Задачи для промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе

Задачи для промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе
I.
Для каждого из следующих утверждений укажите верно оно или нет.
1. Если расстояние от точки до центра окружности меньше или равно радиусу окружности, то
эта точка лежит на окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эта прямая и окружность пересекаются.
3. Если вписанный угол равен 60◦, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен 120° .
4. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180° .
5. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 180° .
6. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.
7. Диагонали квадрата равны.
8. Любые два равнобедренных треугольника подобны.
9. Треугольник АВС, у которого АВ=4, ВС= 5, АС= 6, является прямоугольным.
10. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту.
11. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
12. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше 180° .
13. Если дуга окружности составляет 80° , то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен
40° .
14. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны.
15. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
16. Если диагонали ромба равны 3 и 4, то его площадь равна 6.
II.
Анализ геометрических высказываний.
17. Какие из следующих утверждений верны?
1) Через любые две точки проходит не менее одной окружности.
2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти
окружности не имеют общих точек.
3) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная
окружность.
4) Если дуга окружности составляет 60 °, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу равен
15 °.
5) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 8, то
эти окружности касаются.
6) Через любые три точки проходит единственная окружность.
7) Через любые две точки проходит не более одной окружности.
8) Вписанные углы окружности равны.
9) Диагонали параллелограмма равны.
10) Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна 190 °, то сумма двух других углов равна 170 °.
11) Диагонали ромба равны.
12) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50 °, то другой угол,
прилежащий к той же стороне, равен 130 °.
13) Диагонали квадрата делят его углы пополам.
14) Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.
15) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
16) Если два угла выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
17) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180 °.
18) Равнобедренный треугольник не имеет центра симметрии.
19)
20)
21)
22)
23)
24)
Круг имеет бесконечно много центров симметрии.
Около любого ромба можно описать окружность.
]Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения её диагоналей.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения высот.
В любой четырехугольник можно вписать не более одной окружности.
III.
Вычисления длин.
18. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите гипотенузу.
19. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25. Один из его катетов равен 15. Найдите
другой катет.
20. В треугольнике АВС АВ = ВС = АС = 46√3. Найдите высоту СН.
21. В треугольнике АВС АС = ВС = 22, угол С равен 30° . Найдите высоту АН.
22. Периметр параллелограмма равен 26. Одна сторона параллелограмма на 5 больше другой
стороны. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
23. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 35, а острый угол равен 60° .
24. В треугольнике АВС АС = 21, ВС = √235, угол С равен 90° . Найдите радиус окружности,
описанной около этого треугольника.
25. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
26. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника,
две стороны которого равны 15 и 5√7.
27. На рисунке изображены лучи, выходящие из точки А и пересекающие их параллельные прямые ВС и DF.известно, что АВ =
BD, AC = 15. Найдите длину отрезка CF.
28. В четырехугольник АВСD вписана окружность, АВ = 17, CD =
22. Найдите периметр четырехугольника.
29. Два парохода вышли из порта, следую один на север, другой на запад. Скорости их равны
соответственно28км/ч и 21 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через3
часа?
30. В 32 м одна от другой растут две сосны. Высота одной из них 37 м, а другой – 13 м. Найдите
расстояние (в метрах) между их верхушками.
31. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 16 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 8 м. Найдите длину тени человека в метрах.
IV. Вычисления углов.
°
32. Два угла треугольника равны 53 и 55° . Найдите тупой угол , который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.
33. Сумма углов параллелограмма равна 50° . Найдите один из оставшихся углов.
34. Один из углов параллелограмма на 52° больше другого. Найдите больший угол.
35. Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 7 : 65.
36. В ромбе ABCD угол DAB равен 36° . Найдите угол DBC.
37. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 82° .
38. Угол А четырехугольника АВСD, вписанного в окружность, равен 46° . Найдите угол С этого
четырехугольника.
39. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности
, градусные меры которых равны соответственно 68° , 77° , 115° , 100° . Найдите угол В этого
четырехугольника.
40. Точки А, В, С, и D, расположенные на окружности делят окружность на четыре дуги АВ, ВС,
CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1 : 4 : 12 : 19. Найдите
угол А четырехугольника ABCD.
41. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВС равен 58° , угол САD
равен 43° . Найдите угол АВD.
42. Используя данные, приведенные на рисунке, определите угол между хордой АВ и
диаметром АС окружности.
43. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 25° и 51° . Найдите больший из
оставшихся углов.
5
44. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет
окружности.
36
45. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 20% окружности.
46. Дуга окружности АС, не содержащая точки В, составляет 165° . А дуга окружности ВС, не
содержащая точки А, составляет 55° . Найдите вписанный угол АСВ.
47. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные меры которых относятся как 2 : 9 : 25. Найдите больший угол треугольника АВС.
48. АС и ВD – диаметры окружности с центром в точке О. угол АСВ равен 22° . Найдите угол
AOD.
49. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 98° . Найдите острый угол АВС между этой хордой и
касательной к окружности, проведенной через точку В.
50. Касательные СА и CВ к окружности образуют угол АСВ, равный 112° .
Найдите величину меньшей дуги АВ, стягиваемой точками касания.
51. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, а меньшая
ду°
га окружности АВ, заключенная внутри этого угла, равна 25 .
52. Четырехугольник ABCD – ромб. Используя данные рисунка, укажите меру
угла DCB.
V.
Вычисление площадей.
53. Основания трапеции равны 24 и 18, высота – 4. Найдите площадь трапеции.
54. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен150° .
Боковая сторона треугольника равна 28. Найдите площадь этого треугольника.
55. Периметры двух подобных треугольников относятся как 1 : 10. Площадь меньшего треугольника равна 9. Найдите площадь большего треугольника.
56. Стороны параллелограмма равны 5 и 10. Высота, опущенная на первую сторону, равна 3.
Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
57. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 15 и 8.
58. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30° .
Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 1089.
59. Основание трапеции равно 3, высота равна 13, а площадь равна 65. Найдите второе основаниа трапеции.
60. Основания равнобедренной трапеции равны 18 и 28, а ее периметр равен 72. Найдите площадь трапеции.
61. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке Е, а продолжение DA в точке F. Найдите площадь прямоугольника, если СЕ = 4, CF = 6.
Задачи второй части промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе.
Геометрическая задача на вычисление
1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр
окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна
100°.
2. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О.
Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.
3. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD.
Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции.
4. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О —
центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.
5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь
трапеции.
6. Основание равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь
трапеции.
7. Диагонали АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке . Площади треугольников AOD
и BOC равны соответственно 16 см2 и 9 см2 . Найдите площадь трапеции.
8. Прямая, параллельная основаниям AD и ВС трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, BC = 15 см.
9. В трапеции проведен отрезок, параллельный основаниям и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание трапеции равны 24√2 см и
7√2 см.
Геометрическая задача на доказательство
1. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажи-
те, что данный параллелограмм — прямоугольник.
2. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали
АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
3. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как
показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM
— параллелограмм.
4. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD
равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
5. В параллелограмме ABCD проведены высоты BE и BF. Докажите, что ∆𝐴𝐵𝐸 подобен ∆𝐶𝐵𝐹.
6. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Точка M лежит на основании AD и равноудалена от
концов другого основания. Докажите, что M — середина основания AD.
7. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный па-
раллелограмм — прямоугольник/
8. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. До-
кажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
9. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений
его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника
ABC равен диаметру этой окружности.
10. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD и CD соответственно, при этом
BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
Геометрическая задача повышенной сложности
1. Площадь треугольника ABC равна 80. Биссектриса AD пересекает медиану BK в точке E, при этом
BD:CD=1:3. Найдите площадь четырехугольника EDCK.
2. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равен 10. Окружность радиуса 7,5 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник
ABC
3. Диагонали четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются
в точке М. Известно, что ∠АВС = 72°, ∠𝐵𝐶𝐷 = 102°, ∠𝐴𝑀𝐷 = 110°. Найдите ∠𝐴𝐶𝐷.
4. Длина катета АС прямоугольного треугольника АВС равна 8 см. Окружность с диаметром
АС пересекает гипотенузу АВ в точке М. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что АМ : МВ = 16 : 9. .
5. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника
AMK.
6. В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям
трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36 .