Геометрический смысл производной

План-конспект урока алгебры в 11 классе
Тема урока:
«Геометрический смысл производной»
Цель урока
Образовательная:
1. Обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной.
2. «Открыть» зависимость между свойствами монотонности и
экстремумами и значениями производной;
3. Применить «открытую» правильную математическую идею к решению
задач ЕГЭ (применение в нестандартной ситуации).
Развивающая:
1. Способствовать развитию общения как метода познания,
аналитического мышления, смысловой памяти и произвольного
мышления;
2. Развитие навыков исследовательской деятельности(выдвижение
гипотез, анализ, обобщение).
Воспитательная:
1. Развивать у учащихся коммуникативные качества;
2. Способствовать развитию творческой деятельности учащихся,
потребности к самообразованию.
Урок подготовила учитель математики МОУ Первомайской СОШ Г.Г.Лукьянова
План урока:
1. Организационный момент;
2. Создание проблемной ситуации;
3. Проверка знаний (ранее изученного);
4. Анализ наблюдений;
5. Обобщение наблюдений и выводы;
6. Применение изученного в стандартной ситуации;
7. Решение проблемы
ситуации);
(применение
изученного
в
нестандартной
8. Подведение итогов;
9. Домашнее задание.
Ход урока.
1. Эпиграф к уроку:
«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит
применение в том или ином деле»
А.И.Крылов
2. Создание проблемной ситуации
Предлагаю задачу из ЕГЭ (С-3)
Решить неравенство:
𝑙𝑜𝑔𝑥 (7 − 𝑥) < 𝑙𝑜𝑔𝑥 (𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7) − 𝑙𝑜𝑔𝑥 (𝑥 − 1)
Идеи по решению неравенства (выписываю план).
Одного к доске для отыскания ОДЗ:
7−𝑥 >0
𝑥−1>0
ОДЗ:
𝑥>0
𝑥≠1
3
2
{𝑥 − 6𝑥 + 14𝑥 − 7 > 0
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
{
<7
>1
>0
≠1
?
𝑥𝜖(1; 7)
Вопрос: 1) Как решить кубическое неравенство?
2) Можно ли не решать?
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7
Какие предложения по решению? Использовать схему Горнера по
рядам.
±1; ±7;
х=1
1
-6
14
-7
1
-5
9
1
-5
9
2
1
-6
14
7
-1
7
-21
1
-7
21
-28
1
-6
14
-7
7
7
147
1
1
21
-
1
-6
14
-7
-7
91
105*7
-13
105
-
х= - 1
х=7
х= - 7
1
Рациональных корней нет. Но один корень обязательно есть.
Какие будут предложения?
Найти 𝑓(1) = 1 − 6 + 14 − 7 = 2 > 0
𝑓(7) = 73 − 6 ∗ 49 + 14 ∗ 7 − 7 > 0
А вдруг будет так?
1
7
Как искать ОДЗ? Проблема. (Оставили)
3. Проверка знаний (Вспоминаем ранее изученный материал)
Вопрос 1 В чем состоит геометрический смысл производной?
Ответ:
𝑓 ′ (х ) = 𝑡𝑔𝛼 = 𝑘
Значение
производной в
точке
Тангенс угла
наклона
касательной к
положительному
направлению оси
ОХ
Угловой
коэффициент
касательной
Вопрос 2 Касательная наклонена под тупым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно?
𝑡𝑔𝛼 < 0
𝑓 ′ (𝑥0 ) < 0
Вопрос 3 Касательная наклонена под острым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно?
𝑡𝑔𝛼 > 0
𝑓 ′ (𝑥0 ) > 0
Вопрос 4 Касательная параллельна оси ОХ, следовательно?
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
Вопрос 5 Касательная наклона под прямым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно?
𝑡𝑔 90° ∄
𝑓 ′ (𝑥0 ) ∄
Задачи из ЕГЭ
Применение теории на практике (связь геометрического смысла
производной с монотонностью и экстремумами)
Дается график функции и предлагается его охарактеризовать.
х
Далее о монотонности: 1) проводим касательные; 2) выясняем знак
производной; 3)заносим в таблицу экстремумов.
Вывод:
Теорема 1 Пусть у=f(x) – непрерывна на [a;b] и дифференцируема на
(a;b). Тогда, если 𝑓 ′ (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏], то 𝑦 = 𝑓(𝑥) – возрастает на
[a,b], а если 𝑓 ′ (𝑥) < 0 на (𝑎; 𝑏), то функция убывает на [a;b].
Теорема 2 Пусть y = f(x) - дифференцируема в некоторой окрестности
точки 𝑥0 , кроме может быть самой точки и непрерывна в точке 𝑥0 .
Тогда:
1) Если 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 или ∄ и при переходе через точку 𝑥0 меняет
знак с « - » на « + », то 𝑥0 - точка минимума функции.
2) Если 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 или ∄ и при переходе через точку 𝑥0 меняет
знак с « + » на « - », то 𝑥0 - точка максимума функции.
4. Применение изученного материала в стандартной ситуации (Задачи из
ЕГЭ (В-8) )
5. Применение изученного материала в нестандартной ситуации
Вернемся к неравенству:
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 12𝑥 + 14
𝑓 ′ (𝑥) = 0:
3𝑥 2 − 12𝑥 + 14 = 0
𝐷
= 36 − 42 < 0, т. е. 𝑓 ′ (𝑥) > 0 при ∀𝑥 ∈ 𝑅
4
Следовательно, y=f(x) – возрастающая и т.к. f(1)>0,
то 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7 > 0 при ∀𝑥𝜖(1; 7)
ОДЗ: 𝑥𝜖(1; 7)
Дорешивает ученик.
𝑙𝑜𝑔𝑥 (7 − 𝑥)(𝑥 − 1) ≤ 𝑙𝑜𝑔𝑥 (𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7)
Т.к. x>1, то 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑡 – возрастающая, т.е. нет необходимости
рассматривать два случая.
(7 − 𝑥)(𝑥 − 1) ≤ 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7
7𝑥 − 7 − 𝑥 2 + 𝑥 ≤ 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 14𝑥 − 7
𝑥 3 − 5𝑥 2 + 6𝑥 ≥ 0
𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) ≥ 0
+
-
0
1
2
Ответ 𝑥 ∈ (0; 2] ∪ [3; 7)
3
+Место для формулы.
7
х