Определение центра тяжести плоских фигур

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Тема: Определение центра тяжести плоских фигур.
Цель: Определить центр тяжести сложной фигуры аналитическими и опытными
путями.
Теоретическое обоснование
Материальные тела состоят из элементарных частиц, положение которых
в
пространстве определяется их координатами. Силы притяжения каждой частицы к Земле
можно считать системой параллельных сил, равнодействующая сила называется силой
тяжести тела или весом тела. Центр тяжести тела – это точка приложения силы тяжести.
Центр тяжести – это геометрическая точка, которая может быть расположена и
вне тела (например, диск с отверстием, полный шар и т.п.).
Большое практическое
значение имеет определение центра тяжести тонких
плоских однородных пластин. Их толщиной обыч6но можно пренебречь и считать, что
центр тяжести расположен в плоскости. Если координатную плоскость хОу совместить с
плоскостью фигуры, то положение центра тяжести определяется двумя координатами:
ХС =
∑ Аi ∙ xi А1 ∙ x1 + А2 ∙ x2 + ⋯ + Аn ∙ xn
=
;
∑ Аi
А1 + А2 + ⋯ + Аn
𝑌С =
∑ Аi ∙ yi А1 ∙ y1 + А2 ∙ y2 + ⋯ + Аn ∙ yn
=
,
∑А
А1 + А2 + ⋯ + Аn
где Аi – площадь части фигуры, мм 2;
Хi, Yi –координаты центра тяжести частей фигуры, мм.
В таблице 1 приведены площади и координаты центров тяжести простых плоских
фигур.
На рисунке 1 показана плоская фигура сложной формы. Её можно разбить на
четыре простые фигуры: треугольник, квадрат, полукруг и прямоугольник. Проведя
систему координат хОу для каждой простой фигуры определяем координаты центра
тяжести
2 a
a a
a
a 4 R
b H
С1 [ h; ] ; С2 [(h + ) ; ] ; С3 [(h + ) ; ( + + )] ; С4 [(h + a + ) ; ]
3 2
2 2
2
2 3 π
2 2
и их площади
ah
−πR2
2
F1 = ; F2 = a ; F3 =
; F4 = bH.
2
2
Знак минуса у площади показывает, что это площадь отверстия. Далее
вычисляются координаты центра тяжести всей фигуры.
Рисунок 1 – Плоская фигура сложной формы
Таблица 1 – Площади и координаты центра тяжести плоских фигур.
Сечение фигуры
Установка для испытания
Аi, мм2
хi, мм
yi, мм
b·h
b
2
h
2
b∙h
2
b
3
h
3
π ∙ R2
2
4 R
∙ = 0,425π
3 π
R
Установка для опытного определения координат центра тяжести способом
подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (рисунок 2), к которой прикреплена
игла 2. Плоская фигура 3 изготовлена из картона, жести или другого материала, в
котором легко проколоть отверстие. Отверстие А и В прокалываются в произвольно
расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстояние друг от друга).
Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При
помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом
вертикальную линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести С фигуры будет
находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесённых при подвешивании
фигуры в точках А и В.
Рисунок 2 – Установка для опытного определения координат центра тяжести
Порядок проведения работы
Ознакомиться с устройством установки для определения центра тяжести плоской
фигуры.
Начертить фигуру сложной формы, состоящую из нескольких простых фигур
(треугольник, прямоугольник, часть круга и т.п.) и проставить её размеры.
Провести оси координат так, чтобы они охватывали всю фигуру, разбить
сложную фигуру на простые части, определить площадь и координаты центра тяжести
каждой простой фигуры относительно выбранной системы координат. Данные записать в
таблицу отчета.
Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры аналитически.
Вырезать данную фигуру из тонкого картона. Просверлить два отверстия, края
отверстий должны быть гладкими, а диаметр отверстий несколько больше диаметра иглы
для подвешивания фигуры.
Подвесить фигуру сначала в одной точке (отверстии), прочертить карандашом
линию, совпадающую с нитью отвеса. То же повторить при подвешивании фигуры в
другой точке.
Сделать отверстие в точке пересечения проведенных линий – центра тяжести
фигуры. Совместить пластинку (фигуру) с её изображением на бумаге (выполненные в
одинаковом масштабе). Центр тяжести фигуры, найденный аналитическим способом, и
центр тяжести, найденный опытным путём, должны совпадать.
Отчет о работе
1. Чертёж выбранной фигуры с указанием номера площади и координат центра
тяжести каждой фигуры и виде таблицы.
№ фигуры
Вид фигуры
Аi, мм2
хi, мм
yi, мм
2. Вычислить координат XС, YC центра тяжести всей фигуры по формулам
(положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры).
3. Значение координаты центра тяжести фигуры, найденных путем подвешивания
фигуры в двух точках: ХС(опыт) ; YС(опыт).
4. Заключение о положении центра тяжести при аналитическом и опытном
определении.
5. Ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы:
1. Можно ли рассматривать силу тяжести тела как равнодействующую систему
параллельных сил?
2. Может ли располагаться центр тяжести вне самого тела?
3. В чем сущность опытного определения центра тяжести плоской фигуры?
4. Как определяется центр тяжести сложной фигуры, состоящий из нескольких
простых фигур?
5. Как следует рационально произвольно разбиение фигуры сложной формы на
простые фигуры при определение центра тяжести всей фигуры?
6. Какой знак имеет площадь отверстий в формуле для определения центра
тяжести?
7. На пересечении каких линий треугольника находиться центр тяжести?
8. Если фигуру трудно разбить на небольшое число простых фигур, какой способ
определения центра тяжести может дать наиболее быстрый ответ?
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18
Вариант 19
Вариант 20
Вариант 21
Вариант 22
Вариант 23
Вариант 24
Вариант 25
Вариант 26
Вариант 27
Вариант 28
Вариант 29
Вариант 30
Вариант 31
Вариант 32
Вариант 33
Вариант 34
Вариант 35
Вариант 36