введение в предмет. из истории развития логики

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ. ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ ..................................................... 2
1.ПОНЯТИЕ ................................................................................................................................................... 5
2.
1.1.
Существенные и несущественные признаки предметов ....................................................... 5
1.2.
Содержание и объем понятия ..................................................................................................... 8
1.3.
Отношения между понятиями.................................................................................................... 9
1.4.
Отношения совместимых понятий ............................................................................................ 9
1.5.
Отношения несовместимых понятий...................................................................................... 10
ВЫСКАЗЫВАНИЯ............................................................................................................................. 14
2.1.
Простые и сложные высказывания ........................................................................................ 14
2.2.
Отрицание .................................................................................................................................... 14
2.3.
Конъюнкция и дизъюнкция...................................................................................................... 14
2.4.
Импликация ................................................................................................................................. 14
2.5.
Необходимые и достаточные условия ..................................................................................... 14
1
ВВЕДЕНИЕ В ПРЕДМЕТ. ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ
Для решения многих житейских задач человеку необходимо умение здраво
мыслить, анализировать суждения, рассуждать, доказывать, строить гипотезы и делать
выводы. Многие слова и выражения естественного языка отличаются недостаточной
ясностью, неопределенностью, многозначностью.
На это обстоятельство указали еще древнегреческие философы. Например, Эвбулит
(IV в. до н.э.) спрашивал: "С какого числа зерен начинается куча?".
Несовершенство языка проявляется и в других формах. Можно, например,
сформулировать такие вопросы, на которые нельзя ответить ни "да" ни "нет".
Например,
1) "Может ли всемогущий Зевс сотворить камень, который он не в силах поднять?"
(античные ученые). Если ответить "да", то получится, что всемогущий Зевс не может
поднять камень, который он сотворил, а это противоречие. Если ответить "нет", то получим,
что Зевс не смог сотворить нужный камень, а значит он не всемогущ. Получили, что ни "да"
ни "нет" ответить нельзя.
2) "Что произойдет, если всесокрушающее ядро попадет в несокрушимый столб?".
3) "Потерял ли ты рога?".
Наука, занимающаяся изучением правильных способов рассуждений, т.е. таких
способов рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны
исходные посылки, называется логикой.
Логика (от греческого logos - слово, понятие, рассуждение, разум) или формальная
логика - наука о законах и формах правильного мышления.
Логика учит мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать
неправильные выводы. Главный предмет логики - анализ правильности рассуждения,
формулировка законов и принципов, соблюдение которых - необходимое условие для
получения истинных заключений.
Логика - одна из древнейших наук. Ее история насчитывает около двух с
половиной тысячелетий и разделяется на два основных этапа.
ПЕРВЫЙ ЭТАП связан с работами великого древнегреческого философа
Аристотеля ( 384 - 322 гг до н.э. ). Он пытался найти ответ на вопрос "как мы
рассуждаем",исследовал различные формы суждений и их комбинаций, ввел понятие с и л л
о г и з м а , т.е. рассуждения, в котором из заданных двух суждений выводится третье
(syllogismos - греческое, получение вывода или выведение следствия).
Примеры.
1) Все цветы - растения.
Все розы - цветы.
______________________________
Следовательно, все розы - растения.
2) Все квадраты - ромбы.
Все ромбы - параллелограммы.
______________________________
Все квадраты - параллелограммы.
Видим, что логические выводы делаются по некоторой определенной схеме.
Позднее мы познакомимся более подробно с силлогизмами.
Логическое учение Аристотеля содержится в его знаменитых книгах: "Категории",
"Об истолкованиях", "Первая аналитика", "Вторая аналитика", "Топика", "Софистические
опровержения". Эти труды были объединены комментаторами Аристотеля под общим
заглавием "Органон" (инструмент).
2
Необходимо отметить, что античные ученые уделяли много внимания обсуждению
логически противоречивых ситуаций. Особенно отличилась в этом смысле школа софистов
- учителей мудрости и красноречия. Софизм (от греч. σόφισμα, «мастерство, умение, хитрая
выдумка, уловка, мудрость») - это рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее
скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному
утверждению.
Примеры софизмов, сформулированных еще в античности.
1) Софизм "Рогатый", приписываемый Эвбулиду: " Что ты не терял, то имеешь. Рога
ты не терял. Значит, у тебя рога".
2) "Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит".
3) "Но когда говорят "камни, бревна, железо", то ведь это - молчащие, а говорят".
4) "Знаете ли вы, о чем я сейчас хочу вас спросить? - Нет. - Неужели вы не знаете,
что лгать нехорошо? - Конечно, знаю. - Но именно об этом я и собирался вас спросить, а
вы ответили, что не знаете; выходит, что вы знаете то, чего вы не знаете".
Все эти и подобные им софизмы являются логически неправильными
рассуждениями, выдаваемыми за правильные. Софисты используют многозначность слов
обычного языка, омонимию, сокращения и т.д. Нередко софисты основываются на таких
логических ошибках, как подмена тезиса доказательства, несоблюдение правил логического
вывода, принятие ложных посылок за истинные и т.п. Сформулированные в тот период,
когда логика как наука еще не существовала, древние софисты, хотя и непрямо, ставили
вопрос о необходимости ее построения. В этом плане они непосредственно содействовали
возникновению науки о правильном, доказательном мышлении.
Большой интерес вызвали различные занимательные истории, в которых
описывались парадоксальные ситуации, связанные с логически неразрешимыми
проблемами.
Примеры.
1) "Дилемма крокодила" (дилемма - от греч. di(s) - дважды и lemma предположение). Авторство приписывается Кораксу.
Крокодил выхватил у матери ребенка. Мать просит вернуть ребенка. Тогда
крокодил предлагает ей угадать - вернет он ей ребенка или нет. Если мать угадает, то
крокодил обещает вернуть ей ребенка, если же не угадает, то он его не вернет. Мать в
отчаянии говорит: "Ты мне ребенка не вернешь". Как должен поступить крокодил?
Обсудим сложившуюся ситуацию. Если крокодил не вернет ребенка, то получится,
что мать отгадала и, согласно уговору, он должен вернуть ребенка. Возникло противоречие:
если крокодил не вернет ребенка, то он должен его вернуть.
Если же крокодил вернет ребенка, то мать не отгадала и, по уговору, он должен
оставить ребенка себе. Противоречие: если крокодил вернет ребенка, то он его не должен
вернуть.
Таким образом, крокодил попадает в безвыходное положение: он не может вернуть
ребенка и не может не вернуть его. И то и другое приводит к противоречию.
Если бы мать ответила: "Ты мне ребенка вернешь", то крокодил мог бы поступить
как угодно и в обоих случаях он поступил бы правильно.
2) "Дилемма людоедов".
Дикари - людоеды захватили пленника и решили сразу же его съесть. Но одна
часть дикарей считала, что пленника надо сварить, а другая – что его надо зажарить. Чтобы
разрешить этот спор, вождь дикарей предлагает пленнику произнести какое - либо
высказывание, и если это высказывание будет истинным - его сварят, если же оно будет
ложным - его зажарят. Пленник заявляет: "Меня зажарят". Как должны поступить дикари?
Ответа на этот вопрос нет: что бы дикари ни предприняли, это будет противоречить
принятым условиям. Неразрешимость ситуаций заключается в противоречивости исходных
условий.
3
Древние софисты содействовали возникновению науки о правильном,
доказательном мышлении, а также представляли собой неявную форму постановки проблем.
Первый этап развития логики является этапом возникновения и развития ф о р м а л
ь н о й логики.
ВТОРОЙ ЭТАП - появление математической логики.
На первом этапе логика развивалась очень медленно. Проверка и преобразование
сложных цепочек рассуждений вызывала серьезные трудности. Лишь в XVII веке великий
немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) предложил заменить простые
рассуждения действиями со знаками и привел соответствующие правила. Лейбниц
воспринимал логику как "органон наук", считая, что систему логических рассуждений
следует превратить в математическое исчисление. Труды Лейбница существенно опередили
свою эпоху и оставались неизвестными до конца XIX века, когда они были найдены в его
архиве французским математиком Л.Кутюра.
В конце 40 - х - начале 50 - х годов XIX века появились на свет знаменитые труды
ирландского математика и логика Джорджа Буля (1815 - 1864) по началам математической
логики "Математический анализ логики" и "Исследование законов мысли". Именно его
работы положили начало формирования математической логики как научной дисциплины. В
его работах логика обрела свой алфавит, орфографию и грамматику. Поэтому начальный
раздел математической логики часто называют булевой алгеброй.
В настоящее время можно выделить следующие разделы логики.
1) Ф о р м а л ь н а я л о г и к а - дисциплина, изучающая особенности человеческих
суждений и рассуждений или наука о законах и формах правильного мышления.
2) М а т е м а т и ч е с к а я л о г и к а - изучает логические связи и отношения,
лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода.
Замечание. Формальная логика связана с анализом наших обычных
содержательных умозаключений, выражаемых разговорным языком. Математическая
логика изучает только умозаключения со строго определенными объектами и суждениями,
для которых можно однозначно решить, истинны они или ложны.
3) Д и а л е к т и ч е с к а я л о г и к а - логика, изучающая закономерности
процессов, развивающихся в природе, обществе, сознании.
4) К о м п ь ю т е р н а я л о г и к а - логика поведения компьютеров при решении
ими различного рода задач.
4
1.ПОНЯТИЕ
ПОНЯТИЕ
это логическая форма мышления, в которой отражаются
существенные признаки предмета или класса предметов.
1.1.Существенные и несущественные признаки предметов
Попробуем разобраться, какие свойства предмета являются существенными, а
какие - нет. Например, вас попросили представить себе магазин. Перечислим свойства
магазина. Например, магазин – большое здание, каменное, в нем работают взрослые, можно
купить товары, в центре города и др. Попробуем вычеркнуть свойство "большое здание".
Прочитаем оставшиеся. Все равно ясно, что речь идет о магазине. Продолжая вычеркивать
по очереди свойства, замечаем, что становится непонятно о чем идет речь тогда, когда
вычеркнем свойство "можно купить товар". Такое свойство и будет существенным.
Мы можем изменять несущественные свойства (цвет, форму, размер), а предмет
будет относится к тому же понятию, но если изменить существенный признак, предмет не
будет относится к этому понятию.
Понятие выражается с помощью слова или словосочетаний (группой слов). Однако
далеко не всегда понятие и слово однозначно соответствуют друг другу. Существуют слова
- омонимы, имеющие различное значение, но одинаково звучащие. Например, слово
"земля" в произведениях А.С.Пушкина употребляется в следующих значениях
(Э.А.Вартаньян - "Путешествие в слово").
Страна, государство.
Я вижу берег отдаленный,
Земли полуденной волшебные края.
Суша.
Я удаляюсь от морей
В гостеприимные дубровы;
Земля мне кажется верней,
И жалок мне рыбак суровый.
Земной шар.
...корабли
Толпой со всех концов земли
К богатым пристаням стремятся.
Земельное владение.
Отец понять его не мог
И земли отдавал в залог.
Народ.
Или от Перми до Тавриды,
От финских хладных скал до пламенной Колхиды,
От потрясенного Кремля
До стен недвижного Китая,
Стальной щетиною сверкая,
Не встанет русская земля?
Слова могут отличаться, но при этом обозначать одно и тоже понятие. Это слова синонимы. Например, договор - контракт.
Многозначность слов может породить различные толкования того или иного
понятия, а незнание точного значения употребляемого слова к забавным ошибкам. Одна из
таких забавных историй описана в книге "Язык: знакомый незнакомец", автор - Б.Норман:
"Некий русский писатель, не знающий иностранных языков, приехал за границу, в
Германию. Обедал он в одном и том же ресторанчике. В первый день его соседом по столу
оказался какой - то немец, который привстав, произнес: "Мальцайт". Писатель, решив, что
тот представился, в свою очередь, назвал себя с легким поклоном: "Боборыкин". На другой
5
день уже знакомый сосед по столу опять произнес: "Мальцайт", и Боборыкин, слегка
смутившись, вновь назвал свою фамилию. На третий день Боборыкин, узнав, что "мальцайт"
по - немецки означает "приятного аппетита", решил исправить свою ошибку. Завидев в
обед своего знакомого, Боборыкин первым поприветствовал его: "Мальцайт!". На что тот, к
изумлению писателя, ответил: "Боборыкин". Он, оказывается, все время считал слово
"Боборыкин" русским соответствием немецкому слову "мальцайт" и теперь захотел ответить
любезностью - пожелать соседу приятного аппетита на его родном языке.
Задание. Для указанных ниже слов, стоящих перед скобками, выберите только два в
скобках, имеющих существенное отношение к основному слову. На выполнение каждого
задания дается не более 20 секунд.
Задание 1
1) Сад (растение, садовник, собака, забор, земля)
2) Река (берег, рыба, тина, рыболов, вода)
3) Куб (углы, чертеж, сторона, камень, дерево)
4) Чтение (глаза, книга, картина, печать, очки)
5) Игра ( шахматы, игроки, правила, штрафы, наказания)
6) Лес (лист, яблоня, охотник, дерево, кустарник)
7) Город (автомобиль, здание, толпа, улица, велосипед)
8) Кольцо (диаметр, проба, округлость, печать, алмаз)
9) Пение (звон, голос6 искусство, мелодия, аплодисменты)
10)Больница (сад, врач, помещение, радио, больные)
11)Любовь (розы, чувство, человек, город, природа)
12)Война (аэроплан, пушки, сражения, солдаты, ружья)
13)Сарай ( сеновал, лошади, крыша, скот, стены)
14)Деление (класс, делимое, карандаш, делитель, бумага)
15)Газета (правда, приложения, телепрограммы, бумага, редактор)
Ключ.
1) растение, земля;
2) берег, вода;
3) углы, сторона;
4) глаза, печать;
5) игроки, правила;
6) дерево, кустарник;
7) здание, улица;
8) диаметр, округлость;
9) голос, мелодия;
10) помещение, больные;
11) чувство, человек;
12) сражения, солдаты;
13) крыша, стены;
14) делимое, делитель;
15) бумага, редактор.
Задание 2.Выделение существенных признаков математических понятий.
1) Геометрия (фигура, точка, свойства, уравнение, теорема)
2) Уравнение (корень, равенство, сумма, неизвестная, произведение)
3) Планиметрия (плоскость, квадрат, прямоугольник, фигура, прямая)
4) Треугольник (вершина, катет, сторона, центр, перпендикуляр)
5) Сумма (слагаемое, равенство, плюс, делитель, множитель)
6) Периметр (разность, сторона, сумма, фигура, прямоугольник)
7) Куб (угол, равенство, плоскость, сторона, вектор)
8) Дробь (делимое, делитель, частное, знаменатель, произведение)
9) Степень (корень, показатель, решение, основание, переменная)
6
10) Координата (плоскость, абсцисса, ось, ордината, прямая)
Ключ
1) фигура, свойства;
2) равенство, неизвестная;
3) плоскость, фигура;
4) вершина, сторона;
5) слагаемое, плюс;
6) сторона, сумма;
7) угол, сторона;
8) числитель, знаменатель;
9) показатель, основание;
10) абсцисса, ордината.
Упражнения на выделение общих и существенных свойств понятий
1) Приведите примеры геометрических понятий, которые выражаются одним,
двумя, тремя, четырьмя словами (Например, квадрат, прямоугольный треугольник, средняя
линия трапеции, линейный угол двугранного угла).
2) Перечислите не менее 12 свойств квадрата (Стороны равны, углы равны,
диагонали равны, диагонали взаимно перпендикулярны, диагонали делят углы квадрата
пополам, диагонали точкой их пересечения делятся пополам, диагонали являются осями
симметрии, в квадрат можно вписать окружность, около квадрата можно описать
окружность, центры вписанной и описанной окружности совпадают, имеется центр
симметрии, средние линии перпендикулярны сторонам, из всех четырехугольников данного
периметра квадрат имеет наибольшую площадь, из всех четырехугольников данной
площади квадрат имеет наименьший периметр).
3) Укажите свойства, принадлежащие всем (только некоторым) прямоугольникам.
(Например, наличие двух осей симметрии, равенство диагоналей, параллельность
противоположных сторон, 4 прямых угла - свойства всех прямоугольников; взаимная
перпендикулярность диагоналей, равенство сторон - свойства квадратов и ромбов; наличие
четырех осей симметрии - свойство квадратов).
4) Назовите свойства, которые являются общими для всех выпуклых
многоугольников. (Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360 градусов.
Всякая прямая, проведенная через внутреннюю точку выпуклого многоугольника,
пересекает его границу в двух точках).
5) Перечислите основные свойства прямоугольника и ромба. Сравните эти свойства
со свойствами квадрата. (Обращаем внимание, что все свойства прямоугольника и все
свойства ромба являются свойствами квадрата. Обратное, вообще говоря, неверно).
7) Укажите свойства, общие для прямоугольника и ромба. Сравните найденные
свойства с основными свойствами параллелограмма. (Обращаем нимание, что свойства,
общие для прямоугольника и ромба, являются свойствами всех параллелограммов).
Дополнительные задания.
1) Какие из перечисленных ниже свойств трапеции являются существенными, а
какие - несущественными: а) две стороны трапеции параллельны; б) оба угла при большем
основании острые; в)сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне, равна
180 градусов; г) основания трапеции горизонтальны; д) оба угла при меньшем основании
трапеции тупые?
2) Укажите признаки сходстваи различия понятий: параллельные прямые и
пересекающиеся прямые.
3) Перечислите известные вам свойства правильного (выпуклого) пятиугольника.
4) Перечислите известные вам свойства параллелограмма. Какие свойства из всех
четырехугольников принадлежат только параллелограмму?
5) Перечислите существенные признаки понятий: ромб, прямоугольный
треугольник, пирамида, параллелепипед.
7
1.2.Содержание и объем понятия
В каждом понятии различают содержание и объем.
С о д е р ж а н и е м понятия называется совокупность существенных признаков
предмета, которая мыслится в данном понятии.
О б ъ е м о м понятия называется совокупность предметов, которая мыслится в
понятии.
Примеры.
1) Понятие "молекула".
В объем понятия "молекула" входят все молекулы, из которых состоит вещество. В
содержание, в числе иных свойств, входит свойство "быть мельчайшей частицей вещества,
сохраняющей свойства данного вещества".
2) Понятие "река".
В объем понятия "река" войдет множество, состоящее из отдельных рек, например,
Волга, Дон, Днепр и др. В содержание понятия "река", в числе иных свойств, входят
свойства "вода течет в одном направлении", "имеет русло".
Содержание и объем тесно связаны между собой. Эта связь выражается в законе
обратного отношения между объемом и содержанием понятия: чем больше содержание
понятия, тем меньше его объем.
Пример. Если к содержанию понятия "треугольник" добавить новый признак "иметь
равные стороны" (содержание исходного понятия увеличилось, т.к. возросло число
признаков), то его объем уменьшится (количество произвольных треугольников больше, чем
количество равносторонних треугольников).
Упражнения.
1) Изобразите с помощью диаграмм Эйлера - Венна отношение по объему между
понятиями:
а) прямые, лежащие в одной плоскости;
б) параллельные прямые;
в) скрещивающиеся прямые.
Ответ:
Прямые, лежащие в одной
плоскости
Скрещивающиеся прямые
Параллельные
прямые
8
1.3.Отношения между понятиями
Прежде, чем рассматривать отношения между понятиями, необходимо различить
сравнимые и несравнимые понятия.
Сравнимые понятия имеют общие признаки и их можно сопоставлять друг с другом
(например, "Россия" и "Америка").
У несравнимых понятий нет общих признаков и сравнивать их невозможно
(например, "круг" и "государство").
В логических отношениях могут находиться только сравнимые понятия, которые в
свою очередь по объему делятся на совместимые и несовместимые.
Понятие
Сравнимые
Несравнимые
Совместимые
Несовместимые
(объемы понятий полностью
или частично совпадают)
(объемы понятий ни
полностью, ни частично не
совпадают)
1.4.Отношения совместимых понятий
1) Отношение равнозначности (тождества).
полностью.
Примеры.
а) А - "равносторонний треугольник"
В - "треугольник, имеющий равные стороны"
Объемы понятий
совпадают
А, В
б) А - "прямоугольник с равными сторонами"
В - "прямоугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и в
точке пересечения делятся пополам"
С - "квадрат"
А, В, С
2) Отношение пересечения
понятия частично.
Примеры.
а) А - "студент"
В - "баскетболист"
-
объем одного понятия входит в объем другого
9
Есть студенты, которые не являются баскетболистами. Есть баскетболисты, которые
не являются студентами.
б) А - "писатель"
В - "поэт"
3)
Отношение подчинения (субординации) - объем одного из понятий полностью
входит в объем другого.
Примеры.
а) А - "ученик"
В - "человек»
В
А
б) Р - "прямоугольник"
К - "Квадрат"
Р
К
Понятие, у которого объем больше, называется подчиняющим, а понятие, у
которого объем меньше, подчиненным. Если в отношении подчинения находятся два общих
понятия, то подчиняющее понятие называется родом, а подчиненное - видом.
1.5.Отношения несовместимых понятий
1) Отношение соподчинения (координации)
В данном случае два или больше неперекрывающихся понятия, полностью входят
в объем третьего более широкого понятия.
Примеры.
а) А - "крыса"
В - "хомяк"
С - "грызуны"
С
б) Х - "хищники" (подчиняющее понятие)
А
В
10
Р - "рысь"
(подчиненные понятия,
В - " волк"
области, которых не пересекаются)
2) Отношение противоположности (контрарности) - это отношение между двумя
понятиями, которые являются подчиненными по отношению к третьему, и при этом одно из
этих понятий содержит некоторые признаки, а другое эти же признаки отрицает, заменяя
исключающими признаками.
Необходимо различать два случая отношения противоположности.
1 случай: объемы противоположных понятий составляют вместе лишь часть
объема общего для них подчиняющего понятия.
Примеры.
а) А - "ученик высокого роста"
В - "ученик низкого роста"
б) А - "ребенок"
В - "старик"
в) А - "белый"
В - "черный"
2 случай: объемы
противоположных понятий исчерпывают весь объем
подчиняющего понятия.
Примеры.
а) А - "Северный полюс"
В - "Южный полюс"
Подчиняющее понятие - "географический полюс"
б) А - "белые фигуры"
В - "черные фигуры"
Подчиняющее понятие - "шахматная фигура"
3) Отношение противоречия (контрадикторности) - одно из понятий содержит
некоторые признаки, а другое эти же признаки исключает, не замещая их никакими
другими.
Примеры.
а) полезный труд - бесполезный труд
б) успевающий - неуспевающий
Упражнения
I. Упражнения на усвоение родовых и видовых признаков и связей между ними.
1) В приведенных ниже определениях выделите название определяемого объекта
(термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между этими признаками:
- угол, смежный с каким - нибудь углом многоугольника, называется внешнем
углом этого многоугольника;
- прямым углом называется угол, равный 90 градусов;
- острым углом называется угол, меньший 90 градусов;
- треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой;
- пятиугольник - это многоугольник с пятью сторонами;
- две различные прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся,
называются параллельными;
- отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его
средней линией;
- числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются
рациональными;
- тождеством называется равенство, верное при любых значениях переменной;
значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство,
называется корнем уравнения;
- треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны между
собой;
11
- трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
2) Укажите ближайшие родовые понятия для понятий:
- квадрат;
- степень с натуральным показателем;
- равнобедренная трапеция;
- уравнение;
- равносторонний треугольник;
- простое число;
- вертикальные углы;
- линейная функция;
- хорда;
- обыкновенная дробь;
- натуральное число;
- нечтное число;
- шестиугольник;
- квадратный корень.
3) Назовите несколько видовых понятий для каждого из данных:
- геометрическая фигура;
- треугольник;
- четырехугольник;
- действительное число;
- функция;
- уравнение.
4) Назовите геометрические понятия, отношения между которыми соответствовали
бы указанным на рисунке схемам.
А)
Б)
В)
Г)
12
Д)
Вариант ответа:
А) х - прямоугольник, у - ромб;
Б) х - прямоугольный треугольник, у - равнобедренный треугольник, z остроугольный треугольник;
В) х - параллелограмм, у - прямоугольник, z - квадрат, u - остроугольный ромб;
Г) х - многоугольник, у - треугольник, z - равнобедренный треугольник, u равносторонний треугольник, t - прямоугольный треугольник;
Д) х - прямоугольный треугольник, у - равнобедренный треугольник, z тупоугольный треугольник, u - разносторонний треугольник.
5) Приведите примеры противоречивых понятий.
Вариант ответа: равносторонний прямоугольный треугольник.
6) Расположите следующие понятия в ряд так, чтобы каждое последующее было
родовым по отношению к предыдущему:
а) призма, куб, многогранник, параллелепипед, четырехугольная призма, прямой
параллелепипед, выпуклый многогранник, прямоугольный параллелепипед;
б) выпуклый многоугольник, параллелограмм, выпуклый четырехугольНик,
многоугольник, квадрат, прямоугольник.
Ответ:
а) Куб, прямоугольный параллелепипед, прямой параллелепипед, параллелепипед,
четырехугольная призма, призма, выпуклый многогранник, многогранник.
б) Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, выпуклый четырехугольник,
выпуклый многоугольник.
6) Найдите отношение между понятиями:
а) остроугольный треугольник, разносторонний треугольник;
б) сектор, сегмент;
в) прямоугольник, равноугольный неправильный четырехугольник.
Ответ:
а) пересечение, б) пересечение, в) подчинение.
13
1.6.Операции с понятиями
2. ВЫСКАЗЫВАНИЯ
2.1. Простые и сложные высказывания
2.2.Отрицание
2.3.Конъюнкция и дизъюнкция
2.4.Импликация
2.5.Необходимые и достаточные условия
14