зависимости между объемом спроса и
ценой нормального товара, товара Веблена, товара повседневного спроса,
товара Р. Гиффена.
2.
Как измеряется наклон кривой (спроса и предложения) на дуге и
в точке?
3.
Каков экономический смысл наклона кривой?
4.
Назовите известные Вам ситуации сдвига кривой спроса и
предложения и факторы, вызывающие изменение в спросе (предложении).
5.
Объясните экономический смысл коэффициентов ценовой
эластичности спроса, перекрестной эластичности, эластичности спроса по
доходу.
6.
Какое влияние эластичность спроса оказывает на величину
валового дохода фирмы?
Литература
1. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. СПб. Экономическая школа. Т.1. 1998. Гл. 2. С.39-100
2.
Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. М.: Изд-во НОРМА. 2007.
Гл. 3. С. 82-119
3.
Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М. Экономика.
Дело. 2004
4.
Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и
применение. Т. 1. М.: Финансы и статистика.. 1992. Гл. 5. С. 139-160
5.
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика М. ИНФРА-М.
2005. Гл. 6. С. 126-140
6.
Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. Мн.: Новое знание, 2004.
ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЫНКА
ОДНОГО ТОВАРА
2.1. Паутинообразная модель рынка одного товара
Дискретная модель.
Простейшие модели экономического равновесия разработаны в 3050гг. 20-го века.
Рассмотрим рынок одного товара. Сделаем ряд допущений:
- у производителей не возникают трудности с покупкой ресурсов;
- объединим всех покупателей в одну группу и будем рассматривать их
как одного покупателя;
- объединим всех продавцов в другую группу и будем рассматривать
их как одного продавца;
- допустим, что весь произведенный товар реализуется сразу
(единовременно).
Рассмотрим ситуацию на рынке, когда предложение товара постоянно
отстает от спроса, в дискретном анализе на один интервал.
Интервалы
значения:
t=0
t=1
времени
t=2
одинаковы
и
последовательно
принимают
t=3
t
Если t (time) – текущий интервал времени, то t  1 – предшествующий,
а (t  1) последующий интервал времени.
Такая ситуация нередко наблюдается на рынке нового товара. Функции
спроса и предложения на данный товар являются некоторыми функциями от
цены: D  DP и S  S P
Объем товара Qt произведен в предыдущем временном интервале t  1
, а реализуется в текущем интервале t  .
Qt  S Pt 1   DPt 
Производители руководствуются ценой Pt 1 и производят продукцию в
объеме Qt  S t 1 . Данное предложение товара реализуется в следующем
временном интервале по новой цене спроса Pt .
Общую схему действия модели можно представить следующим
образом:
в начальный интервал времени t  0 имеем Q1  S P0   DP1  ,
в следующий интервал времени t  1 имеем Q2  S P1   DP2  и т.д.
Так как известны функции спроса и предложения, то можно определить
равновесную цену. Для этого необходимо приравнять функции спроса и
предложения:
Qe  DPe   S Pe ,
где e (equilibrium) - индекс, означающий равновесное значение
величины объема и цены, соответственно ( Qe ; Pe ).
Если функции спроса и предложения линейны, то, приравнивая их,
получим одну точку равновесия и единственное значением равновесной цены
и равновесного объема.
Q
S
C2
Q2
C
Qe
Q3
C3
C1
Q1
0
C0
P0
D
P2
Pe
P3
P1
P
Рис. 4. Графическая интерпретация паутинообразной модели
Если функции спроса и предложения не линейны, то получим два или
более значений равновесной цены и равновесного объема. В таком случае
необходимо провести дополнительное исследование и определить, в какую
точку равновесия приходит система под влиянием спроса и предложения и
факторов их определяющих.
Проиллюстрируем
графически
паутинообразную
модель.
Первоначально находимся в точке С 0 . В этой точке производители
руководствуются ценой P0 и производят продукцию в объеме Q1 в период
времени t  0 .
Реализуется товар в точке С1 в периоде t  1 по цене спроса P1 . В
периоде t  1 производители увеличивают предложение товара до Q2 , так как
выросла цена товара, и находятся в точке на кривой предложения с
координатами (Q2 , P1 ) .
Продается товар в точке C2 . Поскольку предложение товара возросло,
то, чтобы продать весь товар, приходится снизить цену с P1 до P2 .
В следующий период времени t  2 производители руководствуются
ценой P2 , производят объем продукции Q3 в точке на кривой предложения с
координатами (Q3 , P2 ) . Реализуется эта продукция по цене P3 в точке C 3 и т.д.
Рынок приходит в состояние равновесия в точке С.
Аналитическая интерпретация модели состоит в следующем:
Для простоты будем считать, что спрос и предложение являются
линейными функциями:
D    aP ;
S    bP ,
где a,  ,  , b – конкретные параметры каждого товара.
Находим равновесные объем и цену, приравняв функцию спроса и
предложения: D  S    aPe    bPe  Pe 
Подставим
равновесное
значение

ba
цены
.
в
предложения и определим равновесный объем: Q ed 
функции
b   a
ba
спроса
и
. Так как в точке
равновесия объем спроса равен объему предложения, то справедливо
выражение:
Qe    aPe    bPe .
(1.1)
Запишем условие равновесия для любого времени t :
Qt    aPt    bP t 1
(1.2)
Выражение (1.2) справедливо для любой точки. Знак равенства в
выражении (1.2) означает, что весь произведенный продукт реализован.
Вычтем из уравнения (1.2) уравнение (1.1):
Qt  Qe  a( Pt  Pe )  b( Pt 1  Pe ) .
Перейдем к следующим обозначениям:
qt  Qt  Qe характеризует отклонение объема выпуска в любой период
времени от равновесного объема выпуска;
pt  Pt  Pe представляет отклонение цены спроса в любой момент
времени от равновесного значения;
p t 1  Pt 1  Pe - отклонение цены предложения в любой момент времени
от равновесного значения.
Тогда действие модели можно представить разностными уравнениями:
qt  ap t  bp t 1
(1.3).
Выражение (1.3) аналогично выражению (1.2), но описывает
отклонения цены и выпуска в некоторый период времени от их равновесных
значений.
Из уравнения (1.3) можно выразить значение цены в любой период
времени t следующим образом: p t 
b
b
p t 1 . Обозначим
 c , тогда pt  cpt 1 .
a
a
Величина c  0 , так как наклон кривой спроса для нормальных товаров
отрицателен a  0 , а наклон кривой предложения – положителен b  0 .
Так как pt  Pt  Pe , то p0  P0  Pe , где p 0 - известная величина – цена в
начальный период времени P0 , а Pe можно определить из уравнения (1.3),
поскольку известны функции спроса и предложения.
Во все периоды времени имеем:
t  0  p0 ;
t  1  p1  сp0 ;
t  2  p 2  сp1  ccp 0   c 2 p 0 ;
t  3  p 3  сp 2  cc 2 p 0   c 3 p 0 ,
т.е.
для
любого
периода
p t  Pt  Pe  cp t 1  c  c t 1 p 0  с t p 0 . Отсюда
времени
t
имеем
Pt  Pe  c t P0  Pe   Pt  Pe  c t P0  Pe  .
pt
Отклонение цены в любой период времени от ее равновесного значения
принимает то положительные, то отрицательные значения. Так как
начальное отклонение p 0  0 , то p1  сp0 - положительная величина.
Число с - величина отрицательная, так как b  0 - наклон кривой
предложения, a  0 - наклон кривой спроса. Обозначим c  r . Тогда
p1  r (1) p 0 ;
p 2  r 2 (1) 2 p 0 ;
p 3  r 3 (1) 3 p 0 ;
….;
p10  r 10 (1)10 p 0 ,
т.е. знак отклонения p t будет чередоваться: минус,
плюс, минус и т.д. Следовательно, Pt будет то меньше, то больше
равновесной цены.
У данной модели есть развитие. Под влиянием неценовых факторов
спроса и предложения кривые спроса и предложения перемещаются, и с
помощью модели можно рассматривать, как рынок приходит в состояние
равновесия до того периода пока не возникает новое возмущение.
Например, в спокойное течение дел на рынке вмешивается резкий рост
предложения, если продавцы выбрасывают запасы товара. В новой ситуации
в анализе рынка товара следует соединить рассмотренную модель с моделью
включения запаса.
Непрерывная модель.
В модели время течет непрерывно, t  0 , и все параметры являются
функциями времени: Dt  , S t  , Pt  . Поскольку изменение цены происходит
на стороне спроса, то спрос зависит от цены Pt  и ее изменения
dP
, а
dt
предложение зависит только от цены. В каждый момент времени спрос
поглощает предложение, т.е. Q  D( P,
dP
)  S ( P) .
dt
Используем линейные функции спроса и предложения в следующем
виде: D    aP  a1
dP
; S    bP .
dt
Определим равновесные значения цены и объема, приравняв функции
спроса и предложения:
Qe    aPe    bPe .
(1.4)
Так как в точке равновесия цена задана рынком, то
dPe
 0 Значения P
dt
и Q в любой момент времени удовлетворяют равенству:
Q    aP  a1
dP
   bP .
dt
(1.5)
Вычитаем из выражения (1.5) выражение (1.4) и получим:
Q  Qe  a ( P  Pe )  a1
dP
 b( P  Pe ) .
dt
Как и в дискретной модели вводим обозначение: p  P  Pe . Тогда
dP dp

. В новых обозначениях выражение (1.5) принимает вид:
dt dt
ap  1
dp
 bp
dt
(1.6)
Уравнения (2) и (3) представляют собой дифференциальные уравнения
первого порядка. Обозначаем
dp
ba
1 dp
 cp 
 c , тогда
 c.
dt
a1
p dt
1 dp d ln p

 c - дифференциальное уравнение относительно p (t ) .
p dt
dt
Используя правило логарифмического дифференцирования, получим:
ln p  ct  const . Решение имеет вид: p  p 0 e ct , p 0  e const . Следовательно,
P  Pe  P0  Pe e ct  P  Pe  P0  Pe e ct .
Зная цену, и подставив ее в функцию
предложения, всегда можно найти объем продукции, который надо
произвести.
2.2. Устойчивость равновесия. Сдвиг равновесия.
На рынке устанавливается равновесие, если спрос на товар равен его
предложению. Объем продукта и его цену называют равновесными. Но
равновесие устанавливается редко. Если рыночная цена больше равновесной,
то на рынке образуется излишек товара; если цена меньше равновесной, то
спрос превышает предложение и существует дефицит товара. Равновесие
является устойчивым, если после его нарушения рынок приходит в состояние
равновесия и устанавливаются прежние равновесные цена и объем. Если же
после нарушения равновесия устанавливается новое равновесие (в новой
точке), изменяется уровень цены и объема спроса-предложения, то такое
равновесие является неустойчивым.
Рассмотрим три случая устойчивости равновесия.
Случай 1.
Для нормального товара наклон кривой предложения положителен,
b
a
наклон кривой спроса – отрицателен: b  0 ; a  0  b  (a)  с  , Если
наклон кривой спроса больше наклона кривой предложения и c  r  1 ,
p t  с t p 0 , то при t   , с t - бесконечно малая величина и система приходит в
состояния равновесия. Равновесие при названных условиях устойчиво.
Эта ситуация представлена на рисунке 5.
Случай 2.
Если наклоны кривых спроса и предложения равны, хотя и
b
a
различаются знаками, b  0 ; a  0  b  (a)  с  , то c  r  1 . Тогда
p t  с t p 0  1t p 0 , с
Q
S
D
P
0
Рис. 5. Равномерные
на рынке одного товара.
колебания
цены
и
спроса-предложения
система характеризуется равномерными колебаниями цены и объема
(рис.6). Такая ситуация встречается крайне редко.
Случай 3.
Если наклон кривой предложения b  0 в точке равновесия превышает
абсолютное значение (значение по модулю) наклона кривой спроса a  0 
b  (a) ,
b
a
то с  , c  r  1 . Тогда p t  с t p 0 при t   величина c t становится
бесконечно большой, и имеет место взрывное колебание и неустойчивое
равновесие (рис. 6).
Воздействие изменяющихся неценовых факторов спроса и
предложения приводит к сдвигу равновесия. Возникшее новое равновесие
может также описываться одним из трех вышеприведенных случаев.
Q
S
D
0
P
Рис. 6. Взрывное колебание.
Модель с включением запасов студенты изучают самостоятельно по
работе Р. Аллена, рекомендуемой в списке литературы.
Задания для практических занятий
1. В паутинообразной модели выразить  и  через равновесные
значения цены и объема P и Q . Каков экономический смысл параметров 
и  ? Если   0, a  0, b  0 , то каковы будут пределы изменения величины  ?
1.
Равновесие на рынке описывается следующей паутинообразной
моделью: S t )  30  40P(t  1), D(t )  80  20P(t ) , где S (t ) - предложение, D (t ) спрос, P (t ) -цена равновесия, t - период времени. Определить, насколько
процентов изменилась равновесная цена за последнее колебание, если P(t )  1
.
2.
Равновесие на рынке описывается следующей паутинообразной
моделью: S t )  20  30P(t  1), D(t )  100  50P(t ) , где S (t ) - предложение, D (t ) спрос, P (t ) - цена равновесия, t - период времени. Определить, насколько
процентов изменилась равновесная цена за последнее колебание, если P(t )  1
.
Литература:
1.Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963. Гл. 1
2.Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. СПб. Экономическая школа. Т.1. 1998. Гл. 2. С.63
Контрольные вопросы
1. Проиллюстрируйте графически паутинообразную модель рынка
одного товара в случае отставания предложения от спроса.
2. Используя линейные функции спроса и предложения, покажите, как
изменяется цена в любой период времени.
3. Объясните, при каком условии рынок приходит в состояние
равновесия.
4
Что собой представляет взрывное колебание цены и какой фактор
его вызывает?
5
Поясните смысл устойчивости равновесия на примере
паутинообразной модели.
6. Какое практическое применение имеет паутинообразная модель
рынка одного товара для производителя?
ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ КАК МОДЕЛЬ
ПРОЦЕССА ПРОИЗВОДСТВА
3.1. Производственная функция и ее свойства.
Под производством в современной микроэкономике понимается
деятельность по использованию факторов производства (ресурсов) с целью
создания продукта или услуги и достижения наилучшего результата. Если
объем использования ресурсов известен, то производитель стремится
получить максимальный результат. Если же задан результат, который
необходимо достичь, например, объем выпуска, то минимизируется объем
используемых ресурсов.
В процессе производства используются факторы производства: труд ( L
), капитал ( K ), земля и другие. Можно выделить составные части каждого
фактора и рассматривать их как самостоятельные факторы. Например, в
факторе труд могут быть выделены труд менеджеров, инженеров,
сборщиков, и т.д.
В экономической теории выделяют первичные факторы производства,
которые в соответствие с теорией факторов производства (ее связывают с
именем французского экономиста Жана Б. Сэя) создают новую стоимость. К
ним относятся труд, капитал, земля и предпринимательские способности.
Вторичные факторы не создают новую стоимость. В современном
производстве возрастает роль энергии и информации. Им присущи признаки
первичных и вторичных факторов.
В моделях процесса производства - в производственных функциях
учитываются два основных фактора: труд L и капитал K . Это позволяет
проанализировать важнейшие связи и зависимости, существующие в
процессе производства, без упрощения их реального содержания.
Производственная функция выражает технологическую взаимосвязь
между конечным выпуском Q и затратами факторов производства L и K . В
неявном виде она записывается следующим образом:
Q  f L; K  ,
где f - форма функции,
- максимальный выпуск, который можно получить при используемой
технологии и имеющемся количестве факторов производства ( L и K ). В
производственной функции все параметры – выпуск, затраты труда и
капитала измеряются в натуральных единицах (выпуск в метрах, тоннах и
т.п., затраты в человеко-часах, станко-часах и т.п.).
Q
Примером производственной функции, в явном виде представляющей
зависимость между выпуском и затратами факторов производства, является
функция Кобба-Дугласа:
Q  AL K  ,     1 ,
где A - эффективность технологии,
 - частная эластичность выпуска по труду,
 - частная эластичность выпуска по капиталу.
Функция была выведена математиком Ч. Коббом и экономистом П.
Дугласом в 1928 году на основе статистических данных обрабатывающей
промышленности США. Эта, сегодня широко известная функция, обладает
рядом замечательных свойств. Ниже проанализируем экономический смысл
ее параметров. Функция Кобба-Дугласа описывает экстенсивный тип
производства.
Если используется n факторов производства, то производственная
функция имеет вид:
Q  f  X 1 , X 2 ,..., X n  ,
где X i - количество используемого i -го фактора производства.
Свойства производственной функции
Производственные факторы являются взаимодополняющими. Это
значит, что если хотя бы один фактор равен нулю, то и выпуск равен нулю:
f 0; K   f L;0  0
Исключение составляет функция: Q  aL  bK . В соответствии с такой
функцией можно использовать только труд или только капитал и выпуск
будет не равен нулю. Например, грузчик в своей работе может не
использовать капитал и выполнит определенный объем работ.
Свойство аддитивности означает, что можно объединить факторы
производства L1 ; K1  и L2 ; K 2  . Но объединение целесообразно лишь в том
случае, если выпуск после объединения превышает сумму выпусков до
объединения факторов производства. f L1  L2 ; K1  K 2   f L1 ; K1   f L2 ; K 2  .
Свойство делимости означает, что процесс производства может
осуществляться в сокращенных масштабах, если выполняется следующее
условие: f  ;
L K 1
  f L; K  , где n - любое положительное число. При
n n  n
уменьшении числа рабочих и объема капитала вдвое выпуск продукции
сократится не более чем на половину. Данное свойство не выполняется на
малых
предприятиях,
где
производственная
деятельность
при
уменьшающихся масштабах либо невозможна, либо неэффективна. Такое
свойство характерно для функции, отражающей процесс производства в
отрасли или в народном хозяйстве.
Отдача от масштаба. Если затраты L и K изменяются в  раз, как
правило возрастают, то выпуск изменяется в  n раз:
f L; K   n f L; K 
При этом, если n  1, то имеем неизменную отдачу от масштаба; если
n  1 - возрастающую отдачу от масштаба; если n  1 , то имеет место
убывающая отдача от масштаба. При неизменной отдаче средние издержки
фирмы - издержки на единицу продукции не изменяются.
Изокванта (или кривая постоянного продукта (isoquant) представляет
собой график производственной функции. Точки на изокванте представляют
бесконечное множество комбинаций факторов производства, использование
которых обеспечивает одинаковый выпуск продукции.
Изокванты характеризуют процесс производства подобно тому, как
кривые безразличия процесс потребления. Они имеют отрицательный
наклон, выпуклы относительно начала координат. Изокванта (см. рис. 7),
лежащая выше и правее другой изокванты, представляет больший объем
выпускаемой продукции ( Q1  10 изделий, Q2  20 , Q3  30 ). Однако в отличие
от кривых безразличия, где общую полезность набора товаров точно
измерить нельзя, изокванты показывают реальный уровень производства.
Совокупность изоквант, каждая из которых представляет максимальный
выпуск продукции, получаемый при использовании факторов производства в
различных сочетаниях, называется картой изоквант (isoquant map).
а)
Q
K
б)
K
Q2=20
K2
K1
0
K2
K3
0
L
L2 L1
Y
K1
Q1=10
Q3=30
C
L1
L2
L
Q2=20
Q1=10
L
L3
Рис. 7. Изокванты. Карта изоквант.
Реальная изокванта с выпуском Q1  10 представлена на рис 7а в
трехмерном пространстве. Ее проекция отмечена пунктирной линией и
перенесена на рис. 7б. Если используются отмеченные сочетания факторов
производства ( L1 , K1 ), ( L2 , K 2 ) , но применяется более прогрессивная
технология, то выпуск будет равен Q2  20 . Но проекция у изокванты с таким
выпуском будет той же, что и у изокванты с меньшим выпуском.
Экономисты располагают на плоскости изокванту с большим выпуском (рис.
7б) выше и правее
K
а)
M
3
б)
K
2
M’
Q1=10
Q1=10
0
1,5
L
0
1
L
Рис. 8. Эффективность технологии.
изокванты с меньшим выпуском. На рис. 7б взаимосвязь между
выпуском и затратами нарушается: выпуск Q2  20 получен с большими
затратами труда и капитала, чем Q1  10 . Ниже будет показано, как на
расположение изокванты оказывает влияние применяемая технология и ее
параметры.
Эффективность технологии (параметр A в функции Кобба-Дугласа)
можно представить графически следующим образом (рис. 8).
В точках M 1,5;3 и M ' 1;2 выпуск один и тот же Q1  10 . На рис. 8б
изокванта представляет более эффективную технологию, так как затраты на
единицу продукции здесь ниже, чем на изокванте на рис. 8а.
3.2. Производство с одним переменным фактором.
В зависимости от ситуации, складывающейся на рынке, фирма то
расширяет, то сокращает объем производства. В краткосрочном периоде
трудно изменить объем используемых факторов производства – установить
новое оборудование, расширить производственные площади и т.п. Состояние
и параметры факторов производства в краткосрочном периоде определены
предшествующими решениями фирмы. В долговременном периоде все
факторы производства являются переменными.
Проанализируем часто встречающийся на практике случай, когда в
краткосрочном периоде объем используемого капитала остается постоянным,
а затраты труда изменяются. Труд является переменным фактором.
Производственная функция имеет вид: Q  f L; K , где K  const .
Построим кривую общего продукта ( TPL ,), рис. 9. До точки B объем
Q
D
C
Q+ΔQ
Q
TPL
B
A
0
β L L+ΔL
P
B
A
L
C
APL
0
D
MPL
В этом интервале
фирма
производит
продукцию
L
Рис. 9. Кривые общего, среднего и предельного
продукта труда.
производства увеличивается быстрее затрат труда,
каждого работника или на единицу труда приходится
последующими периодами больший объем капитала. После
роста общего продукта замедляется, достигает максимума в
потому что на
в сравнении с
этой точки темп
точке D и затем
начинает снижаться. В точке C выпуск и затраты растут одинаковыми
темпами.
Кривая общего продукта иллюстрирует зависимость между выпуском и
затратами одного переменного фактора.
Проведем секущую линию через точки B и C (рис. 9). Точка B имеет
координаты L; Q ; в точке C прирост затрат труда позволяет увеличить
выпуск, ее координаты L  L; Q  Q . Таким образом,

Q  Q  f L  L; K

,
 
Q  f L  L; K  f L; K
Отношение

Q
- измеряет предельную производительность труда на
L
дуге. Предельная производительность труда представляет собой отношение
прироста выпуска продукции к вызвавшего его приросту затрат труда.
Предельную производительность можно измерить тангенсом угла, который
образует секущая с положительно направленной осью абсцисс:
Q
 tg .
L
Считается, что прирост выпуска обеспечен приростом затрат труда,
хотя его величина зависит от объема применяемого капитала.
Q
C
Q+Q
Q

B
1
L
L+∆L
L
Рис. 10. Предельная производительность
труда.
Если L  0 , то точка C перемещается по дуге в точку B , а секущая
занимает положение касательной. Тогда, предельная производительность
труда в точке измеряется величиной f L - первой частной производной
производственной функции по переменному фактору - труду:
MPL  lim L0

 

Q
f L  L; K  f L; K
Q
 lim L0

 f L .
L
L
L
Предельную производительность труда в любой точке можно измерить
тангенсом угла, который образует касательная к кривой общего продукта с
положительно направленной осью абсцисс: f L  tg1 . Частное изменение
выпуска Q при изменении затрат труда L составляет d L Q  f L  dL .
Аналогично можно записать для капитала d L Q  f L  dK .
Построим кривую предельной производительности (рис. 10). До точки
B предельная производительность труда MPL растет потому, что по мере
вовлечения в производство дополнительных работников все более полно
используются производственные мощности фирмы и выпуск растет быстрее
затрат труда. На отрезке BD каждый последующий дополнительный
работник обеспечивает уменьшающийся прирост продукта, так как
вооруженность труда капиталом уменьшается. В точке D выпуск достигает
максимального значения, приращение продукта – предельный продукт
становится равным нулю: MPL  0 . После точки D увеличение затрат труда
начинает сокращать выпуск, дополнительные работники становятся
избыточными, а предельный продукт - отрицательным.
Средний продукт труда или средняя производительность труда
измеряется отношением выпуска к затратам труда. В точке A она равна:
APL 
AP Q
  tg . Средний продукт труда можно измерить тангенсом угла,
OP L
который образует линия, соединяющая точку на кривой общего продукта с
началом координат, с положительно направленной осью абсцисс. Построим
кривую среднего продукта, рис. 9.
Средний продукт труда APL растет до точки C . На этом отрезке с
вовлечением в процесс производства дополнительной единицы труда к
средней добавляется предельная, превышающая предыдущее значение
предельной
производительности.
После
точки
средняя
C
производительность снижается. На этом отрезке с вовлечением в процесс
производства дополнительной единицы труда к средней добавляется
предельная величина, которая меньше предыдущего значения предельной. В
точке C средняя и предельная производительность равны: APL  MPL .
Касательная линия к точке C и линия, соединяющая точку C с началом
координат, совпадают.
Кривые APL и MPL являются зеркальным отражением кривых средних
общих ATC и предельных издержек фирмы MC в краткосрочном периоде,
что будет показано ниже.
Q
TPL2
TPL1
0
L
Рис. 11. Изменение технологии и кривая общего
продукта труда.
Если внедрять новую технологию, то кривая общего продукта изменяет
свою форму (рис. 11).
3.3. Замещаемость производственных факторов.
Производственная функция фирмы Q  f L; K  . Один и тот же объем
производства можно получить, используя различные сочетания затрат
факторов ( L1 , K1 ), ( L2 , K 2 ) и др. При переходе из точки С1 в точку С2 затраты
капитала сокращаются на K , а затраты труда увеличиваются на L , рис.
12.
K
K
а)
K2
C1
K1
ΔK
K2
C2
β
ΔL
0
б)
L1
α
L2
Q
Z
K1
L
0
D
L1
Q
L2
L
Рис. 12. Предельная норма замещения.
Отношение

K
L
характеризует
замещение
одного
фактора
производства другим при сохранении объема выпуска и называется
предельной нормой технологического замещения (Marginal rate of technical
substation MRTS ):
MRTS LK  
K
|
L
Q const
(3.1)
Знак «-» приписываем, чтобы MRTS была положительной величиной,
так как. L и K имеют разные знаки.
Если факторы производства бесконечно делимы и изменение затрат бесконечно малые величины, то:
MRTS LK  
dK
|
dL
(3.2)
Q const
Предельная норма технологического замещения измеряет наклон
изокванты на дуге по формуле (3.1) и в точке по формуле (3.2).
Изменение затрат труда и капитала вызывает изменение выпуска на
величину:
Q  f L  L; K  K   f L; K  .
Изменение общего выпуска
изменений выпуска  L Q и  K Q .
Q
определяется суммой частных
 L Q  f L  L; K   f L; K   f L  L  f LdL
 K Q  f L; K  K   f L; K   f K  K  f K dK
Для бесконечно малых приращений труда и капитала приращение
выпуска равно нулю, так как находимся на одной и той же изокванте:
dQ  f LdL  f K dK  0 . Из последнего выражения находим:
MRTS LK  
K
L

Q  const
f L
.
f K
Предельная норма замещения убывает по мере движения вдоль
изокванты. Следовательно, изокванта выпукла относительно начала
координат. Когда затраты труда растут и происходит замещение капитала
трудом, труд становиться менее производительным фактором, а
производительность капитала, наоборот, возрастает. Когда труд замещается
большим количеством капитала, то отдача капитала снижается.
3.4. Капиталоемкость технологии.
Капиталоемкость
технологии
определяется
коэффициентом
K
,
L
характеризующим величину затрат капитала, приходящуюся на единицу
затрат труда. Капиталоемкость технологии влияет на объем выпуска. На рис.
13 представлены изокванты с выпусками Q1 и Q2 , с одними и теми же
затратами труда L и различными затратами капитала K 2  K1 . Большей
капиталоемкости
K 2 K1
соответствует больший объем производства Q2  Q1

L
L
,
K
K2
Q2
K1
0
Q1
1
2
L
L
Рис. 13. Капиталоемкость технологии.
Наклон изокванты измеряется предельной нормой технологического
dK1
 tg1 , наклон изокванты Q2
dL
замещения. Наклон изокванты Q1 равен
определяется как
dK 2
 tg 2 . Так как
dL
tg1  tg 2 , то предельная норма
замещения труда капиталом на изокванте Q1 превышает норму замещения на
изокванте Q2 и имеет место неравенство:
dK1 dK 2

. Выразим предельную
dL
dL
норму замещения через соотношение предельной производительности труда
и капитала MRTS 
f L
. Тогда имеем:
f K
f K1
f K
f L
f
 2 .
 L или
f K1
f K 2
f L
f L
Приходим к выводу: на единицу предельного продукта труда
предельный продукт капитала при технологии Q1 меньше, чем предельный
продукт капитала при технологии Q2 .Если к обоим производственным
процессам добавить единицу труда, то из процесса производства Q2 следует
изъять меньшее количество капитала, чем из процесса Q1 , что подтверждает
более высокую капиталоемкость процесса производства Q2 по сравнению с
процессом производства Q1 .
Представим графически ситуацию, когда Q2  Q1 , и в обоих процессах
производства используется одно и то же количество капитала K , но разное
количество труда L1 и L2 , при этом L2  L1 . Тогда капиталоемкость в точке на
K
K
.

L1 L2
изокванте Q1 больше капиталоемкости на изокванте Q2 , т.е.
K
Q2
Q1
K
0
2
1
L1
L
L2
Рис. 14. Трудоемкость технологии.
Определяем наклоны изоквант вначале тангенсом угла касательных
tg(   2 )  tg(  1 ) , а затем выразим их через соотношение предельных
продуктов труда и капитала.:
f L2
f K

f L1
f K
. Отсюда
f L2  f L1 . На единицу
предельного продукта капитала предельный продукт труда при технологии
Q2 больше, чем при технологии Q1 . Если к обоим процессам добавляется
единица труда, то из процесса Q1 будет изъято меньшее количество капитала,
чем из процесса Q2 . Это подтверждает более высокую трудооемкость
K
L2
процесса Q2 .
Таким образом, более трудоемкой технологии соответствует большая
норма технологического замещения, но меньший выпуск.
3.5. Эластичность замены одного фактора другим
Если производитель находиться на одной и той же изокванте, то
эластичность замены одного фактора другим (  ) равна относительному
(процентному) изменению капиталоемкости, деленному на относительное
(процентное) изменение предельной нормы технологического замещения
одного фактора другим. Аналитически это можно записать следующим
образом:
эластичность замены капитала трудом  L 
 K  : d  f  f   ,
dL
L
K
K
f K
L
f L
эластичность замены труда капиталом  K 
где U 
 L : d  f  f    dU : dR ,
dK
K
L
L
f L
K
f K
U
R
f
K
- капиталоемкость технологии; R  MRTS  L - предельная норма
L
f K
технологического замещения.
Выявим взаимосвязь между  L и  K . Для этого воспользуемся
формулой
 u  u v  v u
d  
v2
v
и запишем
дифференциалы
выражений
 K
dL
L
и
K

d  f K  
fL 

. Преобразования предлагаем выполнить студентам самостоятельно.
f K
f L
В результате получим  K   L
Экономический смысл эластичности замены одного фактора
производства другим состоит в следующем. эластичность замены можно
рассматривать как меру пределов осуществимости замены одного фактора
другим, т.е. как меру технологической «однородности» факторов
производства.
Эластичность замены влияет на выпуск. Эластичность может
принимать любые значения от нуля до бесконечности. Повышение
эластичности всегда ускоряет темп роста выпуска, снижение эластичности
замедляет темп роста выпуска. Эластичность связана с кривизной изоквант.
Если цена одного фактора растет, и технология позволяет замещать его
относительно более дешевым фактором производства, то предприниматели
осуществляют замещение, чтобы снизить издержки производства. Но
технология ставит пределы замещаемости труда капиталом (или капитала
трудом).
3.6. Два
производства.
крайних
и
общий
случаи
замещения
факторов
Первый случай замещения факторов производства. Изокванта с
идеально взаимозаменяемыми факторами описывается следующей
производственной функцией Q  aL  bK , где a и b некоторые числа.
Изокванта - прямая линия (рис. 15).
K
Q1
Q2
0
L
Рис 15. Замещаемость факторов совершенных субститутов
Предельная производительность труда
Так как dR  0 , то  
Q
Q
a
 a;
 b ; MRTS   const
L
K
b
dU dR
:
  . Следовательно, любое количество
U
R
труда может быть заменено капиталом в соответствующей пропорции (и
наоборот).
Второй крайний случай замещения факторов производства.
Рассмотрим производственную функцию Леонтьева Q  min aL; bK, где
a и b некоторые числа. Изокванта имеет ломаную форму, а
производственная функция предполагает жесткую взаимодополняемость
факторов производства.
K
Q2
A′
A
0
Q1
L
Рис. 16. Замещаемость факторов производства совершенных комплементов
Ресурсы используются в пропорции, соответствующей угловым
точкам,
в
которых
капиталоемкость
технологии
постоянна:
K
 соnst .
L
dU dR
K
Поэтому dU  d    0 , а  
:
0
L
U
R
Увеличение затрат труда (или капитала) не дает приращения выпуска:
f L  0 и f K  0 .Здесь отсутствует замещение одного фактора другим. Так как
капиталоемкость технологии остается постоянной, то при увеличении затрат
и труда и капитала в  раз выпуск увеличивается во столько же раз и имеет
место неизменная отдача от масштаба.
Из вышеизложенного следует, что чем больше эластичность замены,
тем больше замещаемость факторов производства и чем ближе эта величина
к нулю, тем больше их взаимодополняемость.
Общий случай замещения факторов производства
До сих пор по умолчанию предполагалось, что во всех точках
изокванты используется одна технология, но в действительности в
производстве многих продуктов можно использовать несколько технологий и
каждой технологии соответствует конкретная комбинация факторов
производства.
K
I
A′
A
K1
М
B′
B
0
II
L1
C
III
C′
Q2
Q1
L
Рис. 17. Замещаемость факторов производства
в общем случае
При затратах факторов производства L1 и K1 возможно осуществлять
производство с использованием первой технологии в объеме Q1 . Если
увеличить затраты обоих факторов в 2 раза, то и выпуск увеличится в 2 раза.
Линия  , выходящая из начала координат – это линия развития фирмы,
использующей одну и ту же технологию и увеличивающей выпуск при
неизменной отдаче от масштаба
В точке B используется вторая технология, и то же самое можно
сказать о линии  , что и о линии  .В точке М и в других точках на отрезках
АB , АB  используется две технологии I и II; а в любой точке на отрезках BС ;
BС  используются II и III технологии. Если точка на изокванте расположена
ближе к линии I, то больше используется I технология.
В случае классической изокванты (рис. 7б) в каждой точке
используются разные технологии. На рис. 17 изокванта – ломаная линия.
Если производство осуществляется в любой точке области ОСL , то фирма
использует избыточный труд. Область ОКА – зона избытка капитала.
Ломая изокванта, как и всякая изокванта, всегда выпукла относительно
начала координат.
K
a)
A
A
B
0
б)
K
C
B
C
L
0
L
Рис. 18. Выпуклость ломаной изокванты.
На линии АС (рис.18а) затраты труда и капитала больше, чем на
линиях АВ и ВС для одного и того же объема выпуска. Поэтому фирме
следует производить продукцию на этих линиях. Вот почему изокванта
выпукла относительно начала координат.
Если изокванта вогнута относительно начала координат (рис. 18 б), то
затраты факторов производства на линиях АВ и ВС будут больше, чем на
линии АС . Чтобы обеспечить минимальные издержки, фирм работает на
отрезке изокванты АС . Сказанное позволяет объяснить, почему используется
комбинация двух смежных технологий, а любая комбинация несмежных
технологий является неэффективной.
3.7. Изокоста (прямая равных издержек). Правило минимизации
издержек фирмы.
В соответствии с производственной функцией фирма стремится
произвести максимальный объем продукции. Но существуют ограничения:
цены факторов производства: PL – цена труда, PK – цена капитала заданы
рынком, C – общие издержки фирмы. Фирма расходует все имеющиеся в ее
распоряжении средства C на покупку труда в количестве PL  L и капитала в
количестве PK  K . Тогда бюджетное ограничение производителя имеет вид:
C  PL  L  PK  K или K 
C PL

L.
PK PK
Это уравнение изокосты (isocost line)
(рис. 19а). Ее наклон отрицателен и равен
P
dK
  L  tg(   ) соотношению
dL
PK
цен факторов производства.
K
1
K1
K2
a)
K
б)
2
B
3
K3
A
0
Q2
α
L
0
Q1
L
Рис. 19. Изокоста и условие минимизации издержек.
Точки на изокосте представляют все возможные сочетания затрат
факторов производства, имеющие одинаковую рыночную стоимость.
При перемещении изокосты 2 в положение линии 3 цена капитала
растет. На линиях 1 и 2 цены труда и капитала одинаковы.
Фирма может производить продукцию в точке B в объеме Q1 , или в
точке A в объеме Q2 . Выпуск Q2 - максимально возможный. В точке A
изокоста касается изокванты. В этой точке наклон изокосты равен наклону
изокванты. Наклон изокванты измеряется MRTS  
изокосты
dK
dL

Q  const
f L
, а наклон
f K
P
dK
  L . Приравняв наклоны изокосты и изокванты, получим
dL
PK
условие минимизации издержек:
f L PL

f K PK
или
f L f K

. В данном случае
PL PK
будут минимальными средние общие издержки фирмы, так как при заданном
объеме использованных ресурсов в денежной форме получен максимально
возможный объем выпуска.
3.8. Производство с двумя переменными факторами.
Теорию фирмы можно изложить либо с помощью предельных
категорий (классический подход), либо с помощью линейного
программирования. Эти подходы являются взаимодополняющими.
Используя предельные категории, рассмотрим деятельность фирмы в
коротком периоде, когда ее организационная структура остается стабильной.
Производится один продукт с помощью двух факторов, производственная
функция Q  f L, K  . В условиях чистой конкуренции фирма покупает
факторы производства по ценам PL и PK , и продает продукт по цене P .
Задача состоит в том, чтобы найти такую комбинацию L и K , при которой
получают максимум прибыли:
  Pf ( L, K )  ( PL L  РК K )
Необходимое условие максимума прибыли - равенство первых частных
производных нулю:  / L  Pf L'  PL   / K  Pf K'  PK  0 . Отсюда находим:
(3.3)
Pf L'  PL ; Pf K'  PK .
'
В полученных условиях MRPL  Pf L представляет предельный продукт
труда, а MRPK  Pf K' - предельный продукт капитала в денежной форме. Из
условий максимизации прибыли следует, что фирма увеличивает объем
производства до тех пор, пока предельный продукт каждого фактора в
денежной форме станет равным цене соответствующего фактора, т.е.
предельным издержкам на ресурс. Последние равны цене соответствующего
ресурса.
Из уравнений (3.3) определяем расходуемые количества L и K как
функции цен PL , PK и P . Запишем необходимое условие максимума прибыли
в виде:
f L'
f K'
f L'
P
1


или '  L .
PL PK P
f K PK
Оно означает, что для достижения максимума прибыли необходимо,
чтобы предельная норма технологического замещения факторов MRTS была
равна заданному соотношению их цен.
Достаточное условие максимизации прибыли заключается в том, что
для любого отклонения, при котором d  f L' dL  f K' dK  0 (или f L'  f K'  0 )
дифференциал второго порядка d 2  0 .
''
d 2  Р( f L'2' dL2  2 f LK
dLdK  f K'' 2 dK 2 )  0 .
(3.4)
Положение фирмы, характеризуемое уравнениями (3.3) и (3.4),
достигается в два этапа. Во-первых, если наряду с ценами PL и PK задан
объем выпуска Q , которые представляют собой ограничения в деятельности
фирмы, тогда величины затрачиваемых факторов L и K определяются таким
образом, чтобы минимизировать издержки производства C  PL L  РК K при
условии Q  f L, K  .
Решение может быть таким. Из Q  f L, K  выразим L как функцию K
и заданного Q . Тогда L   (Q, K ) . Подставляем L в функцию издержек C , и
она становится функцией от одной переменной K , т.е. C  PL (Q, K )  PK K .
Приравниваем к нулю первую производную dC / dK  0 и находим K.
Убедимся, что найденное K действительно является минимальной величиной
затрат капитала. Зная K , из Q  f L, K  находим L . Но этот метод не всегда
применим. Не всегда бывает легко с помощью производственной функции
выразить одну переменную через другую, например L через K . В таких
случаях пользуются методом множителей Лагранжа.
Запишем условия максимизации прибыли, если продукт реализуется на
рынке несовершенной конкуренции. Заданы функции предложения ресурсов
и спроса на продукцию фирмы.
Функция спроса имеет однородную форму Q  BP e , где B  const , P цена продукта, e - ценовая эластичность спроса. Если e  0 , то цена продукта
становится постоянной величиной и имеем условия совершенной
конкуренции. Обратная функция спроса P  bQ 1 / e , где b  B 1 / e  const . Валовой
доход фирмы TR  PQ  bQ 11 / e . Если e  1 , то валовой доход является
постоянным, не зависящим от P и Q . Это значит, что объем производства
является заранее заданной величиной Q0 , а, следовательно, и цена P в
выражении ( P  bQ 1 / e ) также постоянна.
Функции предложения труда L  B1 e , капитала K  B2 r e также
однородны, B1  const и B2  const , e1 и e2 - эластичности предложения
факторов производства,  и r , соответственно, ставка заработной платы и
процент на единицу капитала.
2
1
Определим  и r , соответствующие предложению труда и капитала
при названных условиях. Тогда   b1 L1 / e , r  b2 K 1 / e , где b1  B1 1 / e , b2  B2 1 / e .
1
1
2
Затраты труда и капитала равны: L  b1 L11 / e , rK  b2 K 11 / e .
1
2
Запишем функцию Лагранжа для экономической прибыли:
2
  TR  TC  [ f ( L, K )  Q ],
  bQ 11 / e  b1 L11 / e  b2 K 11 / e  [ f ( L, K )  Q ]
1
2
,

где
-
множитель
Лагранжа.
Необходимые условия максимизации прибыли:
 / L  b1 (1  1 / e1 ) L1 / e1  f L  0
 / K  b2 (1  1 / e 2 ) K 1 / e2  f K  0
 /   f ( L, K )  Q  0
 / Q  b(1  1 / e)Q 1 / e    0
Последнее уравнение добавляется, если 
величиной. Из системы уравнений находим:
является переменной
  b(1  1 / e)Q 1 / e ,  (1  1 / e1 )  f L , r(1  1 / e2 )  f K .
Если e  1 , то   b(1  1 / e)Q1 / e  (1  1 / e) P, Q  f ( L, K )
Если e   , то   P, Q0  f ( L, K ).
Определим факторные цены в условиях несовершенной конкуренции:

(1  1 / e) Pf L
(1  1 / e) Pf K
, r
(1  1 / e1 )
1  1 / e2
Полученные выражения отражают характер зависимости заработной
платы и ставки процента от рыночных параметров – цены товара, ценовой
эластичности спроса на товар, ценовой эластичности предложения труда и
капитала, а также предельной производительности труда и капитала. Решая
систему уравнений, представляющую необходимое условие максимизации
прибыли, находим значения L , K ,  и Q .
Достаточное условие максимизации прибыли d 2  <0. Если оно
выполняется при найденных значениях L , K ,  и Q , то фирма получает
максимальную прибыль.
Задания для практических занятий
1. Определить отдачу от масштаба для следующих производственных
функций: Q  2L0, 78 K 0, 22 , Q  L  5K , Q  ( LK )1, 4 , Q  L1,5 K 2 , Q  4L1, 4 K 0,8 .
2. Выпуск продукта задается формулой Q  2 / 3( x  x 2 ) , где x количество единственного используемого ресурса. Определить предельный
продукт ресурса для x  4 .
3. Дана производственная функция Q  2L0,5 K 0,5 . Найти предельный
продукт труда MPL (предельную производительность труда f L ), предельный
продукт капитала MPK (предельную производительность капитала f L ) при
L  4, K  9 . Определите предельную норму замещения капитала трудом (
MRTS ) при расходе ресурсов L  3, K  7 .
4.
Какого
типа
производственная
функция
характеризует
производственный процесс, в котором эластичность замещения факторов
производства неизменна?
5.
Определить эластичность замены одного фактора производства
другим для производственных функций: Q  10K 0,5 L0,5 , Q  K 0,75 L0,25 , Q  2K  L .
6.
Технология производства продукта в 2000 году воплощалась в
производственной функции Q  K 0,5 L0,5 , в 2001 году – в функции Q  K 1 / 3 L1 / 4 .
Как следует охарактеризовать технический прогресс в таком случае? При
L  K и L  K ? При K  L и L  K ?
7.
Траектория увеличения выпуска стала более крутой. Причиной
этого может быть
- технический прогресс, расходующий капитал и экономящий труд;
- повышение цены капитала, так как потребление капитала
увеличивается;
- повышение цены труда, так как труд замещается капиталом.
8.
Если в результате технологических нововведений выпуск при
неизменном количестве ресурсов возрастает, f K и f L снижаются, причем f L
снижается быстрее, чем f K , то
- нововведения технически неэффективны;
средний продукт труда снижается;
средний продукт капитала снижается;
имеет место капиталоинтенсивный технический прогресс. Какое
утверждение верно?
9.
Компания
использует
только
эффективные
способы
производства. Недавно она внесла изменения в процесс производства, в
результате которых MRTS LK увеличилась, хотя выпуск не изменился. Это
означает, что капиталоемкость производства понизилась, возросла, не
изменилась; могла снизиться, могла возрасти, но изменилась;
капиталоемкость продукции K / Q понизилась. Найдите верный ответ.
10. Наборы ресурсов (11,6), (8,8) имеют стоимость 40 руб. каждый.
Определить цены труда PL , капитала PK и наклон изокосты.
11. Дано: производственная функция фирмы Q  L0,8 K 0, 2 , издержки
составляют C  30 руб., цена труда PL  4 руб., цена капитала PK  5 руб.
Найти равновесный набор ресурсов, при котором издержки фирмы на
единицу продукции минимальны.
12. Производственная функция фирмы Q  ( L  a )( K  b) . Цена труда
  a , цена капитала r  b , цена продукта p . Определить значения L и K , при
которых прибыль фирмы максимальна.
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте зависимость, выражаемую производственной
функцией, и поясните экономический смысл ее параметров.
2. Как отражается отдача от масштаба на величине издержек фирмы?
3. Объясните взаимосвязь общего, среднего и предельного продукта
фирмы.
4. Каков экономический смысл предельной производительности труда
и капитала?
5. Объясните механизм замещения одного фактора производства
другим.
6. Как используется изменение предельной нормы замещения
факторов производства в принятии решений фирмой по замещению
факторов?
7. Покажите связь между объемом выпуска, капиталоемкостью
технологии и предельными продуктами труда и капитала.
8. Какое влияние оказывает эластичность замещения факторов
производства на выпуск фирмы?
9. Какие значения принимают параметры технического прогресса в
случае факторов – совершенных заменителей, совершенных комплементов?
10. Объясните, почему изокванта выпукла относительно начала
координат.
11.Используя изокосту и изокванту, выведите условие минимизации
издержек.
12. Выведите аналитически и поясните экономический смысл
необходимого и достаточного условий максимизации прибыли.
13. Используя необходимые условия максимизации прибыли, покажите
зависимость факторных цен от параметров рынка (цены продукта. ценовой
эластичности спроса и т.п.)
Литература
1.
Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень. М.
ЮНИТИ. 1997. Гл. 17, 18.
2.
Гальперин
В.М.,
Игнатьев
С.М.,
Моргунов
В.И.
Микроэкономика. С-Пб. Экономическая школа. Т.1-2. 1998. Гл. 7. С. 266-307
3.
Германова О.Е. Производственные функции: содержание и
использование. Ростов-н/Д. 1994.
4.
Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. М.: НОРМА. 2007. Гл.5 С.
158-182
5.
Розанова Н.М. Микроэкономика –2. Учебно-методическое
пособие для самостоятельной работы. М. ТЕИС. 1998
6.
Чеканский
А.Н.,
Фролова
Н.Л.
Микроэкономика.
Промежуточный уровень. Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2005. Гл. 8. С. 157-181
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИЗДЕРЖКИ И ДОХОД ФИРМЫ
Издержки фирмы анализируют в краткосрочном и долговременном
периодах. Краткосрочный (или короткий) период – это отрезок времени, в
течение которого одни факторы производства являются постоянными,
например капитал, а другие переменными. Долгосрочный (длительный)
период – это отрезок времени, в течение которого все факторы производства
являются переменными.
4.1. Издержки производства в краткосрочном периоде.
Постоянные издержки FC (Fixed Cost) имеют место в краткосрочном
периоде, Их величина остается постоянной, не изменяется с увеличением или
сокращением объема производства. К ним относятся, например,
амортизационные отчисления, характеризующие износ зданий, сооружений,
машин и производственного оборудования, арендная плата, расходы на
содержание административного аппарата и др.
Величина переменных издержек VC (Variable Cost) изменяется с
увеличением или сокращением объема производства. К ним относятся
затраты на сырье, электроэнергию, вспомогательные материалы, оплату
труда и др.
Общие (валовые) издержки ( ТС или С - Total Cost) равны сумме
постоянных и переменных издержек фирмы на производство продукции в
краткосрочном периоде. Таким образом, TC  FC  VC . Общие издержки
являются функцией, зависящей от объема выпускаемой продукции:
ТС  f Q  k .
Величина
представляет постоянные издержки.
k
3
ТС  50  120Q  Q  Q , где FС  k  50 , а VС  f Q   120Q  Q 2  Q 3 .
2
Например,
C
TC
A
TC
VC
FC
β
0
B
Q
Рис. 20. Общие, постоянные и переменные издержки.
Кривыt постоянных, переменных и общих издержек можно построить,
используя данные конкретной фирмы. В учебных целях используют
классические кривые, графически представляющие издержки типичной
фирмы. Кривыt постоянных, переменных и общих издержек можно
построить, используя данные конкретной фирмы. В учебных целях
используют классические кривые, графически представляющие издержки
типичной фирмы.
Кривую общих издержек можно построить суммированием кривых
постоянных и переменных издержек (рис. 20).Средние общие издержки (
ATC или AC - Average Total Cost) представляют собой издержки на единицу
продукции: ATC 
TC FC  VC

 AFC  AVC , где
Q
Q
AFС (Average Fixed Cost) - средние постоянные издержки;
AVС (Average Variable Cost) - средние переменные издержки.
C
ATC
AVC
AFC
0
Q
Рис. 21. Кривые средних общих, средних переменных и
средних постоянных издержек.
Форма кривой ATC определяется формой кривой ТС . Построим
кривую ATC на основе ТС . На рисунке 20 отрезок AB измеряет величину TC
в точке A . Отрезок 0B отмечает соответствующий TC объем производства
ATC 
AB TC

 tg . С помощью тангенса изменяющегося угла
0B
Q

при
перемещении точки A вверх по кривой на рис. 20 построим кривую ATC .
Таким же образом можно построить кривые AVC и AFC .
Предельные издержки ( МC - Marginal Cost) представляют собой
издержки на производство еще одной дополнительной единицы продукции.
Это самое простое определение предельных издержек.
Если выпуск увеличивается на величину Q , то издержки производства
увеличиваются на величину TC . Тогда выпуск равен Q  Q , а
TC  TC  f Q  Q  k , TC  f Q  Q  k  TC  f Q  Q  f Q . В таком
случае МC на дуге измеряют отношением приращения валовых издержек к
вызвавшему их приращению выпуска:
MC 
TC
.
Q
Если объем производства увеличивается на бесконечно малую
величину, тогда предельные издержки измеряют в точке для заданной
единицы продукта первой простой производной функции валовых издержек
по
переменной
объему
выпуска:
MC  lim Q 0
TC
f Q  Q   f Q 
dTC
Предельные издержки
 lim Q 0
 f Q  
Q
Q
dQ
измеряют наклон кривой валовых издержек на дуге или в точке.
Например: ТС  50  120Q  Q 2  Q 3 , тогда MС 
dTC
 120  2Q  3Q 2 .
dQ
Если известна функция МC , то можно найти первообразную функцию
TC :
TC   MCdQ   f Q dQ  f Q   k , где k  const .
Если Q  0 , то валовые издержки фирмы равны общим постоянным
издержкам.
Рассмотрим взаимосвязь
предельными издержками МC .
Так
MC 
как
ATC 
TC
,
Q
между
то
средними
TC  ATC  Q .
валовыми
По
ATC
и
определению
dTC d ( ATC  Q )

 ATC  Q  ATC  . В точке минимума или максимума
dQ
dQ
функции ее производная равна нулю: ATC  0 в точке минимума ATC , т.е.
MC  ATC  Q  ATC   ATC  0  ATC .
Кривая МC пересекает кривую ATC в точке ее минимума:
если ATC  0 , то MC  ATC и, следовательно, ATC убывают;
если ATC  0 , то MC  ATC и ATC возрастают.
C
MC
ATC
ATCmin
ATC′<0
ATC′>0
AVC
0
Q
Рис. 22. Взаимосвязь кривых предельных и
средних издержек.
Предельные издержки можно представить следующим образом:
MC 
dTC dVC dFC dVC



, так как производная от постоянных издержек
dQ
dQ
dQ
dQ
равна нулю
dFC
 0 . Это позволяет сделать вывод о том, что постоянные
dQ
издержки не оказывают влияния на величину предельных издержек.
В краткосрочном периоде MC 
dVC
. Рассуждая аналогично, как в
dQ
случае с валовыми издержками, приходим к выводу, что кривая MC
пресекает кривую AVC также в точке ее минимального значения..
Если известны предельные издержки производства каждой единицы
продукции MC , MC 2 ,..., MC Q , то легко определить валовые издержки:
Q
TC   MC i .
i 1
Если MC  const , то валовые издержки увеличиваются на одну и ту же
величину равную MC , при росте объема производства.
4.2. Издержки производства в долгосрочном периоде.
Кривая общих издержек в долгосрочном периоде LTC выходит из
начала координат, так как в долгосрочном периоде все издержки являются
переменными. Кривая LTC огибает множество кривых TCi в коротких
периодах и имеет одну общую точку с каждой из этих кривых (рис. 23)
C
LTC
TC2 TC3
TC1
0
Q
Рис. 23. Кривая общих издержек в долгосрочном
периоде.
По форме кривой LTC можно построить кривую средних валовых
издержек в долгосрочном периоде LATC . Кривая LATC строится аналогично
тому, как мы это делали в краткосрочном периоде для кривой ATC (рис. 24).
Если выпуск и общие издержки в долгосрочном периоде растут
одинаковыми темпами, то LATC остаются постоянными, и в интервале от Q1
до Q2 кривая LTC - прямая линия с положительным наклоном, а кривая
средних валовых издержек - горизонтальная линия (рис.24).
На отрезке 0Q1 выпуск растет быстрее
средние издержки LATC снижаются.
валовых издержек LTC и
Если Q  Q2 , то валовые издержки LTC растут быстрее выпуска и ATC
увеличиваются. В точке R средние издержки в коротком и долговременном
периодах равны, и кривая ATC касается в этой точке кривой LATC . Так как
для любого другого значения выпуска кривая TC расположена выше LTC , то
ATC больше LATC .
C
LTC
TC
R
0
Q1
Q2
Q
C
MC
MC
ATC
ATC
LMC
LATC
LMС
R′
0
Q1
Q2
Q
Рис. 24. Кривые общих и средних валовых издержек в
долгосрочном периоде.
В точке касания TC и LTC предельные издержки в краткосрочном MC
и долговременном периодах LMC равны.
C
LMC
LATC
R
A
B
R′
0
Q
Рис. 25. Кривые средних и предельных издержек в
долгосрочном периоде
Различие в значениях LMC и LATC слева от точки A (рис. 25) по мере
приближения к точке R уменьшается. Это значит, что TC здесь имеет
меньший наклон, чем LTC . Следовательно, левее точки R  MC  LMC .
Обратная картина представлена на отрезках кривых правее точки B , где LTC
характеризуется убывающей отдачей. На отрезке AB кривые LATC и LMC
совпадают.
Если же отрезок AB представляет собой точку, то неизменная отдача
от масштаба существует только в одной точке LTC . В этой точке
минимальная величина ATC в долгосрочном и краткосрочном периодах одна
и та же, а кривая MC в коротком и долговременном периодах проходит через
эту точку.
4.3. Доход фирмы: валовой, средний и предельный.
Экономическая прибыль.
Валовой (совокупный) доход ( TR – Total Revenue) – представляет собой
выручку фирмы от продажи произведенной продукции. Если весь объем
продукции продан по одной и той же цене, то TR  Q  P .
Средний доход ( AR – Average Revenue) – это доход от реализации
единицы продукции. В условиях совершенной конкуренции средний доход
равен рыночной цене: AR 
TR Q  P

 P.
Q
Q
TR
M
P
TR
M
D=P=AR=MR
TR
0
α
Q1
0
Q
Q1
Q
Рис. 26. Валовой, средний и предельный доход
в условиях совершенной конкуренции.
Предельный доход ( MR – Marginal Revenue) – приращение валового
дохода в результате производства и реализации дополнительной единицы
продукции.
В условиях совершенной конкуренции предельный доход равен
рыночной цене. Если выпуск увеличился на Q и составил ( Q  Q ), то это
приведет к росту валового дохода, который станет равным ( TR  TR ). Если
TR  PQ , тогда TR  TR  PQ  Q . Отсюда TR  PQ  PQ  PQ  PQ .
Предельный доход на дуге равен: MR 
TR PQ

P.
Q
Q
Предельный доход в точке для конкретного изделия определяется
первой простой производной функции валового дохода по переменной –
объему выпуска: MR  lim Q 0
TR dTR

P
Q
dQ
В условиях несовершенной конкуренции цена является переменной
величиной и зависит от объема продаж, т.е. P  PQ . Тогда TR  PQ Q   Q
.
Средний
доход AR 
реализованной продукции.
TR
Q
представляет
собой
среднюю
цену
P,R
Ed>1
Ed=1
Ed<1
D
0
MR
Q
TRmax
TR
0
Qopt
Q
Рис. 27. Общий, предельный доход и эластичность спроса
в условиях несовершенной конкуренции.
Если фирма увеличивает выпуск до ( Q  Q ), то это приведет к росту
валового дохода и он составит ( TR  TR ). Если TR   Q , тогда
TR  TR   Q  Q. Отсюда TR   Q  Q   Q .
Предельный доход MR 
TR
на дуге. По
MR  lim Q 0
MR 
TR
измеряет наклон кривой валового дохода
Q
определению предельный
TR
 Q  Q    Q  dTR
, или
 lim Q 0

Q
Q
dQ
доход
в точке равен:

dTR d PQ   Q 
dP
1 
.

 PQ   Q
 P1 
dQ
dQ
dQ
E d 

В скобке перед дробью ( 1 / E d ) знак «минус» свидетельствует, что
коэффициент
ценовой
эластичности
спроса
Ed
отрицателен,
и,
следовательно, товар относится к типу нормальных товаров.
Проанализируем взаимосвязь предельного дохода и эластичности
спроса. Если E dP  1 , то выражение в скобках ( 1  1 / E d  0 ) и MR  0 .
Поскольку предельный доход измеряется первой простой производной
функции валового дохода и она равна нулю, то валовой доход достигает
максимальной величины при значении выпуска, для которого MR  0 .
Если E dP  1 , то MR положительная величина (наклон кривой TR
положителен) и валовой доход увеличивается.
Если E dP  1 , то MR отрицателен и валовой доход уменьшается. На
неэластичном отрезке линии спроса фирмы, как правило, продукцию не
выпускают. Увеличение объема производства здесь сопровождается
уменьшением выручки.
Таким образом, валовой доход достигает своего максимума, когда
предельный доход равен нулю.
В общем виде экономическая прибыль (  - profit) определяется как
разность между валовой выручкой и валовыми издержками:   TR  TC .
Задания для практических занятий
1.
Известны
значения
параметров
некой
фирмы:
Q  b, TC  3a,VC  a, MC  const. Определить ATC, AFC и AVC при
Q  10b.
2. Издержки на производство 1 кг меда составили 5 долл. При
увеличении производства меда на каждый очередной килограмм средние
издержки уменьшаются на 0,2 долл/кг. Определить издержки на
производство 15-го кг меда.
3.
Выпуск первого изделия требует затрат в 50 долл., т.е. MC1  50
долл. Выпуск каждого следующего изделия увеличивает затраты на 2
доллара. Постоянные издержки фирмы FC  500 долл. Запишите формулу
общих издержек.
4. Цена на продукцию фирмы P  40  3Q , валовые издержки
TC  Q 2  2Q  2 . Найти объем продаж, цену, валовой доход, постоянные и
переменные издержки при максимальной прибыли.
5.Совокупные издержки фирмы, действующей на конкурентном рынке
равны TC  15Q 2  10Q  60 . Записать функцию предложения фирмы.
6. Производственная функция фирмы Q  L0,8 K 0, 2 , издержки TC  30
руб, цена труда   4 руб, цена капитала r  5 руб. Найти равновесный набор
ресурсов, при котором издержки на единицу продукции минимальны.
Определить объем производства, при котором прибыль фирмы максимальна.
7. Известна функция валовых издержек TC  3Q2  2Q . Фирма получает
максимальную прибыль при Q  5 и реализует продукцию на рынке
совершенной конкуренции. Определите цену продукта.
8. Предельные издержки конкурентной максимизирующей прибыль
фирмы заданы функцией MC  3Q 2 , где Q - ежедневный выпуск продукции
(тыс. штук). Постоянные издержки составляют 16 тыс. руб. в неделю.
Определите цену продукции, при которой экономическая прибыль равна
нулю.
Контрольные вопросы
1. Запишите функцию валовых
экономический смысл ее параметров.
издержек
фирмы.
Объясните
2. Объясните форму классических кривых постоянных, переменных и
общих издержек.
3. Объясните динамику средних постоянных, средних переменных и
средних валовых издержек в краткосрочном периоде.
4. Покажите, что кривая предельных издержек пересекает кривые
средних переменных и средних валовых издержек в точках минимума.
5. Представьте аналитически взаимосвязь валовых и предельных
издержек.
6. Представьте графически взаимосвязь всех видов издержек в
краткосрочном и долговременном периодах.
7. Обоснуйте аналитически взаимосвязь валового и предельного дохода
фирмы, представьте графически.
9. Представьте графически и обоснуйте аналитически влияние
эластичности спроса на динамику общего и предельного дохода фирмы.
Литература:
Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень. М. ЮНИТИ.
1997. Гл. 19. С. 372-402
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. СПб. Экономическая школа. Т.1. 1998. Гл. 8. С. 312-348
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса и предложения и
рыночных структур. М. ТЕИС. 1999. Гл. 2 С. 155-185
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика М. ИНФРА-М. 2005.
Гл. 9 С. 182-207
Кац М., Роузен Х. Микроэкономика. Мн.: Новое знание, 2004.
5. ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ФИРМЫ НА ТОВАРНЫХ РЫНКАХ
5.1 Равновесие фирмы в условиях совершенной конкуренции.
Сопоставление предельного дохода с предельными издержками
позволяет определить равновесие фирмы.
P
MC
PE
Е
0
QE
AC
AVC
D=MR=AR
Q
Рис. 28. Равновесие фирмы в краткосрочном периоде.
Объем производство следует увеличивать до величины, отмечаемой
точкой пересечения кривой предельных издержек с уровнем цены ( MC  P ).
Поскольку в условиях совершенной конкуренции цена определяется рынком
(фирма не оказывает влияния на ее уровень, фирма – «ценополучатель»), то
фирма увеличивает производство до тех пор (до объема QE ), пока
предельные издержки не сравняются с ценой продукта. Если MC  P , то
производство каждой дополнительной единицы продукции приносит фирме
прибыль и его объем следует увеличивать. Объем выпуска увеличивают до
тех пор, пока предельный доход станет равным цене продукта MR  P . Если
же MC  P , то
каждая дополнительная единица продукции приносит убыток, равный
( P  MC ) .
Общий доход ( TR  PE  QE ) равен площади прямоугольника 0QE EPE
(рис.28). Максимум прибыли (  max  TR  TC ) равен площади заштрихованного
прямоугольника. Площадь не заштрихованного прямоугольника составляет
валовые издержки.
В условиях краткосрочного равновесия можно выделить четыре типа
фирм. Фирма, которой удается возмещать лишь средние переменные
издержки ( AVC  P ), называется предельной фирмой. Такой фирме удается
быть «на плаву» лишь недолгое время, ее убытки равны общим переменным
издержкам.
Если фирма в состоянии возмещать не только средние переменные
издержки, но и часть постоянных издержек, то она минимизирует убытки. В
случае же, если фирма возмещает все средние общие издержки, то
собственники экономических ресурсов в таком случае получают факторные
доходы, предприниматели – нормальную прибыль ( ATC  P ), а
экономическая прибыль равна нулю.
Если фирма не в состоянии возмещать текущие издержки, является не
конкурентоспособной и вынуждена покинуть отрасль ( AТC  P ). Если цена
больше средних общих издержек ( Р  ATC ), то фирма наряду с нормальной
прибылью получает экономическую прибыль.
В долгосрочном периоде фирма может изменить объем всех
используемых ресурсов (все факторы производства становятся переменными
величинами), а в отрасли изменяется число фирм.
P
MC
AC
P0
0
MR=D
Q0
Q
Рис.29. Равновесие фирмы в долгосрочном периоде
в условиях совершенной конкуренции.
Если цена на продукцию превышает средние валовые издержки
большинства фирм отрасли и они получают экономическую прибыль, то это
становится сигналом для расширения производства. Одни фирмы,
действующие в отрасли, увеличивают объем выпуска, другие создаются. Так
как в условиях совершенной конкуренции отсутствуют барьеры для входа
вновь создаваемых фирм в отрасль, то в погоне за прибылью в отрасль
устремляется множество фирм. Предложение товара увеличивается, цена
снижается. В новых сложившихся условиях многие фирмы не могут
возмещать текущие издержки и вынуждены покинуть отрасль. Предложение
товара сокращается и повышается цена. В долгосрочном периоде в
результате изменения объема предложения, величины средних валовых
издержек, цены товара и других параметров рынка устанавливается
равновесие.
В состоянии равновесия в условиях совершенной конкуренции фирма
получает нулевую прибыль и
выполняется следующее равенство:
MR  MC  AТC  P . Равенство Р  АТС характеризует производственную
эффективность. При его выполнении конкурентная фирма использует
прогрессивную технологию и минимум ресурсов. Равенство Р  МС
свидетельствует об эффективном распределении ресурсов в отрасли. Так как
с увеличением объема производства предельные издержки растут, то в
каждой отрасли предложение товаров увеличивается до тех пор и,
следовательно, привлекаются ресурсы, пока предельные издержки
оплачивает покупатель, т.е. пока каждое изделие удовлетворяет
общественную потребность.
Монополистическая конкуренция - широко распространенная
структура рынка, представляющая взаимодействие монополии и
конкуренции. При дифференциации продукта спрос на продукцию фирмы
менее эластичен чем спрос на рынке совершенной конкуренции, но более
эластичен чем спрос на продукцию монополиста. На уровень цены на таком
рынке влияет уровень цен на продукцию других производителей такого же
продукта и их число, а также избыточные производственные мощности,
поскольку рынок переполнен фирмами. Каждая фирма стоит перед выбором:
или увеличить производство уже выпускаемых разновидностей продукта с
низкими средними издержками и более полным использованием
производственных мощностей или создавать новые модели изделий,
расширять ассортимент и, следовательно, полнее удовлетворять вкусы
потребителей при наличии избыточных мощностей. Основными факторами,
вызывающими удорожание продукта, являются дифференциация продукта и
использование рекламы.
Используя функцию прибыли монополистически конкурентной фирмы
  qD1 (q, d , a)  C(q, d , a) , где P  D1 (q, d , a) - обратная функция спроса, C
- общие затраты, d - показатель качества, a - затраты по рекламированию и
продвижению товара на рынке, запишите необходимые условия
максимизации прибыли (равенство нулю первых частных производных
функции прибыли по переменным q, d и a ), из которых определим объем
производства, показатели качества и затрат на рекламу, при которых
прибыль максимальна.
Признаки олигополистического рынка - небольшое число крупных
фирм, их всеобщая взаимозависимость, жесткость цен и другие.
Соотношение между выбранным фирмой уровнем цен и количеством
продукции зависит от поведения конкурентов, поэтому кривая спроса на
продукцию
олигополиста
не
является
заданной.
Существует
некооперированная и кооперированная олигополия, для которой индекс
концентрации производства Херфиндаля-Хиршмана различается. В случае
дуополии прибыль фирмы является функцией не только собственного
выпуска, но и выпуска конкурента, что предопределяет особенности условий
максимизации прибыли дуополистов и предположения о вариациях выпуска
конкурента. В случае предположения о прибыли как о функции цены на
собственную продукцию и цены на продукцию конкурента в условиях
максимизации содержатся множители, характеризующие реакцию каждого
дуополиста на решение об уровне цен, принятое конкурентом.
Модели дуополии и олигополии основываются на конкретных
гипотезах о предполагаемых каждым участником рынка вариаций поведения
конкурента, поэтому изучают модели А.О. Курно, Э. Чемберлина, Г. фон
Штакельберга, ценовой олигополии Ж. Бертрана, Ф. Эджуорта и
современных моделей ломаной кривой спроса.
Олигополист обладает некоторой монопольной властью и широко
использует эмпирический метод установления цен, прибавляя к средним
затратам прибыль в определенном проценте.
5.2. Рынок чистой монополии. Основные признаки монополии.
Противоположностью совершенной конкуренции является чистая
монополия (от греч. «моно» - один, «полио» - продаю).
В условиях чистой монополии отрасль состоит из одной фирмы,
выпуск продукта контролируется одним продавцом, монополистом. Продукт
монополиста не имеет близких заменителей, поэтому перекрестная
эластичность спроса на продукт монополиста по цене любого другого товара
или равна нулю или близка к нулю:
eij 
Qi Pj

 0,
Pj Qi
где i - продукт монополиста; Qi - спрос на товар i ; P j - цена любого
другого товара
Существуют высокие барьеры входа в отрасль, т.е. отсутствует
возможность входа в отрасль новых конкурентов. Выделяют два вида
барьеров для входа на монопольный рынок:
- искусственные барьеры (институционально созданные). К ним
относятся исключительные права, полученные от правительства
(государственная монополия); патенты, авторские права, лицензии, торговые
знаки; собственность на естественные ресурсы; естественные барьеры:
преимущества крупного производства, позволяющие получить экономию на
издержках производства или положительный эффект от масштаба;
- отсутствие у потенциальных конкурентов экономической
информации.
Фирма обладает монопольной властью тогда, когда она может
воздействовать на цену своего товара, изменяя его количество. Степень
монопольной власти зависит от наличия товаров субститутов и общей доли
продукта на рынке.
Естественная монополия представляет собой фирму, обеспечивающую
рыночный спрос с меньшими АТС , чем две или более фирм, поставляющих
такой же объем продукции с более высокими средними общими издержками.
5.3. Спрос, цена и предельный доход монополиста.
Функция спроса монополиста Qd  f P  . Цена продукта монополиста
зависит от объема продаж и является обратной функцией спроса: Pm  PQ  .
Чтобы увеличить объем продаж, монополист вынужден снижать цену.
Поэтому кривая спроса монополиста нисходящая. (рис. 48а)
Валовой доход монополиста равен TR  PQ  Q и является функцией
выпуска. Валовой доход можно представить как функцию цены Qd  f P P .
Предельный доход, по определению, измеряется первой производной
функции валового дохода:
MR 
dTR d PQ   Q 
dP

 PQ   Q
.
dQ
dQ
dQ
P
P
Pm
Qd
Qd
0
MR
0
Q
а) Кривая спроса и
предельного дохода
монополиста
В
Qm
MR
Q
б) Линия спроса и
предельного дохода
монополиста (функции Q d и
MR - линейны)
Рис. 29. Спрос и предельный доход монополиста.
Величина
dP
характеризует изменение цены, вызванное изменением
dQ
выпуска, и измеряет наклон кривой спроса. В условиях совершенной
конкуренции
dP
 0 , так как цена задана рынком и любое количество
dQ
продукции продается по одной и той же цене. На рынке монополии
dP
 0,
dQ
т.е. наклон кривой спроса отрицательный. Это означает, что предельный
доход монополиста от продажи любого изделия всегда ниже его цены:
MR  PQ , рис. 29б. Это означает, что кривая MR расположена всегда ниже
кривой спроса.
Рассмотрим взаимосвязь валового и предельного дохода монополиста,
если функция спроса линейна (рис. 29).
Функция спроса: Qd  a  bP , наклон линии спроса равен ( b) . Запишем
обратную функцию спроса:
P
Q2
a
a 1 
.
TR  PQ   Q    Q   Q  Q 
b
b
b b 
a 1
 Q.
b b
Тогда валовой доход равен:
Кривая общего дохода – парабола,
выходящая из начала координат. Определим предельный доход монополиста:
MR 
dTR a 2
  Q Наклон линии предельного дохода отрицательный и
dQ b b
по абсолютной величине в два раза больше наклона линии спроса. В общем
случае
функция
предельного
дохода
имеет
вид:
MR 
Q dP
dTR
dP
1
dP Q 1
 P Q   Q
 P (1 
)  P(1  ) где
 
.
dQ
dQ
P dQ
ed
dQ P e d
P
ed>1
ed =1
MR>0
ed <1
MR=0
MR<0
0
TR
D
Q=a/2
MR
TRmax
Q
TR
0
Рис. 30. Спрос, предельный и общий
доход монополиста.
Q
Необходимым условием максимального значения функции одной
переменной является равенство нулю ее первой производной. Валовой доход
фирмы достигает максимальной величины, если MR  0 . Из последнего
равенства находим объем производства, при котором валовой доход
максимальный. На линии спроса существует единственная точка,
соответствующая значению MR  0 , в которой ed  1 . Таким образом, если
MR  0 , то ed  1 , а TR достигает максимума.
Если MR  P и принимает положительные значения, а спрос эластичен
ed  1 , то TR растет. На отрезках линии спроса и валового дохода, где
выполняются названные условия, монополист выпускает продукцию.
Если предельный доход отрицателен MR  0 , а спрос неэластичен ed  1 ,
то с увеличением объема выпуска валовой доход TR уменьшается.
5.4. О кривой предложения монополиста.
Монополист не имеет кривой предложения.
В условиях совершенной конкуренции отрезок кривой MС (выше точки
А на рис. 31) выше точки пересечения ее с кривой AVC является кривой
предложения совершенно конкурентной фирмы. Если цена продукции равна
средним переменным издержкам фирмы, то ее убытки равны общим
постоянным издержкам и фирма прекращает производство. Пока цена
продукта больше средних переменных издержек, но меньше средних общих
издержек, фирма минимизирует убытки. Если цена превышает средние
валовые издержки, фирма получает экономическую прибыль.
P
MC=Sк
А
AVC
0
Q
Рис. 31. Кривая предложения на рынке
совершенной конкуренции.
P
E2
P2
P
MC
E2
D2
E3
P3
E3
D3
E1
P1
Q1
0
MR3
MR2 D
1
Q2
E1
Q
0
Q1
Q2
Q
MR1
а)
б)
Рис. 32. Возможные варианты кривой предложения монополиста.
Допустим, что первоначальные значения спроса и предельного дохода
монополиста D1 и MR1 . Объем производства Q1 определяется из
необходимого условия максимума прибыли MC  MR1 . На линии спроса точка
E1 отмечает цену P1 на продукт монополиста. Но происходит изменение в
спросе и линия спроса перемещается в положение D2 . Тогда, чтобы получить
максимальную прибыль, монополист, руководствуясь правилом MR2  MС ,
производит продукцию в объеме Q2 и реализует ее по цене P2 ..Но
монополист в отличие от конкурентной фирмы при изменении в спросе
может регулировать или уровень цены или объем выпускаемой продукции,
или то и другое.одновременно. Так, в ложившейся ситуации после изменения
в спросе монополист может установить цену на уровне P3 и окажет тем
самым влияние на спрос, который будет представлен линией D3 .Тогда точке,
в которой MR2  MR3  MС , соответствует один объем Q2 . и две цены P2 и P3 .
Монополист мог бы вести себя иначе, изменяя объем выпуска и
сохраняя уровень цены.
Откладывая на рис. 32б соответствующие значения цен и выпусков
фирмы-монополиста, получаем точки E1 , E2 и E 3 , через которые проводим
две прямые. Здесь Q1 - первый; Q2 - второй и третий объем предложения
монополиста. Следовательно, линия предложения может проходить либо по
E1 E2 , либо через E1 E 3 . Монополист может выбрать любую из двух линий
предложения. Это обстоятельство дает основание для вывода о том, что
монополист не имеет кривой предложения.
5.5. Необходимое и достаточное условия максимизации
прибыли монополистом.
Функция экономической прибыли   TR  TC является функцией одной
переменной – объема выпуска. Необходимым условием максимума такой
функции является равенство нулю ее первой производной.
d dTR dTC


 0 . Отсюда MR  MC .
dQ dQ
dQ
Достаточное условие максимизации
отрицательное значение второй производной:
для
такой
функции
–
d 2 d 2TR d 2TC
dMR dMC


 0 , т.е.

2
2
2
dQ
dQ
dQ
dQ
dQ
Наклон линии предельного дохода должен быть меньше наклона
кривой предельных издержек.
P
P
MC
D
F
F
MC
E
D
E
MR
0
MR
0
a)
Q
б)
Рис. 33. Максимизация прибыли монополистом.
Q
Необходимое условие максимизации прибыли выполняется в точках F
и E на рисунке 33а и 33б. Согласно достаточному условию прибыль
максимальна, если наклон кривой предельного дохода меньше наклона
кривой предельных издержек. В точке E на рисунке 33а наклоны обеих
кривых отрицательные, но по абсолютному значению наклон линии
предельного дохода больше наклона кривой предельных издержек. С учетом
знака, достаточное условие максимизации прибыли в этой точке
выполняется. На рис 33б наклон линии предельного дохода отрицателен, а
кривой предельных издержек положителен и, следовательно, условие
максимизации прибыли выполняется в точках E . В точках F на обоих
рисунках достаточное условие максимума прибыли не выполняется.
Представим графически ситуации получения монополистом прибыли,
убытков и нулевой прибыли.
P
π
Pm
E
MC
AC
D
0
Q
Q
MR
Рис. 34. Монополист получает нормальную прибыль.
Фирма определяет объем производства, руководствуясь правилом
MR  MC , цена больше средних общих издержек и   ( P  ATC )Q (рис 34).
P
Pm
E
MC
AC
D
0
Qe
Q
MR
Рис. 35. Монополист получает нулевую прибыль.
В этом случае цена равна средним общим издержкам и экономическая
прибыль равна нулю (рис 35).
убытки
P
AC
MC
Pm
D
0
Qm
Q
MR
Рис. 36. Монополист несет убытки.
.
Средние общие издержки больше цены и монополист получает убытки.
5.6. Показатель монопольной власти.
По
определению
предельный
доход
равен:
MR 
dTR
1
 P(1  ) .
dQ
ed
Максимизируя прибыль, монополист использует правило MR  MC .
Приравняем выражение предельного дохода и предельных издержек
P (1 
1
)  MC и после преобразований имеем:
ed
P  MC
1

. Это и есть
P
ed
показатель монопольной власти. В условиях совершенной конкуренции цена
равна предельным издержкам, спрос совершенно эластичен ed   и фирма
не имеет монопольной власти. Она не может оказать влияние на уровень
цены, реализует продукцию по цене, заданной рынком. Монополист может
регулировать или объем производства или цену или оба параметра
одновременно. Степень монопольной власти определяется отклонением цены
вверх от предельных издержек. Но существуют пределы такого отклонения.
Чем более эластичен спрос, тем меньше монопольная власть, тем большее
влияние оказывает потребитель на стремление монополиста повысить цену.
Полнее монопольная власть реализуется при неэластичном спросе.
Теоретически максимальное значение монопольной власти равно единице.
5.7. Ущерб, приносимый монополией.
Избыток потребителя.
Рассмотрим рынок одного товара. Пусть Р - самая высокая цена, при
которой спрос на товар равен нулю. Из этой точки начинается кривая спроса.
Товар в количестве Q0 продается по цене P0 , которая является ценой
рыночного равновесия.
P
P
Pn-1
Pn-2
P1
P0
A
0
123
Q1
D
Q0
Q
Рис. 37. Излишек потребителя.
Первый потребитель готов заплатить за товар цену Pn 1 , а купит его по
равновесной рыночной цене P0 . Второй потребитель готов заплатить за товар
Pn  2 , но купит его по той же, что и первый покупатель, по равновесной
рыночной цене P0 . И т.д., n  1 потребитель готов заплатить за товар цену P1
, а купит его за P0 . Последний покупатель купит товар по цене P0 .
Тогда потребительский излишек каждого покупателя равен
соответственно: ( Pn1  P0 ), ( Pn2  P0 ),..., ( P1  P0 ) . Совокупный потребительский
излишек равен сумме потребительских излишков всех покупателей:
Pn 1  P0   Pn 2  P0   ...  P1  P0  .
Если функция спроса непрерывна, а продукт бесконечно делим, то
потребительский излишек можно измерить площадью фигуры РP0 A . Если
функция спроса Qd  DP  , то чистый потребительский излишек равен
площади
P
 DP dP  S
H
, а общий потребительский излишек измеряется
P0
P
площадью Р0Q0 A , т.е.: S   D P dP  P0 Q 0 , где P0 Q0  - расходы покупателей.
P0
Если цена вырастит с P0 до P1 , то потребительский излишек
P1
сократиться на (величину заштрихованной фигуры) S n    DP dP .
P0
Изменение общего потребительского излишка определяется величиной
P1
S    DP dP  P1Q1  P0 Q0 ,
P1Q1  P0 Q0 
где
изменение
-
расходов
P0
потребителей.
Избыток производителя.
На рынке реализуется товар по равновесной цене Pn . Кривая МС ,
характеризующая предложение фирмы, берет начало в точке А . Первую
единицу продукции производитель готов продать по цене Р1 , но продает по
рыночной равновесной цене Pn . Вторую единицу продукции производитель
готов реализовать по цене P2 , но продает по более высокой цене Pn . И т.д.,
последняя единица продукции будет продана по цене Pn .
Общий избыток производителя составит S *  P0 Q0 . Если известна
функция предельных издержек МС , то можно определить общие издержки
Q0
производителя TC   MCdQ . Чистый избыток производителя равен выручке
0
Q0
за вычетом общих издержек: P0 Q0   MCdQ .
0
P
MC
B
Pn
P2
P1
A
0
1
2
3
Q0
Q
Рис. 38. Излишек производителя.
Совокупный излишек производителя и потребителя равен площади
фигуры АВС , рис. 38.
P
B
Pm
P*
MC
M
C
L
D
K
A
0
MR
Qm
Q*
Q
Рис. 39. Потери мертвого груза от монополии.
На рис. 39 равновесные значения цены и объема в условиях
совершенной конкуренции равны P * и Q * .Уменьшение выпуска от Q * до
Qm характеризует процесс монополизации в отрасли, который выразится в
росте цены с P * до Pm и потери части потребительского излишка и части
избытка производителя.
Совокупные потери общества (или потери мертвого груза) от
монополии определяются площадью фигуры KMC , равной
Q
Q
Qm
Qm
 P(Q)dQ   MCdQ
, где P (Q ) – обратная функция спроса. В совокупных потерях чистый
излишек потребителя составляет величину LMC , чистый излишек
производителя сокращается на KLC .
Сокращается валовой излишек потребителя, однако затраты ресурсов в
 Q*
Q
 m



объеме Q m KCQ  , они равны   MCdQ  , не будут потеряны для общества,
будут использоваться в других отраслях в результате перелива ресурсов.
5.8. Ценовая дискриминация
(совершенная, второй и третьей степени).
Нередко монополист проводит политику ценовой дискриминации:
Совершенная ценовая дискриминация имеет место, если монополист
может продать каждую единицу товара по цене рыночного спроса. Тогда
кривая предельного дохода фирмы-монополиста совпадает с кривой его
рыночного спроса.
P
P1
P2
D
0
MR
Q1
Q2
Q
Рис. 40. Совершенная ценовая дискриминация.
В подобном случае весь потребительский излишек присваивается
монополистом. Такая ситуация может иметь место, например, в производстве
специализированного оборудования, реализуемого по договорной цене.
Дискриминация второй степени имеет место, если цена продукции
одинакова для всех покупателей, но изменяется в зависимости от объема
покупок.
P
P1
P2
D
0
Q1
Q2
Q
Рис. 41. Ценовая дискриминация второй степени
(вариант 1).
По цене Р1 реализуется объем Q1 , по цене Р2 – объем Q2  Q1  , но
только в том случае, если потребитель уже приобрел объем продукции в
количестве Q1 . Если потребитель приобретает продукцию в объеме Q2 , то
его потери потребительского излишка составят ( P1  P2 )Q1 .
Другим примером дискриминации второй степени может служить
дискриминация жителей города по объемам потребления электроэнергии.
P
320
Отрицательный
потреб.
излишек
200
130
Положительны
0
й потреб.
излишек
80
160
Q
Рис. 42. Ценовая дискриминация второй степени
(вариант 2).
По цене Р1  130 руб. за кВт-час электроэнергии заплатит семья,
потребляющая Q1  80 кВт-час. Если же потребление составит Q2  160 кВтчас, то за первые 80 кВт-час электроэнергии семья заплатит по 130 руб. за 1
кВт-час, а за следующие 80 кВт-час заплатит цену Р2  200 руб. за 1 кВт-час.
Если же семья потребляет более 160 кВт-час, то в этом случае за энергию
сверх объема 160 кВт-час будет заплачено по цене Р3  320 руб. Монополия в
подобном случае присваивает положительный потребительский излишек
одной группы покупателей за счет отрицательного излишка, уплачиваемого
другой группой покупателей.
Ценовая дискриминация третьей степени существует, если рынок
можно разделить на сегменты и на каждом сегменте продавать продукцию
или услуги по разным ценам. Простым примером может служить разная цена
на билеты в кинотеатр днем и вечером.
Ценовая дискриминация третьей степени проводится с целью
увеличения
экономической
прибыли.
Проанализируем
условия
максимизации прибыли монополистом.
Продукция реализуется на двух сегментах рынка по различным ценам.
Величина прибыли зависит от объема продаж на каждом из этих сегментов,
от пропорции, в которой общий объем Q  Q1  Q 2 продаж распределяется
между Q1 и Q2 . По определению прибыль равна:
 Q1 ; Q 2   TR1 Q1   TR2 Q 2   TC Q

Необходимое условие максимизации прибыли – равенство нулю
первых частных производных функции экономической прибыли:
TR1 TC dQ
dQ

 1 , или MR1  MC



 0 , где
Q1
Q1
Q dQ1
dQ1
TR 2 TC dQ




0,
Q2
Q2
Q dQ2
где
dQ
 1,
dQ 2
или
MR2  MC .
Отсюда
MR1  MR2  MC .


1 
 , то
MR 2  P2 1 
e
d2 


P 1  1 / ed2
Представим условие в другой форме: 1 
.
P2 1  1 / e d1
Так как MR1  P1 1 
1 
,
ed 1 


1 
1
  P2 1 
P1 1 
 ed1 
 ed 2

 .

Приходим к выводу, что при максимальной прибыли соотношение цен
на двух сегментах рынка определяется эластичностью спроса на этих рынках.
Если MR1  MR2 , то товары со второго рынка перебрасываются на первый
рынок. Если MR1  MR2 , то товары с первого рынка перебрасываются на
второй рынок.
Перемещение товаров с одного рынка на другой осуществляется до тех
пор, пока будет достигнуто равенство предельного дохода, получаемого
монополистом на первом рынке, предельному доходу на втором рынке, т.е.
пока MR1  MR2 . Транспортные расходы в данной модели не учитываются,
предполагаются равными нулю.
5.9. Регулирование деятельности монополии с помощью налогов.
Для снижения выгод монопольного положения используются налоги,
сокращающие прибыль монополиста. Практика регулирования деятельности
монополии с помощью налогообложения достаточно распространена.
Регулирование осуществляется введением потоварного, аккордного и
процентного налогов.
Рассмотрим влияние потоварного (паушального) налога на
деятельность фирмы-монополиста (рис. 62). Пусть t - величина налога,
взимаемого с каждой реализованной единицы продукции. Тогда сумма
налога от всего объема продаж равна: tQ .
MC+t
P
MC
Pt
Pm
0
D
Qt
Qm
MR
Q
Рис. 43. Влияние потоварного налога на деятельность
монополиста.
Функции прибыли монополиста при прочих равных условиях имеет
вид:  Q  TRQ  TCQ  tQ . Из необходимого условия максимизации
прибыли
d dTR dTC


 t  0 следует: MR  MC  t
dQ dQ
dQ
С введением потоварного налога монополист всегда сокращает объем
производства, поскольку увеличиваются предельные издержки и растет цена.
Инструментом регулирования деятельности монополии является также
аккордный налог. Пусть T - сумма налога, уплачиваемая фирмой из
прибыли.
Тогда
функция
прибыли
имеет
следующий
вид:
 Q  TRQ  TCQ  T . Необходимое условие максимизации прибыли фирмой
d dTR dTC


 0 или MR  MC , из которого следует, что аккордный налог не
dQ dQ
dQ
оказывает влияния на решение монополиста об объеме выпуска. Аккордный
налог можно рассматривать как постоянные издержки FC , которые не
влияют на величину предельных издержек MC , но оказывают влияние на
уровень средних общих издержек ATC .
MC
P
Pm
ATC2
ATC1
E
Прибыль после
уплаты налога
0
D
Qm
MR
Q
Рис. 44. Налогообложение прибыли монополиста.
В данном случае объем выпуска и цена фирмы-монополиста не
изменяются, но рост FC , приведет к увеличению ATC . Прибыль фирмы
после уплаты налога сократится.
В регулировании деятельности монополии используется налог на
прибыль, взимаемый по ставке. Если t - ставка налога в процентах
(например, налог на прибыль составляет 24 %), то функция прибыли
монополиста имеет вид:
  TR  TC   t TR  TC   100  t TR  TC .
Необходимое условие максимизации прибыли:
d
 100  t MR  MC   0 . Так как 100  t   0 , t  0 , то MR  MC .
dQ
Если фирма выплачивает 24% своей прибыли в виде налога, то не
изменяется ни объем ее производства Qm  , ни цена Pm  , при которых
достигается максимум прибыли.
Задания для практических занятий
1. Задана функция общих издержек TC  10  4Q  Q 2 . Выгодно ли
совершенно конкурентной фирме продолжать производство при цене P  5
руб.?
2. Задана функция TC  Q 3  6Q 2  18 . Какое решение примет фирма при
цене продукта 12,75 руб.?
3. Когда рыночный спрос был равен P  10  Q , фирма получала
прибыль   8 руб. При этом ее предельные издержки составили MC  4 руб.
В условиях какой рыночной структуры действовала фирма.
4. Фирма-монополист в производстве мороженного, которое она
производит с общими издержками . Функция спроса , - цена одного брикета, величина спроса в штуках.
- Определите выпуск, цену и выручку фирмы, если она максимизирует
валовую выручку.
- Сравните названные параметры с теми, которые имела бы фирма при
максимизации прибыли.
- Определите выпуск, цену и выручку фирмы после введения правительством
аккордного налога в 3,5 млн. руб. на прибыль монополиста.
5. Фирма-монополист производит продукт с постоянной отдачей от
масштаба, причем MC  20 . Условия спроса на рынке выражены уравнением
Q  100  P . Определите величину прибыли фирмы, применяющей ценовую
дискриминацию второй степени, так что весь объем реализованной
продукции может быть разделен на четыре равные части в зависимости от
цены реализации.
6. Универмаг
«Минск»
предполагает
использовать
купоны,
предоставляющие право приобретать тефлоновые сковороды со скидкой.
Рыночная цена сковороды 100 руб. Коэффициент ценовой эластичности
спроса для покупателей, не использующих купонную систему, составляет (1,82), а для покупателей, использующих купонную систему, он равен (-2,5).
Какую скидку целесообразно представить предъявителям купона?
7. Спрос на продукт в Санкт-Петербурге описан уравнением P1  10  Q1
, в Москве - P2  20  Q2 . Издержки производства и реализации при продаже
продукта в Петербурге выражены функцией TC  5  0,5Q 2 . При продаже в
Москве издержки повышаются на 2 руб. за счет транспортных расходов.
Определите цены и месячные объемы продаж в Москве и Петербурге, при
которых фирма получила бы максимум прибыли.
8. Рыночный спрос на товар равен P  100  Q , где P - цена в тыс. руб.,
Q - объем сбыта в тоннах. Продукт производится на единственном заводе в
городе, причем совокупные издержки производства составляют TC  Q 2 .
Местные органы власти вводят налог на фирму-монополиста в размере 10
тыс. руб. за 1 тонну. Каким образом это мероприятие отразится на
благосостоянии жителей города и фирмы-монополиста?
9. Фирма-монополист производит продукцию с издержками
TC  12,5  0,5Q2 . Функция спроса Q  10  P . Определите выпуск, цену и
выручку фирмы, если она максимизирует валовой доход, если
максимизирует прибыль. Сравните названные показатели с теми, которые
имела бы фирма после введения правительством аккордного налога в 3,5
млн. руб.
10. Фирма-монополист максимизирует прибыль на рынке продукта,
2
который выпускается на двух заводах с TC1  2Q1 и TC2  0,25  Q2  0,5Q2
при функции рыночного спроса P  4  0,5( Q1  Q2 ) . Как распределяется
выпуск между двумя заводами и по какой цене реализуется продукция?
11. Фирма-монополист производит продукт с постоянной отдачей от
масштаба, причем MC  20 . Условия спроса на рынке выражены уравнением
Q  100  P . Определите величину прибыли фирмы, применяющей ценовую
дискриминацию второй степени, так что весь объем реализованной
продукции может быть разделен на четыре равные части в зависимости от
цены реализации.
12. Универмаг «Минск» предполагает использовать купоны,
предоставляющие право приобретать тефлоновые сковороды со скидкой.
Рыночная цена сковороды 100 руб. Коэффициент ценовой эластичности
спроса для покупателей, не использующих купонную систему, составляет (1,82), а для покупателей, использующих купонную систему, он равен (-2,5).
Какую скидку целесообразно представить предъявителям купона?
Литература:
1.
Вэриан Х.Р. Микроэкономика: промежуточный уровень. М.
ЮНИТИ. 1997. Гл 24. С. 445-488
2.
ВуросА., РозановаН. Экономика отраслевых рынков. М. ТЕИС.
1997.Гл. 2,3,7.
3.
Гальперин
В.М.,
Игнатьев
С.М.,
Моргунов
В.И.
Микроэкономика. С-Пб. Экономическая школа. Т.1-2. 1998
4.
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Теория спроса, предложения и
рыночных структур. М. ТЕИС. 1999. Гл. 2-5
5.
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика М. ИНФРА-М.
2005. Раздел Ш.
6.
Розанова Н.М. Микроэкономика-2. Учебно-методическое
пособие для самостоятельной работы. М. ТЕИС.1998. Гл. 3. С. 52-79
Контрольные вопросы
1.
Представьте
графически
равновесие
конкурентной фирмы в краткосрочном периоде.
совершенно
2. При каких значениях параметров достигается равновесие
фирмы в долгосрочном периоде в условиях совершенной
конкуренции.
3.
Запишите
функцию
экономической
монополистически конкурентной фирмы.
4.
Назовите
значение
основных
монополистической конкуренции.
прибыли
параметров
для
рынка
5.Назовите виды олигополии и признаки, по которым они
различаются.
6. Обоснуйте связи спроса, цены и предельного дохода
моноплиста.
7.Как влияет ценовая эластичность спроса на динамику
валового дохода монополиста?
8. Почему моноплист не имеет кривой предложения?
9.Представьте аналитически необходимое
условие максимизации прибыли моноплистом.
и
до статочное
10 Покажите на графике ситуации в случаях:
- монополист получает прибыль,
- монополист имеет убытки,
- экономическая прибыль моноплиста равна нулю.
11. Дайте экономическую
монопольной власти.
интерпретацию
показателю
12. Оцените ущерб, приносимый моноплией. Представьте
графически потери общественного благосостояния.
13. Исчислите потери потребительского избытка в случае
совершенной ценовй дискриминации.
14.
Представьте
графически
дискриминации второй и третьей степени.
варианты
ценовой
15.Какое условие использует монополист, максимизируя
прибыль в случае ценовой дискриминациитретьей степени?
16. Какое влияние оказывает введение потоварного налога на
деятельность монополиста?